1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(第1课时)空间中点、直线和平面的向量表示-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量应用，核心内容为空间中点、直线、平面的向量表示及直线方向向量、平面法向量的概念与求法。通过“书读百遍”梳理要点，“入木三分”解答疑问，衔接平面向量知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以数学抽象为引领，结合数学运算与逻辑推理，通过求方向向量的例1、用待定系数法求法向量的例2及探究总结步骤，帮助学生用数学眼光观察空间关系，用数学思维推理。对学生提升空间观念与运算能力，对教师提供系统教学资源，提高效率。

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系(第1课时) 空间中点、直线和平面的向量表示 素养目标 1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．(数学抽象)2.会求一个平面的法向量．(数学运算、逻辑推理) 课前自学 3 第页 ta 第页 第页 第页 1．如何确定直线的方向向量？ 2．空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备什么条件？ 答：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． 第页 3．一条直线的方向向量唯一吗？ 答：由于与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，因此直线l的方向向量不唯一，有无数个． 返 回 课时学案 10 例 1 (1)已知直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于________． 题型一　 求直线的方向向量 0 第页 11 (2)在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为___________，直线BC1的一个方向向量为___________． (0，0，1) (0，1，1) 第页 探究1 第页 思考题1　(1)【多选题】若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，2，6)　　　　　　 B．(1，1，3) C．(3，1，1) D．(－3，0，1) √ √ 第页 (2)已知直线l1的方向向量为a＝(2，－3，5)，直线l2的方向向量为b＝(－4，x，y)，若a∥b，则x，y的值分别是(　　) A．6和－10 B．－6和10 C．－6和－10 D．6和10 √ 第页 例 2 题型二　 求平面的法向量 第页 16 (2)求平面SAB的一个法向量； 第页 (3)求平面SCD的一个法向量． 第页 探究2 第页 思考题2　如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，A，B，D，A1的坐标分别为A(0，0，0)，B(a，0，0)，D(0，a，0)，A1(0，0，a)．分别求平面ABCD与平面BDA1的一个法向量． 第页 1．知识清单： (1)空间中点、直线、平面的向量表示． (2)直线的方向向量． (3)平面的法向量． 2．方法归纳：待定系数法、赋值法． 3．常见误区：不理解直线的方向向量和平面的法向量的作用与不唯一性． 返 回 课后巩固 22 √ √ 第页 √ 第页 √ 第页 4．从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段AB＝34，则B点的坐标为____________________． (18，17，－17) 第页 5．已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，－2)． (1)写出直线BC的一个方向向量； 第页 返 回 请做：课时作业（七） 教师备用资料 要点1　空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量eq \o(OP,\s\up16(→))来表示．我们把向量eq \o(OP,\s\up16(→))称为点P的位置向量． 要点2　空间直线的向量表示 (1)如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，设P是直线l上的任意一点，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得eq \o(AP,\s\up16(→))＝ta，即eq \o(AP,\s\up16(→))＝teq \o(AB,\s\up16(→)).如图2，取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋______________①，或eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋______________②.①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (2)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． teq \o(AB,\s\up16(→)) 要点3　空间平面的向量表示 我们知道，平面α可以由α内两条相交直线确定．如图1，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得eq \o(OP,\s\up16(→))＝xa＋yb.这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点． 进一步地，如图2，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋xeq \o(AB,\s\up16(→))＋yeq \o(AC,\s\up16(→))(*)． 我们把(*)式称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 要点4　平面法向量的定义 如图，直线l⊥α.取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·eq \o(AP,\s\up16(→))＝0}． 答：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则eq \o(AB,\s\up18(→))及与eq \o(AB,\s\up18(→))平行的非零向量均为直线l的方向向量． 4．如果n为平面α的一个法向量，A，B为平面α内的两点，则n与eq \o(AB,\s\up18(→))有什么关系？ 答：n⊥eq \o(AB,\s\up18(→))，即n·eq \o(AB,\s\up18(→))＝0. 【解析】　∵A(0，y，3)，B(－1，2，z)，∴eq \o(AB,\s\up18(→))＝(－1，2－y，z－3)，∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，∴m∥eq \o(AB,\s\up18(→))，故设eq \o(AB,\s\up18(→))＝km，k∈R，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＝2k，,2－y＝－k，,z－3＝3k，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,y＝\f(3,2)，,z＝\f(3,2).))∴y－z＝0. 【解析】　因为DD1∥AA1，eq \o(AA1,\s\up18(→))＝(0，0，1)，故直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)．连接AD1，因为BC1∥AD1，eq \o(AD1,\s\up18(→))＝(0，1，1)，故直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)． 求直线的方向向量的两种方法 (1)在直线l上确定两点A，B，则eq \o(AB,\s\up18(→))或eq \o(BA,\s\up18(→))就是直线l的方向向量． (2)在与直线l平行的直线m上确定两点A1，B1，则eq \o(A1B1,\s\up18(→))或eq \o(B1A1,\s\up18(→))就是直线l的方向向量． 【解析】　∵M，N在直线l上，且eq \o(MN,\s\up18(→))＝(1，1，3)，故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的方向向量． 【解析】　因为a∥b，a＝(2，－3，5)，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa，即(－4，x，y)＝λ(2，－3，5)＝(2λ，－3λ，5λ)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4＝2λ，,x＝－3λ，,y＝5λ，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,x＝6，,y＝－10，))所以x，y的值分别是6和－10. 【解析】　以A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，S(0，0，1)． (1)∵SA⊥平面ABCD，∴eq \o(AS,\s\up18(→))＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量． 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq \f(1,2)，以A为空间直角坐标系的原点建立坐标系． (1)求平面ABCD的一个法向量； 【解析】　(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB， SA⊂平面SAB，∴AD⊥平面SAB，∴eq \o(AD,\s\up18(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))是平面SAB的一个法向量． 【解析】　(3)由已知得，eq \o(DC,\s\up18(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，eq \o(SC,\s\up18(→))＝(1，1， －1)．设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥eq \o(DC,\s\up18(→))，n⊥eq \o(SC,\s\up18(→))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(DC,\s\up18(→))＝0，,n·\o(SC,\s\up18(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋y＝0，,x＋y－z＝0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2y，,z＝－y，))令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1，1)是平面SCD的一个法向量． 1.用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系． (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (3)求出平面内两个不共线向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． (4)根据法向量定义建立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·n＝0，,b·n＝0.)) (5)解方程组，取其中一解，即得法向量． 2．在利用以上步骤求解的过程中，方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0))有无数组解，利用赋值法只要给x，y，z中的一个变量赋一特值(常赋－1，1)，即可确定一法向量，赋值不同，所求法向量不同，但(0，0，0)不能作为法向量． 【解析】　由于z轴垂直于平面ABCD，而z轴的方向向量可用eq \o(AA1,\s\up18(→))＝(0，0，a)表示，因此(0，0，a)是平面ABCD的一个法向量． 设n＝(x，y，z)是平面BDA1的法向量． 由已知得eq \o(BD,\s\up18(→))＝(－a，a，0)，eq \o(BA1,\s\up18(→))＝(－a，0，a)， 因而eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up18(→))＝－ax＋ay＝0，,n·\o(BA1,\s\up18(→))＝－ax＋az＝0，)) 取x＝1，则y＝z＝1， 所以n＝(1，1，1)是平面BDA1的一个法向量． 解析　eq \o(AB,\s\up18(→))＝(2，1，3)即为空间直线l的一个方向向量，－eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up18(→))＝－eq \f(1,4)(2，1，3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,4)，－\f(3,4)))也是空间直线l的一个方向向量．故选AC. 1．【多选题】设A(1，－2，－1)，B(3，－1，2)是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v的坐标可以是(　　) A．(2，1，3)　　　　　　　 B．(4，1，6) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,4)，－\f(3,4))) D．(2，－4，－2) 解析　由题意得eq \o(AB,\s\up18(→))∥n，则eq \f(－2,1)＝eq \f(z,－4)，得z＝8. 2．在空间直角坐标系中，向量eq \o(AB,\s\up18(→))＝(1，0，－4)，n＝(－2，0，z)是平面α的一个法向量，若AB⊥平面α，则z＝(　　) A．8　　　　　　　　　　 B．6 C．10 D．3 解析　因为n′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1))＝－eq \f(1,2)(1，－1，－2)，所以n′∥n，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1))也为平面α的法向量，其他选项中的向量都不合题意． 3．若n＝(1，－1，－2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的法向量的是(　　) A．(0，0，0) B．(－2，－2，4) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1)) 解析　设B点坐标为(x，y，z)，则eq \o(AB,\s\up18(→))＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，因为AB＝34，即eq \r(64λ2＋81λ2＋144λ2)＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17.故B点的坐标为(18，17，－17)． 解析　(1)∵B(2，0，0)，C(0，2，－2)， ∴eq \o(BC,\s\up18(→))＝(－2，2，－2)，即(－2，2，－2)为直线BC的一个方向向量． 解析　(2)连接AM，由题意eq \o(AM,\s\up18(→))＝(x－2，y－2，z－2)， ∵eq \o(BC,\s\up18(→))⊥平面α，eq \o(AM,\s\up18(→))⊂α，∴eq \o(BC,\s\up18(→))⊥eq \o(AM,\s\up18(→))， ∴(－2，2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0. ∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0.∴x－y＋z＝2. (2)设平面α经过点A，且eq \o(BC,\s\up18(→))是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式． $