1.4.1　第1课时　用空间向量研究直线、平面的平行关系课件-2026-2027学年高二上学期人教A版数学选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦用空间向量研究直线、平面的平行关系，从点的位置向量切入，逐步构建直线与平面的向量表示式，通过法向量概念衔接线线、线面、面面平行的向量证明，形成递进式知识支架。 其亮点在于结合数学运算与直观想象，通过正方体等典例剖析求法向量的直接法与待定系数法，总结平行证明的三类思路，辅以分层训练。学生能提升逻辑推理能力，教师可借助系统实例与规律总结优化教学效率。

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　用空间向量研究直线、平面的平行关系 目 标 素 养 1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.会求平面的法向量. 3.能用向量方法证明直线、平面的平行关系. 系. 4.通过本节课学习,提升的数学运算、直观想象的核心素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.点的位置向量 在空间中,取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量  　来表示.我们把向量  　称为点P的位置向量.  2.空间直线的向量表示式 空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 3.空间平面的向量表示式 如图,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使 　 .该式称为空间平面ABC的向量表示式.  空间中任意平面由空间一点 及两个不共线向量唯一确定. 4.平面的法向量 如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 .　 微思考一个平面的法向量是唯一确定的吗? 提示:不是. 5.空间中直线、平面的平行 位置 关系 向量表示 图示 线线 平行 设u1,u2分别是不重合的直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2⇔　u1∥u2　⇔　∃λ∈R,使得u1=λu2　  位置 关系 向量表示 图示 线面 平行 设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α,则l∥α⇔　u⊥n　⇔　u·n=0　  面面 平行 设n1,n2分别是不重合的平面α,β的法向量,则α∥β⇔　n1∥n2　⇔　∃λ∈R,使得n1=λn2　  微训练 设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则实数k的值为(　　). A.2 B.-4 C.4 D.-2 答案:C 课堂·重难突破 一 求平面的法向量 典例剖析 1.如图,四边形ABCD为正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD.求: (1)平面ADPQ的法向量; (2)平面PQC的法向量. 解:因为QA⊥平面ABCD,PD∥QA,所以PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD.在正方形ABCD中,CD⊥AD.如图,以D为原点,DA,DP,DC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 令x=1,得y=1,z=2,因此n=(1,1,2)为平面PQC的一个法向量. 规律总结 求平面法向量的方法 (1)直接法:直接发现、找到或证明平面的一条垂线,则这条垂线的一个方向向量即为平面的一个法向量. (2)待定系数法: 学以致用 1.已知平面α经过A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0)三点,求平面α的一个法向量. 令y=1,则x=2. 所以平面α的一个法向量为n=(2,1,0). 二 证明线线平行 典例剖析 2.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别为A'B,A'C'的中点.求证:MN∥AD'. 证明:如图,以A为原点,AB,AD,AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. 不妨设正方体的棱长为2,则点A(0,0,0),D'(0,2,2),M(1,0,1),N(1,1,2),所以 规律总结 若两条直线的方向向量共线,则这两条直线平行或重合.因此,利用直线的方向向量证明两条直线平行时,必须指出两条直线不重合. 学以致用 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2.点M在BB1上,且BM=2MB1,点S在DD1上,且SD1=2SD,N,R分别为A1D1,BC的中点,求证:MN∥RS. 证明:如图,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、 ∵MN与RS不重合, ∴MN∥RS. 三 证明线面平行 典例剖析 3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD, AA1的中点,求证:GD1∥平面EFC. 证明:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. 规律总结 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法: 方法一:证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面. 方法二:证明直线的方向向量与平面内某一条直线的方向向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证. 方法三:先求直线的方向向量,平面的法向量,再证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 学以致用 3.已知空间四边形ABCD,P,Q分别是△ABC和△BCD的重心,求证:PQ∥平面ACD. 证明:如图,连接AP并延长,交BC于点E,连接ED,则Q在线段ED上. ∵P,Q分别是△ABC和△BCD的重心, 又AD⊂平面ACD,PQ⊄平面ACD, ∴PQ∥平面ACD. 四 证明面面平行 典例剖析 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DD1的中点.求证: (1)FC1∥平面ADE; (2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明:如图,建立空间直角坐标系,则点D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以 规律总结 利用空间向量证明面面平行: 方法一:证明两个平面的法向量共线. 方法二:转化为线面平行,证明一个平面内两条相交直线的方向向量均与另一个平面的法向量垂直,利用面面平行的判定定理得证. 方法三:转化为线线平行,证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别与另一个平面内两条相交直线的方向向量共线,利用线面平行与面面平行的判定定理得证. 学以致用 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别为棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点.求证:平面AMN∥平面EFDB. 证明:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. 不妨设正方体的棱长为2,则点A(2,0,0),N(1,0,2),M(2,1,2),D(0,0,0), B(2,2,0),F(0,1,2). 设平面AMN的法向量为n1=(x,y,z), 令z=1,则x=2,y=-2. 所以n1=(2,-2,1)为平面AMN的一个法向量. 同理,n2=(2,-2,1)为平面EFDB的一个法向量. 因为n1=n2,所以平面AMN∥平面EFDB. 随堂训练　 1.已知两条不重合的直线l1,l2的一个方向向量分别为 v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则直线l1与l2的位置关系是(　　). A.平行 B.相交 C.垂直 D.不确定 答案:A 2.已知直线l1的一个方向向量为a=(2,-3,5),直线l2的一个方向向量为b=(-4,x,y),若直线l1∥l2,则实数x,y的值分别是(　　). A.6,-10 B.-6,10 C.-6,-10 D.6,10 答案:A 3.已知直线l的一个方向向量为s=(-1,1,1),平面α的一个法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面α,则x的值为(　　). 答案:D 解析:依题意得,s·n=-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得 x=± 4.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为b,若a·b=0,则 (　　). A.l∥α B.l⊂α C.l⊥α D.l⊂α或l∥α 答案:D 5.已知平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=(-1,y,2), α∥β,则x+y=　　　　　　　　.  答案:0 $