高中数学单元测试——第1章集合与逻辑（较难版01）

**基本信息** 聚焦高中数学集合与逻辑单元，覆盖集合运算、命题否定、充要条件等核心知识点，通过分层设计（选择、填空、解答）及创新题型（如定义新集合运算），适配单元复习，提升数学思维与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合关系、空集判定、命题否定|基础巩固，考查概念辨析| |多选题|3/18|集合描述法、充分必要条件、Venn图|能力提升，多选项辨析逻辑关系| |填空题|3/15|补集运算、真子集个数、命题真假|综合应用，结合图形与符号语言| |解答题|5/67|集合元素个数、方程根与命题、新集合定义|创新应用，如第19题定义新运算考查数学眼光|

高中数学单元测试 —— 第1章 集合与逻辑（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】因为，所以，，故A对，BCD都错. 故选：A. 2．（本题5分）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程根的情况求得答案. 【详解】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是. 故选：B 3．（本题5分）命题：，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解即可. 【详解】命题：，的否定是，. 故选：C. 4．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用并集的定义直接求解. 【详解】集合，，所以. 故选：B 5．（本题5分）已知集合，集合，则满足条件的集合的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据包含关系，问题转化为求集合的子集的个数，即可得. 【详解】由题意，集合的个数为集合的子集的个数，共个. 故选：B 6．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的补集和交集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 故选：D. 7．（本题5分）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】C 【分析】通过举例即可判断命题p命题和q真假，再由命题及其否定一真一假即可判断. 【详解】对于命题：，，取，，真命题， 则为假命题； 对于命题：，，取，得，假命题， 则为真命题； 故选：C 8．（本题5分）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出原命题为假时的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义判断各个选项. 【详解】命题“”是假命题，则其否定“”是真命题. 当时，若，则，满足条件. 若，则在上单调递增，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 若，则在上单调递减，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 综上，当原命题为假时的取值范围是， 下面判断各个选项： 选项A：，不能推出，且也不能推出， 所以既不是充分条件也不是必要条件， 选项B：，能推出，但不能推出， 所以是充分不必要条件， 选项C：，不能推出，且不能推出， 所以是既不是充分条件也不是必要条件， 选项D：范围就是，为充要条件. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）集合用描述法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据集合的表示逐项分析即得. 【详解】是无限集，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD. 10．（本题6分）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断 【详解】对于A：若，，或， 则至少含有一个元素，； 若，则不一定有，比如时，，； 因此“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B：或， 若，则必有；若，则不一定有， 比如时，，不是的子集， 因此“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C：若中只有一个元素，则，当，且时，， 即“中只有一个元素”不是“”的充分条件，C错误； 对于D：若，则， 此时，不是的子集； 若，则，，但 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，D正确； 故选：ABD. 11．（本题6分）集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A、B、C，由韦恩图直接判断即可，对于D，适当进行分析再结合韦恩图判断即可. 【详解】对于A，由韦恩图可知：阴影区域的元素都在集合中但不在中，故选项A正确； 对于B， 表示集合与公共元素以外的全集中的所有元素组成的集合， 阴影区域表示的集合是它的真子集，故选项B错误； 对于C，表示集合中元素除去集合与集合的公共元素剩余的元素 构成的集合，就表示为阴影区域，故选项C正确； 对于D，由于，所以 ， 与选项A相同，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（本题5分）已知，则________ 【答案】或 【分析】根据题意，为该集合元素，只需要使得等于集合中的某一元素，进行计算即可. 【详解】①当时，，，不符合集合元素的互异性，所以舍去； ②当时，即时，，此时集合为，符合题意； ③当时，即（舍去）或，所以，，，此时集合为，符合题意. 所以，或. 故答案为：或. 13．（本题5分）设全集，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最小值为__________；最大值与最小值的差为__________. 【答案】 7 24 【分析】根据阴影部分进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】阴影部分表示， 若，真子集最少有个． 若，真子集最多有个． 所以真子集个数的最大值与最小值的差为 故答案为：7；24 14．（本题5分）已知命题且，命题，恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】求出与同时为真命题的参数范围，然后再求补集． 【详解】为真命题，则， 为真命题，则，， 所以与同时为真命题时，， 从而与不同时为真命题时，的范围是， 故答案为：． 四、解答题 15．（本题13分）设全集，集合，． (1)若集合A恰有一个元素，求实数a的值； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求解即可； （2）由元素与集合的关系，求得，进而可求解； 【详解】（1）集合A恰有一个元素，，解得：； （2）， ； 又， ； 即， . 16．（本题15分）已知命题关于的方程有两个不相等的正实数根，命题，. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若，均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题真假，以及一元二次方程判别式，列出不等式组，求出参数范围； （2）根据命题真假，分别求出两个命题为假的参数范围，进而求出同时为假的参数范围即可. 【详解】（1）若是真命题，则，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由题意可知命题为真命题等价于在上的最小值小于等于0， 所以，解得， 所以若命题为假命题，则， 由（1）知，若是假命题，则或， 若，均为假命题，则， 即实数的取值范围是. 17．（本题15分）设全集，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合交集、并集、补集的概念，以及运算法则，求出结果即可. （2）根据题干，判断两个集合的包含关系，再分类讨论，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】（1）由，得， 又， 所以，. 或，则. （2）因为，所以， 当时，，解得，此时满足题意； 当时，可得，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即得. （2）写出符合题意的必要不充分条件. （3）利用充要条件的定义推理得证. 【详解】（1）由，得，即， 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. （2）的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. （3）必要性：若为等边三角形，即， 显然，因此； 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 19．（本题17分）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)67. 【分析】（1）根据给定的定义，直接计算即得集合. （2）根据给定的定义求出集合，再利用集合相等求出. （3）设集合，求出对应的集合，再由建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）集合，则， ， 所以. （2）集合，，则集合中元素为： 显然，由，得，解得， 此时，所以. （3）设满足题意，其中， 则， 则，又，则， 由，由容斥原理，得， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 因此，即，解得， 事实上当时满足题意， 理由如下：设，， 则，， 由，得，解得， 因此m的最小值为34，即当时，中元素最多，时满足题意， 所以的最大值是67. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第1章 集合与逻辑（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）命题：，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知集合，集合，则满足条件的集合的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 8．（本题5分）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）集合用描述法可以表示为（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 11．（本题6分）集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知，则________ 13．（本题5分）设全集，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最小值为__________；最大值与最小值的差为__________. 14．（本题5分）已知命题且，命题，恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是_____. 四、解答题 15．（本题13分）设全集，集合，． (1)若集合A恰有一个元素，求实数a的值； (2)若，，求． 16．（本题15分）已知命题关于的方程有两个不相等的正实数根，命题，. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若，均为假命题，求实数的取值范围. 17．（本题15分）设全集，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 19．（本题17分）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $