21.2.4一元二次方程根的判别式课件2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件围绕一元二次方程根的判别式展开，通过三个具体方程让学生用公式法求解并观察异同，引出“方程是否一定有解”的问题，再经配方法推导判别式，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，结合含参数方程求范围、三角形形状判断等实例，培养抽象能力、推理能力和模型意识。采用“观察-探究-应用”教学方法，帮助学生系统掌握知识，教师可提升教学效率，学生能增强数学思维与应用能力。

一元二次方程根的判别式 观察这些方程，它们有什么相同点和不同点？对你有什么启示？ 我们知道,任何一个一元二次方程 配方法 对于一元二次方程 一定有解吗？ ∵a≠0 ∴4a2>0 当 时， 当 时， 当 时， 方程有两个不相等的实数根： 方程有两个相等的实数根： 方程没有实数根。 ∵a≠0 ∴4a2>0 反过来，对于一元二次方程： 如果方程有两个不相等的实数根，那么 ； 如果方程有两个相等的实数根，那么 ； 如果方程没有实数根，那么 。 互逆定理 一元二次方程的根的情况： 1.当 时，方程有两个不相等的实数根 2.当 时，方程有两个相等的实数根 3.当 时，方程没有实数根 反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时， 2.当方程有两个相等的实数根时， 3.当方程没有实数根时， 步骤：第一步：写出判别式△；第二步根据△的正负写结论。 不解方程判断方程根的情况： 因为△ = ，所以原方程有两个不等的实根。 因为△= ，所以原方程有两个不等的实根。 方程有两个不等实根 方程有实根 含有字母系数时，将△配方后判断 2.根据方程根的情况判断参数取值范围 解：△=(4k+1)2-8(2k2 –1) =8k+9 若方程有实根，则△≥ 0 ∴8k+9 ≥ 0 ∴k≥-9/8 有实数根 4x2-(m+2)x+m-1=0 解：方程整理为： ∴ △=(m+2)2-16(m –1) =m2-12m+20 若方程有两个相等实根，则△= 0 m2-12m+20=0 ∴m1=2 m2=10 解：△=(2m+1)2-4m2 =4m+1 若方程有两个不等实根，则△ > 0 ∴4m+1 > 0 ∴m >-1/4 对吗？ ∴m >- 1/4 且m≠0 注意二次项系数 (1)方程有两个不相等的实数根 (2)方程有两个相等的实数根 (3)方程没有实数根 解：因为 ，所以 （1）当 ，即 时，方程有两个不等的实数根； （2）当 ，即 时，方程有两个相等的实数根； （3）当 ，即 时，方程没有实数根. 问题三：解含有字母系数的方程。 解： 当a=1时，x=1. 当a≠0时，方程为一元二次方程. 当m-2=0即m=2时 x=3/2,成立 m=3 m=0，1 (1)方程只有一个实数根 (2)方程有两个相等的实数根 (3)方程有两个不等的实数根 a=1,b=2 将a=1,b=2代入方程得x2+2kx+2k-3=0. 又∵Δ′=4k2-4(2k-3)=4(k-1)2+8＞0∴方程有两个不等的实根. 有两个相等的实数根,且满足2=0 (1)求的值 (2)已知为一实数，求证：关于的方程 =0有两个相等的实数根 解：利用Δ ＝0，得出a=b=c. ∴△ABC为等边三角形. 有两个等根，试判断 1.一元二次方程 的根的情况是 ( ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 D 2.方程 的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根 A 3.下列一元一次方程中，有实数根的是 ( ) C 4.关于 的方程 有实数根，则下列结论正确的是 ( ) A.当 时，方程两根互为相反数 B.当 时，方程的根是 C.当 时，方程两根互为倒数 D.当 时，方程有实数根 D 5.若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是( ) D 7.若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 . 2 8.关于 的一元二次方程 ,其根的判别式的值为 ，求 的值及该方程的根。 解：Δ=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m=m2-2m+1=(m-1)2 ∴ (m-1)2=1,即 m1＝2，m2＝0(二次项系数不为0，舍去)。 当m=2时，原方程变为2x2-5x+3＝0，x＝3/2或x=1. 6.关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是( ) A 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用“△”表示。 当△>0时，方程有两个不等的实数根； 当△=0时，方程有两个相等的实数根； 当△<0时，方程没有实数根。 （1） ； （2） ； （3） 。 解：（1）因为△=b2-4ac=52-4×2×7=-31<0, 所以原方程无解。 （2） （3） 解方程： 。 △=25-20a. 当△>0，即a< 时， ； 当△=0，即a= 时，x=2； 当△<0，即a> 时，方程无解。 关于 的一元二次方程 (1) 若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围； （2）求证：无论 为何值，方程总有一个固定的根； （3）若 为整数，且方程的两个根均为正整数，求 的值. （1）解： ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ 且 ∴ 且 ∴ 的取值范围是 且 （2）证明：由求根公式 ∴ ∴无论 为何值，方程总有一个固定的根是1。 （3）∵ 为整数，且方程的两个根均为正整数 ∴ 必为整数 ∴ 或 当 时 ， ；当 时， ； 当 时， ； 当 时， . ∴ 或 $