第1章 集合与逻辑（高效培优单元自测·强化卷）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 高中数学集合与逻辑单元强化卷，涵盖填空、选择、解答题型，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，通过分层设计与创新情境落实数学抽象、推理能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|元素与集合关系、集合运算、子集、反证法|基础题（如第1-6题）巩固集合基本概念，提升题（如第12题）结合创新定义考查抽象能力| |选择题|4题/18分|逻辑命题否定、充分必要条件|第14题考查命题否定，第15题结合奇偶性深化推理意识，体现数学思维严谨性| |解答题|5题/78分|集合关系应用、闭集合新定义|第21题以闭集合为情境，要求判断与证明，落实创新意识与模型观念，符合高考创新题型趋势|

第1章 集合与逻辑（高效培优单元自测·强化卷） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. （或） 3. 1 4. 5. 6. 7. 8 . 9. 都不是整数 10 . ②④ 11. 12. 9 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 D D A A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）当时， 所以.……（7分） （2）因为“”是“”成立的充分非必要条件，则，且， 易知 所以，解得，符合题意； 综上所述，m的取值范围为.……（14分） 18．（14分） 【详解】(1)证明：假设，则， 与矛盾，则假设不成立，故.……（6分） (2)证明：假设中都是偶数， 则， 两式相加并整理，得， 与矛盾，故假设不成立， 则中至少有一个数是奇数.……（8分） 19．（14分） 【详解】（1）由，得到或，所以    ， 故集合的所有子集为.……（6分） （2）因为，则，又， 方程，， 若，即，方程无解，此时，满足题意； 若，即，由，即，解得， 此时，满足题意； 若，即，要使，则方程的解集为或， 则，解得， 综上所述，或.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）因为，，所以.……（4分） （2）当时，，满足； 当时，，由得，解得； 当时，，由得，解得. 综上，实数的取值范围是.……（11分） （3）当时，，解得； 当时，，由得或，即或. 结合，得或. 综上，实数的取值范围是.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）因为，，，所以不是闭集合； 任取，，设，，，， 则且， 所以，同理，，故为闭集合.……（6分） （2）结论：不一定. 不妨令，， 则由（1）可知，，为闭集合，易知2，，， 因此，不一定是闭集合.……（12分） （3）不妨假设，则由，得存在且，故. 同理，存在且，故. 因为，所以或. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 综上，不成立，故.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合与逻辑（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．0________N（选填“”或“”）． 【答案】 【详解】. 2．已知全集，集合，则______． 【答案】（或） 【详解】因为全集，集合， 所以集合在全集中的补集为且. 3．已知集合，且，则___________ 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为： 4．集合，，则_____. 【答案】 【详解】集合，集合， 故. 故答案为： 5．已知集合，，则＝______. 【答案】 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 6．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为_____. 【答案】 【详解】由韦恩图可知阴影部分表示， 又,，则， 所以. 故答案为： 7．集合用列举法表示为________． 【答案】 【详解】可化为，由，有，解得. 又由，得可能取值为，，． ，得，满足条件；，，不满足条件； ，得，满足条件．综上，集合用列举法表示为． 8．若，，则与的关系为________ 【答案】 【详解】由， 因为，所以，因此, 由 ，因为，所以，因此, 因此是的真子集，即. 9．在用反证法证明某命题时，对结论“至少有一个为整数”的否定为___________. 【答案】都不是整数 【详解】在用反证法证明某命题时，对结论“至少有一个为整数”的否定为都不是整数. 故答案为：都不是整数. 10．下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号） 【答案】②④ 【详解】对于①，9是合数，但9不是偶数，故①错误； 对于②，由，可得，故②正确； 对于③，当时，方程无解，故③错误； 对于④，当时满足，但， 当时，可得，则“”是“”的必要非充分条件，故④正确. 11．设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 【答案】 【详解】由，，且， 因为是的充分不必要条件，可得且等号不能同时成立，解得， 经验证和时，满足题意， 所以实数的取值范围是. 12．已知集合且，定义，则的元素个数的最小值是__________. 【答案】 【详解】因为将中的所有元素均变为原来的相反数时，不变， 所以不妨设中正数个数不少于负数个数． ①当中没有负数时，设，其中， 则． 上式从小到大的数共有个，它们都是的元素，说明最少有10个元素． ②当中至少有一个负数时，设是中的全部负元素，是中的全部非负元素， 不妨设，其中为正整数，． 因为，其中从小到大的数共有个， 所以中至少有6个非正元素． 因为，所以中至少有3个正元素， 所以中至少有9个元素． 综上所述，中至少有9个元素． 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立方程组，解得或， 则交点为，得到. 14．下列说法中，正确的是（   ） A．“或”的否定形式是“或” B．“”的否定形式是“或” C．“是锐角三角形”的否定形式是“中存在一个内角大于” D．“任意”的否定形式是“存在，使得” 【答案】D 【详解】A：因为“或”的否定形式是“且”，所以本选项说法不正确； B：因为“”的否定形式是“或”， 所以本选项说法不正确； C：因为“是锐角三角形”的否定形式是“中存在一个内角不小于”，所以本选项说法不正确； D：因为“任意”的否定形式是“存在，使得”， 所以本选项说法正确. 故选：D 15．已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】是奇数都是奇数， 所以能推出，但推不出， 所以是的充分非必要条件， 故选：A 16．设，已知集合，若集合是集合的个不同非空子集，且，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】A 【详解】由可知所有非空子集的并集缺少集合中至少一个元素， 假设缺少元素1，则所有非空子集均不含元素1，即是集合非空子集， 集合的非空子集个数为，且这些子集的并集必不含1，满足条件. 假设，要满足所有非空子集的并集不等于集合，必须至少有一个集合中的元素不在任何一个子集中，否则并集就会等于， 设这个缺失的元素是1，那么个非空子集都不含元素1， 即每个子集都是集合的非空子集， 而集合只有个不同的非空子集， 所以无法从中取出至少16个不同的非空子集， 因此假设不成立，必须小于16，所以的最大值为15， 故选：A. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知集合，. (1)当时，求集合； (2)若“”是“”成立的充分非必要条件，求实数m的取值范围. 【详解】（1）当时， 所以.……（7分） （2）因为“”是“”成立的充分非必要条件，则，且， 易知 所以，解得，符合题意； 综上所述，m的取值范围为.……（14分） 18．（14分）设. (1)求证：； (2)若，求证：中至少有一个数是奇数. 【详解】(1)证明：假设，则， 与矛盾，则假设不成立，故.……（6分） (2)证明：假设中都是偶数， 则， 两式相加并整理，得， 与矛盾，故假设不成立， 则中至少有一个数是奇数.……（8分） 19．（14分）设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）由，得到或，所以    ， 故集合的所有子集为.……（6分） （2）因为，则，又， 方程，， 若，即，方程无解，此时，满足题意； 若，即，由，即，解得， 此时，满足题意； 若，即，要使，则方程的解集为或， 则，解得， 综上所述，或.……（14分） 20．（18分）已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为，，所以.……（4分） （2）当时，，满足； 当时，，由得，解得； 当时，，由得，解得. 综上，实数的取值范围是.……（11分） （3）当时，，解得； 当时，，由得或，即或. 结合，得或. 综上，实数的取值范围是.……（18分） 21．（18分）给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 【详解】（1）因为，，，所以不是闭集合； 任取，，设，，，， 则且， 所以，同理，，故为闭集合.……（6分） （2）结论：不一定. 不妨令，， 则由（1）可知，，为闭集合，易知2，，， 因此，不一定是闭集合.……（12分） （3）不妨假设，则由，得存在且，故. 同理，存在且，故. 因为，所以或. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 综上，不成立，故.……（18分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合与逻辑（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．0________N（选填“”或“”）． 2．已知全集，集合，则______． 3．已知集合，且，则___________ 4．集合，，则_____. 5．已知集合，，则＝______. 6．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为_____. 7．集合用列举法表示为________． 8．若，，则与的关系为________ 9．在用反证法证明某命题时，对结论“至少有一个为整数”的否定为___________. 10．下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号） 11．设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 12．已知集合且，定义，则的元素个数的最小值是__________. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知，，则（    ） A． B． C． D． 14．下列说法中，正确的是（   ） A．“或”的否定形式是“或” B．“”的否定形式是“或” C．“是锐角三角形”的否定形式是“中存在一个内角大于” D．“任意”的否定形式是“存在，使得” 15．已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．设，已知集合，若集合是集合的个不同非空子集，且，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知集合，. (1)当时，求集合； (2)若“”是“”成立的充分非必要条件，求实数m的取值范围. 18．（14分）设. (1)求证：； (2)若，求证：中至少有一个数是奇数. 19．（14分）设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 20．（18分）已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 21．（18分）给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $