专题21 反比例函数k的几何意义与面积关系探究（13种题型）（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦反比例函数k的几何意义与面积关系这一核心知识点，前承反比例函数图像与性质，后接坐标系中图形面积计算及参数反推，通过13种题型构建从基础（如求三角形面积）到综合（如双重曲线面积关系）的学习支架。 该资料以“基本图形—转化方法—综合应用”为主线，融入“拉窗帘法”等具体策略，培养几何直观（数学眼光）与推理能力（数学思维）。典例与变式呼应，巩固训练分层递进，课中助力教师精准教学，课后帮助学生通过题型归类查漏补缺，提升建模意识（数学语言）。

专题21 反比例函数k的几何意义与面积关系探究（13种题型） 一、素养目标 1.掌握k的几何意义，会依托点坐标求k、由面积反推参数，夯实函数量化运算能力； 2.依托双曲线图像，数形互推，精准辨析象限内增减规律，养成分类讨论、数形结合思维； 3.能用函数性质解决大小比较、面积类综合习题，在探究图像对称规律中体悟数学严谨美，提升建模意识. 二、重点、难点 重点：1.能根据函数图象上的点的坐标求函数解析式，并能判断一个点是否在反比例函数图象上； 难点：理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. 一、反比例函数k的几何意义与面积关系探究 （1）反比例函数基本图形 条件：点P为反比例函数y＝图象上一点，PA⊥x轴，PB⊥y轴．结论：S ＝|k|． 条件：点P为反比例函数y＝ 图象上一点，PA⊥x轴．结论：S ＝ |k|． （2）三角形转梯形面积： (3)拉窗帘法计算三角形面积 条件：点A为反比例函数y＝图象上一点，若AB⊥y轴于点B．结论： 条件：点A，B为反比例函数y＝ 图象上一点，AC⊥x轴，BD⊥x轴，结论： （4）双重曲线 条件：点A，B分别在反比例函数图象上，AM=BM．结论： 条件：点A，B分别在反比例函数 图象上，若AM⊥x轴，BN⊥x轴．结论： 条件：点A，B为反比例函数y＝ 图象上一点，AC⊥x轴，BD⊥x轴，结论： 条件：点A，B为反比例函数y＝ 图象上一点，AC⊥x轴，BD⊥x轴，结论： 题型01根据k的几何意义求三角形的面积 【典例】如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，则图中______． 【变式】如图，A，B是反比例函数y在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 题型02已知三角形的面积求k 【典例】如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则______． 【变式】如图，是等边三角形，点B在x轴正半轴上，的面积为．若反比例函数（）图像的一支经过点A，则k的值为_______． 题型03根据k的几何意义求四边形的面积 【典例】如图，、两点在双曲线上，分别经过点、两点向、轴作垂线段，已知，则(  ) A．6 B．5 C．4 D．3 【变式】（2025秋•永寿县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过原点O，且与反比例函数的图象交于点A，B，以AB为对角线作矩形ACBD，则矩形ACBD的面积为　8　 ． 题型04根据四边形的面积求k 【典例】如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，若平行四边形的面积为4，则实数的值为__． 【变式】如图，矩形的面积为84，双曲线经过矩形的对角线的中点，则的值为_______ ___． 题型05双重曲线中已知k1，k2,求图形面积 【典例】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是（   ） A．32 B．16 C．8 D． 【变式】如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 题型06双重曲线中，已知图形面积及k1，求k2 【典例】如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，点A在函数图象上，点B、C在反比例函数（）的图象上，轴，轴． （1）若点A的坐标为且，连接，则______； （2）若点A是函数图象上的任意一点，阴影部分的面积为4，则______． 题型07双重曲线中，已知图形面积，求k1、k2的关系 【典例】如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为56，四边形的面积为32，则的值为_____，的值为_____． 【变式】如图是反比例函数，在轴上方的图象，平行四边形的面积是，若点在轴上，点在的图象上，点在的图象上，则的值为______． 题型08 已知两图形面积关系求k 【典例】如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 【变式】如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 题型09已知k求不规则图形面积 【典例】如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】（2025秋•扶绥县月考）如图，点A与点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，A点的纵坐标为2，BB′与AA′均垂直于x轴，B′，A′是垂足． （1）求A点的坐标； （2）求△BOB′的面积； （3）若B点的横坐标为2，求△OAB的面积． 题型10根据k的几何意义求坐标 【典例】如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是6，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式】如图，点和点B在反比例函数的图象上，过点A作轴交x轴于点C，过点B作轴交直线于点D，． (1)若，求k的值． (2)连结，若四边形的面积为6，求点B的坐标．    题型11根据k的几何意义判断面积的变化情况 【典例】如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点固定，且始终有，当顶点C在函数的图象上从上到下运动时，顶点B在x轴的正半轴上移动，则ABC的面积大小变化情况是（    ） A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．一直不变 D．先增大后不变 【变式】如图，点M是反比例函数图像上的一个动点，过点M作x轴的平行线交反比例函数图像于点N． (1)若点M（，3），求点N的坐标； (2)若点P是x轴上的任意一点，那么△PMN的面积是否发生变化？若不变，求出它的面积是多少？若变化，请说明理由． 题型12根据k的几何意义探究图形面积关系 【典例】（2026•吉林校级模拟）如图，在函数的图象上取三点A、B、C，由这三点分别向x轴、y轴作垂线，设矩形AA1OA2、BB1OB2、CC1OC2的面积分别为SA、SB、SC，则下列正确的是（　　） A．SA＜SB＜SC B．SA＞SB＞SC C．SA＝SC＝SB D．SA＜SC＜SB 【变式】（2025秋•裕安区校级期末）如图，已知点A，点C在反比例函数y（k＞0，x＞0），AB⊥x轴，若CD＝3OD，则△BDC与△ADO的面积比为　 　 ． 题型13根据k的几何意义探究图形的面积规律 【典例】（2022秋•安化县期末）在反比例函数y（x＞0）的图象上，有一系列点A1，A2，A3，…，An，An+1，若A1的横坐标为2，以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，过A1，A2，A3，…，An，An+1分别作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则S1＝ 　 ，S1+S2+S3+…+Sn＝　 ． 【变式】如图，点B1在反比例函数y（x＞0）的图象上，过点B1分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C1和A，得到第一个矩形AOC1B1，点C1的坐标为（1，0）；取x轴上一点C2（，0），过点C2作x轴的垂线交反比例函数图象于点B2，过B2作线段B2A1⊥B1C1，交B1C1于点A1，得到第二个矩形A1C1C2B2；依次在x轴上取点C3（2，0），C4（，0）…按此规律作矩形，则第10个矩形A9C9C10B10的面积为　 ． 【巩固训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C．6 D．12 2．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 3．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 5．如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么_______． 6．如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数的图像交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，则点C的坐标是______． 7．如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 8．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 9．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，若的面积是3，求的值 10．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【强化训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 2．如图：点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线交x轴于点C，若，四边形的面积是3，则k的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点， （1）若点为的中点，则_____． （2）若，且的面积是12，则的值为_____． 4．如图，点在反比例函数的图象上，作轴，垂足为，线段交反比例函数的图象于点，点是轴正半轴上一点，连接，如果，则的面积为______ ． 5．如图，已知，分别是反比例函数与图象上的点，且 轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为______． 6．如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限内的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和，则有以下的结论： ①若点坐标为，点坐标为，则； ②阴影部分的面积为； ③当时，； ④若四边形是菱形，则两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称． 其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）． 7．如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 8．已知如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点． (1)求m，n的值； (2)若点P是该反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为Q．随着点P的运动，的面积是否发生变化？如果不变，求出面积的值；如果变化．说明理由． 9．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上 (1)若，求证：； (2)若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点， ①当时，求的值； ②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求的值． 10．如图，点是平面直角坐标系的原点，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，其中，．    (1)试求出，的值； (2)已知点为轴正半轴上的动点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，过点作轴交的图象于点． ①连结，，，的面积是否随点的运动变化而变化？请说明理由． ②当与互相垂直时，试求出点的坐标． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21 反比例函数k的几何意义与面积关系探究（13种题型） 一、素养目标 1.掌握k的几何意义，会依托点坐标求k、由面积反推参数，夯实函数量化运算能力； 2.依托双曲线图像，数形互推，精准辨析象限内增减规律，养成分类讨论、数形结合思维； 3.能用函数性质解决大小比较、面积类综合习题，在探究图像对称规律中体悟数学严谨美，提升建模意识. 二、重点、难点 重点：1.能根据函数图象上的点的坐标求函数解析式，并能判断一个点是否在反比例函数图象上； 难点：理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. 一、反比例函数k的几何意义与面积关系探究 （1）反比例函数基本图形 条件：点P为反比例函数y＝图象上一点，PA⊥x轴，PB⊥y轴．结论：S ＝|k|． 条件：点P为反比例函数y＝ 图象上一点，PA⊥x轴．结论：S ＝ |k|． （2）三角形转梯形面积： (3)拉窗帘法计算三角形面积 条件：点A为反比例函数y＝图象上一点，若AB⊥y轴于点B．结论： 条件：点A，B为反比例函数y＝ 图象上一点，AC⊥x轴，BD⊥x轴，结论： （4）双重曲线 条件：点A，B分别在反比例函数图象上，AM=BM．结论： 条件：点A，B分别在反比例函数 图象上，若AM⊥x轴，BN⊥x轴．结论： 条件：点A，B为反比例函数y＝ 图象上一点，AC⊥x轴，BD⊥x轴，结论： 条件：点A，B为反比例函数y＝ 图象上一点，AC⊥x轴，BD⊥x轴，结论： 题型01根据k的几何意义求三角形的面积 【典例】如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，则图中______． 【答案】 【分析】由、均为正三角形，可得同位角，推出；两条平行线间距离处处相等，因此点、点到直线的距离相等，与同底、等高，故面积相等，即，再设，结合等边三角形三线合一得到底、高，由点在双曲线上得，代入三角形面积公式即可求出，进而得到的数值． 【详解】解：和均为正三角形， ， ， 点和点到的距离相等， 又和有相同的底边， ， 过点作， 设点， 是等边三角形， ， ， 点在双曲线上， ， ． 【变式】如图，A，B是反比例函数y在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 思路点拨：先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC＝S△BOD4＝2．根据S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB＝S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC（BD+AC）•CD（1+2）×2＝3，从而得出S△AOB＝3． 解：∵A，B是反比例函数y在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4， ∴当x＝2时，y＝2，即A（2，2）， 当x＝4时，y＝1，即B（4，1）． 如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC＝S△BOD4＝2． ∵S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC， ∴S△AOB＝S梯形ABDC， ∵S梯形ABDC（BD+AC）•CD（1+2）×2＝3， ∴S△AOB＝3． 故选：B． 点睛：本题考查了反比例函数中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积． 题型02已知三角形的面积求k 【典例】如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义．过点作于点，根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，则可得到，由等腰三角形的性质可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点的坐标关于原点对称，即， ∵，，， ， ， ∴， ∴ ∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故答案为：． 【变式】如图，是等边三角形，点B在x轴正半轴上，的面积为．若反比例函数（）图像的一支经过点A，则k的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义等知识点，掌握等边三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 根据正三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，得出，再根据图象的位置确定k的值即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于点C， ∵是正三角形， ， ，即， 又， ∴． 故答案为：． 题型03根据k的几何意义求四边形的面积 【典例】如图，、两点在双曲线上，分别经过点、两点向、轴作垂线段，已知，则(  ) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线的系数k，由此即可求出S1+S2． 【详解】解：∵点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4， ∴S1+S2=4+4-2×2=4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度． 【变式】（2025秋•永寿县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过原点O，且与反比例函数的图象交于点A，B，以AB为对角线作矩形ACBD，则矩形ACBD的面积为　8　 ． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为四边形ACBD是矩形，A，B两点在反比例函数的图象上， 所以四边形ANOM是矩形， 则S矩形ANOM＝2， 所以S矩形ACBD＝4S矩形ANOM＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查考查了反比例函数系数k的几何意义及矩形的性质，熟知反比例函数系数k的几何意义及矩形的性质是解题的关键． 题型04根据四边形的面积求k 【典例】如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，若平行四边形的面积为4，则实数的值为__． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质．延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式】如图，矩形的面积为84，双曲线经过矩形的对角线的中点，则的值为____________________． 【答案】21 【分析】此题考查了反比例和几何结合，矩形的性质， 根据反比例函数解析式设，则，然后根据矩形的面积得，进而求解即可． 【详解】∵双曲线经过矩形的对角线的中点， ∴设，则 ∴， ∵矩形的面积为84 ∴ 解得． 故答案为：21． 题型05双重曲线中已知k1，k2,求图形面积 【典例】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是（   ） A．32 B．16 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 过点A作轴于点E，过点C作轴于点D，再根据反比例函数系数k的几何意义，求得的面积的面积相等，的面积的面积相等，最后计算平行四边形的面积． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点C作轴于点D，则， ∵平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∴与的面积相等， 又∵顶点C在反比例函数上， ∴的面积的面积相等， 同理可得：的面积的面积相等， ∴平行四边形的面积， 故选：B． 【变式】如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】延长交y轴于E，则轴，推出四边形和四边形都是矩形，根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：延长交y轴于E，则轴，如图： ∵四边形为矩形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∵点A在双曲线上， ∴矩形的面积为4， ∵点B在双曲线上，且轴， ∴矩形的面积为12， ∴矩形的面积为． 题型06双重曲线中，已知图形面积及k1，求k2 【典例】如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为，矩形的面积为，由矩形的面积为6建立方程求解即可． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 四边形是矩形，点、在轴上， 轴，轴，轴， 四边形和四边形均为矩形． 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上，且图象在第一象限， ， ． ， ， ． 【变式】如图，点A在函数图象上，点B、C在反比例函数（）的图象上，轴，轴． （1）若点A的坐标为且，连接，则______； （2）若点A是函数图象上的任意一点，阴影部分的面积为4，则______． 【答案】 6 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． （1）延长交轴于点，求得，，据此即可求解； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设，可得到四边形、、都是矩形，点是函数图象上的任意一点，可得，根据点、在反比例函数的图象上，从而得到，，然后根据阴影部分的面积为4列方程即可解答． 【详解】解：（1）延长交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∵轴，轴， 又∵在平面直角坐标系中，轴和轴互相垂直， ∴轴，轴，， ∴四边形、、都是矩形， ∴，， ∵点是函数图象上的任意一点， ∴， ∴， ∵点、在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 题型07双重曲线中，已知图形面积，求k1、k2的关系 【典例】如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为56，四边形的面积为32，则的值为_____，的值为_____． 【答案】 24 【分析】本题考查反比例函数的性质以及与几何综合，设，由关于原点对称，得，由轴，则，由轴，得，，可分别得B、C、D、E的坐标，再根据条件中的面积关系列出方程即可． 【详解】解：由题意知，关于原点对称， 设，则， 轴， ， 轴， ，，即，， 又五边形的面积为56，四边形的面积为32， ， 解得， 如图，延长、交于点G，则， ， ， ， 又，即， ，即， 解得， ， ． 【变式】如图是反比例函数，在轴上方的图象，平行四边形的面积是，若点在轴上，点在的图象上，点在的图象上，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，设与轴交于点，由四边形是平行四边形，则，，，故有，，则，然后通过反比例函数比例系数的几何意义即可求解，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与轴交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点在的图象上，点在的图象上， ∴，， ∴， ∵点在的图象上，点在的图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型08 已知两图形面积关系求k 【典例】如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 【答案】 【分析】设，，根据等腰直角三角形的性质表示出，的长，进而表示出点的坐标，利用点在反比例函数图象上得到与的关系式，再根据三角形面积差建立方程求解即可； 【详解】解：设，（，）， 为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ，即， 由图可知，点的坐标为，点的坐标为， 点在上，， 点的纵坐标为，横坐标为， ，，且点在第二象限， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ． 【变式】如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】根据题意设此反比例函数为，据此得到E和F的坐标；根据反比例函数的图象和性质可得，再计算出的面积，接下来计算，再结合其值为即可得到关于的等式，据此即可解答此题． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 设此反比例函数为，则，， ∴，， ∴，， o，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或， ∵，即， ∴ ∴反比例函数为． 题型09已知k求不规则图形面积 【典例】如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设，则，，作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点，易得四边形为矩形，分割法求出阴影部分的面积即可. 【详解】解：∵A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，设， ∴，， 作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点， ∵轴于点M，轴于点N， ∴四边形为矩形， ∴， ∴阴影部分的面积为. 【变式】（2025秋•扶绥县月考）如图，点A与点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，A点的纵坐标为2，BB′与AA′均垂直于x轴，B′，A′是垂足． （1）求A点的坐标； （2）求△BOB′的面积； （3）若B点的横坐标为2，求△OAB的面积． 【分析】（1）把y＝2代入函数解析式即可求得A的横坐标即可求得A的坐标； （2）根据反比例函数的解析式的意义即可求得三角形的面积； （3）根据△AOB的面积＝△OBB'的面积+S梯形OA'AB的面积﹣△OAA'的面积求解． 【解答】解：（1）当y＝2时，则x4．即点A的坐标是（4，2）； （2）S△BOB'8＝4； （3）在y中，当x＝2时，y4，则B的坐标是（2，4）， 根据反比例函数的解析式，知三角形OAA1的面积和三角形OBB1的面积相等，都是4， 则直角梯形ABB1A1的面积是（2+4）×2＝6． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，要能够熟练运用待定系数法求得反比例函数的解析式；双曲线上任意一点向x轴或y轴引垂线，则该点、垂足、原点组成的三角形的面积相等，都是． 题型10根据k的几何意义求坐标 【典例】如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是6，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点D坐标求出反比例函数和正比例函数解析式，再设出点C坐标，利用平行四边形的性质和正比例函数解析式表示出点B的坐标，从而可得BC，再用BC与点C的纵坐标表示出平行四边形的面积，求解即可． 【详解】解：∵点D（2，1）在反比例函数上， ∴k=2×1=2， ∴反比例函数解析式为：， 设直线OB的函数解析式为y=mx， ∵点D（2，1）在对角线OB上， ∴2m=1，即， ∴OB的解析式为：, ∵点C在反比例函数图象上， ∴设点C坐标为（a，）， ∵四边形OABC为平行四边形， ∴BCOA， ∴点B的纵坐标为， 将y=代入， 解得：x=， ∴点B坐标为（，）， ∴BC=， ∵平行四边形OABC的面积是6， ∴（）×=6， 解得：a=1或a=-1（舍去）， ∴，， ∴点B坐标为：， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，平行四边形的性质，一次函数图象等知识点，解题的关键是利用反比例函数和一次函数将点C，点B的坐标统一表示出来． 【变式】如图，点和点B在反比例函数的图象上，过点A作轴交x轴于点C，过点B作轴交直线于点D，．    (1)若，求k的值． (2)连结，若四边形的面积为6，求点B的坐标． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据点A的坐标可得进而得出，由可得点A与点B的横坐标的差，进而求出m的值，确定点A的坐标即可； （2）表示出点B的坐标，利用含有m的代数式表示四边形的面积求出m即可． 【详解】（1）如图，过点B作轴于E，    ∵点， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴点， ∴， 解得， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， （2）由（1）可知点，点，即，，则， 由于四边形的面积为6， ∴， 解得， ∴点． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提． 题型11根据k的几何意义判断面积的变化情况 【典例】如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点固定，且始终有，当顶点C在函数的图象上从上到下运动时，顶点B在x轴的正半轴上移动，则ABC的面积大小变化情况是（    ） A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．一直不变 D．先增大后不变 【答案】C 【分析】根据三角形ABC的面积是点C的横坐标与纵坐标的乘积除以2，和点C在函数的图象上，可以解答本题． 【详解】解：∵等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数的图象上运动，且AC=BC， 设点C的坐标为， ∴， 即△ABC的面积不变， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是将反比例的系数k与三角形的面积联系在一起． 【变式】如图，点M是反比例函数图像上的一个动点，过点M作x轴的平行线交反比例函数图像于点N． (1)若点M（，3），求点N的坐标； (2)若点P是x轴上的任意一点，那么△PMN的面积是否发生变化？若不变，求出它的面积是多少？若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变，5 【分析】（1）将y=3代入，求得点N的坐标； （2）连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，由反比例函数系数k的几何意义求得△MOH和△NOH的面积，得到△MON的面积，由MN∥x轴得到△MON和△MNP的面积相等，从而得到△PMN的面积不变． 【详解】（1）∵MNy轴， ∴点M、N的y值相等， 将y=3代入， 得， ∴； （2）不变， 如图，连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H， ∵MNx轴，点M和点N分别在函数和函数图象上， ∴， ∴， ∴S△PMN=5， ∴△PMN的面积不变，且△PMN的面积为5． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是连接MO和NO，得到△MON和△PMN的面积相等． 题型12根据k的几何意义探究图形面积关系 【典例】（2026•吉林校级模拟）如图，在函数的图象上取三点A、B、C，由这三点分别向x轴、y轴作垂线，设矩形AA1OA2、BB1OB2、CC1OC2的面积分别为SA、SB、SC，则下列正确的是（　　） A．SA＜SB＜SC B．SA＞SB＞SC C．SA＝SC＝SB D．SA＜SC＜SB 【分析】设出点A、B、C的坐标，各矩形的面积等于各点的横纵坐标的积，把相关数值代入即可． 【解答】解：设点A的坐标为（x，y）；点B的坐标为（a，b）；点C的坐标为（m，n）， ∵点A在反比例函数解析式上， ∴xy＝1， ∴矩形AA1OA2的面积为1， 同理可得另两个矩形的面积也为1， ∴SA＝SC＝SB， 故选：C． 【点睛】考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数． 【变式】（2025秋•裕安区校级期末）如图，已知点A，点C在反比例函数y（k＞0，x＞0），AB⊥x轴，若CD＝3OD，则△BDC与△ADO的面积比为　1：5　 ． 【分析】过C作CE⊥x轴于E，依据AB⊥x轴于点B，即可得出S△AOD＝S四边形BDCE，设△BDO的面积为S，即可得到△BDC的面积为3S，△BOC的面积为4S，进而得到四边形BDCE的面积为12S+3S＝15S，即△AOD的面积为15S，即可得出△BDC与△ADO的面积比． 【解答】解：如图所示，过C作CE⊥x轴于E， ∵AB⊥x轴于点B， ∴S△AOB＝S△COE， ∴S△AOD＝S四边形BDCE， 设△BDO的面积为S， ∵CD＝3OD， ∴△BDC的面积为3S，△BOC的面积为4S， ∵BD∥CE， ∴BE＝3OB， ∴△BCE的面积为12S， ∴四边形BDCE的面积为12S+3S＝15S， 即△AOD的面积为15S， ∴△BDC与△ADO的面积比为3：15＝1：5， 故答案为：1：5． 【点睛】此题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键． 题型13根据k的几何意义探究图形的面积规律 【典例】（2022秋•安化县期末）在反比例函数y（x＞0）的图象上，有一系列点A1，A2，A3，…，An，An+1，若A1的横坐标为2，以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，过A1，A2，A3，…，An，An+1分别作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则S1＝　6　 ，S1+S2+S3+…+Sn＝　　 ． 【分析】由已知条件横坐标成等差数列，再根据点A1、A2、A3、…、An、An+1在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出Sn的表达式，把n＝1代入求得S1的值． 【解答】解：∵点A1、A2、A3、…、An、An+1在反比例函数y（x＞0）的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2， 又点A1的横坐标为2， ∴A1（2，6），A2（4，3）， ∴S1＝2×（6﹣3）＝6； 由题图象知，An（2n，），An+1（2n+2，）， ∴S2＝2×（3﹣2）＝2， ∴图中阴影部分的面积知：Sn＝2×（），（n＝1，2，3，…） ∵， ∴S1+S2+S3+…+Sn＝12（）＝12（1）． 故答案为：6，． 【点睛】此题是一道规律题，首先根据反比例函数的性质及图象，求出An的坐标的表达式，再由此求出Sn的表达式． 【变式】如图，点B1在反比例函数y（x＞0）的图象上，过点B1分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C1和A，得到第一个矩形AOC1B1，点C1的坐标为（1，0）；取x轴上一点C2（，0），过点C2作x轴的垂线交反比例函数图象于点B2，过B2作线段B2A1⊥B1C1，交B1C1于点A1，得到第二个矩形A1C1C2B2；依次在x轴上取点C3（2，0），C4（，0）…按此规律作矩形，则第10个矩形A9C9C10B10的面积为　　 ． 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到第1个矩形AOC1B1的面积＝2，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到B2点的坐标为（，），接着得到A1的坐标为（1，），则可根据反比例函数比例系数k的几何意义和两矩形的面积差得到第2个矩形A1C1C2B2的面积，同同样方法得到第3个矩形A2C2C3B3的面积，第4个矩形A3C3C4B4的面积，因此得到第n个矩形的面积为，然后把n＝10代入计算即可． 【解答】解：第1个矩形AOC1B1的面积＝2， ∵C2（，0）， ∴B2点的坐标为（，）， ∴A1的坐标为（1，）， ∴第2个矩形A1C1C2B2的面积＝2﹣1； ∵C3（2，0）， ∴B3点的坐标为（2，1）， ∴A2的坐标为（，1）， ∴第3个矩形A2C2C3B3的面积＝2﹣1； ∵C4（，0）， ∴B4点的坐标为（，）， ∴A3的坐标为（2，）， ∴第4个矩形A3C3C4B4的面积＝2﹣2， …， ∴第10个矩形A9C9C10B10的面积． 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 【巩固训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，设点A的坐标为，则，，，先根据三角形的中位线定理可得，，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得． 【详解】解：设点A的坐标为，则，，， ∵是的中位线， ∴，， ∵的面积为3，， ∴，即， ∴， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：作轴于M， ∴轴， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 点，在反比例函数图象上， ，， ， ， 解得（负数舍去）． 3．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可． 【详解】解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，证明是等腰直角三角形，证明，设，则，点D在反比例函数图象上，则，根据，，即可求出的值． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∵、在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得 5．如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么_______． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解本题的关键．由过点作轴于点，利用反比例函数的几何意义表示出三角形与三角形面积，由三角形面积减去三角形面积表示出三角形面积，将已知三角形面积代入求出的值即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点， ，， ，即， 解得：， 故答案为：1． 6．如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数的图像交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，则点C的坐标是______． 【答案】(6，2) 【分析】首先根据点、对应直尺上的刻度分别为5、2，．，即可求得的坐标，，的坐标，，关键是根据面积列出关于的方程，求出，即可求得的坐标． 【详解】解：直尺平行于轴，、对应直尺的刻度为5、2，且， 则的坐标为，，则的坐标为， ，， ， 又， ， ， ， 的坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，解题的关键是掌握反比例函数图像上点的坐标特征、比例系数的几何意义；熟练运用几何图形的面积的和差计算不规则的图形的面积． 7．如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 8．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的几何意义，即可求解； （2）根据（1）得出反比例函数解析式为，进而求得，，直线的解析式为，进而得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，垂足为，面积为6 ∴ ∵反比例函数图象在第一象限 ∴ ∴； （2）解：由（1）可得反比例函数解析式为 ∵，在图像上， ∴，， 解得： ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ，解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴ ∴ 9．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，若的面积是3，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）延长 交轴于点，根据反比例函数的意义得出，，根据的面积是3，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：延长 交轴于点，由题意得轴， 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上， ， ， 解得． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 【强化训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，，由菱形的性质可得，求出，证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 【详解】解：过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，， 是的中点，四边形是菱形， ∴，， ，， 轴，O为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵，，均垂直轴， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 2．如图：点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线交x轴于点C，若，四边形的面积是3，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式得到，，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用去绝对值求解． 【详解】解：∵点A、B在反比例函数y的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵四边形的面积是3， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二四象限， ∴ 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点， （1）若点为的中点，则_____． （2）若，且的面积是12，则的值为_____． 【答案】 5 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、矩形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键． （1）设，先求出，再求出，反比例函数的解析式为，然后求出，则，由此即可得； （2）设，先求出，，再求出，反比例函数的解析式为，然后求出，则，，最后根据可得的值，由此即可得． 【详解】解：（1）设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点的纵坐标为， ∵点为的中点， ∴， ∴， 将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为， ∵，， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是12， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5． 4．如图，点在反比例函数的图象上，作轴，垂足为，线段交反比例函数的图象于点，点是轴正半轴上一点，连接，如果，则的面积为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行线间的距离，连接，由轴，则轴，所以，，然后通过即可求解，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数的图象上，线段交反比例函数的图象于点， ∴，， ∵， ∴ ， 故答案为：． 5．如图，已知，分别是反比例函数与图象上的点，且 轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．根据反比例函数值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 点的坐标为，且在反比例函数图象上， ， ， 四边形的面积为， ， 故答案为： 6．如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限内的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和，则有以下的结论： ①若点坐标为，点坐标为，则； ②阴影部分的面积为； ③当时，； ④若四边形是菱形，则两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称． 其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ，， 点坐标为，点坐标为， ，， 点的坐标为， 把 代入得：，结论符合题意 点在双曲线的一支上，点在双曲线的一支上， ，， ，， 阴影部分的面积为，结论不符合题意． 当时，是矩形， 不一定等于, 与不一定全等， 不一定等于，结论不符合题意． 连结交轴于点， 四边形是菱形， ，， 点、关于轴对称， 如图所示的两个图像关于轴对称， 双曲线和各自关于原点对称， 两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称，结论符合题意． 7．如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 【答案】 【分析】分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 8．已知如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点． (1)求m，n的值； (2)若点P是该反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为Q．随着点P的运动，的面积是否发生变化？如果不变，求出面积的值；如果变化．说明理由． 【答案】(1)， (2)的面积不变． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先把代入反比例函数求出，再将代入反比例函数解析式即可得解； （2）根据反比例函数的的几何意义即可得解． 【详解】（1）解：把代入得：， ， 把代入得：， 解得； （2）解：的面积不变． ∵点P是反比例函数的图象上一点， ． 9．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上 (1)若，求证：； (2)若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点， ①当时，求的值； ②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求的值． 【答案】(1)证明：∵ 点在反比例函数的图象上， ， ， ， 将代入，得， 又， ， ， ，即． (2)① ；② 【分析】（1） 利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于的性质，结合已知条件推导即可证明结论． （2）① 根据点在反比例函数上得到坐标关系，求出交点的坐标后计算和的长度和即可．② 利用全等三角形得到点的坐标，结合点在反比例函数上和三角形面积的条件，逐步推导计算得到的值． 【详解】（1）略 （2）① 解：∵ ，点在上， , , ， 如图，交点 的坐标为 ，即 ， ， ． ② 解：如图，过点作，垂足为， 由题意得 ，交点 ， ，， ∵ ， ，且， ， 在和中， ， ， 点坐标为 ∵ 在上， ， 整理得：， ， 是等腰直角三角形， ，即， ， 整理得：， ， 将 代入， 得，整理得， 联立，得， 解得， 代入 ，得． 10．如图，点是平面直角坐标系的原点，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，其中，．    (1)试求出，的值； (2)已知点为轴正半轴上的动点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，过点作轴交的图象于点． ①连结，，，的面积是否随点的运动变化而变化？请说明理由． ②当与互相垂直时，试求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)①的面积随点的运动变化没有发生变化，见解析；② 【分析】（1）根据题意求得，求得点，待定系数法求得反比例函数的系数即可； （2）①延长交轴于点．设点，则点，，求得，推得点，点，，，根据割补法求得即可； ②待定系数法求得直线的解析式为：，根据反比例函数的性质可得点，关于直线对称；根据，求得的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， 将代入得： ， ∴点， ∵点在函数的图象上， 将代入得： ； （2）解：①的面积随点的运动变化没有发生变化，理由如下：．    延长交轴于点．设点，则点，． ∴ ∵轴 ∴点，点． ∴，． ∴ ， ∴的面积是一个固定值，不会随点的运动变化而变化． ②∵点，点， 设直线的解析式为：， 将代入，解得：， ∴直线的解析式为：； ∴直线是函数图象的对称轴， 又∵， ∴点，关于直线对称； ∴， ∵点，， ∴ 解得：，（不合题意，舍去）； ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了求反比例函数的系数，三角形的面积公式，求一次函数解析式，反比例函数的性质，两点间距离公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $