专题34 正多边形和圆（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦正多边形和圆的核心知识点，系统梳理正多边形与圆的关系、中心、半径、边心距等概念，推导内角、外角、中心角的计算性质，构建从概念理解到性质应用的学习支架，涵盖作图、计算、证明等关键技能。 资料设计亮点突出，通过10类题型的典例与变式训练，结合苯分子结构、太极图等实际情境，培养几何推理与数形结合思维。课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识，提升运用数学语言解决问题的能力，感受几何对称美。

专题34 正多边形和圆 一、素养目标 1. 理解正多边形和圆的关系，掌握中心、半径、边心距等相关概念，会借助圆画出简单正多边形； 2.通过等分圆推导正多边形性质，提升几何推理与数形结合思维； 3.运用相关性质完成基础计算，感受几何图形对称美感，增强知识实操应用能力. 二、重点与难点 重点：理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. 难点：会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题. 一、正多边形的有关概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫作正n边形. 正多边形和圆的关系非常密切.只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆. 我们把正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距.(内切圆的半径) 二、正多边形的有关计算 内角：或；外角： 中心角： 中心角与外角的大小相等 题型01正多边形的多边角有关概念 【典例】对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①没有边相等的信息不能判定其是正多边形；②符合正三角形的定义；③仅有各角相等没有边相等的信息不能判定其是圆内正多边形；④符合圆内接多边形的定义． 【详解】①错误，如矩形，满足条件，却不是正多边形；②正确；③错误，如圆内接矩形，满足条件，却不是正多边形；④正确．共有2个正确． 故选B 【点睛】本题考查正多边形的定义、性质、圆与正多边形的关系，掌握正多边形的性质、圆的内接正多边形的性质是解题关键. 【变式】下面给出五个命题 (1)正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆 (2)各边相等的圆外切多边形是正多边形 (3)各角相等的圆内接多边形是正多边形 (4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形 (5)正n边形的中心角，且与每一个外角相等 其中真命题有(　　) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】A 【分析】根据正多边形的性质，以及正多边形与圆的关系即可作出判断． 【详解】解：(1)正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，是同心圆，圆心是正多边形的中心，故正确； (2)各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，故不一定是正多边形，如菱形，故错误； (3)圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故错误； (4)边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，而边数是奇数的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形； (5)正n边形的中心角，且与每一个外角相等． 故正确的是(1)(5)．共有2个． 故选A． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆的关系，以及正多边形的中心角的计算，都是需要熟记的内容． 题型02求正多边形的中心角 【典例】如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，三角形外角的性质，添加辅助线是解题的关键．根据正多边形与圆求出相应的圆心角度数，再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，设这个正九边形的外接圆为， 则， ∴， ∴， 故选：C． 【变式】苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可． 本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键． 【详解】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型03由正多边形的中心角求边数 【典例】如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO， ∴， ∴这个正多边形的边数为=10． 故选：B． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 【变式】如图，四边形是的内接四边形，是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，，则______．    【答案】48或36 【分析】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．连接，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正m边形与内接正n边形的中心角得到，根据，得到m，n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：连接，如图，    ， ， ， ， ， m，n的中有一个值必是3的倍数，且均为正整数， 设（均为正整数），则， （n为正整数）， 当时，（不符合题意）； 当时，，则； 当时，（不符合题意）； 当时，，则； 当时，（不符合题意）； 当时，，（不符合题意）； ； 当时，n均不为正整数，（不符合题意）； 综上，的值为48或36． 题型04尺规作正多边形 【典例】如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号） 【答案】 【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键． 【变式】已知：⊙O与⊙O上的一点A （1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹） （2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由． 【答案】 解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作； （2）四边形BCEF为矩形．理由如下： 连接BE，如图， ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA， ∴， ∴， ∴， ∴BE为直径， ∴∠BFE=∠BCE=90°， 同理可得∠FBC=∠CEF=90°， ∴四边形BCEF为矩形． 【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF； （2）连接BE，如图，利用正六边形的性质得AB=BC=CD=DE=EF=FA，，则判断BE为直径，所以∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，然后判断四边形BCEF为矩形． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与正六边形的性质． 题型05正多边形和圆中求线段长度 【典例】如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，分别以点A、D为圆心，AE长为半径作弧，在⊙O外交于点G，连接OG．若⊙O的半径为1，则OG的长度为______________． 【答案】 【分析】连接AG，AD，AE，OE，过点O作OH⊥AE于点H，解直角三角形求出AE，再利用勾股定理求出OG即可． 【详解】解：如图，连接AG，AD，AE，OE，过点O作OH⊥AE于点H． ∵OH⊥AE， ∴AH＝EH， ∵∠AOE＝120°， ∴∠OAE＝∠OEA＝30°， OH=OA=，AH=， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆的性质，全等三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 【变式】如图，正方形和正三角形内接于，、交于、，若正方形的边长是4，则的长度为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于，连接，根据正方形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接交于，连接， 四边形是正方形， ， 是的直径， 是等腰直角三角形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ． 故选：． 【点睛】本题考查正多边形与圆的关系，涉及到特殊锐角三角函数值、正方形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用所学知识． 题型06 正多边形和圆中求角度 【典例】如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点是优弧上的一点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形内角和问题，圆周角定理，切线的性质，解题的关键是掌握多边形内角和公式．据正五边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由五边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是正五边形的内切圆，分别切，于点， 连接，， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【典例】如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点A，重合），求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形和圆、圆周角定理的应用，连接、、，根据正多边形和圆的知识求出正八边形的中心角的度数，根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图，连接、、， ∵八边形是正八边形， ∴， ∴， ∴． 题型07正多边形和圆中求周长 【典例】如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，矩形，掌握正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，即可． 【详解】解：如图，连接，，，过点作于点，则，   点是正六边形的中心， ， ， 是正三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形的周长是， 故选：C 【变式】如图，正六边形内接于，已知的半径为1，连接，则四边形的周长为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形和圆，连接，则， 均为等边三角形．所以．即得出四边形的周长．熟知正六边形的性质是解答此题的关键． 【详解】解：连接，如解图所示． 六边形是正六边形， ． 又， ， 均为等边三角形． ． 四边形的周长为， 故选：． 题型08正多边形和圆中求面积 【典例】如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则______．（填“、或”） 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接正多边形，分别求出、，再根据作差法即可求解，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作于，连接，过作于， 在图中，，，，， ∴，， ∴， ∴ ， 在图中，，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：因为是正六边形，所以△OAB是边长为a的等边三角形， 即两个空白三角形面积为S△OAB，即=5． 故选C． 【点睛】本题考查正多边形和圆． 题型09正多边形和圆中求最值 【典例】如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为______________；（2）周长的最小值是___． 【答案】 4 【分析】（1）利用圆的面积公式计算出半径即可求出直径； （2）连接，，以、为边作，连接，证明出，，当、、共线时，最小，即为的最小值，利用勾股定理求出即可解答此问． 【详解】解：（1）的面积为， ， 的直径长为， 故答案为：； （2）如图，连接，，以、为边作，连接， 四边形为正方形， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 当、、共线时，最小，即为的最小值， 在中，，， ， ， ， 周长的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了正方形与圆，平行四边形的性质，最短路径问题，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 【变式】如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，由题意可得，的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可． 【详解】解：设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，过点作，如下图：    则的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值， 由题意可得：，， 由勾股定理可得：， ∴， 故选：D． 题型10正多边形和圆中的证明 【典例】如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：如图所示，连接，则， ∵是内接正十边形的边长， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵内接正十边形， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据圆心角的计算可得，，由此可得，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍可得，根据三角形内角和可得，根据正十边形的性质，内角和定理可得，由此可得，根据平行线的判定即可求解； （2）根据（1）的计算，可得，，再根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查正多边形与圆的综合，掌握正多形的性质，多边形内角和定理，圆心角的计算，等腰三角形的性质，同弧所对圆心角与圆周角的关系，平行线的判定等知识，图形结合分析是解题的关键． 【变式】（1）已知：如图1，是的内接正三角形，点为劣弧上一动点． ①求证：当点为的中点时，三点共线； ②求证：； （2）已知：如图2，四边形是的内接正方形，点为劣弧上一动点． 求证：． 【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）见解析 【分析】（1）①根据是的内接正三角形得到， 由点为的中点，得到，再求得，可知为的直径，故可得即三点共线； ②延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE＝PC，∠E＝∠3＝60°，∠EBC＝∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA＝BE＝PB＋PC； （2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC＝AE，可得． 【详解】证明：（1）①∵是的内接正三角形 ∴ 又∵点为的中点 ∴∴ ∴ ∴为的直径 即三点共线； ②延长至，使，连接，如图， ∵、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，； 又∵，， ∴， ∵、为等边三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴ （2）过点作交于，如图， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识．要熟悉这些基本性质和全等三角形的判定方法才能灵活运用解决综合性的习题． 【巩固训练】 1．下列命题正确的是（     ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各边相等的圆外切多边形是正多边形 C．各内角相等的圆内接多边形是正多边形 D．各边相等的圆内接多边形是正多边形 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的判定，需结合正多边形定义，圆内接、圆外切多边形的性质逐一判断选项. 【详解】正多边形的定义为：各边相等且各内角也相等的多边形. ∵菱形各边相等，但内角不一定相等，不是正多边形，∴A错误； ∵圆外切菱形各边相等，但内角不一定相等，不是正多边形，∴B错误； ∵圆内接矩形各内角相等，但边不一定相等，不是正多边形，∴C错误； ∵圆内接多边形各边相等，∴各边所对的弧相等，可推得各内角相等，同时满足各边相等，各内角相等，符合正多边形定义，∴D正确． 2．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查圆内接正多边形的性质，熟练掌握圆心角与边数的关系是解决本题的关键． 设边数为，根据所有圆心角之和为，列式求解即可． 【详解】解：∵圆内接正多边形每条边所对的圆心角相等，且所有圆心角之和为， ∴设边数为，则， 解得， ∴该正多边形边数为9． 故选：B． 3．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的中心为，连接，由正多边形的性质，得到，，则，再根据三角形外角的性质求解即可. 【详解】解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 4．如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得，即正多边形的中心角，进而求得边数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴ 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正边形，其中，即正十边形 5．如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，根据正多边形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据正多边形所有中心角和为，得出该正多边形为正十二边形，根据正十二边形的面积为即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，、是正多边形的相邻顶点，在外接圆上， ， ，和是外接圆的圆心角和圆周角， ， ∴， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为，即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 6．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 7．我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 【详解】解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形， 圆心角 正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． 8．如图，与正六边形相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作的角平分线； (2)过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，直线即为所求． 【分析】（1）连接，即可； （2）连接交于点G，作直线，即可．设直线分别与交于点M，N，结合正六边形的性质可得到，从而得到直线平分正六边形的面积，再结合圆的性质，可得直线平分的面积． 【详解】（1）略 （2）略 9．窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且． (1)猜想的形状，并说明理由． (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1) 解：为等边三角形． 理由：六条等弧对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心， ． ． 是等边三角形． (2) 【分析】（1）根据正六边形的性质，求出圆心角，再由等边三角形的判定定理得出结论； （2）根据三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出所对应的圆心角的度数及半径，由扇形面积公式求出扇形的面积，再求出的面积，最后求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作，垂足为． ∵点是的内心， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，正三角形的判定，三角形内心，解直角三角形，掌握正六边形的性质，三角形的内心的性质以及直角三角形的边角关系，扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 10．作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【答案】(1)解：如图，正六边形即为所求； (2)解：四边形是矩形，理由如下， 如图，连接， 六边形是正六边形， ，． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ，， 是等边三角形， ， ． ， ， ， 平行四边形是矩形． 【分析】（1）由正六边形的中心角为，可得是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出的内接正六边形； （2）连接，由六边形是正六边形，则，故，则可得，证得四边形是平行四边形，然后由，，求得，则可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【强化训练】 1．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆（与正方形四边都相切的圆）中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，若正方形的边长为2，则黑色部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解内切圆的面积，容易判断黑色部分的面积是内切圆的一半，从而求出黑色部分的面积． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴内切圆的直径为， ∴内切圆的面积为， 根据题意可知，黑色部分的面积是内切圆的一半， ∴黑色部分的面积为． 2．如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正六边形的内角公式，求得，进而求出、，于是可求出扇形的圆心角，再在中过点作于，利用已知条件先求出，再求出，最后利用扇形的面积公式即可求得结果． 【详解】解：正六边形的边长为1， ，， ， 同理可得：， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， 扇形（阴影部分）的面积． 3．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6个等边三边形，过点O作，则，根据勾股定理求出，求出，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形如下图： ，又， ∴是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作， 则， ∴， ∴， 正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． 4．如图五边形是的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，与交于点P．则的度数是（     ） A． B． C． D．没有确定值 【答案】B 【分析】根据正五边形的性质得出 ，由点 、 运动速度相同得出 ，结合三角形外角性质推导． 【详解】解：如图，五边形 是正五边形 ， ∴， 点、分别从点B、C开始以相同的速度在 上逆时针运动， ， ∴， ∴． 5．如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得，取正十二边形的外接圆圆心O，连接，根据正十二边形的性质证明是等边三角形，，，再解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐， ∴， 取正十二边形的外接圆圆心O，连接， 正十二边形的外接圆中，每个边对应的中心角为， ∴， ∴，即点共线， ∵， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴． 6．如图，已知正六边形的中心为、边心距，分别以、为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边，所围成的阴影部分面积是________． 【答案】 【分析】连接、、，由题意可得、、交于点，得出是等边三角形，利用等边三角形的性质和三角函数可计算出．由正多边形的内角公式可得，用正六边形的面积减去两个扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接、、， 在正六边形中，，， ∵点为正六边形的中心， ∴、、交于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 根据题意，， 在中，， ∴， ∵， ∴ ． 7．如图，在正八边形内部以相邻两边作平行四边形，，连接交于点，则为______；阴影部分面积与空白部分面积之比为______． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，，过点作于点，设正八边形的边长为，则，证明四边形为菱形，进而表示出菱形的面积以及空白部分的面积，再结合图形求得八边形的面积，得出阴影部分的面积，再求比值，即可． 【详解】解：∵正八边形的每一个内角为， ∴， ∵在平行四边形和中， ∴， ∴， ； 如解图，过点作于点，连接，，过点作于点， 设正八边形的边长为，则，由正八边形的性质可得，， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为菱形， ， ， ， 空白部分的面积为， ， 设， 则， ， ， ， ， ， 正八边形的面积为， 阴影部分的面积为， 阴影部分面积与空白部分面积之比为． 8．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）求证：△ABC是等边三角形． （2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距． 【答案】 （1）证明：在⊙O中， ∵∠BAC与∠CPB是 对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角， ∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC， 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）等边△ABC的边心距1． 【分析】（1）由圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，结合∠APC＝∠CPB＝60°可得∠BAC＝∠ABC＝60°，即可判断△ABC的形状； （2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，然后根据直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】（1） 略 （2）过O作OD⊥BC于D，连接OB， 则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°， ∵OB＝2， ∴OD＝1， ∴等边△ABC的边心距为1． 【点睛】本题考查了正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形的判定与性质，作出辅助线、构造直角三角形以及证明△ABC是等边三角形是解答本题的关键． 9．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 【详解】略 10．如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：∵六边形是正六边形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键． （1）根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据正六边形的概念，确定的度数，进而确定的度数和的长，再通过作差法计算阴影部分的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，，， ∵是正六边形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题34 正多边形和圆 一、素养目标 1. 理解正多边形和圆的关系，掌握中心、半径、边心距等相关概念，会借助圆画出简单正多边形； 2.通过等分圆推导正多边形性质，提升几何推理与数形结合思维； 3.运用相关性质完成基础计算，感受几何图形对称美感，增强知识实操应用能力. 二、重点与难点 重点：理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. 难点：会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题. 一、正多边形的有关概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫作正n边形. 正多边形和圆的关系非常密切.只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆. 我们把正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距.(内切圆的半径) 二、正多边形的有关计算 内角：或；外角： 中心角： 中心角与外角的大小相等 题型01正多边形的多边角有关概念 【典例】对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】下面给出五个命题 (1)正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆 (2)各边相等的圆外切多边形是正多边形 (3)各角相等的圆内接多边形是正多边形 (4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形 (5)正n边形的中心角，且与每一个外角相等 其中真命题有(　　) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 题型02求正多边形的中心角 【典例】如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式】苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型03由正多边形的中心角求边数 【典例】如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 【变式】如图，四边形是的内接四边形，是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，，则______．    题型04尺规作正多边形 【典例】如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H．②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号） 【变式】已知：⊙O与⊙O上的一点A （1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹） （2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由． 题型05正多边形和圆中求线段长度 【典例】如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，分别以点A、D为圆心，AE长为半径作弧，在⊙O外交于点G，连接OG．若⊙O的半径为1，则OG的长度为______________． 【变式】如图，正方形和正三角形内接于，、交于、，若正方形的边长是4，则的长度为　　 A． B． C． D． 题型06 正多边形和圆中求角度 【典例】如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点是优弧上的一点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【典例】如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点A，重合），求的度数． 题型07正多边形和圆中求周长 【典例】如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　）    A． B． C． D． 【变式】如图，正六边形内接于，已知的半径为1，连接，则四边形的周长为（    ） A．6 B． C．4 D． 题型08正多边形和圆中求面积 【典例】如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则______．（填“、或”） 【变式】如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型09正多边形和圆中求最值 【典例】如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为______________；（2）周长的最小值是___． 【变式】如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 题型10正多边形和圆中的证明 【典例】如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证： (1)；(2)． 【变式】（1）已知：如图1，是的内接正三角形，点为劣弧上一动点． ①求证：当点为的中点时，三点共线； ②求证：； （2）已知：如图2，四边形是的内接正方形，点为劣弧上一动点． 求证：． 【巩固训练】 1．下列命题正确的是（     ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各边相等的圆外切多边形是正多边形 C．各内角相等的圆内接多边形是正多边形 D．各边相等的圆内接多边形是正多边形 2．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 3．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 5．如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 6．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图，与正六边形相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作的角平分线； (2)过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分． 9．窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且． (1)猜想的形状，并说明理由． (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留） 10．作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【强化训练】 1．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆（与正方形四边都相切的圆）中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，若正方形的边长为2，则黑色部分的面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 4．如图五边形是的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，与交于点P．则的度数是（     ） A． B． C． D．没有确定值 5．如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知正六边形的中心为、边心距，分别以、为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边，所围成的阴影部分面积是________． 7．如图，在正八边形内部以相邻两边作平行四边形，，连接交于点，则为______；阴影部分面积与空白部分面积之比为______． 8．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距． 9．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 10．如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $