1.5.2　点到直线的距离分层同步练习-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 练习围绕“点到直线的距离”分三级设计，基础层夯实公式应用，提升层强化综合能力，创新层发展学科素养，梯度清晰适配新授课教学。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|点到直线距离公式、平行直线距离、参数计算|直接应用公式，含选择、填空、证明，夯实运算能力| |B级|距离相等条件、最短距离、动态距离|结合几何情境，如两点距离相等、线段最短，培养推理意识| |C级|梯形面积、集合与距离最小值|创新情境，如直线平移面积问题、含参数距离模型，发展创新意识|

1.5.2　点到直线的距离 A级　必备知识基础练 1.原点到直线x＋2y－5=0的距离为(　　) A.1　　 B．　　 C.2　　 D． 2.已知直线5x＋12y－3=0与直线10x＋my＋20=0平行，则它们之间的距离是(　　) A．1　　 B．2　　 C．　　 D．4 3.(2025常州高二月考)已知点P(－1，2)到直线l：4x－3y＋m=0的距离为1，则m的值为(　　) A．－5或－15　　 B．－5或15 C．5或－15　　 D．5或15 4.“C=5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C=0的距离为3”的(　　) A．充要条件 B．充分且不必要条件 C．必要且不充分条件 D．既不充分又不必要条件 5.(多选题)若直线l1与直线l：3x－4y－20=0平行且距离为3，则直线l1的方程为(　　) A.3x－4y－5=0　　 B.3x－4y－35=0 C.3x－4y－23=0　　 D.3x－4y－17=0 6.(2025无锡高二质检)若两条平行直线l1：x－2y＋m=0(m＞0)与l2：2x＋ny－6=0之间的距离是2，则m＋n=　　　　． 7.已知点P(2，－1)，则过点P与原点距离最大的直线l的方程为　　　　，最大距离为　　　　． 8.求证：两条平行直线Ax＋By＋C1=0与Ax＋By＋C2=0间的距离d=． 9.已知点P(2，－1)． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线的方程． (2)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由． B级　关键能力提升练 10.已知A(－2，0)，B(4，a)两点到直线l：3x－4y＋1=0的距离相等，则a=(　　) A．2　　 B．　　 C．2或－8　　 D．2或 11.已知点A(0，1)，点B在直线x＋y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为(　　) A．(－，)　　 B．(，－) C．(－1，1)　　 D．(－，) 12.若直线m被两平行线l1：x－y＋1=0与l2：x－y＋3=0所截得的线段的长为2，则直线m的倾斜角为　　　　． 13.(2025苏州高二月考)已知实数x，y满足2x＋y＋5=0，那么的最小值为　　　　． 14.两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B同时旋转(旋转过程中两直线保持平行)，设两条平行直线间的距离为d． (1)求d的变化范围； (2)当d取最大值时，求两条直线的方程． C级　学科素养创新练 15.如图，已知直线l1：x＋y－1=0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l2的方程为　　 ． 16.设集合A={l|与直线y=2x相交且以交点的横坐标为斜率}． (1)点(－2，0)到A中哪条直线距离最小？ (2)设P(－2，a)，点P到A中直线距离的最小值设为d(a)，求d(a)． 答案： 1.D　2.A 3.D　解析　∵点P(－1，2)到直线l：4x－3y＋m=0的距离为1， ∴=1，解得m=5或m=15.故选D． 4.B　解析　因为点(2，1)到直线3x＋4y＋C=0的距离为3，所以=3，解得C=5或C=－25.因此，“C=5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C=0的距离为3”的充分且不必要条件．故选B． 5.AB　解析　设l1的方程为3x－4y＋m=0． 由题意得=3，解得m=－5或m=－35，所以l1的方程为3x－4y－5=0或3x－4y－35=0.故选AB． 6.3　解析　因为直线l1：x－2y＋m=0(m＞0)与l2：2x＋ny－6=0平行，所以=≠，解得n=－4且m≠－3，所以直线l2为2x－4y－6=0. 因为直线l1：x－2y＋m=0(m＞0)化为2x－4y＋2m=0(m＞0)，两平行线间的距离为2，所以=2，得|2m＋6|=20，因为m＞0，所以2m＋6=20，得m=7，所以m＋n=7－4=3，故答案为3. 7.2x－y－5=0　　解析　由l⊥OP，得kl•kOP=－1，所以kl=－=2， 由直线方程的点斜式得y＋1=2(x－2)，即2x－y－5=0，即直线2x－y－5=0是过点P与原点O距离最大的直线，最大距离为=． 8.证明 在直线Ax＋By＋C1=0上任意取一点P(x0，y0)， 则点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2=0的距离就是这两条平行直线间的距离，即d=． 因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1=0上，所以Ax0＋By0＋C1=0，即Ax0＋By0=－C1， 因此d===． 9.解　(1)①当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y＋1=k(x－2)，即kx－y－2k－1=0. 根据题意，得=2，解得k=，所以直线方程为3x－4y－10=0. 故符合题意的直线方程为x－2=0或3x－4y－10=0. (2)不存在． 过点P且与原点的距离最大的直线为过点P且与OP垂直的直线，此时最大距离为|OP|==，而6＞，故不存在这样的直线． 10.D　解析　①若A(－2，0)，B(4，a)在l：3x－4y＋1=0的同侧，则kAB=kl=，所以=，a=． ②若A(－2，0)，B(4，a)在l：3x－4y＋1=0的异侧，则A(－2，0)，B(4，a)的中点(1，)在直线l：3x－4y＋1=0上， 所以4－2a=0，解得a=2. 11.A　解析　因为点B在直线x＋y=0上运动，所以可设点B的坐标是(m，－m)，当线段AB垂直直线x＋y=0时，线段AB最短． 由直线x＋y=0得其斜率为－1，则×(－1)=－1，得m=－，所以点B的坐标是(－，)． 12.30°或90°　解析　如图，设直线m与两平行线l1，l2的交点分别为C，A，过点A作l1的垂线，垂足为B，两平行线间的距离d==1，则|AB|=1，又|AC|=2，所以直线m与两平行线的夹角θ满足sin θ=，则θ=30°，因为两平行线斜率为，所以倾斜角为60°，所以直线m的倾斜角为30°或90°． 13.　解析　表示直线2x＋y＋5=0上的动点到点(0，－3)的距离，过点(0，－3)向直线2x＋y＋5=0作垂线，由垂线段最短知的最小值为点(0，－3)到直线2x＋y＋5=0的距离，即=． 14.解　(1)如图所示，显然有0＜d≤|AB|， 而|AB|==3， 故d的变化范围为(0，3]． (2)当d取最大值时，两条平行直线都垂直于AB， 所以k=－=－=－3， 故所求直线方程分别为y－2=－3(x－6)，y＋1=－3(x＋3)， 即3x＋y－20=0和3x＋y＋10=0. 15.x＋y－3=0　解析　设l2的方程为y=－x＋b(b＞1)，则题图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)． 所以AD=，BC=b． 梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h==(b＞1)， 由梯形面积公式得×=4，所以b2=9，b=±3. 又b＞1，所以b=3. 故所求直线l2的方程是x＋y－3=0． 16.解　(1)设交点为(k，2k)，则直线l的方程为y－2k=k(x－k)，即kx－y－k2＋2k=0. 点(－2，0)到直线l的距离d==－关于k2单调递增，所以，当k=0时，距离最小为0，此时直线l的方程为y=0. (2)因为d(a)===， 设t=k2＋1≥1，d(a)=f(t)=，所以， 当(a－1)2≥1，即a≥2或a≤0时， d(a)== 当(a－1)2＜1，即0＜a＜2时，f(t)在[1，＋∞)上单调递增，d(a)=f(1)=|a|=a． 综上，d(a)= 学科网（北京）股份有限公司 $