专题35 与圆有关的最值问题求解策略（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦“与圆有关的最值问题”核心知识点，系统梳理从基本原理（两点之间线段最短、垂线段最短等）到重要模型（点圆最值、线圆最值、将军饮马等）再到题型应用（构造辅助圆、米勒定理等）的学习支架，构建完整知识脉络。 资料通过“隐圆构造”“动点轨迹分析”培养几何直观与空间观念（数学眼光），借助多模型变式训练发展逻辑推理与抽象思维（数学思维），以典例规范表达强化模型意识（数学语言）。课中助力教师系统授课，课后巩固训练帮助学生查漏补缺，提升解题能力。

专题35 与圆有关的最值问题求解策略 一、素养目标 1.理解圆的对称性和最值问题背后的数学原理 2.通过探索和解决问题，发展逻辑思维能力和抽象思维能力 3.能运用数学模型分析问题，解决问题。 二、重点与难点 重点：圆中最值问题的多种求解方法 难点：如何建立适当的模型，如何发现隐圆及如何构造辅助圆，如何确定动点的运动轨迹。 一、圆中最值问题的破解方法 基本数学原理：两点之间线段最短；垂线段最短；三角形三边关系；圆中最长的弦是直径；将军饮马模型；点圆最值模型；线圆最值模型；二次函数的性质；构造辅助圆的几种方法；弥勒定理等 二、圆中最值问题的几个重要模型 类型一 圆中最长弦——直径最值问题 如图，⊙O中最长的弦是直径AB. 类型二 点圆最值问题 如图①，当点P在⊙O外时，PA最短，PB最长；如图②，当点P在⊙O内的OA上时，PA最短，PB最长. 类型三 线圆最值问题 AB为⊙O的一条定弦，C为圆上一动点. 1. 如图①，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时， 线段CH的长即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大. 2. 如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且直线CH过圆心O时， 线段CH的长即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大. 题型01根据两点之间线段最短求最值 【典例】如图，是⊙的直径，是上半圆上一点，且满足是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点M，连接，由圆周角定理得到，由含30度角的直角三角形的性质求出，得到，由直角三角形斜边中线的性质推出，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，于是线段的最小值是． 【详解】解：取中点M，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴线段的最小值是． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形三边关系，直角三角形斜边的中线，圆周角定理，关键是由三角形三边关系定理得到． 【变式】如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是____________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，垂径定理，圆心角与弧之间的关系，作点A关于的对称点C，连接，则，可证明点C在上，再证明，得到三点共线，根据可得当C、P、B三点共线时，最小，即此时最小，则的最小值为． 【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点C，连接， 由轴对称的性质可得垂直平分， ∴， ∵是的直径， ∴点C在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴当C、P、B三点共线时，最小，即此时最小， ∴的最小值为， 故答案为：10； 题型02根据垂线段求最值 【典例】如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆过点，一直线过点与圆交于 、两点，则弦的长的最小值为________． 【答案】 【分析】运用勾股定理可求出OD，由条件可求出半径OB，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题． 【详解】解：过点D作DH⊥x轴于点H， 则有OH=2，DH=3， ∴根据勾股定理得：， ∵点， ∴， ∴， ∵过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示， ∴由垂径定理及勾股定理可得：BC的最小值为 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长的最小值为（   ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短”这个经验是解决本题的关键． 【详解】对于直线，当时，， ∴直线恒经过点，记为点D， 过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短， 如图，连接，， ∵以原点O为圆心的圆过点，即的半径为 ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 故选：D． 题型03根据三角形三边关系求最值 【典例】如图，是半径为的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于C，点为的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】连接、，，，作于点，求出，然后在中利用三角形的三边关系可得，从而求的最小值． 【详解】解：如图，连接、，，，作于点， 由翻折可知：， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形，连接， ∵为中点， ∴由三线合一性质可得：， ∵， ∴由垂径定理可得：为中点， 在中，为斜边上的中线， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时取等号，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，关键是辅助线的作法 【变式】如图，中，，，，点在以为圆心，以为半径的圆上运动，点是的中点，则的最大值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，取的中点，连接，，利用勾股定理求出，利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出，，再利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ，，， ， 点是的中点， ， 点是的中点，点是的中点， ， ， ， 即的最大值是， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 题型04根据圆中最长的弦是直径求最值 【典例】图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是________． 【答案】4 【分析】连接，，求出，，，四点共圆，则是的一条弦，当为的直径时最大． 【详解】：如图，连接，，根据， 所以，，，四点共圆，且为直径， 的中点为圆心，则为的一条弦， 当为的直径时最大， 所以时最大， 即的最大值为4． 故答案为4 【点睛】本题考查了四点共圆，解题的关键是找出符合条件的的位置，有一定难度． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与y轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形中位线的性质得到当为直径（过圆心M）时，最大；然后延长与圆交于点，连接；再由圆周角定理可得，然后由垂径定理得到、求解、，最后求出线段的中点坐标即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，点M坐标为，点A坐标为， ∴，， ∵点D是的中点， ∴且， ∴最大时，即当为直径（过圆心M）时，最大； 如图：延长与圆交于点，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， ∵的中点，， ∴的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形的中位线、勾股定理、线段的中点等知识，将求线段最大时D的坐标转换成求最大时点D的坐标是解答本题的关键． 题型04利用将军饮马模型求最值 【典例】如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据，，用勾股定理计算得到；延长与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线上时，取最小值；过G作于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到的值，即可完成求解． 【详解】解：如图，连接， ∵过A作于点C，过B作于点D， ∴，， ∵，A、B是上的两点， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴ ， 延长与⊙O相交于点G， ∵MN为的直径，， ∴，， ∴ ， 当点P在直线上时，取最小值，且最小值， 过G作于点H， 又∵， ∴，， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解． 【变式】如图，在中，，，半径为的与交于点，且与相切，过点作交于点，点是边上动点．则周长最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质与判定、勾股定理以及轴对称的最短路线问题，延长交于点，连接，交于点，则．此时的值最小，即的周长最小，求此时的周长即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，交于点，则． 此时的值最小，即的周长最小 设与相切于，连接， 则， ， ， ； ，为的半径， 是的切线， 连接，则 ， ， ， ， 解得：， ， 周长最小值为， 故选：A． 题型05利用点圆最值模型（“一箭穿心”）求最值 【典例】如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A(6，0)和B(0，2)，点P是圆上一个动点，点C(0，﹣3)，则PC长度的最小值为（    ） A．4﹣ B．8﹣ C．2﹣ D．5﹣ 【答案】D 【分析】连接AB，取AB的中点T，连接CT，PT，根据∠ABO=90° ，可知AB为圆的直径，T为圆心，PC的最小长度即为点C到圆T上一点的最短距离. 【详解】解：连接AB，取AB的中点T，连接CT，PT． ∵A（6，0），B（0，2）， ∴OA＝6，OB＝2， ∵∠ABO=90° ， ∴，AB为圆的直径， ∴TB＝AT＝PT＝， ∴T（，）即（3，1）， ∵C（0，﹣3）， ∴ ∴PC≥CT﹣PT＝5﹣， ∴PC的最小值为5-． 故选D． 【点睛】本题主要考查了两点中点坐标公式，两点距离公式，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，圆外一点到圆的最短距离等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【变式】【问题情境】（）点是外一点，点是上一动点．若的半径为，且，则点到点的距离最长为多少？ 【直接运用】（）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是弧上的一个动点，连接，则的最小值是什么？ 【答案】问题情境：；直接运用：； 【分析】问题情境：如图，当点三点共线时，点到点的距离最长，据此解答即可求解； 直接运用：连接，交半圆于，连接，由勾股定理得，由三角形三边关系可得，即得，据此即可求解； 【详解】解：问题情境： 如图，当点三点共线时，点到点的距离最长， ∵的半径为，， ∴， ∴点到点的距离最长为； 直接运用：连接，交半圆于，连接，如图所示， ∵，为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当点在上时，最短，最小值为； 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，勾股定理，三角形的三边关系，正方形的性质，切线长定理，直线和圆的位置关系，正确作出辅助线是解题的关键． 题型06利用直线与圆的特殊位置关系求最值 【典例】已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d 可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+7，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（    ） A． - 1 B． - 1 C． - 1 D．2 【答案】A 【分析】求出点C（1，1）到直线y=-2x+7的距离d即可求得PQ的最小值． 【详解】如图，过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点， 此时PQ的值最小， 根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离， ∵⊙C的半径为1， ∴， 故选 A． 【点睛】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． 【变式】在中，，D，E分别是的中点，若等腰绕点A逆时针旋转，得到等腰，记直线与的交点为P，则点P到所在直线的距离的最大值为 _____． 【答案】/ 【分析】首先作，交所在直线于点G，则在以A为圆心，为半径的圆上，当所在直线与⊙A相切时，直线与的交点P到直线的距离最大，此时四边形是正方形，进而求出的长． 【详解】解：如图，作，交所在直线于点G， ∵在以A为圆心，为半径的圆上， 当所在直线与⊙A相切时，直线与的交点P到直线的距离最大， 此时四边形是正方形，， 则， 故，， 故点P到所在直线的距离的最大值为：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了几何变换,勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出的最长时P点的位置是解题关键． 题型07利用二次函数求最值的方法求圆中最值 【典例】如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y＝－x＋8上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为__________．    【答案】 【分析】连接OP、OQ，设P（m，﹣m+8），根据切线性质可得PQ⊥OQ，根据勾股定理列出关于m的函数关系式，根据二次函数求最值的方法求解即可． 【详解】解：连接OP、OQ，设P（m，﹣m+8）， ∵PQ为⊙O的切线，Q为切点， ∴PQ⊥OQ， 在Rt△OPQ中，由勾股定理得：PQ2=PO2﹣OQ2， 即PQ2=m2+(﹣m+8)2﹣（）2 =2m2﹣16m+52 =2（m﹣4）2+20， ∵2＞0， ∴当m=4时，PQ2有最小值，最小值为20， 则切线长PQ的最小值为， 故答案为：．    【点睛】本题考查了圆的切线性质、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、配方法、二次函数的性质，熟练掌握圆的切线性质和二次函数的性质是解答的关键． 【变式】如图，在直角坐标系中，以点为圆心，画半径的圆，点为直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为_______________    【答案】4 【分析】设直线分别与轴，轴交于点，连接，先求出，再根据圆的切线的性质可得，根据勾股定理可得，从而可得当时，的值最小，则取得最小值，然后根据等腰三角形的判定和勾股定理可求出，由此即可得． 【详解】解：如图，设直线分别与轴，轴交于点，连接，    当时，，解得，即， 当时，，即， ∴， ∵轴轴， ∴， ∵的圆心为，半径为， ∴，， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∴当的值最小时，取得最小值， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴此时， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定、一次函数的应用，正确找出当时，的值最小，则取得最小值是解题关键． 题型08利用定点定长构造辅助圆求最值 【典例】如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为___________；的最大值为___________．    【答案】 【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解； （2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值． 【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半， ∴的面积为， 在中，， ∴当最大时，即最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：    由题意可得：，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为______． 【答案】/ 【分析】连接，由三角形的中位线定理求得，得M点在以A点为圆心，2为半径的圆上运动，当M点为线段与的交点时，的面积最小，求出此时的面积便可． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∴， ∵为直径， ∴， 由题意知，点M在以A为圆心，2为半径的上运动， 当M点为线段与的交点时， 点M到的距离最短为， ∴面积的最小值为：． 故选：． 【点睛】本题考查坐标与图形，点和圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线定理，关键在于确定M点的运动轨迹． 题型09利用定弦定角构造辅助圆求最值 （1）定角为直角 【典例1】如图，在中，，，，点D是其内部一动点，且，则C，D两点的最小距离为（    ）    A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点D位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．首先证明点D在以为直径的上，连接与交于点D，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，，，    ∴由勾股定理，得， 如图，取的中点O，连接，交圆于点， ∵，， ∴， ∴， ∴E点在以O为圆心，半径为的圆上运动，当O，D，C三点在同一直线上时，最短， 此时， 在中， 由勾股定理，得， 故的最小值为： ， 故选：C． 【变式】正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明△ABE≌△BCF，即可得到∠APB=90°，再取AB中点H，HP=BC=2，点P在以点H为圆心，以HP为半径的半圆上运动，因此当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值，依据HP与CH的长，即可得出CP的最小值． 【详解】解：如图，取AB中点H，连接HP，HC， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BAE=∠CBF， ∴∠BAE+∠ABP=∠CBF+ABP=90°， ∴∠APB=90°， ∴HP=BC=2，点P在以点H为圆心，以HP为半径的半圆上运动， ∴当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值， Rt△BCH中，HC==2， ∴CP的最小值=HC-HP=2-2， 故选A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，解决本题的关键是取AB中点H，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值． （2）定角为非直角 【典例2】如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、交于点，连接、．根据，可得、、、四点共圆，进而根据得出线段的最大值． 【详解】如图，连接、交于点，连接、． ， 、、、四点共圆， 正方形的边长为， ， 为的中点，是的中点， ， ， 当点在线段上时，， 即线段的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正方形的性质，得出、、、四点共圆是解题的关键． 【变式】（2025秋•南京月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD＝90°，，E为AC上一点，∠CED＝45°，则BE的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，以AD边为斜边，在AD的下方构造等腰直角△ALD，以L为圆心，AL为半径作⊙L，在⊙L的优弧AD上取一点M，连接AM、DM，连接BD，AL，DL，BL，由勾股定理及圆周角定理的推论得，BD是⊙O的直径，根据等腰直角三角形的性质得，∠ADL＝∠DAL＝45°，从而∠AED+∠ALD＝180°，点E在定圆⊙L的上运动，利用勾股定理得，进而利用三角形的三边关系即可得解． 【详解】解：如图，以AD边为斜边，在AD的下方构造等腰直角△ALD，以L为圆心，AL为半径作⊙L，在⊙L的优弧AD上取一点M，连接AM、DM，连接BD，AL，DL，BL， ∵∠BAD＝90°，， ∴BD是⊙O的直径，BD8， ∴∠AED＝180°﹣∠CED＝135°， ∵AL＝AD，∠ALD＝90°， ∴∠AMD∠ALD＝45°，∠ADL＝∠DAL＝45°， ∴∠AED+∠ALD＝180°， ∴点E在定圆⊙L的上运动， ∴根据三角形的两边之差小于第三边得，当B、E、L三点共线时，BE最小， ∵∠ALD＝90°，AL＝AD， ∴， ∴AL＝DL＝4， ∵∠ADB＝90°， ∴， ∴BE的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理是解题的关键． 题型10利用四点共圆构造辅助圆求最值 【典例】已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：； (2)当，时，求的长？ (3)当时，求的最大值？ 【答案】(1) 证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)6 (3)4 【分析】（1）如图所示，连接，先证明是等边三角形，得到，再证明得到，由此即可证明结论； （2）延长到M使得，证明，得到，进而证明是等边三角形，则； （3）先证明四点共圆，则当为直径时，最大，设圆心为O，连接，过点O作于M，在中求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：延长到M使得， 由（1）可得， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴当为直径时，最大， 设圆心为O，连接，过点O作于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 题型11利用米勒定理求最值 【典例】如图，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点、作，点与轴相切于点时，利用圆周角大于对应的圆外角得到此时最大，连接、、，作轴于，如图，利用垂径定理得，则，再根据切线的性质得轴，则四边形为矩形，所以，则，在中，利用勾股定理计算出，于是可得到点坐标为，． 【详解】解：过点、作，点与轴相切于点时，最大， 连接、、，作轴于，如图， 点、的坐标分别是、， ，， ， ， ， 与轴相切于点， 轴， 四边形为矩形， ， ， 在中，， 点坐标为，． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的综合题，熟练掌握垂径定理、圆周角定理,勾股定理,坐标与图形，掌握相关定理性质是解题的关键． 【变式】如图，在中，，点D为的中点，点M，N分别是边上的动点，且，点P是的中点，连接，则： ①的最小值为________ ； ②当最大时，线段的长是_________． 【答案】 【分析】本题考查了点到圆距离的最值，三角形的中位线，切线的性质，斜边上中线等于斜边一半，得点的运动轨迹为圆是解题的关键． ①连接，可得点的运动轨迹为圆，即可求得的最小值； ②可得与圆相切时，最大，再求得即可． 【详解】解：如图，连接，， 点P是的中点，，， ， 点在以点为圆心，以为半径的圆上， 当三点共线时，最小， ， 点D为的中点， ， 的最小值为， ②解：当最大时，即点到直线的距离最大， 如图，当与圆相切时，最大， ， 过点作交于点， , ，， ， 是的中位线， ， ， 故答案为： ；． 【巩固训练】 1．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，当线段最短时，点的坐标为______． 【答案】 【分析】连接OP，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP=AB，当OP最短时，AB最短，连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接OP． ∵PA⊥PB，OA=OB， ∴OP=AB，当OP最短时，AB最短． 连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3， ∴AB的最小值为2OP=6． ∵点、点关于原点对称， ∴OA=OB=3， ∴点A的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP． 2．如图，在中，，，，经过点C且与边相切的动圆，与分别相交于点E、F，则线段长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．4．8 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，90度的圆周角所对的弦是直径，过点C作于H，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，则是经过点C且与边相切的动圆的直径，故当为直径且时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于H，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是经过点C且与边相切的动圆的直径， ∵， ∴当为直径且时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴， ∴有最小值4， 故选B． ． 3．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（　　） A．2 B．3 C． D．3 【答案】A 【详解】分析：点P，可以看作是以O为圆心，以为半径的圆上的一点，当AP与这个圆相切时BC取最大值，利用中位线定理得出结论即可. 解析：当OP⊥AB时，BC最长，∴AP=BP,∵AC为直径，所以BC⊥AB，∴OP=BC,∴BC= 2. 故选A. 点睛：本题的关键在于找到最值的接点，利用切线的性质找到点P的位置，从而确定BC的最值，利用中位线定理得出BC的长. 4．如图，是的一条弦，点C是上一动点，且，点E，F分别是的中点，直线与交于G，H两点，若的半径是8，则的最大值是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】首先连接，根据圆周角定理，求出，进而判断出为等边三角形；然后根据的半径为8，可得，再根据三角形的中位线定理，求出的长度；最后判断出当弦是圆的直径时，它的值最大，进而求出的最大值是多少即可． 【详解】如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵的半径为8， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∵为定值， ∴当最大时，最大 ∵当弦是圆的直径时，它的最大值为：， ∴的最大值为：． 故选B． 【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的性质，判断出当弦GH是圆的直径时GE+FH取得最大值是关键． 5．如图，在中，弦，点在弦上移动，连接，过点作交于点，那么的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理，连接，可得，可知当取最小值，即时，的值最大，此时点和点重合，再根据垂径定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵为定值， ∴当取最小值，即时，的值最大，此时点和点重合， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切于点M，P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，连接OM，分别利用三角形中位线定理可求得OM和OP的长，则可求得PQ的最小值． 【详解】当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，连接OM，如图， ∵AC为圆的切线， ∴OM⊥AC， ∵AC=8，BC=6，∠ACB=90°， ∴OM∥BC，且O为AB中点， ∴OM为△ABC的中位线， ∴OM=BC=3， 同理可得PO=AC=4， ∴PQ=OP﹣OQ=4﹣3=1， 故选：A． 【点睛】此题主要考查圆的切线、三角形中位线的综合应用，熟练掌握，即可解题. 7．如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是_____． 【答案】4 【分析】本题考查垂径定理、三角形中位线定理，延长交于点K，连接，根据垂径定理可得，再根据三角形中位线定理可得，进而可得当最大时，的值最大，即即当为直径时，的值最大，即可求解． 【详解】解：延长交于点K，连接， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，的值最大， 即当为直径时，的值最大， ∵的直径， ∴， 故答案为：4． 8．如图，已知点，为平面直角坐标系内两个点，以点A为圆心的经过坐标原点，轴于点C，点D为上的一动点，点E为的中点，则线段长度的最大值为______． 【答案】 【分析】连接，，，取的中点为， 连接，，可求得，，根据三角形的三边关系即可求得答案． 【详解】解：如图所示，连接，，，取的中点为， 连接，． 根据题意，得 ， ∴． 根据题意，得 ． ∵为斜边的中点， ∴． ∵的中点为，的中点为， ∴． ∴，即 ． ∴长度的最大值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，圆的概念，中位线定理，三角形的三边关系，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，能根据题意绘制辅助线是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为__________，此时长度为__________． 【答案】 8 16 【分析】连接，，由题意知，，，由三角形三边关系可知：，当点在射线上时取最大值，如图，由，，可知点为斜边的中点，可知，则当长度为最大值时，可得，即可求解． 【详解】解：连接，， ∵已知， ∴， 又∵以点为圆心的圆与轴相切， ∴得半径为3，则， 由三角形三边关系可知：，当点在射线上时取最大值，如图， 即：长度的最大值为8， 又∵，， 则点为斜边的中点， ∴， ∴当长度为最大值时，， 故答案为：①8，②16． 【点睛】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，三角形的三边关系，斜边的中线等于斜边的一半，利用三角形的三边关系找到的最大值是解题的关键． 10．如图，在 中，经过点C且与边相切的动圆与，分别相交于点P，Q，则线段长度的最小值为______． 【答案】 【分析】设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、，则有，由勾股定理的逆定理可得，得到为圆F的直径，进而得到，又由，可得点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径，再利用的面积即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、， ∵圆F与相切， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，为圆F的直径， ∴当点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理、三角形的三边关系及三角形的面积公式，根据题意可知当点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值是解题的关键． 【强化训练】 1．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，定点、、为3个格点，以点为圆心作圆，使点落在内，过点任意作弦，取的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理与网格问题；连接，，根据垂径定理得出，得到在以为直径的上运动，连接交于点，当重合时，取得最小值，根据勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示连接，， ∵的的中点 ∴， ∴， ∴在以为直径的上运动， 当重合时，取得最小值， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 2．已知的半径是，直线与相交于，两点，点，分别在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．25 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，几何图形面积最值的计算，掌握圆内接四边形的性质，得到当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为是解题的关键． 如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点，由内接四边形可得，由圆周角定理可得，则，，所以有，由题意可得当的值最大时，四边形面积有最大值，即与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点， ∵的半径是5， ∴，， ∵点都在圆上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴当的值最大时，四边形面积有最大值， ∴当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为， ∴四边形面积的最大值是， 故选：D ． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（4，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 ﹣1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】连接OP、OQ，根据勾股定理知 当PO⊥AB时，线段PQ最短，即线段PQ最小. 【详解】解：如图，连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 由勾股定理知， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短； 又∵A（4，0）、B（0，4）， ∴OA＝OB＝4， ∴， ∴， ∵OQ＝2， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题． 4．如图，点的坐标是，点是以为直径的 上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为(    ) A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】根据题意得出，可得点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，令即，所以当直线于相切时，最大，进而求解即可． 【详解】解：连接，， 为直径的， ∴ ∴垂直， 点关于点的对称点为点， ∴， ∴垂直平分， ∴ ， ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 令 则 要求值最大， 越往上越大， 当直线与相切时，最大， 设直线与轴交于点，切点为，连接，则， 由直线比例系数可知，直线与坐标轴所夹锐角为， 为等腰直角三角形， 即 的最大值为 故选：B． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂直平分线的性质，切线的性质，一次函数，勾股定理；根据题意得出点的运动轨迹是解题的关键． 5．如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝2， ∴C在⊙B上，且半径为2， 取OD＝OA＝4，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°， ∴BD＝4， ∴CD＝4+2， ∴OM＝CD＝2+1，即OM的最大值为2+1； 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点． 6．直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（　　） A．27 B．10 C．23 D．32 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，三角形的面积，点和圆的位置关系，解此题的关键是求出圆上的点到直线的最大距离． 求出A、B的坐标，根据勾股定理求出，求出点C到的距离，即可求出圆C上点到的最大距离，根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵点P是以为圆心，1为半径的圆上一点， 过C作于M，连接， ∴， ∴， 当P，C，M在一条直线时，最大，即的面积最大， 即， ∴面积的最大值， 故选：D． 7．如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一点到圆上一点的最值，勾股定理，正方形的性质；取的中点，连接，依题意得出在以为直径的上运动，进而由勾股定理求得，根据的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵ ∴， ∴在以为直径的上运动， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故选：C． 8．如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，根据垂径定理得到，可得点在以为直径的上，结合的半径为2，易得的半径为1，当点、、三点共线时，最长，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵是的直径，为的中点， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵的半径为2， ∴的半径为1， 当点、、三点共线时，最长， 连接并延长，交于点， 故当点与点重合时，最长， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握垂径定理和圆的性质是解题的关键． 9．如图，已知，的半径为2，点C在上，连接．并将线段绕点A顺时针旋转得到线段．当点C在上运动时，点D到直线距离的最大值是________． 【答案】 【分析】将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，，，证明，推出，得到点D在以点为圆心，2为半径的上，当点在线段上时，点D到直线距离取得最大值，据此计算即可求解． 【详解】解：过点D作于点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，，，如图， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点D在以点为圆心，2为半径的上， ∴当点在线段上时，点D到直线距离取得最大值，如图， 此时是等边三角形的高， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D到直线距离的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．判断出点D在以点为圆心，2为半径的上是解题的关键． 10．问题情境：如图①，是外的一点，直线分别交于点、，可以发现是点到上的点的最短距离． (1)直接运用：如图②，在中，，，以为直径的半圆交于，是弧上的一个动点，连接，则的最小值是　 　． (2)构造运用：如图③，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． (3)综合运用：如图④，平面直角坐标系中，分别以点，为圆心，分别以、为半径作、，、分别是、上的动点，为轴上的动点，则的最小值等于　 　． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先确定出最小时点的位置，如图中的的位置，即可得出结论； （2）先判断出，再构造出直角三角形，利用锐角三角函数求出，，进而用用勾股定理求出，即可得出结论； （3）利用对称性确定出点关于轴的对称点，即可求出结论． 【详解】（1）如图②，取的中点， 连接，交半圆于，在半圆上取一点，连接，， 在中，， 即：是的最小值， ，， ； 故答案为：； （2）如图③，由折叠知，， 是的中点， ， 以点在以为直径的圆上， 当点在上时，的长度取得最小值， 过点作于， 在中，， ， 在中， ， ； （3）如图④，作关于轴的对称圆 ，连接交轴于， ， ， ， 的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆，三角函数，勾股定理，菱形的性质，轴对称的性质；根据题意画出图形，构造直角三角形，运用三角函数定义解决问题是关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题35 与圆有关的最值问题求解策略 一、素养目标 1.理解圆的对称性和最值问题背后的数学原理 2.通过探索和解决问题，发展逻辑思维能力和抽象思维能力 3.能运用数学模型分析问题，解决问题。 二、重点与难点 重点：圆中最值问题的多种求解方法 难点：如何建立适当的模型，如何发现隐圆及如何构造辅助圆，如何确定动点的运动轨迹。 一、圆中最值问题的破解方法 基本数学原理：两点之间线段最短；垂线段最短；三角形三边关系；圆中最长的弦是直径；将军饮马模型；点圆最值模型；线圆最值模型；二次函数的性质；构造辅助圆的几种方法；弥勒定理等 二、圆中最值问题的几个重要模型 类型一 圆中最长弦——直径最值问题 如图，⊙O中最长的弦是直径AB. 类型二 点圆最值问题 如图①，当点P在⊙O外时，PA最短，PB最长；如图②，当点P在⊙O内的OA上时，PA最短，PB最长. 类型三 线圆最值问题 AB为⊙O的一条定弦，C为圆上一动点. 1. 如图①，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时， 线段CH的长即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大. 2. 如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且直线CH过圆心O时， 线段CH的长即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大. 题型01根据两点之间线段最短求最值 【典例】如图，是⊙的直径，是上半圆上一点，且满足是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是____________． 题型02根据垂线段求最值 【典例】如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆过点，一直线过点与圆交于 、两点，则弦的长的最小值为________． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长的最小值为（   ） A．10 B．12 C．18 D．24 题型03根据三角形三边关系求最值 【典例】如图，是半径为的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于C，点为的中点，连接，则的最小值为______． 【变式】如图，中，，，，点在以为圆心，以为半径的圆上运动，点是的中点，则的最大值是（  ） A． B． C． D． 题型04根据圆中最长的弦是直径求最值 【典例】图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是________． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与y轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型04利用将军饮马模型求最值 【典例】如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式】如图，在中，，，半径为的与交于点，且与相切，过点作交于点，点是边上动点．则周长最小值为（    ） A． B． C． D． 题型05利用点圆最值模型（“一箭穿心”）求最值 【典例】如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A(6，0)和B(0，2)，点P是圆上一个动点，点C(0，﹣3)，则PC长度的最小值为（    ） A．4﹣ B．8﹣ C．2﹣ D．5﹣ 【变式】【问题情境】（）点是外一点，点是上一动点．若的半径为，且，则点到点的距离最长为多少？ 【直接运用】（）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是弧上的一个动点，连接，则的最小值是什么？ 题型06利用直线与圆的特殊位置关系求最值 【典例】已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d 可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+7，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（    ） A． - 1 B． - 1 C． - 1 D．2 【变式】在中，，D，E分别是的中点，若等腰绕点A逆时针旋转，得到等腰，记直线与的交点为P，则点P到所在直线的距离的最大值为 _____． 题型07利用二次函数求最值的方法求圆中最值 【典例】如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y＝－x＋8上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为__________．    【变式】如图，在直角坐标系中，以点为圆心，画半径的圆，点为直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为_______________    题型08利用定点定长构造辅助圆求最值 【典例】如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为______；的最大值为____．    【变式】如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为______． 题型09利用定弦定角构造辅助圆求最值 （1）定角为直角 【典例1】如图，在中，，，，点D是其内部一动点，且，则C，D两点的最小距离为（    ）    A．3 B．4 C． D． 【变式】正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（    ） A． B． C． D． （2）定角为非直角 【典例2】如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式】（2025秋•南京月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD＝90°，，E为AC上一点，∠CED＝45°，则BE的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型10利用四点共圆构造辅助圆求最值 【典例】已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：；(2)当，时，求的长？(3)当时，求的最大值？ 题型11利用米勒定理求最值 【典例】如图，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，在中，，点D为的中点，点M，N分别是边上的动点，且，点P是的中点，连接，则： ①的最小值为________ ； ②当最大时，线段的长是_________． 【巩固训练】 1．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，当线段最短时，点的坐标为______． 2．如图，在中，，，，经过点C且与边相切的动圆，与分别相交于点E、F，则线段长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．4．8 D．5 3．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（　　） A．2 B．3 C． D．3 4．如图，是的一条弦，点C是上一动点，且，点E，F分别是的中点，直线与交于G，H两点，若的半径是8，则的最大值是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 5．如图，在中，弦，点在弦上移动，连接，过点作交于点，那么的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切于点M，P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是_____． 8．如图，已知点，为平面直角坐标系内两个点，以点A为圆心的经过坐标原点，轴于点C，点D为上的一动点，点E为的中点，则线段长度的最大值为______． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为__________，此时长度为__________． 10．如图，在 中，经过点C且与边相切的动圆与，分别相交于点P，Q，则线段长度的最小值为______． 【强化训练】 1．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，定点、、为3个格点，以点为圆心作圆，使点落在内，过点任意作弦，取的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知的半径是，直线与相交于，两点，点，分别在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．25 B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（4，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 ﹣1 C．2 D．3 4．如图，点的坐标是，点是以为直径的 上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为(    ) A．3 B． C．6 D． 5．如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（　　） A．27 B．10 C．23 D．32 7．如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是（   ） A． B．3 C． D． 8．如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 9．如图，已知，的半径为2，点C在上，连接．并将线段绕点A顺时针旋转得到线段．当点C在上运动时，点D到直线距离的最大值是________． 10．问题情境：如图①，是外的一点，直线分别交于点、，可以发现是点到上的点的最短距离． (1)直接运用：如图②，在中，，，以为直径的半圆交于，是弧上的一个动点，连接，则的最小值是　 　． (2)构造运用：如图③，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． (3)综合运用：如图④，平面直角坐标系中，分别以点，为圆心，分别以、为半径作、，、分别是、上的动点，为轴上的动点，则的最小值等于　 　． / 学科网（北京）股份有限公司 $