1.1 集合的概念（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件围绕集合的概念展开，涵盖元素与集合的含义、特性及表示法。通过课前预习的诊断分析题引导学生回顾旧知，课中探究以例题和变式题逐步深入，构建从基础认知到能力提升的学习支架。 其亮点在于结合数学眼光、数学思维和数学语言，通过“很喜欢足球的同学能否组成集合”等实例培养抽象能力，利用元素互异性求参数等问题发展推理意识，规范符号语言表达集合。采用诊断分析与变式训练结合的教学方法，素养小结提炼关键，助力学生提升数学素养，为教师提供系统教学资源。

1.1 集合的概念 1 探究点一 元素与集合的含义 探究点二 集合中元素的特性 探究点三 集合的表示 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 2 【学习目标】 1.了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系. 2.能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合. 3 知识点一 元素与集合的含义 1.元素的含义与表示:一般地,我们把研究对象统称为______,用小写拉 丁字母,,, 表示. 2.集合的含义与表示：把一些元素____________叫作集合 （简称为集），通常用大写拉丁字母,,, 表示. 3.集合元素的特性：______性、______性、无序性. 元素 组成的总体 确定 互异 课 前 预 习 4 4.集合相等：只要构成两个集合的______是一样的，我们就称这两个 集合是相等的. 元素 5.元素与集合的关系：如果是集合中的元素，就说______集合 ， 记作_______；如果____________________，就说不属于集合 ，记 作______. 属于 不是集合中的元素 课 前 预 习 5 6.常用数集及其记法: 常见的数集 符号表示 自然数集 ___ 正整数集 ____或____ 整数集 ___ 有理数集 ___ 实数集 ___ 课 前 预 习 6 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）中国著名的科学家可以组成一个集合.( ) × [解析] 中国著名的科学家是不确定的,不能组成集合. （2）参加2026年冬奥会的国家和地区代表团可以组成一个集合.( ) √ [解析] 参加2026年冬奥会的国家和地区代表团是确定的,可以组成一个集合. 课 前 预 习 7 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）不超过 的实数可以组成一个集合.( ) √ [解析] 任给一个实数,可以明确地判断是不是“不超过 的实数”, 故不超过 的实数可以组成一个集合. 课 前 预 习 8 2.某中学高一年级共8个班,这8个班组成一个集合 . （1）高一（2）班、高二（8）班是集合 中的元素吗? 解：因为集合 是由高一年级的8个班组成的,所以高一（2）班是集合中的元素,高二（8）班不是集合 中的元素. （2）若,,则元素, 有什么关系?为什么? 解：,是高一年级的8个班中两个不同的班. 因为集合 中的元素具有互异性,所以与 是不同的班. 课 前 预 习 9 知识点二 集合的表示法 1.列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用_____________括起 来表示集合的方法叫作列举法（注意元素间要用“,”隔开,如 ,0,1, ）. 花括号“” 2.描述法:设是一个集合,把集合中所有具有______特征的元素 所组成的集合表示为_____________,这种表示集合的方法称为描述法. 共同 课 前 预 习 10 【诊断分析】 1.方程 的实数根组成的集合中有多少个元素？并 用适当的方法表示这个集合. 解：解方程，可得或 ，故方程 的实数根组成的集合中有2个元素，分别是 ,2. 用列举法表示这个集合为, . 课 前 预 习 11 2.由抛物线 上的点组成的集合中有多少个元素？并用适当的方 法表示这个集合. 解：由抛物线 上的点组成的集合中有无限个元素，用描述法表示这个集合为， }. 课 前 预 习 12 探究点一 元素与集合的含义 例1 下列各项中，不可以组成集合的是( ) A.所有的正数 B.方程 的实数根 C.2025年第四季度见义勇为勇士榜上榜勇士 D.我校很喜欢足球的同学 [解析] 集合中的元素需满足确定性、互异性、无序性. 因为“我校很喜欢足球的同学”中的“很喜欢”没有明确的判定标准,是不确定的,所以不能组成集合,故选D. √ 课 中 探 究 13 变式 （多选题）下列各项中，不能组成集合的是( ) A.无限接近0的实数 B.周长为 的三角形 C.高一（1）班视力比较好的同学 D.参加中国共产党第二十届三中全会的全体代表 √ √ 课 中 探 究 14 [解析] 根据集合中元素的确定性可知,对于选项A,C中的“无限接近0的实数”“高一（1）班视力比较好的同学”均没有判定标准,不满足确定性,故A,C均不能组成集合; 对于选项B，周长为 的三角形具有确定性，只是数量有无限个，故B能组成集合； 对于选项D,“参加中国共产党第二十届三中全会的全体代表”有统一的判定标准,满足确定性,故D能组成集合.故选 . 课 中 探 究 15 例2（1）用符号“ ”或“ ”填空：0___；___；2.4___； ___ ；4___ . [解析] 因为是自然数集，是有理数集，是整数集，所以 , ,,, . 课 中 探 究 16 （2）已知集合 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 对于A选项，若，则 ，可得，所以 ，故A错误； 对于B选项， ，故B错误； 对于C选项， ，故C正确； 对于D选项， ，故D错误.故选C. √ 课 中 探 究 17 变式（1）下列元素与集合的关系中，正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 表示自然数集，不是自然数，故A错误； 表示正整数集，0不是正整数，故B正确； 表示有理数集， 不是有理数，故C错误； 表示实数集， 是实数，故D错误.故选B. √ 课 中 探 究 18 （2）（多选题）下列说法正确的是( ) A. 中最小的数是1 B.若，则 C.若，，，则 的最小值是3 D. 的实数解组成的集合中含有2个元素 [解析] 对于A，中最小的数是1，故A正确；对于B， ，且，故B错误；对于C，若，，，则 的最小值是，故C正确； 对于D， 的实数解组成的集合中含有一个元素2，故D错误．故选 . √ √ 课 中 探 究 19 （3）设集合满足：；②若，则.已知 ， 则 中必含有的元素是_ ____________. ，，，3 [解析] 由，得；由，得 ； 由，得；由，得. 所以 中必含有的元素是，， ，3. 课 中 探 究 20 ［素养小结］ （1）判断元素能否组成集合，关键是集合中元素的确定性，即能否 找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素，若标准 明确则可以组成集合，否则不可以. （2）判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足 该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属 于”关系.特别注意，符号“<m></m> ”与“<m></m> ”只表示元素与集合的关系. 课 中 探 究 21 探究点二 集合中元素的特性 例3（1）若以集合中的四个元素,,,（,,, 均为正数）为边长 构成一个四边形,则这个四边形可能是( ) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 [解析] 由题知,,, 四个元素互不相同,则它们组成的四边形的四条边长都不相等.故选A. √ 课 中 探 究 22 （2）已知集合中有三个元素0,,,且 ，则实数 ___. 1 [解析] 若，则或. 当 时，，此时 ，不满足集合中元素的互异性； 当时，，此时，集合,, .因此，实数 . 课 中 探 究 23 变式（1）已知集合中含有三个元素,,1,集合 中含有三个元 素,,,且与中的元素相同,则实数 的值为____. [解析] 与中的元素相同,或 解得. 当时,不符合集合中元素的互异性, . 课 中 探 究 24 （2）若集合中只含有一个元素，则 的值为 _ ________． 或 [解析] 由题意知 只有一个实数根. ①当时，即为，解得 ，此时集合即为，故 ； ②当时，由，得 ，此时集合 即为，故. 所以的值为 或 . 课 中 探 究 25 ［素养小结］ （1）对于求集合中字母参数的问题,常根据集合中元素的确定性得出 字母的所有可能取值,再利用集合中元素的互异性进行检验. （2）在利用集合中元素的特性解题时常用分类讨论思想,注意分类的 标准要明确. 课 中 探 究 26 探究点三 集合的表示 角度1 列举法表示集合 例4 用列举法表示下列集合. （1）中国的直辖市组成的集合; 解：中国的直辖市组成的集合为{北京市，天津市，上海市，重庆市}. （2）15的正约数组成的集合; 解：15的正约数组成的集合为 . 课 中 探 究 27 例4 用列举法表示下列集合. （3）满足且 的数组成的集合； 解：因为,,所以, ,0,1,2,3,所以所求集合为 ,,0,1,2, . （4）直线与 的交点组成的集合. 解：由解得即两直线的交点为 ,故所求集合为 . 课 中 探 究 28 ［素养小结］ 用列举法表示集合应注意的三点： （1）应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素； （2）集合中的元素一定要写全，但不能重复； （3）若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示 一个元素. 课 中 探 究 29 角度2 描述法表示集合 例5 用描述法表示下列集合. （1）二次函数的函数值组成的集合 ； 解：函数值组成的集合就是 的取值组成的集合，所以， }. （2）被3除余2的正整数组成的集合 ； 解：设被3除余2的正整数为,则, ,所以, }. 课 中 探 究 30 例5 用描述法表示下列集合. （3）正奇数组成的集合 . 解：正奇数可用式子, 表示,所以, . 课 中 探 究 31 变式 用适当的方法表示下列集合. （1）中国古代四大发明组成的集合； 解：中国古代四大发明组成的集合为{造纸术，印刷术，指南针，火药}. （2）二次函数 的函数值组成的集合； 解：二次函数的函数值组成的集合为 , . 课 中 探 究 32 变式 用适当的方法表示下列集合. （3）方程 的所有实数解组成的集合； 解：由得或,所以方程 的所有实数解组成的集合为 . （4）不等式 的解组成的集合. 解：由，得，所以不等式 的解组成的集合为 . 课 中 探 究 33 ［素养小结］ （1）用描述法表示集合，应先弄清集合的属性，是数集、点集还是 其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个 有序实数对来代表其元素. （2）若描述部分出现元素记号以外的字母时，则要对新字母说明其 含义或指出其取值范围. 课 中 探 究 34 课后习题 35 1.下列对象的全体可以组成集合的是( ) A.人口密度大的国家 B.所有美丽的城市 C.地球上的四大洋 D.优秀的高中生 [解析] 由题意，选项A,B,D都不满足集合元素的确定性，选项C中的元素是确定的，可以组成集合.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 2.下列表述中正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 是点集，是数集，故A错误； 是含有元素0的集合，空集是不含任何元素的集合，故B错误； 0是自然数，所以 ，故C正确； 是有理数，所以 ，故D错误.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 3.集合 的另一种表示方法是( ) A. B. C. D. [解析] 且， 的值可以为0,1,2,3,4，故集合用列举法表示为 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 4.英文单词 的所有字母组成的集合中共有( ) A.6个元素 B.7个元素 C.8个元素 D.9个元素 [解析] 的所有字母组成的集合是由,,,,, 组成的,共有6个元素.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 5.集合,，,，且与 中元素相同，则实 数 ( ) A.3 B. C.3或 D.1 [解析] 集合,，,，与 中元素相同，，即，解得或 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 6.（多选题）已知集合 中只有1个元 素，则 的取值可能为( ) A.0 B.2 C. D.4 [解析] 当时，，满足题意；当 时，由题意知，即，解得 或.故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 7.集合 用列举法表示为____________. ,,4, [解析] 当时，;当时，;当时， ; 当时，;当时，；当时， . 故,,4, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 8.已知集合,集合,, ,则 中所含元素的个数为____. 10 [解析] 由题知集合,,,,,,, , , ,共含10个元素. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 9.（13分）用适当的方法表示下列集合. （1）由小于8的所有自然数组成的集合； 解：用列举法可表示为 ，用描述法可表示为 . （2）被7除余3的所有自然数组成的集合; 解：由题意，设被7除的商为 ，余数为3，则这个数可表示为， ，所以被7除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为, }. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 9.（13分）用适当的方法表示下列集合. （3）方程 的解集. 解：由，得解得 所以方程 的解集用描述法可表示为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 10.已知集合， ，， ， ，则( ) A.与相等 B.与相等 C.与相等 D.与 相等 [解析] 是单元素集，集合中的元素是 ，， ，中的元素是点，，与 相等. 故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 11.（多选题）已知集合, ，则下列说 法正确的是( ) A.若，则 B.若，则 有两个子集 C.若中只有一个元素，则 D.不可能为 √ √ [解析] 对于A，若，则，解得 ，A正确； 对于B，若，则，解得，集合 有两个子集，B正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 对于C，若集合中只有一个元素，则当 时，，符合题意，当时，有 ，解得，故当中只有一个元素时， 或1，C错误； 对于D，若 ，则关于的方程 无实数解，所以解得，故当时， ，D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 12.若集合是不等式的解集,且,则实数 的取值范围是 ______. [解析] ,,即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 13.含有三个实数的集合可表示为,也可以表示为,, , 则 的值为____. [解析] 由题意知,若,则 ,检验可知不满足集合中元素的互异性,所以,则, 此时,可得,集合为 , 0,,满足题意,故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 14.（15分）已知集合, }. （1）若，求集合 ； 解：因为，所以，所以 . 由，解得或，所以, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 14.（15分）已知集合, }. （2）若中至多有一个元素，求实数 的取值范围. 解：当时，，解得，所以 ，符合题意； 当时，要使关于的方程 无解或仅有一个解，只需，解得. 综上所述， 的取值范围是或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 15.已知集合,,, , ,，且, ,则( ) A. B. C. D.以上都不对 [解析] 因为,，所以,，, ，所以,其中,, ，故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 16.已知,，集合 有3个 元素，则 的一个值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 [解析] 由题意得 有3个正因数，而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方，设为质数，则，此时正因数为1,, ， ,，，则或3， 的值为4或9.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 $