专题28 弧、弦、圆心角的关系(10种题型）（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦弧、弦、圆心角的关系这一核心知识点，以圆的基本概念为基础，系统构建圆心角定义、同圆或等圆中三者关系定理的知识框架，并通过10类题型（含判断、计算、证明等）形成从理解到应用的学习支架。 资料亮点在于通过旋转观察渗透图形变换思想，培养几何直观，借助典例与变式训练发展推理意识，规范几何符号语言强化数学表达。课中助力教师分层教学，课后便于学生巩固练习，有效查漏补缺。

专题28 弧、弦、圆心角的关系 一、素养目标 1. 理解圆心角概念，掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦的关系定理，完成简单计算证明； 2. 通过旋转观察、对比推理，体会图形变换思想，提升几何辨析能力； 3.做题牢记定理前提条件，准确推理边角弧关系，规范书写答题过程 二、重点与难点 重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题. 难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆条件”的理解及定理的证明. 一、圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角 二、圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 几何符号语言： ∵ ∠AOB＝∠A′OB′ ∴ ＝，AB＝A′B′ 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等； 几何符号语言： ∵ ＝ ∴ ∠AOB＝∠A′OB′，AB＝A′B′ 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 几何符号语言： ∵ AB＝A′B′ ∴ ∠AOB＝∠A′OB′，＝ 归纳总结 题型01利用弧、弦、圆心角的关系判断结论正误 【典例】下列四种说法：①顶点在圆心的角是圆心角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弧的长度相等，则这两条弧所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．其中正确的是______．（填序号） 【变式】如图，是的直径，点P是上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，对于如下结论：①的值为定值；②的度数为定值；③的度数始终等于度数的2倍；④若，则．正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型02利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度 【典例】如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦AB＝8，则弦CD的长为（    ） A．6 B．8 C．5 D．5 【变式】如图，是⊙O的直径，点C为圆上一点，，D是弧的中点，与交于点E．若E是的中点，则的长为（　　）    A． B．2 C． D．1 题型03利用弧、弦、圆心角的关系求角度 【典例】如图,将大小不同的两块量角器的零度线对齐,且小量角器的中心恰好在大量角器的圆周上,设图中两圆周的交点为.且点在小量角器上对应的刻度为,那么点在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于的角)(    ) A． B． C． D． 【变式】如图，点A，B，C，D在上，，点B是弧的中点，则的度数是(   ) A． B． C． D． 题型04利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数 【典例】如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为__________．    【变式】如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于_____． 题型05利用弧、弦、圆心角的关系求面积 【典例】如图，已知圆内接四边形中，对角线是的直径，，是的中点，则的面积是________．    【变式】如图，点，，，都在上，圆的半径为，且，，则该（        ）    A． B． C． D． 题型06利用弧、弦、圆心角的关系求周长 【典例】如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为______．    【变式】如图的弦，且于，连接，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 题型07利用弧、弦、圆心角的关系求线段比值 【典例】如图， 将上的沿弦翻折交半径于点D， 再将沿 翻折交于点E， 连接. 若， 则 的值_________． 【变式】如图，在中，点C是劣弧的中点，点P在劣弧上，且，于H，当，则____． 题型08利用弧、弦、圆心角的关系进行证明 【典例】如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接． (1)求证：；(2)连接，，求证：． 【变式】如图，已知⊙O上依次有A，B，C，D四个点，，连接AB，AD，BD，弦AB不经过圆心O．延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF． （1）若⊙O的半径为3，∠DAB＝120°，求劣弧的长； （2）求证：BF＝BD； （3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG＝PF?并说明PB与AE的位置关系 题型09利用弧、弦、圆心角的关系判定线段或者弧长之间的关系 【典例】如图，在中，如果弧是弧的二倍，则下列关于弦与弦之间关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是　　 A． B． C． D．不能确定 题型10利用弧、弦、圆心角的关系求最值 【典例】如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧的中点，点P是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．2 【变式】如图，AB是O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（    ）    A．2 B． C． D． 【巩固训练】 1．如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于（  ） A．50° B．45° C．40° D．35° 2．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 3．如图，是的直径，，点M在上，，N是弧的中点，P是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．将一张正方形的透明纸片ABCD和按如图位置叠放，顶点A、D在上，边AB、BC、CD分别与相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（ ） A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm 6．如图，△ABC中，∠A = 70°，⊙O在△ABC的三条边上所截得的弦长都相等，则∠BOC的度数是（     ）； A．140° B．135° C．130° D．125° 7．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，且∠AOB与∠COD互补，弦CD＝8，则弦AB的长为（　　） A．6 B．8 C．5 D．5 8．如图所示，是的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，点是点B关于所在直线的对称点，的半径为1，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 9．如图，是半圆的直径，是的中点，是的中点，于点E，于点．在下列结论中：①；②；③；④．正确的有__________．    10．如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，求弧DE的度数． 【强化训练】 1．如图,圆上有A,B,C,D四点,圆内有E,F两点且点E,F在BC上.若四边形AEFD为正方形,则下列弧长关系中,正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图1为某酒店的圆形旋转门，可看成如图2由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图2位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为（　　）    A．30° B．60° C．90° D．120° 3．如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 5．如图，是直径，是弦，点E在弦上．D是的中点，，，若四边形为平行四边形，则的半径是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，等边内接于，D为边上一动点（不与A、C重合），连接并延长交边于E，将沿翻折为，边交于点，若的周长记为，的周长记为，则的值为 ．    7．如图，、、、依次为一直线上个点，，为等腰直角三角形，且，过点、、，且弧的度数，则的值是 _____． 8．如图，四边形是的内接四边形，直径平分． (1)求证：； (2)过点A向圆外作，且，求证：四边形为平行四边形． 9．如图，是的两条弦，与相交于点，． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 10．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，． (1)求证：平分； (2)过点O作于点E，交于点P．若，，求的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28 弧、弦、圆心角的关系 一、素养目标 1. 理解圆心角概念，掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦的关系定理，完成简单计算证明； 2. 通过旋转观察、对比推理，体会图形变换思想，提升几何辨析能力； 3.做题牢记定理前提条件，准确推理边角弧关系，规范书写答题过程 二、重点与难点 重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题. 难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆条件”的理解及定理的证明. 一、圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角 二、圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 几何符号语言： ∵ ∠AOB＝∠A′OB′ ∴ ＝，AB＝A′B′ 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等； 几何符号语言： ∵ ＝ ∴ ∠AOB＝∠A′OB′，AB＝A′B′ 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 几何符号语言： ∵ AB＝A′B′ ∴ ∠AOB＝∠A′OB′，＝ 归纳总结 题型01利用弧、弦、圆心角的关系判断结论正误 【典例】下列四种说法：①顶点在圆心的角是圆心角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弧的长度相等，则这两条弧所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．其中正确的是______．（填序号） 【答案】① 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对每一项进行分析即可求出正确答案． 【详解】①顶点在圆心的角是圆心角；故本选项正确； ②在同圆或等圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；故本选项错误； ③两条弧的长度相等，则这两条弧所对的圆心角不一定相等；故本选项错误； ④在等圆中80°的圆心角和280°的圆心角所对的弦相等圆心角不等，所对的弦可以相等．故本选项错误； 其中正确的是：① 故答案为①． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系；解题时要注意圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中才能成立． 【变式】如图，是的直径，点P是上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，对于如下结论：①的值为定值；②的度数为定值；③的度数始终等于度数的2倍；④若，则．正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识，熟记圆中有关观念时解本题的关键．根据圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可． 【详解】解：①由题可得：当点P从点A运动到的中点时，的值在增大，当点P从的中点运动到点B时，的值在减小， 故①错误； ②时直径， ， 的度数为定值， ②正确； ③， ， ， 的度数始终等于度数的2倍， ③正确； ④如图，取的中点，连接，，，则， ， ， ， ， ， ④错误； 正确的结论个数是2个， 故选：C 题型02利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度 【典例】如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦AB＝8，则弦CD的长为（    ） A．6 B．8 C．5 D．5 【答案】A 【分析】延长AO交于点E，连接BE，由知，可得，在中利用勾股定理求解可得． 【详解】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE， 则∠AOB+∠BOE＝180°， 又∵∠AOB+∠COD＝180°， ∴∠BOE＝∠COD， ∴BE＝CD=6， ∵AE为⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∴CD＝＝6， 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆心角定理、勾股定理，解题的关键是根据条件及圆心角定理构造直角三角形． 【变式】如图，是⊙O的直径，点C为圆上一点，，D是弧的中点，与交于点E．若E是的中点，则的长为（　　）    A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】 连接交于F，由垂径定理得，，可证，接着证明得到，计算得，然后设，则，，最后利用勾股定理计算得到BC的长． 【详解】 解：连接交于F，如图， D是弧的中点， ， ， 是直径， ， ， ， E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即． 题型03利用弧、弦、圆心角的关系求角度 【典例】如图,将大小不同的两块量角器的零度线对齐,且小量角器的中心恰好在大量角器的圆周上,设图中两圆周的交点为.且点在小量角器上对应的刻度为,那么点在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于的角)(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，设大量角器的左端点为，小量角器的圆心为.利用三角形的内角和定理求出的度数，然后根据圆的知识可求出大量角器上对应的角度. 【详解】设大量角器的左端点为，小量角器的圆心为，连接、， 则，， 因而， 在大量角器中弧所对的圆心角是， 因而在大量角器上对应的度数为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆心角是，能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键. 【变式】如图，点A，B，C，D在上，，点B是弧的中点，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆心角相等，圆周角定理．熟练掌握同弧或等弧所对的圆心角相等，圆周角定理是解题的关键． 如图，连接，则，，由圆周角定理可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点B是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 题型04利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数 【典例】如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为__________．    【答案】/80度 【分析】本题考查平行线的性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识点， 连接，根据平行线的性质求出，根据圆周角定理求出，再求出的度数，即可求出本题答案． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴的度数是， ∵是的两条直径， ∴的度数是， ∴的度数是， 故答案为：． 【变式】如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于_____． 【答案】/54度 【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用． 根据圆心角与弧的关系可求得的度数，从而即可求解． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴弧度数等于． 故答案为：． 题型05利用弧、弦、圆心角的关系求面积 【典例】如图，已知圆内接四边形中，对角线是的直径，，是的中点，则的面积是________．    【答案】4 【分析】四边形ABCD是梯形，连接OB，则OBCD是菱形，即可求得AD的长，而△AED是等腰直角三角形，就可求得△ADE的面积． 【详解】解：连接EO，BO，CO ∵AB=BC=CD=2， ∴∠AOB=180÷3=60°， ∴△AOB是等边三角形， 那么OA=AB=2，那么AD=2OA=4． ∵E是的中点， ∴AE=DE， ∴EO⊥AD， ∵EO=2， ∴△ADE的面积=×4×2=4．    故答案为4 【点睛】本题用到的知识点为：弦相等，那么所对的圆心角也相等． 【变式】如图，点，，，都在上，圆的半径为，且，，则该（        ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、 弧、 弦之间的关系，勾股定理．连接, 求出，求出是圆的直径，根据勾股定理求出，根据计算是解题的关键． 【详解】解：连接,   ， ，， ， 即是圆的直径， ， ∵圆的半径为， ， ， 由勾股定理得： ， ∴， 故选:A． 题型06利用弧、弦、圆心角的关系求周长 【典例】如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为______．    【答案】12 【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长． 【详解】解：连接，    ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形的周长等于为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角相等是解本题的关键． 【变式】如图的弦，且于，连接，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AB、OA、OD，然后由弦与弧的关系，求出，得到，再根据勾股定理求出半径，即可得到答案． 【详解】解：连接AB、OA、OD，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在直角△AOD中，设OA=OD=R， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴圆的周长为：； 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 题型07利用弧、弦、圆心角的关系求线段比值 【典例】如图， 将上的沿弦翻折交半径于点D， 再将沿 翻折交于点E， 连接. 若， 则 的值_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系，勾股定理．连接、、，作于F，设，则，，，先利用折叠的性质和圆周角定理得到 ，再利用弧、弦、圆心角的关系得到，然后利用勾股定理计算出，接着再计算出即可． 【详解】解：连接、、，作于F，如图所示， 设，则，， ∴， ∵上的沿弦翻折交半径于点D，再将沿 翻折交于点E， ∴为等圆中的弧， ∵它们所对的圆周角为， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ， ∴． 故答案为：． 【变式】如图，在中，点C是劣弧的中点，点P在劣弧上，且，于H，当，则____． 【答案】 【分析】在上截取，连接，可以证明，得到，由，得到，由圆周角定理得到，因此，得到，即可求解． 【详解】在上截取，连接， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，关键是通过作辅助线构造全等三角形． 题型08利用弧、弦、圆心角的关系进行证明 【典例】如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接． (1)求证：； (2)连接，，求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵为半圆的中点， ∴，即， ∴平行四边形为矩形． ∴， ∴． (2) 证明：连接，，交于， 由（1）可知平行四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，根据为半圆的中点可得，根据矩形的判定可得平行四边形为矩形，即可证明； （2）连接，，交于，结合（1）易知四边形为正方形，可证，得，再证垂直平分，进而证明，再根据角度之间的互余关系可得，即可则证明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查圆的基本性质，矩形、正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【变式】如图，已知⊙O上依次有A，B，C，D四个点，，连接AB，AD，BD，弦AB不经过圆心O．延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF． （1）若⊙O的半径为3，∠DAB＝120°，求劣弧的长； （2）求证：BF＝BD； （3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG＝PF?并说明PB与AE的位置关系 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）在⊙O上存在点P（不同于点B），使得PG=PF，此时PB⊥AE. 【分析】（1）要求劣弧BD的长，根据弧长公式，只需求圆心角∠BOD的度数，所以，需要连接OB、OD.由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得所对的圆心角为240°，所以∠BOD=120°.利用弧长公式直接计算可解. （2）连接AC，则BF是△ACE的中位线，再根据弧弦关系定理，证得AC=BD即可. （3）作∠DBF的平分线交⊙O于点P，连接PG，PB，则由SAS可证△PBG≌△PBF，从而得到PG=PF，此时，由∠FBE=∠CAE和∠DBA=∠FBE可得∠PBA=∠PBE=90°，即 PB⊥AE. 【详解】解：（1）如答图1， 连接OB、OD， ∵∠DAB=120°， ∴所对的圆心角为2400．∴∠BOD=120°． ∵⊙O的半径为3，∴劣弧的长为. （2）证明：如答图2，连接AC， ∵AB=BE，∴B是AE的中点. ∵F是EC的中点, ∴BF是△EAC的中位线．∴BF=. ∵， ∴，即. ∴BD=AC．∴BF＝. （3）在⊙O上存在点P（不同于点B），使得PG=PF，此时PB⊥AE．理由如下： 如答图3，作∠DBF的平分线交⊙O于点P，连接PG，PB， ∵G是BD的中点，由（2）BF＝， ∴BG=BF. 又∵PB=PB，∠PBG=∠PBF， ∴△PBG≌△PBF（SAS）．∴PG=PF. 由（2）BF是△EAC的中位线， ∴BF∥AC. ∴∠FBE=∠CAE. ∴，∴∠CAB=∠DBA． ∴∠DBA=∠FBE． ∴∠PBA=∠PBE=90°，即 PB⊥AE. 故选D． 题型09利用弧、弦、圆心角的关系判定线段或者弧长之间的关系 【典例】如图，在中，如果弧是弧的二倍，则下列关于弦与弦之间关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线是解题的关键． 取弧的中点D，连接，，则根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到，又在中，根据三角形三边关系定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，取弧的中点D，连接，， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即, 【变式】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是　　 A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】连接BC，过点O作OD⊥AC交半圆O于点D，交AC于点E，由此可得∠AEO=90°，OA=OD，由折叠的性质可得OE=DE=OD=OA，从而可得∠OAC=30°，进而可得∠ABC=60°，由此即可得到. 【详解】解：连接BC，过点O作OD⊥AC交半圆O于点D，交AC于点E， ∴∠AEO=90°，OA=OD， 又∵由折叠的性质可得OE=DE=OD=OA， ∴∠BAC=30°， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=60°， ∴∠ABC=2∠CAB， ∴. 故选A. 【点睛】熟悉“圆的相关性质和折叠的性质”及“直径三角形中，若一直角边等于斜边的一半，则其所对的锐角为30°”是正确解答本题的关键. 题型10利用弧、弦、圆心角的关系求最值 【典例】如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧的中点，点P是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则PA+PB最小，连接OA′,AA′.，根据点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，可得∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，由点B是的中点，可得∠BON=30 °，可求∠A′OB=90°，在Rt△中根据勾股定理A′B=即可． 【详解】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则PA+PB最小， 连接OA′,AA′. ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′， ∵点B是的中点， ∴∠BON=30 °， ∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°， 又∵OA=OA′=1， 在Rt△中， ∴A′B=， ∴PA+PB=PA′+PB=A′B=． 故选：C． 【点睛】本题考查弧与圆心角的关系，勾股定理，轴对称性质，掌握弧与圆心角的关系，勾股定理，轴对称性质作对称点，利用两点之间线段最短求最值是解题关键． 【变式】如图，AB是O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】取OA的中点Q，连接DQ，OD，CQ，根据条件可求得CQ长，再由垂径定理得出OD⊥AP，由直角三角形斜边中线等于斜边一半求得QD长，根据当C,Q,D三点共线时，CD长最大求解. 【详解】解：如图，取AO的中点Q,连接CQ，QD，OD， ∵C为的三等分点， ∴的度数为60°， ∴∠AOC=60°, ∵OA=OC, ∴△AOC为等边三角形， ∵Q为OA的中点， ∴CQ⊥OA，∠OCQ=30°, ∴OQ= , 由勾股定理可得，CQ= , ∵D为AP的中点, ∴OD⊥AP， ∵Q为OA的中点， ∴DQ= , ∴当D点CQ的延长线上时，即点C,Q,D三点共线时，CD长最大，最大值为 . 故选D    【点睛】本题考查利用弧与圆心角的关系及垂径定理求相关线段的长度，并且考查线段最大值问题，利用圆的综合性质是解答此题的关键. 【巩固训练】 1．如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于（  ） A．50° B．45° C．40° D．35° 【答案】C 【详解】解： ∵点C是的中点， 故选C. 2．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】作，构造正方形，再结合勾股定理和垂径定理即可计算． 【详解】如图，作于，于，连接、， 根据垂径定理可知：， 则在中，，，， 同理，在中，， 又 ，是互相垂直的两条弦， 四边形为正方形，其中为对角线， ． 故选：Ｃ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的运用以及正方形的判定与性质，能够利用垂径定理并且正确计算是本题的关键，进而判定正方形并且利用正方形的性质进行解决是核心． 3．如图，是的直径，，点M在上，，N是弧的中点，P是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】如图所示，作点关于的对称点，连接交于，周长为，由对称性知周长为，根据两点之间线段最短可知周长的最小为，利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：作点关于的对称点，则点在上，连接交于， 由对称性知， 周长为， 根据两点之间线段最短可知周长的最小为， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∵， ∴周长的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题将军饮马模型，涉及圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称性质，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键． 4．将一张正方形的透明纸片ABCD和按如图位置叠放，顶点A、D在上，边AB、BC、CD分别与相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据弦与弧的关系，只要比较弦长即可比较弧长的大小即可求解． 【详解】如图，连接，过点作，交于，交于，则， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， A. ， ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，，故该选项不正确，不符合题意； C. ， ，故该选项正确，符合题意； D.， ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C. 【点睛】本题考查了弦与弧的关系，掌握同圆或等圆中，等弦对等弧是解题的关键． 5．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（ ） A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm 【答案】D 【详解】解：如图，连接OD、OC． ∵BC=CD=DA=4cm ∴∠AOD=∠COD=∠COB=60° 又∵OA=OD ∴△AOD是等边三角形， ∴OA=4cm； ∴⊙O的周长=2×4π=8π（cm）． 故选D． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质 6．如图，△ABC中，∠A = 70°，⊙O在△ABC的三条边上所截得的弦长都相等，则∠BOC的度数是（     ）； A．140° B．135° C．130° D．125° 【答案】D 【分析】先利用⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数． 【详解】∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等， ∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心， ∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°-∠A）=（180°-70°）=55°， ∴∠BOC=180°-（∠1+∠3）=180°-55°=125°． 故选D． 7．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，且∠AOB与∠COD互补，弦CD＝8，则弦AB的长为（　　） A．6 B．8 C．5 D．5 【答案】A 【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE＝∠AOB+∠COD知∠BOE＝∠COD，据此可得BE＝CD，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得． 【详解】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE， 则∠AOB+∠BOE＝180°， 又∵∠AOB+∠COD＝180°， ∴∠BOE＝∠COD， ∴BE＝CD， ∵AE为⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∴AB＝＝＝6， 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆心角定理、勾股定理，解题的关键是应用圆心角定理和圆周角定理解决问题． 8．如图所示，是的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，点是点B关于所在直线的对称点，的半径为1，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查圆弧与圆心角之间的关系以及勾股定理的应用、轴对称性质，熟记圆的性质并灵活应用是解题关键．如图，连接、，由题意可得，，由点B是的中点可得，即，所以，进而得出， 由勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可得，， 点B是的中点， ， ， 点是点B关于所在直线的对称点， ， ， 又， ． 故选：B． 9．如图，是半圆的直径，是的中点，是的中点，于点E，于点．在下列结论中：①；②；③；④．正确的有__________．    【答案】①②③ 【分析】连接、、，证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，解直角三角形，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：连接、、，   ， 是的中点，是的中点，于点E，于点， 垂直平分，垂直平分， ，， ， ，， 都是等边三角形， ， ， ， ，故①正确， 于点E，于点， ， ，，， ，故②正确， ， ，故③正确， ，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 10．如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，求弧DE的度数． 【答案】 【分析】连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角计算出，再利用得到，然后根据三角形外角性质计算出，从而得到弧的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴弧的度数为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系：圆心角的度数等于它所弧的度数，掌握以上知识是解题的关键． 【强化训练】 1．如图,圆上有A,B,C,D四点,圆内有E,F两点且点E,F在BC上.若四边形AEFD为正方形,则下列弧长关系中,正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图知，BC＞AD，根据大弦对大弧知， ． 【详解】A、因为四边形AEFD为正方形，所以AD＝AE，则其所对的弧相等，因为AB＞AE，所以，故A项不正确； B、因为四边形AEFD为正方形，所以AD＝AE，因为AB＞AE，所以AB＞AD，则可得 ，故B项不正确； C、弦AB＜AE＋BE（三角形两边之和大于第三边），弦BC＝EF＋BE＋FC＞EF＋BE＝AE＋BE＞弦AB，所以，故C项正确； D、由图可看出其不相等，故D项错误． 故答案选：C． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用了在同圆或等圆中大弦对大弧求解,熟练掌握关系是解题的关键. 2．如图1为某酒店的圆形旋转门，可看成如图2由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图2位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为（　　）    A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【分析】由题意得可得与的最大值的和为，结合和关于圆心中心对称即可求解． 【详解】解：∵ ∴与的最小值为 ∴与的最大值的和为 ∵和关于圆心中心对称 ∴ ∴，最大值为 故选：B 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．得出与的最大值的和为是解题关键． 3．如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，可得，，都是等边三角形，从而得弓形的面积弓形的面积，进而得阴影部分的面积的面积，进而即可求解． 【详解】连接，，， 是等边三角形， ，， ， ，，，都是等边三角形， ， 弓形的面积弓形的面积， 阴影部分的面积的面积， ， 是等边三角形，边长为， 过点作于点，则， ， 的面积 ， 阴影部分的面积 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧与圆心角的关系，圆的对称性，得出阴影部分的面积等于的面积是解题的关键． 4．如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 【答案】A 【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解． 【详解】连接，    ∵点是的八等分点，即 ∴， ∴ 又∵的周长为， 四边形的周长为， ∴ 在中有 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键． 5．如图，是直径，是弦，点E在弦上．D是的中点，，，若四边形为平行四边形，则的半径是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等弧对等弦，得到，得到三角形为等腰三角形，圆周角定理得到，平行四边形的性质，得到，三线合一得到点为的中点，连接，中位线定理，得到，垂径定理得到，进而得到三点共线，即可得出的半径． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则：点为的中点， 连接，则：，，    ∵， ∴三点共线， ∴；即的半径是． 故选B． 【点睛】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，平行四边形的性质，三角形的中位线定理，垂径定理．解题的关键是证明点为的中点． 6．如图，等边内接于，D为边上一动点（不与A、C重合），连接并延长交边于E，将沿翻折为，边交于点，若的周长记为，的周长记为，则的值为______．    【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，圆周定理，等边三角形的性质，连接，，延长交于点，连接，由折叠性质可知：，则，从而有，通过弧度和差可得，所以，再由周长即可求解．在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角、弦相等，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【详解】如图，连接，，延长交于点，连接，    由折叠性质可知：， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴的周长， 的周长， ∴， 故答案为：． 7．如图，、、、依次为一直线上个点，，为等腰直角三角形，且，过点、、，且弧的度数，则的值是 _____． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，弧与圆心角的关系，矩形的性质，勾股定理，正确作辅助线是解题关键；连接，延长交分别为，得到是等腰直角三角形，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，设，则，进而表示出，根据勾股定理建立关系式，整理得出，即可求解． 【详解】如图所示，连接，延长交分别为， ∵，为等腰直角三角形 ∴， ∵弧的度数， ∴是等腰直角三角形， 则四边形是矩形，是等腰直角三角形， 设，则， ∴， 在中， ∴ 即 整理得， ∴ 故答案为：． 8．如图，四边形是的内接四边形，直径平分． (1)求证：； (2)过点A向圆外作，且，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1) 证明：为直径， ， 直径平分， ， ， ， ， ； (2) 证明： 四边形为平行四边形． 【分析】本题考查的是圆的相关性质--圆周角定理推论、同圆中弧弦间的关系，平行四边形的判定， （1）先证明及，证出即可证出结论； （2）先证明，再证明即可证出结论． 【详解】（1）略 （2）略 9．如图，是的两条弦，与相交于点，． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； (2) 略 【分析】（）利用弧、弦、圆心角的关系得出，即得，即可求证； （）由得，即得，即得到，得到，进而由得到都在的垂直平分线上，即可求证； 本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，垂直平分线的判定等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 10．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，． (1)求证：平分； (2)过点O作于点E，交于点P．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据平行线的性质可得，等量代换可得结论； （2）求出，，设，则，然后在中，利用勾股定理构建方程求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，O为圆心， ∴， 在中，，， ∴， 由（1）得，平分， ∴ ， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：（舍去），， ∴． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，垂径定理以及勾股定理等知识，灵活运用各性质是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $