专题36 圆内常见的辅助线添加方法（14种方法，重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学讲义通过系统梳理垂径定理、圆周角定理等核心知识，以框架图形式呈现14种圆内辅助线添加方法与定理的内在联系，突出辅助线添加的原理和逻辑关系，明确重难点分布。 讲义亮点在于14种题型分类设计，每种题型配典例与变式，如“连半径构造等腰三角形”“作直径所对圆周角构造直角三角形”，培养几何直观和推理意识。巩固与强化训练分层设置，助力学生掌握方法，教师可实施精准教学。

专题36 圆内常见的辅助线添加方法(14种方法） 一、素养目标 1.理解圆内常见辅助线的添加方法，能够运用辅助线解决与圆相关的角度计算，线段长度计算等问题。 2.经历添加辅助线解决问题的过程，掌握解决圆内问题的一般思路和方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养逻辑思维能力和空间想象能力 二、重点与难点 重点：掌握圆内常见辅助线的添加方法及应用；利用辅助线解决圆内几何问题 难点：根据具体问题情境，灵活选择合适的辅助线添加方法，理解添加辅助线背后的数学原理和逻辑关系。 一、垂径定理及其推论 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 （2）推论1： ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 （2）推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 二、弧、弦、圆心角之间的关系定理 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 三、圆周角定理及其推论 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （1）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； （2）推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； （3）推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 四、圆的对称性 （1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； （2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 五、切线的性质定理、判定定理及切线长定理 （1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 （3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 题型01连半径——构造等腰三角形 【典例】如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N． (1)求证：与相切； (2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离． 【答案】(1) 证明：连接， 为的中点，是中点， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 是切线， ， ， ， 是切线； (2)如图所示， 点F到直线的距离为：或． 【分析】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得，根据直径所对的圆周角是直角得出进而得出，证明，得出即可得证； （2）分点在以及半圆上分别作出图形，根据含角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：当点在上时，连接，交于点G， ， ， ， ， ， 直径， ， ， ， ； 当点在半圆上时，过点作，垂足为点，，垂足为点， 四边形是矩形， 在中，， ， ，， ， ， ， ， 综上所述，点到直线的距离为：或． 【变式】如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到． 【详解】解：连接，如图， ∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弦， ∴． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 题型02作弦心矩——构造直角三角形 【典例】已知的半径为5，是的弦，点P在弦上，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点O作于点C，根据垂径定理可得，即可求得，再利用勾股定理求得的值，再利用勾股定理即可求得的值． 【详解】如图，过点O作于点C，连接，则，   ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得： ， 在中，根据勾股定理得： , 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理和勾股定理，正确作辅助线，熟练利用勾股定理是解题的关键． 【变式】如图，是的直径，是的弦，，将沿着折叠后恰好经过点O，则的长为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】如图所示，过点O作于E，交于D，连接，由垂径定理得到，再根据折叠的性质得到，由此在中，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于E，交于D，连接， ∴， ∵，将沿着折叠后恰好经过点O， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 题型03作直径所对的圆周角——构造直角三角形 【典例】如图，已知⊙O 的直径为 8cm，A、B、C 三点在⊙O 上，且∠ACB＝30°，则 AB 的长为_________． 【答案】4cm 【分析】作直径AD，连接BD，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，∠D=∠ACB=30°，根据直角三角形的性质解答． 【详解】作直径AD，连接BD， ∴∠ABD=90°， 由圆周角定理得，∠D=∠ACB=30°， ∴AB=AD=4cm， 故答案为：4cm． 【点睛】此题考查圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 【变式】如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠ACE＋∠BDE等于(　　) A．60° B．75° C．90° D．120° 【答案】C 【详解】连接AD，则有∠ADE=∠ACE， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°，即∠ADE+∠BDE=90°， ∴∠ADE+∠BDE=90°， 故选C． 题型04遇90°的圆周角时作直径——转移思想 【典例】如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，连接，根据直角所对的弦为直径，以及同弧所对的圆周角相等，得到为直径，，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵，，， ∴， ∴的半径为； 故选A． 【变式】如图，点，，，在上，，，，则的长为_____．    【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理和含的直角边是斜边的一半，连接，可 得是直角三角形，利用圆周角定理可得，利用含的直角边是斜边的一半得出，在中利用勾股定理即可求出的长，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键． 【详解】连接， 如图所示，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中由勾股定理得：， 故答案为：． 题型05作弦——构造圆内接四边形 【典例】如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理的推论、圆的内接四边形对角互补等知识，解题关键是牢记相关概念并灵活运用．连接，先利用直径所对的圆周角是直角求出，然后求出，再利用圆的内接四边形的对角互补即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式】如图，点A、B、C、D、E在上，且为40°，则的度数为________． 【答案】160 【分析】本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构造内接四边形是解题的关键． 连接，先求得，根据圆内接四边形的性质得出，即可求得． 【详解】解：如图，连接， ∵为， ∴， ∵点B、C、D、E在上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：160． 题型06证切线时，有公共点——连半径，证垂直 【典例】如图，在△ABC中，，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作，交AB的延长线于E，垂足为F．求证：直线DE是的切线． 【答案】 证明：连接OD，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴直线DE是的切线． 【分析】连接OD，如图，根据等腰三角形的性质，由得，由得，则，于是根据平行线的判定得到，加上，所以，然后根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线． 【变式】如图，以的边为直径的半圆分别交于点D，E，已知，过点作于点． 求证：是的切线； 【分析】本题主要考查切线的判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 连接，由同弧所对的圆周角相等得到，再由等边对等角推出，则，进一步可证明即可证明是的切线； 【详解】证明：连接，如图所示： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵是的半径， ∴是的切线； (2)； 题型07证切线时，无公共点——作垂直，证半径 【典例】如图，在中，，的平分线交于点，为上的一点，，以为圆心，长为半径作，，．    (1)求证：是的切线； (2)求线段的长． 【答案】(1) 证明：过点作于，如图所示，    ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线； (2)16 【分析】（1）过点D作于F，根据和角平分线的性质可得，从而证得结论； （2）首先证明，进而得证，再由，可知． 【详解】（1）略 （2）在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，直角三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径画圆． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）若AB＝12，BC＝9．求⊙D的半径． 【思路引领】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线． （2）根据勾股定理求出AC＝15，然后根据切线长定理可得AF＝AB＝12，利用勾股定理即可求出半径． 【完整解答】（1）证明：过点D作DF⊥AC于F； ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B＝90°， ∴AB⊥BC， ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD＝DF， ∴AC与⊙D相切； （2）解：∵AB＝12，BC＝9， ∴AC15， ∵AC与⊙D相切，AB与⊙D相切， ∴AB＝AF＝12， ∴CF＝AC﹣AF＝15﹣12＝3， ∵DC＝BC﹣BD＝9﹣DF， 在Rt△DCF中，根据勾股定理得： DF2+FC2＝DC2， ∴DF2+32＝（9﹣DF）2， ∴DF＝4． ∴⊙D的半径为4． 【总结提升】本题考查的是切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；及全等三角形的判断，全等三角形的对应边相等． 题型08有弦的中点时——构造三角形中位线 【典例】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD＝5，AB＝6，则EF的最大值为_______，此时CE的长度为______． 【答案】 3 【分析】如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．由三角形的中位线定理可知DH＝2EF，推出DH是直径时，EF的值最大． 【详解】解：如图，延长CE交⊙O于H，连接DH． ∵AB⊥CH， ∴EC＝EH， ∵CF＝FD， ∴EF＝DH， ∴当DH在直径时，EF的值最大，此时∠DCH＝90°， ∴, ∴CH＝， ∴CE＝， ∴EF最大时，EC的长为， 故答案为：3；． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型． 【变式】如图，在半径为2的扇形中，，点C是弧上的一个动点（不与点A、B重合），，垂足分别为D、E． (1)当时，求线段的长； (2)在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； (3)在中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，中，的长度保持不变为 (3)存在，中，的度数保持不变为 【分析】（1）根据垂径定理，可得BD的长度，根据勾股定理，可得答案； （2）利用三角形的中位线定理即可解决问题； （3）利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）∵ ∴ 在中． （2）存在， 连接 ∵ ∴， ∴ ∴中，的长度保持不变为． （3）存在， 连接 ∵， ∴ 同理： ∵ ∴ ∴ ∴中，的度数保持不变为 【点睛】该命题以圆为载体，在考查垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理的同时，还渗透了对动态观念、直觉思维等能力的考查；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 题型09有切线，连接圆心与切点——构造直角三角形 【典例】如图，AB为的直径，PQ切于E，于C．交于D． （1）求证：AE平分； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接OE，根据切线的性质就可以得出OE⊥PQ，就可以得出OE∥AC，可以得出∠BAE=∠CAE而得出结论； （2）过点O作OM⊥AC于M，由垂径定理求出AM=2，在直角△AOM中根据勾股定理就可以求出半径OA． 【详解】（1）证明：连接OE， ∴， ∴， ∵PQ切于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴AE平分． （2）解：过点O作于M， ∴， 又∵， ∴四边形OECM为矩形， ∴， 在中， ， 即的半径为 【点睛】本题考查了角平分线的判定及性质，切线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定及性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【变式】如图，为的直径，C、D为上的点，直线切于C点，图中与互余的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，余角的定义，连接，由切线的性质得到，则，再由等边对等角得到，则，根据同弧所对的圆周角相等得到，则，由直径所对的圆周角是直角得到，则，再根据度数之和为90度的两个角互为余角即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵直线切于C点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵度数之和为90度的两个角互为余角， ∴图中与互余的角有，共3个， 故选：C． 题型10遇三角形内心，作边的垂线——构造直角三角形 【典例】如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙两人有如下判断：甲：：乙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的的是（　　） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形的内心，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键正确的作出辅助线构造全等三角形，难点是在解答的周长最小时，将三角形的各边都用表示，并根据垂线段最短来判断．连接，过点作于，于，依据“”判定和全等，从而得出，然后再根据四边形的内角和等于即可对甲的说法进行判断；过点作于点，则，根据得，进而得，据此得的周长为，只有当最小时，的周长为最小，然后根据“垂线段最短”可对乙的说法进行判断． 【详解】解：连接，过点作于，于， 点为的内心， 是的平分线， 又，， ， 在和中， ， ， ， 在四边形中，， ， 又， ， 即：， ， 即：， 故甲的说法正确； 过点作于点， ， 是的平分线，， ， 又甲的说法正确； ， ， 在中，， ， ， 的周长为：， 当最小时，的周长为最小， 根据“垂线段最短”可知：当时，的周长为最小， ， 与一定不垂直， 不是最小， 的周长不是最小， 故乙的说法不正确． 故选：A． 【变式】如图，在中，，点分别是的内心和外心，则的长为（    ） A．3 B．2.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内心和外心，连接，，，过向三边作垂线，垂足分别为、、，由内心和外心，可得平分，平分，平分，是的中点，则， ，，得到四边形是正方形， ，则，，根据列方程解得，即可得到， ，最后根据计算即可． 【详解】解：连接，，，过向三边作垂线，垂足分别为、、， ∵在中，， ∴， ∵点分别是的内心和外心， ∴平分，平分，平分，是的中点， ∴，， ∵过向三边作垂线，垂足分别为、、， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，， ∵，，， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 题型11图中有内切圆，常连接切点和定点 【典例】如图，在中，，，，则的内切圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、三角形面积公式，由勾股定理求出，设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与边的切点为，连接，，，，，，圆的半径为，则，，，，再由等面积法得出，即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与边的切点为，连接，，，，，，圆的半径为， ， 则，，，， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式】如图，的内切圆与、、相切于点、、，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内切三角形的性质，切线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，切线长定理等，连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，接下来设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案． 【详解】解：连接，，，，，． ∵的内切圆与、、相切于点、、， ∴，且，，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ， 即， 解得， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 故选：C． 题型12定点定长——构造辅助圆 【典例】如图，四边形，则______． 【答案】/35度 【分析】先证明点B、C、D在以A点为圆心，为半径的圆上，利用圆周角定理，求得，设，则，利用等腰三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴点B、C、D在以A点为圆心，为半径的圆上，    ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，解得， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，等边对等角等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，学会用转化的思想思考问题． 【变式】如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为 　　 ． 【分析】过点A作AH⊥BC于H，利用解直角三角形得AH＝AB•sin∠ABC＝2，BH＝AB•cos∠ABC＝2，CH＝BC﹣BH＝4，由勾股定理得AC＝2，再由AQ＝AB＝4，可得点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，即当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝24． 【详解】解：如图3，过点A作AH⊥BC于H，连接AC， ∵AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°， 则AH＝AB•sin∠ABC＝4sin60°＝2，BH＝AB•cos∠ABC＝4cos60°＝2， ∴CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4， 在Rt△ACH中，AC2， ∵点B与点Q关于直线AP对称， ∴AQ＝AB＝4， ∴点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上， ∴当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝24， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的有关知识，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 题型13定角定弦——构造辅助圆 【典例】如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形中，求出，得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，求出和的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明是定值，从而得到点的轨迹． 【详解】解：四边形是正方形， ， 在凹四边形中，，，， 始终为， 得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，， ， 由解图可得，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【变式】如图，已知中，，，，点E在射线上运动，连接，过点A，B，E三点的圆交于点F，则的最小值____． 【答案】2 【分析】要想求的最小值，则需要知道点F的轨迹，由题意可知，因为点F是因点E而变化的，这意味着点F在以为弦的上运动，且为定值，设F在以为弦的上运动，，，在中可求得 的半径，在中求出，点A在外，要想最短，点F应在线段上，问题进而得解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， 点F在以为弦的上运动， 当A、F、O三点共线时，即F运动到位置时，最小， ， ， ， ， ，， ， ， ，即AF最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了圆的综合题，点和圆的位置关系，点到圆的最短距离，圆周角定理以及勾股定理的应用．解题的关键是确定点F的运动轨迹． 题型14对角互补——构造辅助圆 【典例】如图，等边△ABC中，AB＝6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，则DE的最小值为 　　 ． 【分析】如图，连接PC，取CP的中点O，连接OE，OD，过点O作OH⊥DE于H．首先证明△ODE是顶角为120°的等腰三角形，当OE的值最小时，DE的值最小，求出PC的最小值，可得结论． 【详解】解：如图，连接PC，取CP的中点O，连接OE，OD，过点O作OH⊥DE于H． ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝6， ∵PD⊥BC，PE⊥AC， ∴∠PEC＝∠PDC＝90°， ∵OP＝OC， ∴OE＝OP＝OC＝OD， ∴C，D，P，E四点共圆， ∴∠EOD＝2∠ECD＝120°， ∴当OE的值最小时，DE的值最小， 根据垂线段最短可知，当CP⊥AB时，PC＝3，此时OE的值最小，OE， ∵OE＝OD，OH⊥DE， ∴DH＝EH，∠DOH＝∠EOH＝60°， ∴DH＝EH， ∴DE＝2DH， ∴DE的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；正确判断当CP⊥AB时DE最小是解题的关键． 【变式】如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在线段BC，CD上，且CF＝4，CE＝2，若点M，N分别在线段AB，AD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中，始终保持∠PEB＝∠PFC，则线段PN的最小值为 　　 ． 【分析】先证C、E、P、F四点共圆，取EF的中点为O，以EF为直径作⊙O，连接OP，ON，根据三角形三边关系可知：PN≥ON﹣OP，因为OP为定值，根据垂线段最短，得出当O、P、N三点共线，且ON⊥AD时，ON最小，则PN最小，根据垂径定理和勾股定理求出OH长，最后根据线段间的和差关系求P'N'长，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接EF， ∵∠PEB＝∠PFC，∠PEC+∠PEB＝180°， ∴∠PEC+∠PFC＝180°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°，∠EPF＝360°﹣180°﹣90°＝90°， ∵△EFC和△EPF为直角三角形， 取EF的中点为O， ∴OP＝OE＝OF＝OC， ∴C、E、P、F四点共圆， ∵PN≥ON﹣OP， ∵OP为定值， ∴当ON最小，且O、P、N三点共线时，PN最小， 过O作OH⊥BC于H，延长HO交⊙O于P’，交AD于N'，而CE＝2， ∴， ∵∠ECF＝90°，CF＝4， ∴， ∴， ∵∠OHE＝90°， ∴， ∴ON'＝HN'﹣OH＝CD﹣OH＝6﹣2＝4， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的三边关系、勾股定理，圆的确定及基本性质等知识点，解题的关键是根据题意作出辅助圆，利用垂线段最短找出ON最小值时ON的位置． 【巩固训练】 1．如图，点A、B、C、D在上， ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．连接，则，由平行线的性质以及等腰三角形得到，再由三角形内角和定理求出，再由角度和差计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．已知如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，作于点M，连接，在中，根据直角三角形的性质求得、的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长，进而求得的长． 【详解】解：作于点M，连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得（负值舍去）， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，为的直径，点C，D在上，若，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，求的度数，再根据直径所对的圆周角是，利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵为的直径， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，掌握“直径所对的圆周角是”是解题的关键． 4．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（　　） A．70° B．55° C．45° D．35° 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA=OB，可求出∠ABO的度数 【详解】详解片段 连接OA、OC， ∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°， ∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°， ∵OA＝OB（都是半径）， ∴∠ABO＝∠OAB＝ （180°﹣∠AOB）＝55°． 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 5．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接OC、OB，根据圆周角定理以及OC=OB可以证得△OBC是等边三角形，即可求出BC，再在Rt△CDB中利用45°角即可求出CD． 【详解】连接OC、OB，如图， ∵∠CAB=30°， ∴∠COB=60°， ∵OC=OB， ∴△OCB是等边三角形， ∴BC=OC=2， ∵∠CBA=45°，CD⊥AB， ∴在Rt△CDB中，BC=CD， ∴CD=， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解含特殊角的直角三角形等知识，构造圆心角，利用圆周角定理是解答本题的关键． 6．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 7．如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，先利用圆心角与弦、弧的关系求出，再由圆周角定理可得，结合三角形内角和定理可得．容易判断和是等边三角形，则，作差求出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵弦， ∴， 又∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 8．已知：如图，在中，，以点C为圆心、为半径作，交于点D，求弧的度数．    【答案】弧的度数为 【分析】连接．由题意可求出，根据同圆半径相等结合等腰三角形的性质可求出，根据三角形内角和定理求出，最后根据弧、弦、圆心角的关系求解即可． 【详解】解：如图，连接．    ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即弧的度数为． 【点睛】本题考查同圆半径相等，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，弧、弦、圆心角的关系等知识．正确的连接辅助线是解题关键． 9．如图，在△ABC中，O为AC上的一点，以点O为圆心OC为半径的⊙O，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若∠BAD＝60°，⊙O的半径为3，则AD＝　 　.点D与⊙O的位置关系为 　 　． 【答案】（1）见解析；（2），点D在上 【分析】（1）过点O作交于点E，根据题意和等量代换得，再用AAS证明，得OC=OE，，即可得； （2）根据直角三角形的性质得AO=6，再得，正弦得OD=3，即可得． 【详解】（1）证明：过点O作交于点E， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵BC为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴（AAS）， ∴OC=OE，， ∴AB是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴点D在上， 故答案为：，点D在上． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线，直角三角形的性质，点与圆的位置关系，解题的关键是掌握这些知识点． 10．如图，是的外接圆，E是的中点，AD是的高，连接    (1)求证：； (2)若，，则______°． 【答案】(1) 证明：连接    ∵E是的中点 ∴ (2) 【分析】（1）连接，由垂径定理可知，结合AD是的高，可推出；再由即可求证； （2）连接，利用求出即可进一步求出，再由可求，结合（1）中结论即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示：    ∵， ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理等相关知识点．熟记相关结论，作出正确的辅助线是解题关键． 【强化训练】 1．如图，为的直径，点C是的中点，过点C作于点F，交于点D，若，，则的半径长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 先根据垂径定理和点C是弧的中点得，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：为的直径，于点F，如图，连接，设的半径为r， ∴，， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径长是5， 故选：C． 2．如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则线段的最小值是______    【答案】 2 【分析】 如图，由及易证，所以点P在以为直径的圆上，连接，交于，此时长最小，根据勾股定理求解,进而求得为2； （2）如图，作交于，由可证，由知， 从而解得． 【详解】   解：∵四边形矩形， ， ∴ ∵， ， ， 以为直径作，经过点，连接，交于，此时长最小． ∵， ， ∴， 故答案为2．    【点睛】本题主要考查直角三角形的外接圆、点到圆上点的最值问题、中位线定理、相似三角形的判定和性质；明确动点P的轨迹，确定取最小值时点的位置是解题的关键． 3．如图，在中，，，，则的面积是________；若经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点，，则线段长度的最小值是________． 【答案】 【分析】先求出为直角三角形，且，由圆周角定理可得是圆的直径，设的中点为，圆与边的切点为，连接、、，则，、为圆的半径，从而得出，由，并结合垂线段最短可得，当时，的值最小，最后利用三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴是圆的直径，， 设的中点为，圆与边的切点为，连接、、， 则，、为圆的半径， ∴， ∵， ∴由垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴线段长度的最小值是． 4．如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接 ， ， 又， ， ， ， 又， ， 又∵是半径， 是的切线. (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，勾股定理，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，根据等边对等角的性质，推出，进而得到，即可证明得到结论； （2）连接，由直径所对的圆周角为得出，，由勾股定理求出，再利用面积法求高即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 是的直径， 又， 在中，，， 由勾股定理得， ， ． 5．如图，为的直径，且，为上一点，平分交于点，，，于，为半圆弧的中点，交于点. （1）求的长； （2）求的长. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）连接EB，OC交于M，根据角平分线定义得到∠DAC=∠BAC，根据垂径定理得到OC⊥BE，推出四边形MCDE是矩形，根据勾股定理即可得到结论； （2）过G作GR⊥AD于R，GS⊥BE于S，设，由F为半圆弧AB的中点，得到∠AEF=∠BEF，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】 解：（1）连接EB，OC交于M， ∵AC平分∠DAB交⊙O于点E， ∴∠DAC=∠BAC， ∴ ， ∴， ∵AB为⊙O的直径， ∴BE⊥AD， ∵AD⊥CD于D， ∴四边形MCDE是矩形， ∵AE=6，AB=10， ∴ ； （2）过G作GR⊥AD于R，GS⊥BE于S，设， ∵F为半圆弧AB的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴G点为的内接圆心， ∵， 即是： ， ∴， ∴在等腰直角中： ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角，弧，弦的故选，矩形的判定和性质，勾股定理 ．正确作出辅助线是解题的关键． 6．如图，为外接圆的直径，且． (1)求证：与相切于点A； (2)若，，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）连接半径，由等腰三角形的性质及圆周角定理得出．即可证出结论； （2）连接，连接交于点H，证出，，分别在，中通过勾股定理即可求出结果． 【详解】（1）证明：连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴，即， ∴， 又∵为的半径， ∴与相切于点A； （2）解：连接，连接交于点H， ∵，， ∴， ∴，， 在中， ， 在中，设， ∵， ∴， 解得：， ∴， 即的直径为4． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆、垂径定理，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 7．如图，在钝角中，，，垂足为点E，且与的长度为方程的两个根，是的外接圆． (1)求的半径； (2)计算的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，解方程求出、，根据勾股定理求出半径； （2）根据题意得到为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：连接， 解方程，得，， ，， ， 为等腰直角三角形， ，即， ．即的半径为． （2）解：，， 为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ． 9．如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）略 10．如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，， ∵是的直径， ∴． ∴ ． ∴ ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴ ∴是的切线； (2)5 【分析】（1）通过连接，证明，结合得出，从而证明是的切线； （2）先判断为等边三角形，再利用等边三角形三线合一的性质和直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中， ， ∴长为5． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题36 圆内常见的辅助线添加方法(14种方法） 一、素养目标 1.理解圆内常见辅助线的添加方法，能够运用辅助线解决与圆相关的角度计算，线段长度计算等问题。 2.经历添加辅助线解决问题的过程，掌握解决圆内问题的一般思路和方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养逻辑思维能力和空间想象能力 二、重点与难点 重点：掌握圆内常见辅助线的添加方法及应用；利用辅助线解决圆内几何问题 难点：根据具体问题情境，灵活选择合适的辅助线添加方法，理解添加辅助线背后的数学原理和逻辑关系。 一、垂径定理及其推论 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 （2）推论1： ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 （2）推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 二、弧、弦、圆心角之间的关系定理 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 三、圆周角定理及其推论 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （1）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； （2）推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； （3）推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 四、圆的对称性 （1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； （2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 五、切线的性质定理、判定定理及切线长定理 （1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 （3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 题型01连半径——构造等腰三角形 【典例】如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N． (1)求证：与相切； (2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离． 【变式】如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 题型02作弦心矩——构造直角三角形 【典例】已知的半径为5，是的弦，点P在弦上，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式】如图，是的直径，是的弦，，将沿着折叠后恰好经过点O，则的长为（    ） A． B． C．4 D．5 题型03作直径所对的圆周角——构造直角三角形 【典例】如图，已知⊙O 的直径为 8cm，A、B、C 三点在⊙O 上，且∠ACB＝30°，则 AB 的长为_________． 【变式】如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠ACE＋∠BDE等于(　　) A．60° B．75° C．90° D．120° 题型04遇90°的圆周角时作直径——转移思想 【典例】如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 【变式】如图，点，，，在上，，，，则的长为_____．    题型05作弦——构造圆内接四边形 【典例】如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，点A、B、C、D、E在上，且为40°，则的度数为________． 题型06证切线时，有公共点——连半径，证垂直 【典例】如图，在△ABC中，，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作，交AB的延长线于E，垂足为F．求证：直线DE是的切线． 【变式】如图，以的边为直径的半圆分别交于点D，E，已知，过点作于点． 求证：是的切线； 题型07证切线时，无公共点——作垂直，证半径 【典例】如图，在中，，的平分线交于点，为上的一点，，以为圆心，长为半径作，，． (1)求证：是的切线； (2)求线段的长．    【变式】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径画圆． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）若AB＝12，BC＝9．求⊙D的半径． 题型08有弦的中点时——构造三角形中位线 【典例】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD＝5，AB＝6，则EF的最大值为_______，此时CE的长度为______． 【变式】如图，在半径为2的扇形中，，点C是弧上的一个动点（不与点A、B重合），，垂足分别为D、E． (1)当时，求线段的长； (2)在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； (3)在中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数，如果不存在，请说明理由． 题型09有切线，连接圆心与切点——构造直角三角形 【典例】如图，AB为的直径，PQ切于E，于C．交于D． （1）求证：AE平分；（2）若，求的半径． 【变式】如图，为的直径，C、D为上的点，直线切于C点，图中与互余的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型10遇三角形内心，作边的垂线——构造直角三角形 【典例】如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙两人有如下判断：甲：：乙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的的是（　　） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 【变式】如图，在中，，点分别是的内心和外心，则的长为（    ） A．3 B．2.5 C． D． 题型11图中有内切圆，常连接切点和定点 【典例】如图，在中，，，，则的内切圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式】如图，的内切圆与、、相切于点、、，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 题型12定点定长——构造辅助圆 【典例】如图，四边形，则______． 【变式】如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为 ． 题型13定角定弦——构造辅助圆 【典例】如图，是边长为1的正方形内的一个动点，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，已知中，，，，点E在射线上运动，连接，过点A，B，E三点的圆交于点F，则的最小值____． 题型14对角互补——构造辅助圆 【典例】如图，等边△ABC中，AB＝6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，则DE的最小值为 　 ． 【变式】如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在线段BC，CD上，且CF＝4，CE＝2，若点M，N分别在线段AB，AD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中，始终保持∠PEB＝∠PFC，则线段PN的最小值为 　 ． 【巩固训练】 1．如图，点A、B、C、D在上， ，则（   ） A． B． C． D． 2．已知如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，为的直径，点C，D在上，若，则等于（   ）    A． B． C． D． 4．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（　　） A．70° B．55° C．45° D．35° 5．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 6．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 8．已知：如图，在中，，以点C为圆心、为半径作，交于点D，求弧的度数．    9．如图，在△ABC中，O为AC上的一点，以点O为圆心OC为半径的⊙O，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若∠BAD＝60°，⊙O的半径为3，则AD＝　 　.点D与⊙O的位置关系为 　 　． 10．如图，是的外接圆，E是的中点，AD是的高，连接 (1)求证：； (2)若，，则______°．    【强化训练】 1．如图，为的直径，点C是的中点，过点C作于点F，交于点D，若，，则的半径长是（   ） A． B．4 C．5 D． 2．如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则线段的最小值是______    3．如图，在中，，，，则的面积是________；若经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点，，则线段长度的最小值是________． 4．如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 5．如图，为的直径，且，为上一点，平分交于点，，，于，为半圆弧的中点，交于点. （1）求的长； （2）求的长. 6．如图，为外接圆的直径，且． (1)求证：与相切于点A； (2)若，，，求的直径． 7．如图，在钝角中，，，垂足为点E，且与的长度为方程的两个根，是的外接圆． (1)求的半径； (2)计算的长． 9．如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 10．如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． / 学科网（北京）股份有限公司 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