21.2.4 一元二次方程根的判别式 课件 2026-2027学年华东师大版初中数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，通过问题导入引导学生从配方法推导求根公式的已有知识出发，观察b²-4ac的不同取值对根的影响，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究培养数学眼光，分情况推导判别式与根的关系发展推理能力，典例分析（如含参数k的方程根的情况判断）和步骤化总结（变形、定系、计算、判断）强化模型意识。学生能提升逻辑思维与应用能力，教师可借助系统实例与练习提高教学效率。

21.2.4 一元二次方程根的判别式 32100 1. 理解一元二次方程根的判别式. 2. 会应用根的判别式判断一元二次方程根的情况. 3. 能应用根的判别式解决一元二次方程根的相关问题. 学习目标 32100 我们在用配方法推导一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)的求根公式的过程中，得到 ① 观察上面的式子，你能分别讨论b2 - 4ac > 0，= 0，< 0时会怎样影响方程的根吗？ 问题导入 32100 (1) b2－4ac ＞0， 这时 ＞0，由①得 则方程有两个不相等的实数根 新知讲解 32100 (2) b2 - 4ac = 0， 这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 (3) b2 - 4ac ＜0， 这时 ＜0，由①可知 ＜0， x1 = x2 = - . 而 x 取任何实数都不能使 ＜0，因此方程无实数根. 32100 两个相等的实数根 我们把 b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号 Δ 表示， 即 Δ＝b2－4ac. 并且有： ax2 + bx + c = 0(a≠0) Δ ＞ 0 Δ= 0 Δ＜ 0 两个不相等的实数根 无实数根 根据Δ的取值，可以判断方程根的情况. 归纳总结 32100 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况　 （1）3x 2 =5x - 2; （2） ; 解：(1)原方程可变形为 3x2-5x+2=0 因为∆=(-5)2-4×3×2=1>0, 所以方程有两个不相等的实数根 (2)因为∆= 所以方程有两个相等的实数根 （3）4(y2+1)-y=0 典例分析 32100 （3）4(y2+1)-y=0 (3)原方程可变形为4y2-y+4=0 因为∆=(-1)2-4×4=-15<0 所以方程没有实数根. 典例分析 32100 判断一元二次方程根的情况的一般步骤 1.变形:化已知方程为一般形式; 2.定系:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: 确定b2-4ac的符号; 4.判断：b2-4ac >0 两个不相等的实数根; b2-4ac =0 两个相等的实数根; b2-4ac<0 没有实数根. 归纳总结 32100 1.不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 + 4x − 3 = 0；（2）4x2 = 12x − 9；（3）7y = 5( y2 + 1 ). 解：（1）∵a = 3，b = 4，c = −3， ∴ Δ = b2 − 4ac = 42 − 4×3×(−3) = 52＞0. ∴ 方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0. ∴ 方程有两个相等的实数根． 针对练习 32100 （3）7y = 5( y2 + 1 ). （3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5， ∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0. ∴ 方程没有实数根． 针对练习 32100 例2 已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0. (1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根； (2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根； (3)当k取何值时，方程没有实数根； 解：因为a=2，b=-(3+4k)，c=2k2+k, 所以∆=[-(3+4k)]2-4×2×(2k2+k)=16k+9 此时的a,b,c 是什么?你能表示出Δ吗？ 典例分析 32100 （1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴16k+9>0，解得k> （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴16k+9=0，解得k= （3）∵方程没有实数根， ∴16k+9<0，解得k< ∆=[-(3+4k)]2-4×2×(2k2+k)=16k+9 32100 在数形结合的学习过程中，缩小是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。棱柱表面积与棱柱表面积之间存在密切联系，都需要标准化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在加权平均数的学习过程中，运用是最具挑战性的环节之一。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在几何概型的学习过程中，系统化是最具挑战性的环节之一。 2. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 （ ） A. k＜5 B. k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5 【解析】由题意知方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根， ∴ k＜5且k≠1， 故选B. B 针对练习 32100 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ = b2 − 4ac< 0 Δ= b2 − 4ac≥0 注意：1.一元二次方程化为一般式 2. ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 针对本节课关键词“根的判别式”，谈谈你的收获. 课堂总结 32100 1.连线 Δ的值 4 0 根的情况 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 没有实数根 方程 随堂检测 32100 3. 关于 x 的一元二次方程 x²－10x＋a² = 0 有两个相等的实数根，则 a = ______. 2. 若一元二次方程 kx²＋2x－1 = 0有两个实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > -1 B. k ≥ -1 C. k ≤ -1 D. k ≥ -1且 k ≠ 0 D 随堂检测 32100 4.已知a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的一元二次方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0的两根相等，则△ABC的形状为____________. 直角三角形 思路点拨：将关于x的一元二次方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0 化为一般形式(a+c)x2＋2bx+(a-c)=0， ∵x的两根相等， ∴Δ =0，即(2b)2-4(a+c)(a-c)=0， 化简得b2+c2=a2，满足勾股定理， ∴△ABC是直角三角形. 随堂检测 32100 5.已知关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若x＝k＋1是方程x2－2x＋k－1＝4的一个解，求k的值． 解：(1)∵关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－2)2－4(k－1)＞0，解得k＜2. (2)把x＝k＋1代入方程，得(k＋1)2－2(k＋1)＋k－1＝4， 整理，得k2＋k－6＝0，解得k1＝2，k2＝－3. ∵k＜2，∴k的值为－3. 随堂检测 32100 $