1.4.1.3空间中直线、平面的垂直 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册　

该高中数学课件聚焦空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表示及应用，通过类比平行的向量表示导入，引导学生思考方向向量、法向量关系，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是采用坐标法与基向量法双路径证明，结合直棱柱等实例培养数学思维与推理能力，用向量语言精准表达垂直关系。课堂小结梳理知识清单与方法，助力学生系统掌握，教师可高效开展教学。

空间中直线、平面的垂直 第一章　1.4.1　第3课时 学习目标 1.理解并掌握空间中直线、平面垂直的向量表示.(重点) 2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理，能用向量方法证明空间中与直线、平面垂直有关的问题.(难点) 类比空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ 导语 3 内容索引 01 02 05 03 直线与平面垂直 平面与平面垂直 随堂演练 直线与直线垂直 04 课时对点练 01 直线与直线垂直 问题 1 提示　垂直. 如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔ ⇔ . 知识梳理 u1⊥u2 u1·u2=0 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直. (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 注意点 8 　如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，∠BAC=，D，E，F分别是A1B1，CC1，BC的中点.求证：AE⊥DF. 例1 证明： 方法一　由于三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠BAC= ，故AA1，AC，AB两两垂直，故建立如图所示的空间直 角坐标系， 则A(0，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，D(1，0，2)， 故=(0，2，1)，=(0，1，-2)， ∴·=(0，2，1)·(0，1，-2)=0+2×1+1×(-2)=0，∴⊥，故AE⊥DF. 9 　如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，∠BAC=，D，E，F分别是A1B1，CC1，BC的中点.求证：AE⊥DF. 例1 证明： 方法二　∵=+，=-=+) -=-， ∴·=· =-·-=2-0-2=0， ∴⊥，∴AE⊥DF. 10 证明两直线垂直的基本步骤 (1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. (2)基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. 反思感悟 11 　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点. 求证：BD1⊥EB1. 跟踪训练1 证明： 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1， 则B(1，1，0)，D1(0，0，1)， E，B1(1，1，1). =(-1，-1，1)， 12 　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点. 求证：BD1⊥EB1. 跟踪训练1 证明： =， ∴·=(-1)×+(-1)×+1×1=0， ∴⊥，∴BD1⊥EB1. 13 02 直线与平面垂直 问题 2 提示　平行(共线). 如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？ 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔ ⇔∃λ∈R，使得 . 知识梳理 u∥n u=λn 　 (课本例4)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 例2 设=a，=b，=c，则{a，b，c}为空间的一个基底，且=a+b-c，=b-a，=c. 因为AB=AD=AA1=1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°， 所以a2=b2=c2=1，a·b=b·c=c·a=. 在平面BDD1B1上，取，为基向量，则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ，μ)，使得=λ+μ. 证明： 17 　 (课本例4)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 例2 所以，·=λ·+μ·=λ(a+b-c)·(b-a)+μ(a+b-c)·c=0. 所以是平面BDD1B1的法向量. 所以A1C⊥平面BDD1B1. 证明： 18 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 例2 证明： 方法一　设该正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)， B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a). 所以=(-a，-a，a)， =(0，2a，2a)，=(-2a，2a，0). 设平面B1AC的法向量为m=(x，y，z)， 19 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 例2 证明： 则 取x=1，则y=1，z=-1，故m=(1，1，-1). 又=(-a，-a，a)=-a(1，1，-1)=-am. 所以∥m，所以EF⊥平面B1AC. 21 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 例2 证明： 方法二　由方法一可知，=(-a，-a，a)，=(0，2a，2a)，=(-2a，2a，0). 因为·=(-a，-a，a)·(0，2a，2a) =(-a)·0+(-a)·2a+a·2a=0， ·=(-a，-a，a)·(-2a，2a，0) =2a2-2a2+0=0， 22 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 例2 证明： 所以EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC=A，AB1，AC⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 方法三　设=a，=c，=b， 连接BD(图略)， 则=+=+) 23 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 例2 证明： =+)=+-) =(b+c-a). 因为=+=a+b， 所以·=(b+c-a)·(a+b) =(b2-a2+c·a+c·b) 24 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 例2 证明： =(|b|2-|a|2+0+0)=0， 所以⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C=B1，AB1，B1C⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 25 向量法证明线面垂直的两种思路 (1)应用判定定理：选取基向量或建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量和平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量与另两个相交直线的方向向量的数量积均为零，从而证得结论. (2)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论. 反思感悟 26 　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE. 跟踪训练2 连接C1D， ∵C1在平面ABC内的射影为D， ∴C1D⊥平面ABC， 又BD，AC⊂平面ABC， ∴C1D⊥BD，C1D⊥AC， 又△ABC为等边三角形，D为AC的中点， 证明： 27 　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE. 跟踪训练2 证明： ∴BD⊥AC， 则以D为坐标原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(，0，0)， C(0，-1，0)，C1(0，0，)， E，A1(0，2，)， 28 　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE. 跟踪训练2 证明： ∴=(，0，0)，=， =(0，-3，-). 方法一　设平面BDE的法向量为m=(x，y，z)， ∵即 29 　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE. 跟踪训练2 证明： 不妨取z=1，则y=，则m=(0，，1)， ∴平面BDE的一个法向量为m=(0，，1)， ∵=(0，-3，-)， ∴=-m，∴∥m，∴A1C⊥平面BDE. 30 　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE. 跟踪训练2 证明： 方法二　∵·=0，·=-=0， ∴⊥，⊥，即BD⊥A1C，DE⊥A1C， 又BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE， ∴A1C⊥平面BDE. 31 03 平面与平面垂直 问题 3 提示　垂直. 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔ ⇔ . 知识梳理 n1⊥n2 n1·n2=0 (课本例5)证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 已知：如图，l⊥α，l⊂β， 求证：α⊥β. 例3 证明： 如图，取直线l的方向向量u，平面β的法向量n. 因为l⊥α， 所以u是平面α的法向量. 因为l⊂β，而n是平面β的法向量， 所以u⊥n. 所以α⊥β. 35 如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC. 例3 证明： 如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直 线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设PA=PB=PC=3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)， F(0，1，0)，G(1，1，0)， ∴=(0，-1，-1)，=(1，-1，-1). 设平面EFG的法向量为n=(x，y，z)， 36 如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC. 例3 证明： 则有n⊥，n⊥. ∴令y=1，得z=-1，x=0， 即n=(0，1，-1). 显然=(3，0，0)是平面PBC的一个法向量. 又n·=0，所以n⊥， 即平面EFG的法向量与平面PBC的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC. 38 证明面面垂直的两种方法 (1)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直. (2)几何法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. 反思感悟 39 　如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC. 跟踪训练3 取AB的中点O，CD的中点M， 连接OM，则OM⊥AB， 又平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAB∩平面ABCD=AB， OM⊂平面ABCD， 所以OM⊥平面PAB， 证明： 40 　如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC. 跟踪训练3 证明： 又PA=PB，所以PO⊥AB， 以点O为原点，OP，OB，OM所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AP=a，AD=b， 则A(0，-a，0)，B(0，a，0)，P(a，0，0)，C(0，a，b)， D(0，-a，b)， 41 　如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC. 跟踪训练3 证明： 所以=(0，0，b)，=(a，a，0)， =(0，0，b)，=(a，-a，0)， 设n1=(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量， n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量， 则由得 42 　如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC. 跟踪训练3 证明： z1=0，令x1=1， 则y1=-1，即n1=(1，-1，0)， 同理，z2=0，令x2=1， 可得y2=1，即n2=(1，1，0). 因为n1·n2=1-1=0， 所以平面PAD⊥平面PBC. 43 课堂小结 1.知识清单： (1)直线与直线垂直的向量表示及应用. (2)直线与平面垂直的向量表示及应用. (3)平面与平面垂直的向量表示及应用. 2.方法归纳：转化法、法向量法. 3.常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆. 44 04 随堂演练 1 2 3 4 1.设直线l1的一个方向向量为a=(1，3，-2)，直线l2的一个方向向量为b=(-4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于 A.1 B. C. D.3 解析： 因为l1⊥l2，所以a·b=0，即1×(-4)+3×3+(-2)×m=0，解得m=. √ 2.已知平面α的法向量为a=(1，2，-2)，平面β的法向量为b=(-2，-4，k)，若α⊥β，则k等于 A.4 B.-4 C.5 D.-5 √ 解析： ∵α⊥β，∴a⊥b， ∴a·b=-2-8-2k=0.∴k=-5. 1 2 3 4 3.已知直线l的方向向量为e=(-1，1，2)，平面α的法向量为n= (λ∈R)，若l⊥α，则实数λ的值为　　 . - 解析： 因为l⊥α，所以e与n共线， 则存在实数m使得e=mn=， 可得解得 1 2 3 4 1 2 3 4 4.在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=，则直线SC与BC是否垂直　　　　.(填“是”或“否”) 是 解析： 如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS 所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则由AC=2，BC=，SB=， 得B(-，2，0)，S(0，0，2)，C(0，2，0)，=(0， 2，-2)，=(-，0，0). 因为·=0，所以SC⊥BC. 05 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C C B ABC D 0 题号 9 11 12 13 答案 C BC 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设PA=AB=BC=1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1). 因为∠ABC=60°，AB=BC，所以△ABC为正三角形. 所以C，E，=， 设D(0，y1，0)，则=， 由AC⊥CD得·=0， 13 14 15 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即-+=0， 解得y1=，则D， 所以=. 又=， 所以·=-×+×=0， 所以⊥，即AE⊥CD. 13 14 15 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)方法一　由(1)知=(1，0，0)，=， 设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)， 则即 令y=2，则n=(0，2，-). 又=，显然=n，所以∥n， 所以PD⊥平面ABE. 13 14 15 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法二　由(1)知=，=. 所以·=×+×(-1)=0， 所以⊥，即PD⊥AE. 由(1)知=(1，0，0)，所以·=0，所以PD⊥AB. 又AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，所以PD⊥平面ABE. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 假设存在，连接AC，交BD于点F，EF为平面EDF和平面PAC的交线， 取AD的中点O，连接GF，OF，OP，则OF⊥AD，OP⊥AD， 因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OF⊂平面ABCD， 所以OF⊥平面PAD，又因为OP⊂平面PAD， 所以OF⊥OP， 以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x，y， z轴建立空间直角坐标系如图所示. 14. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则C(-1，2，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，)，E，F(0，1，0)， 设G(x1，y1，z1)，则=(x1，y1-1，z1)，=(1，1，0)， =， 设平面EDF的法向量是n=(x0，y0，z0)， 则即 令x0=1，则n=(1，-1，-)， 14. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵GF⊥平面EDF，∴存在唯一实数λ，使=λn， ∴x1=λ，y1-1=-λ，z1=-λ， ∵，共线， =(-1，2，-)，=(x1+1，y1-2，z1)， ∴==， ∴==，无解， 故在棱PC上不存在一点G，使GF⊥平面EDF. 14. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明　连接AC1，由四边形ACC1A1为菱形，得AC1 ⊥A1C，由∠ACB=90°，得BC⊥AC， 又平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1= AC，BC⊂平面ABC， 则BC⊥平面ACC1A1，又A1C⊂平面ACC1A1，于是BC⊥A1C，而BC∥B1C1，则B1C1⊥A1C， 又AC1∩B1C1=C1，AC1，B1C1⊂平面AB1C1，因此A1C⊥平面AB1C1，又AB1⊂平面AB1C1，所以A1C⊥AB1. 15. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)解　取A1C1的中点为E，连接CE， 因为四边形ACC1A1是菱形，且∠A1AC=60°， 所以CE⊥A1C1，CE⊥AC， 又因为平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC， CE⊂平面ACC1A1， 所以CE⊥平面ABC， ∠ACB=90°，即AC⊥BC， 15. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图，以C为原点， CA，CB，CE所在直线分别为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A(4，0，0)，B(0，4，0)，A1(2，0，2)，B1(-2， 4，2)，C1(-2，0，2)， 设=λ=λ(-4，4，0)，0<λ<1，D(x，y，z)， 所以(x-2，y，z-2)=(-4λ，4λ，0)，可得D(2-4λ，4λ，2)， =(-6，0，2)，=(-2-4λ，4λ，2)， 15. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设平面AC1D的法向量为m=(x1，y1，z1)， 则 令x1=λ，则y1=λ-1，z1=λ， 可得m=(λ，λ-1，λ). =(-4，4，0)，=(-2，0，2)， 设平面ABB1A1的法向量为n=(x2，y2，z2)， 15. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则 令z2=1，则x2=y2=，可得n=(，，1)， 若平面AC1D⊥平面ABB1A1， 则m·n=λ+(λ-1)+λ=0，解得λ=， 故在线段A1B1(不含端点)上存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1， 此时=. 15. 13 14 15 1.若空间中三条不同直线a，b，c的方向向量分别为a，b，c，已知a⊥b，且b∥c，则直线a与直线c必定 A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 15 解析： 依题意，a，b，c都不是零向量， 由b∥c可得b∥c，又a⊥b，则可得a⊥c，即a⊥c. 2.设a，b分别是两条直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： a⊥α，b⊥β，则a是平面α的一个法向量，b是平面β的一个法向量， 则由a⊥b得α⊥β，必要性满足，反之，若α⊥β，则法向量a⊥b，充分性满足，应是充要条件. 3.下列结论中，正确的是 A.两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a=(2，3，-1)，b=(-2，-3， 　1)，则l1⊥l2 B.直线l的方向向量是a=(1，-1，2)，平面α的法向量是u=(6，4，-1)，则 　l⊥α C.两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2，2，-1)，v=(-3，4，2)，则 　α⊥β D.直线l的方向向量是a=(0，3，0)，平面α的法向量是u=(0，-5，0)，则 　l∥α 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 对于A，两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a=(2，3，-1)，b=(-2，-3，1)，则b=-a，所以a∥b，即l1∥l2，故A错误； 对于B，直线l的方向向量是a=(1，-1，2)，平面α的法向量是u=(6，4，-1)，则a·u=1×6-1×4+2×(-1)=0，所以a⊥u，即l∥α或l⊂α，故B错误； 对于C，两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2，2，-1)，v=(-3，4，2)，则u·v=0，所以α⊥β，故C正确； 对于D，直线l的方向向量是a=(0，3，0)，平面α的法向量是u=(0，-5，0)，则u=-a，所以u∥a，即l⊥α，故D错误. 4.已知点A(0，1，0)，B(-1，0，-1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为 A.(1，0，-2) B.(1，0，2) C.(-1，0，2) D.(2，0，-1) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由题意知=(-1，-1，-1)，=(2，0，1)，=(x，-1，z)，又PA⊥平面ABC， 所以有·=(-1，-1，-1)·(x，-1，z)=0， 得-x+1-z=0. ① ·=(2，0，1)·(x，-1，z)=0，得2x+z=0， ② 联立①②得x=-1，z=2， 故点P的坐标为(-1，0，2). 5.如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，=3，点P在底面ABCD内(包含边界)上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为 A. B. C.3 D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则D1(0，0，3)，E(1，3，0)，B1(3，3，3)， 设P(x，y，0)，x，y∈[0，3]，则=(x-3，y-3，-3)，= (1，3，-3)， 因为B1P⊥D1E，则·=x+3y-3=0，即x=3-3y，又x∈[0，3]， 所以0≤3-3y≤3，则y∈[0，1]， 而||===， 故当y=1时，线段B1P的长度的最大值为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，若=(2，-1，-4)，=(4，2，0)，=(-1，2，-1)，则下列结论正确的有 A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 因为·=-2-2+4=0， 所以⊥，所以AP⊥AB，A正确； 因为·=-4+4+0=0， 所以⊥，所以AP⊥AD，B正确； 因为AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A， AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD， 所以是平面ABCD的一个法向量，C正确； 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： =-=(2，3，4)， 设=λ=(-λ，2λ，-λ)， 即此方程组无解，D错误. 13 14 15 7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是BD的中点，M是棱AA1上一点(包括端点)，且平面MBD⊥平面OC1D1，则等于 A. B. C. D.1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则B(1，1，0)，D(0，0，0)，O，D1(0，0， 1)，C1(0，1，1)， 设M(1，0，t)，0≤t≤1， 则=，=， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： =(1，1，0)，=(1，0，t)， 设平面OC1D1的法向量为m=(x，y，z)， 则 令z=1，则m=(2，0，1)， 设平面MBD的法向量为n=(a，b，c)， 则 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 令c=1，则n=(-t，t，1)， 由题意得m⊥n，则m·n=(2，0，1)·(-t，t，1)=-2t+1=0， 解得t=，故=1. 8.已知a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有　　　　对. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 解析： 因为a·b=(0，1，1)·(1，1，0)=1≠0，a·c=(0，1，1)·(1，0，1)=1≠0，b·c=(1，1，0)·(1，0，1)=1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中互相垂直的有0对. 9.已知=(1，5，-2)，=(3，1，z)，若⊥，=(x-1，y，-3)， 且BP⊥平面ABC，则=　　　　　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 因为⊥， 所以·=0， 即1×3+5×1+(-2)z=0， 所以z=4. 因为BP⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，则BP⊥AB，BP⊥BC， 即⊥，⊥， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 所以 解得 所以=. 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点. (1)求证：AE⊥CD； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明： 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设PA=AB=BC=1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1). 因为∠ABC=60°，AB=BC，所以△ABC为正三角形. 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点. (1)求证：AE⊥CD； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明： 所以C，E，=， 设D(0，y1，0)，则=， 由AC⊥CD得·=0， 即-+=0， 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点. (1)求证：AE⊥CD； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明： 解得y1=，则D， 所以=. 又=，所以·=-×+×=0， 所以⊥，即AE⊥CD. 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点. (2)求证：PD⊥平面ABE. 证明： 方法一　由(1)知=(1，0，0)，=， 设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)， 则即 令y=2，则n=(0，2，-). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点. (2)求证：PD⊥平面ABE. 证明： 又=，显然=n，所以∥n， 所以PD⊥平面ABE. 方法二　由(1)知=，=. 所以·=×+×(-1)=0， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点. (2)求证：PD⊥平面ABE. 证明： 所以⊥，即PD⊥AE. 由(1)知=(1，0，0)，所以·=0，所以PD⊥AB. 又AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，所以PD⊥平面ABE. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，DD1的中点，O为底面ABCD的中心，点S在正方体的表面上运动，且满足NS⊥OM，则下列结论正确的是 A.点S可以是棱CC1的中点 B.点S的轨迹是矩形 C.点S的轨迹所围成的图形的面积为 D.点S轨迹的长度为2+ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 因为该正方体的棱长为2，M，N分别为BB1，DD1的中点， 则D(0，0，0)，M(2，2，1)，N(0，0，1)，O(1，1，0)， 所以=(1，1，1)，设S(x，y，z)，则=(x，y，z-1)， 因为NS⊥OM，所以·=0， 即x+y+z-1=0，即x+y+z=1， 令z=0，当x=1时，y=0；令z=0，当x=0时，y=1， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 取E(1，0，0)，F(0，1，0)， 连接EF，FN，NE，则=(-1，1，0)，=(-1，0，1)， 则·=-1×1+1×1+0×1=0， ·=-1×1+0×1+1×1=0， 所以EF⊥OM，EN⊥OM， 又EF∩EN=E，且EF，EN⊂平面EFN， 所以OM⊥平面EFN， 所以为使NS⊥OM，必有点S∈平面EFN，又点S在正方体的表面上运动， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 所以点S的轨迹为正三角形EFN(不与点N重合)，故B错误； 因此点S不可能是棱CC1的中点，故A错误； 正△EFN的边长为，则面积为×()2=，故C正确； 点S轨迹的长度为3，故D错误. 12.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q为AA1上一动点，则 A.存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直 B.不存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直 C.存在点Q使得D1Q与平面B1CD垂直 D.不存在点Q使得D1Q与平面B1CD垂直 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 如图，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，B(1，1，0)， B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)， 所以=(0，1，0)，=(1，1，1). 设平面B1CD的法向量为m=(x，y，z)， 则 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 令x=1，则m=(1，0，-1)是平面B1CD的一个法向量. 设Q(1，0，t)(0≤t≤1)， 则=(0，-1，t)， 若BQ与平面B1CD垂直，则与m共线，则存在唯一的实数λ，使=λm，则(0，-1，t)=λ(1，0，-1)，等式不可能成立， 所以与m不共线，所以不存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直，故A错误，B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： =(1，0，t-1)，若D1Q与平面B1CD垂直，则与m 共线，则存在唯一的实数μ，使=μm，则(1，0，t-1) =μ(1，0，-1)， 得μ=1，t=0， 所以当Q的坐标为(1，0，0)时，与m共线，此时D1Q与平面B1CD垂直，故C正确，D错误. 13.在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA1=1.已知G，E分别为A1B1和CC1的中点，D，F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若 GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为　　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系， 则E，G，设F(x，0，0)，D(0，y，0)且x，y∈(0，1)， 则=，=， 由于GD⊥EF， 所以·=0，即x+2y-1=0，x=1-2y， 所以||== =， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 又因为x，y∈(0，1)，所以1-2y∈(0，1)， 得y∈，所以||∈， 即线段DF长度的取值范围为. 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点， PA=PD=AD=2.在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面 EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解： 假设存在，连接AC，交BD于点F，EF为平面EDF和平 面PAC的交线， 取AD的中点O，连接GF，OF，OP，则OF⊥AD，OP ⊥AD， 因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OF⊂平面ABCD， 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点， PA=PD=AD=2.在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面 EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由. 解： 所以OF⊥平面PAD，又因为OP⊂平面PAD，所以OF⊥ OP， 以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x，y，z轴 建立空间直角坐标系如图所示. 则C(-1，2，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，)，E，F(0，1，0)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点， PA=PD=AD=2.在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面 EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由. 解： 设G(x1，y1，z1)，则=(x1，y1-1，z1)，=(1，1，0)， =， 设平面EDF的法向量是n=(x0，y0，z0)， 则 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点， PA=PD=AD=2.在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面 EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由. 解： 即 令x0=1，则n=(1，-1，-)， ∵GF⊥平面EDF，∴存在唯一实数λ，使=λn， ∴x1=λ，y1-1=-λ，z1=-λ， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点， PA=PD=AD=2.在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面 EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由. 解： ∵，共线， =(-1，2，-)，=(x1+1，y1-2，z1)， ∴==， ∴==，无解， 故在棱PC上不存在一点G，使GF⊥平面EDF. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1. (1)证明：A1C⊥AB1； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 证明： 连接AC1，由四边形ACC1A1为菱形，得AC1⊥A1C，由 ∠ACB=90°，得BC⊥AC， 又平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC， BC⊂平面ABC， 15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1. (1)证明：A1C⊥AB1； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明： 则BC⊥平面ACC1A1，又A1C⊂平面ACC1A1，于是BC⊥ A1C，而BC∥B1C1，则B1C1⊥A1C， 又AC1∩B1C1=C1，AC1，B1C1⊂平面AB1C1，因此A1C⊥ 平面AB1C1，又AB1⊂平面AB1C1， 所以A1C⊥AB1. 15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1. (2)在线段A1B1(不含端点)上是否存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，如果存在，找出D点的位置；如果不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 取A1C1的中点为E，连接CE， 因为四边形ACC1A1是菱形，且∠A1AC=60°， 所以CE⊥A1C1，CE⊥AC， 又因为平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC，CE⊂平面ACC1A1， 所以CE⊥平面ABC， 解： 15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1. (2)在线段A1B1(不含端点)上是否存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，如果存在，找出D点的位置；如果不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解： ∠ACB=90°，即AC⊥BC， 如图，以C为原点， CA，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A(4，0，0)，B(0，4，0)，A1(2，0，2)，B1(-2，4，2)，C1(-2，0，2)， 15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1. (2)在线段A1B1(不含端点)上是否存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，如果存在，找出D点的位置；如果不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解： 设=λ=λ(-4，4，0)，0<λ<1，D(x，y，z)， 所以(x-2，y，z-2)=(-4λ，4λ，0)，可得D(2-4λ，4λ，2)， =(-6，0，2)，=(-2-4λ，4λ，2)， 设平面AC1D的法向量为m=(x1，y1，z1)， 15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1. (2)在线段A1B1(不含端点)上是否存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，如果存在，找出D点的位置；如果不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解： 则 令x1=λ，则y1=λ-1，z1=λ， 可得m=(λ，λ-1，λ). =(-4，4，0)，=(-2，0，2)， 15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1. (2)在线段A1B1(不含端点)上是否存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，如果存在，找出D点的位置；如果不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解： 设平面ABB1A1的法向量为n=(x2，y2，z2)， 则 令z2=1，则x2=y2=， 可得n=(，，1)， 15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1. (2)在线段A1B1(不含端点)上是否存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，如果存在，找出D点的位置；如果不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解： 若平面AC1D⊥平面ABB1A1， 则m·n=λ+(λ-1)+λ=0，解得λ=， 故在线段A1B1(不含端点)上存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，此时=. THANKS 本课结束 $