1.4.2 充要条件（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“充要条件”核心知识点，课前通过逆命题概念讲解及诊断分析题（如对顶角与相等角关系、集合包含关系）搭建学习支架，衔接充分条件与必要条件旧知，为课中探究充要条件的判断、证明及应用奠定基础。 其亮点在于从命题和集合双角度引导充要条件判断，通过三角形等边证明、方程实根充要条件推导等实例培养逻辑推理（数学思维），用符号（⇒、⇔）和集合关系（⊆）精准表达条件（数学语言）。分层习题助学生逐步提升，教师可依此高效开展教学，提升学生数学素养。

1.4 充分条件与必要条件 1 1.4.2 充要条件 2 探究点一 充要条件的判断 探究点二 充要条件的证明 探究点三 充分条件、必要条件、充要条件 的应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义 与充要条件的关系. 4 知识点 充要条件的概念 1.逆命题 将命题“若，则”中的条件和结论 互换，就得到一个新的命题“若 ，则 ”，称这个命题为原命题的逆命题. 2.充要条件 如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题,即既有 ,又有 ,就记作_______.此时,既是的充分条件，也是 的必要条件， 我们说是的______________,简称为__________.显然,如果是 的 充要条件,那么也是的充要条件.概括地说,如果,那么与 ______________. 充分必要条件 充要条件 互为充要条件 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知两个角是对顶角，两个角相等，则是 的充要条件. ( ) × [解析] 若两个角是对顶角，则这两个角相等，即 ，因此充分性成立； 当两个角相等时，两个角不一定是对顶角，如两个角为同位角，即，因此必要性不成立.所以是 的充分不必要条件. 课 前 预 习 6 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）已知且,，则是 的充要条件. ( ) √ [解析] 因为且, 且,所以是 的充要条件. （3）已知集合,,,集合,则是 的充要 条件.( ) √ [解析] 根据集合之间的关系和充要条件的定义可知是 的充要条件. 课 前 预 习 7 探究点一 充要条件的判断 例1 下列各题中,试分别指出是 的什么条件. （1）， ； 解：因为，而，所以是 的必要不充分条件. （2）四边形的对角线相等， 四边形是正方形； 解：因为四边形的对角线相等 四边形是正方形，而四边形是正方形 四边形的对角线相等，所以是 的必要不充分条件. 课 中 探 究 8 例1 下列各题中,试分别指出是 的什么条件. （3）是无理数, 是无理数; 解：因为是无理数是无理数,是无理数 是无理数, 所以是 的充要条件. （4）, . 解：因为，,所以是 的充要条件. 课 中 探 究 9 ［素养小结］ 判断<m></m>是<m></m>的充要条件的两种思路： （1）命题角度：判断<m></m>是<m></m>的充要条件，主要是判断<m></m>及<m></m> 是否成立.若<m></m>成立，则<m></m>是<m></m>的充分条件，同时<m></m>是<m></m>的必要条件； 若<m></m>成立，则<m></m>是<m></m>的必要条件，同时<m></m>是<m></m>的充分条件；若二者 都成立，则<m></m>与<m></m>互为充要条件. 课 中 探 究 10 （2）集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判 断及 是否成立时，也可以从集合角度去判断，结合集合 中“小集合 大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题大 有益处. 此外，对于较复杂的关系，常用 ，， 等符号进行传递，画 出它们的综合结构图，可降低解题难度. 课 中 探 究 11 探究点二 充要条件的证明 例2 已知的三边长为,,，其中.求证： 为等边三 角形的充要条件是 . 证明：充分性:方法一：当时， 可化为，即 ， 所以 ，则 ，所以 ，即，所以 为等边三角形，充分性成立. 课 中 探 究 12 方法二：因为 ，所以 ，则 ，所以，即 ,所以 为等边三角形，充分性成立. 必要性:由为等边三角形，且，得 ，则， ，所以 ，必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是 . 课 中 探 究 变式 求证：方程 有两个同号且不相等的 实根的充要条件是 . 证明：先证明充分性：若，则， , ， 方程有两个不相等的实根， 设方程的两个实根为，，则，， 两根同号，故方程 有两个同号且不相等的实根，充分性成立. 再证明必要性：若方程 有两个不相等的实根，则，解得 . 课 中 探 究 14 方程有两个同号的实根， 由根与系数的关系知，. 由①②得的取值范围是 ，必要性成立. 方程 有两个同号且不相等的实根的充要条件是 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清 哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明 “条件”<m></m> “结论”，必要性需要证明“结论”<m></m> “条件”. 课 中 探 究 16 探究点三 充分条件、必要条件、充要条件的应用 例3 已知集合 ，非空集合 . （1）若“”是“”的必要条件，求实数 的取值范围. 解： “”是“”的必要条件，， 解得， 实数的取值范围是 . 课 中 探 究 17 例3 已知集合 ，非空集合 . （2）是否存在实数，使“”是“ ”的充要条件？ 解：若“”是“”的充要条件，则， 该方程组无解， 不存在实数，使“”是“ ”的充要条件. 课 中 探 究 18 变式 已知集合， .设 ，，若是的必要不充分条件，求实数 的取值范围. 解：因为，所以 . 因为是的必要不充分条件，所以，只需 解得. 综上，实数的取值范围为 . 课 中 探 究 19 ［素养小结］ 应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值（范围） 的一般步骤： （1）根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化 为集合间的关系； （2）根据集合间的关系构建关于参数的方程（组）或不等式（组） 求解. 课 中 探 究 20 课后习题 21 1.“”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 因为是的真子集，所以“”是“ ” 的充分不必要条件．故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 2.“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 根据相似三角形的性质得，由“两个三角形相似”可得到“两个三角形的三边对应成比例”，即充分性成立； 反之，由“两个三角形的三边对应成比例”可得到“两个三角形相似”，即必要性成立. 所以“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的充要条件.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 3.已知，，则是 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 由，得 ，因为集合 ，所以，且 ，故充分性成立，必要性不成立，所以是 的充分不必要条件.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 4.[2026·北理工附中高一月考]若,，则“”是“ ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 由，可得，故充分性成立；由 ，可得，故必要性成立. 所以“”是“ ”的充要条件.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 5.（多选题） 的一个充分不必要条件可以是( ) A., B. C., D., [解析] 由，可以推出 ，反之推不出，故A满足题意. 当,时，满足，但不满足 ，故B不满足题意. 由，可以推出 ，反之推不出，故C满足题意. 由，可以推出，反之推不出，故D满足题意.故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 6.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关闭合”是“灯泡 亮” 的必要不充分条件的一个电路图是 ( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，“开关闭合”是“灯泡 亮”的充分不必要条件; 对于B， “开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件; 对于C，“开关闭合”是“灯泡 亮”的必要不充分条件; 对于D，“开关闭合”是“灯泡 亮”的既不充分也不必要条件.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 7.对任意实数，， ，下列结论正确的是______. ①“”是“ ”的充要条件； ②“是无理数”是“ 是无理数”的充要条件； ③“”是“ ”的充要条件； ④“”是“ ”的必要条件. ②④ [解析] “”能推出“”，当时， 不能推出，故①错误； “是无理数”能推出“ 是无理数”，反之也能推出，故②正确； 当，时，成立， 不成立，故③错误； 推不出，能推出 ，故④正确.故填②④. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 8.设，，若是 的必要不充分条件，则 实数 的取值范围是_ _________. [解析] 因为，，是 的必要不充分条件，所以且两个等号不同时成立，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 9.（13分）指出下列各题中是 的什么条件（在“充分不必要条件”“必 要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答）. （1）， ； 解： ，但 ，故是 的充分不必要条件. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 9.（13分）指出下列各题中是 的什么条件（在“充分不必要条件”“必 要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答）. （2）两个三角形相似， 两个三角形全等； 解：两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似，故是 的必要不充分条件. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 9.（13分）指出下列各题中是 的什么条件（在“充分不必要条件”“必 要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答）. （3）关于的方程 有两个不相等的实数根, ; 解：由 有两个不相等的实数根,知且,得且,即 ; 反之,当时,方程只有一个实数根,即. 故是 的充分不必要条件. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 9.（13分）指出下列各题中是 的什么条件（在“充分不必要条件”“必 要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答）. （4）, . 解：因为,所以是 的充要条件. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 10.已知是的充分条件，是的充分不必要条件，是 的必要条 件，是的必要条件，现有下列命题：是 的必要不充分条件； 是的充分不必要条件；是的充分不必要条件；是 的 充要条件.其中所有的真命题是( ) A.①④ B.②③ C.③ D.④ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 [解析] 因为是的充分条件，所以. 因为是 的充分不必要条件，所以，. 因为是的必要条件，所以.因为是 的必要条件，所以. 由，，可得 ，则是的充要条件，命题①为假命题；是 的充要条件，命题②为假命题； 因为，，所以，，故是 的充分不必要条件，命题③为真命题； 易得，，所以是 的必要不充分条件，命题④为假命题.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 11.（多选题）下列选项中，是 的充要条件的是( ) A.， B.， C.，方程 有实数根 D.或， √ √ [解析] 对于A，由可知或，由可知且,故 不是的充要条件; 对于B，由知, 要么同为正数,要么同为负数,要么至少有一个为零,故,故是 的充要条件; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 对于C，由方程有实数根,得判别式 ,即,所以是的充要条件; 对于D，因为,所以不是 的充要条件.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 12.设集合，，或 ， 则“”是“ ”的______条件.（填“充分不必要”“必要不 充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 充要 [解析] 由题意可得或，即 ，所以“”是“ ”的充要条件. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 13.若，都是实数,则“， 至少有一个为0”的充要条件是____.试从 ;;; 中选出一个适合 的条件,用序号填空. ① [解析] 对于①，或,即， 至少有一个为0，故①满足题意; 对于②，，互为相反数,则， 可能均为0,也可能为一正一负，故②不满足题意; 对于③，或 故③不满足题意； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 对于④，或则， 都不为0，故④不满足题意.故填①. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 14.（15分）求方程 有两个同号且不相等的实数根 的充要条件. 解：若方程 有两个同号且不相等的实数根，则解得 ， 故方程 有两个同号且不相等的实数根的必要条件为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 反之，若，则， 方程有两个不相等的实数根，设两根为， ，则，由得，， 同号，即充分性成立. 因此方程 有两个同号且不相等的实数根的充要条件是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.[2026·永州一中高一月考] 若实数,满足,，且 ， 则称与互补.记，那么“ ”是“ 与 互补”的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或 “既不充分也不必要”） 充要 [解析] 若，则 ，两边平方可得，结合，知, 至少有一个为0，另一个为非负数，故,，即与互补； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 若与 互补，易得，故,至少有一个为0，且，，若， ，此时，若， ，此时，即. 故“ ”是“与 互补”的充要条件. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 16.（15分）［教材P23习题1.4第6题节选］设，，分别是 的内角，，所对的边，且，则 为直角三角形的 充要条件是.试用边长，，探究 为 锐角三角形的一个充要条件，并证明. 证明： 为锐角三角形的充要条件为 . 充分性：若，则 不是直角三角形. 若为钝角三角形，则 ，过作的垂线，交 的延长线于点 （如图①）， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 由勾股定理知 ，矛盾，故 为锐角三角形，充分性成立. 必要性：若为锐角三角形，则为锐角， 过点作边 的垂线，交边于点（如图②）， 由勾股定理知， ，故必要性成立. 故为锐角三角形的充要条件为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 $