专题30 弧长、扇形面积和圆锥（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学弧长、扇形面积和圆锥核心知识点，从圆的圆心角、半径出发推导弧长及扇形面积公式，延伸至弓形面积计算，再通过立体转平面探究圆锥母线、高与底面半径关系及侧面积、全面积公式，构建平面到立体的知识支架。 该资料以素养目标为引领，注重公式推导过程培养逻辑推理和转化思想，题型涵盖基础计算、图形旋转扫过面积及圆锥实际应用等，典例与变式结合强化应用意识。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升空间观念和解决问题能力。

专题30 弧长、扇形面积和圆锥 一、素养目标 1.推导弧长、扇形面积公式，熟练运用公式完成基础计算； 2.依托圆的相关知识推导公式，建立数形结合的分析思路； 3.借助公式求解图形旋转扫过面积，能解决简单几何实际问题. 4.理解圆锥各部分对应关系，推导侧面积、全面积公式，能完成相关几何计算； 5.经历立体转平面的探究过程，感悟转化思想，发展空间想象与逻辑推理能力； 6.能运用公式解决生活中的圆锥实际问题，体会数学的实用价值. 二、重点与难点 重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算；体会圆锥侧面积的探索过程. 难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程；会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题. 一、弧长公式 弧长公式 若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为 ①公式中的n和180表示的是倍数关系，没有单位； ② l，n，R三个量可知二求一. 二、扇形面积公式 若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形面积是 S扇形＝＝＝ (其中l为扇形的弧长，R为半径) ① 扇形面积公式中的n与弧长公式中的n一样，不带单位； ② 已知S扇形，l，R，n四个量中的任意两个，都可以求出另外两个. 三、弓形面积（弓形面积＝扇形面积±三角形的面积） S弓形＝S扇形－S三角形 S弓形＝S扇形＋S三角形 四、圆锥的相关概念 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，它的底面是一个圆面，它的侧面是一个曲面.我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫作圆锥的高.圆锥的底面半径、高、母线长三者之间的关系：h2＋r2＝l2 五、圆锥的侧面积公式 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么圆锥的侧面积为 πrl ，圆锥的全面积为 πr(r＋l) . 题型01用弧长公式求弧长 【典例】如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形和圆的对称性，易得阴影部分的周长为的长与正方形的边长的和，进行求解即可. 【详解】解：观察可知，阴影部分的周长为的长与正方形的边长的和， ∵正方形的边， ∴， ∴的长为， ∴阴影部分的周长为. 【变式】如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 【答案】 【分析】连接，设，的半径为，根据弧长公式得到，由圆周角定理和已知条件推出，据此由弧长公式可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，设，的半径为， ∵的长度为， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴的长度是． 题型02用扇形面积公式求扇形面积 【典例】如图，的半径为是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，交于点，证明四边形为菱形，则，可得为等边三角形和，则，进而根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点，则：， 四边形为平行四边形，， 四边形为菱形， ， ∴，为等边三角形， ， 阴影部分的面积． 【变式】如图，是的直径，点，在上，，是的切线，，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，推导出，得到，继而推导出，得到为等边三角形，求出，即可解答； （2）过点O作，垂足为，推导出，得到四边形为矩形，则，继而求出，最后根据扇形的面积公式求出扇形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的切线，切点为C， ． ， ． ， ， ． ， ． ， 为等边三角形， ， ； （2）解：如图，过点O作，垂足为．则， ∵，， ， 四边形为矩形， ， 在中，，， 则， ． 题型03求图形旋转后扫过的面积 【典例】如图，方格纸中的每格都是边长为1的正方形，将（顶点都是正方形的顶点）绕点O按逆时针方向旋转得到． (1)在所给的图形中画出； (2)线段的长为______，此过程中线段所扫过的图形的面积为______． 【答案】(1)如图：即为所求． (2)， 【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点，以及的位置，然后顺次连接即可解答； （2）直接利用网格以及勾股定理得出线段的长，再利用扇形面积公式得出线段所扫过的图形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：线段的长为：； ∵，， ∴此过程中线段所扫过的图形的面积为：． 【变式】图①，矩形纸片的边，，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图②，将绕点逆时针方向旋转，（，且）得到，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)当时，求四边形的面积． (3)当四边形有一个角是度时，直接写出线段扫过的面积． 【答案】(1)证明： ，， 四边形是平行四边形， 由旋转可得， 四边形是菱形； (2) (3)线段扫过的面积为或或或 【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，由旋转得，即可得证； （2）根据勾股定理求出，当时，四边形是正方形，即可求解； （3）分当时，当时，当时，当时，四种情况求解． 【详解】（1）略 （2）解：矩形纸片的边，， ， 当时，四边形是正方形， 四边形的面积为； （3）当时，，线段扫过的面积为； 当时，，线段扫过的面积为， 当时，，则，线段扫过的面积为； 当时，，线段扫过的面积为； 线段扫过的面积为或或或． 题型04求弓形面积 【典例】如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数； （2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 即阴影部分的面积为． 【变式】【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由，，，可得，得出，即可得证； （2）连接，，由平分，可得，由可得，进而得出，从而得出是等腰直角三角形，可求出，最后由即可求出结果． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， ∵， 又，， ， ， 平分． （2）解：由（1）得平分， ∵ ， ， ， ， 连接，，如图所示， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ， ． 题型05求其他不规则图形的面积 【典例】如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，连接，求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果） 【答案】(1)证明：如图，连接． 为的直径， ． ． 又， ． (2)阴影部分的面积为 【分析】（1）连接．利用直径对的圆周角是直角及等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）连接．由题意可求得的半径及的度数，的长度，由即可求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：如图，连接． 为的直径， ． ，， ，，． 在中，， ． ， 即阴影部分的面积为． 【变式】计算阴影部分的面积 【答案】 【分析】阴影部分的面积为半径为的半圆面积加圆心角为，半径为的扇形面积（即的圆形面积）减去等腰直角三角形的面积． 【详解】解： ． 题型06求扇形的半径 【典例】如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【分析】连接，由切线定理及四边形内角和可得，然后根据弧长计算公式进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别切于点A，B， ∴， ∵，且， ∴， ∵的长为， ∴， 解得：． 【变式】一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为________． 【答案】 【分析】设出该弧所在圆的半径，根据题意给出的等量关系，结合弧长公式列出方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设这条弧所在圆的半径为． 由题意得， 整理得 ． 两边约去，解得 ． 题型07求圆心角 【典例】如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 【答案】/45度 【分析】连接，，根据弧长公式求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：如图，连接，， 设， ∵的长为， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式】（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________． （2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________． （3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________． 【答案】 2 2 /150度 【分析】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是，扇形的半径为r，则扇形的弧长l的计算公式为：，扇形的面积公式：． （1）据扇形面积公式求解即可； （2）根据扇形面积公式求解即可； （3）先根据求出半径，再根据求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴． ∴， ∴． 故答案为：2； （2）∵扇形的圆心角为，面积为， ∴ 解得（负值舍去）． 故答案为：2； （3）由（1）知，， ∴， ∴． ∵ ∴． 故答案为：． 题型08求某点的弧形运动路径长度 【典例】如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【答案】 【分析】根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴顶点从开始到结束所经过的路径长． 【变式】如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将平行四边形旋转后，点D所转过的路径是以线段为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可． 【详解】解：将绕其对称中心O旋转，点D所转过的路径为以为直径的半圆， ∴其长度为． 题型09求圆锥的侧面积 【典例】圆锥的底面圆直径为6，侧面展开扇形圆心角的度数为，则该圆锥的侧面积是______． 【答案】 【分析】根据扇形弧长与圆锥的底面周长的关系求出扇形弧长，根据弧长公式求出圆锥的母线长，根据扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 圆锥的底面圆直径为， 圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， ， 解得， 圆锥的侧面展开图面积． 【变式】如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”．已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长是12，则这个圆锥的侧面积是_________． 【答案】 【分析】根据“完美扇形”的定义得到弧长与半径的关系，结合扇形周长求出半径和弧长，代入面积公式计算即可． 【详解】解：设“完美扇形”所在圆的半径为，根据“完美扇形”的定义可得弧长， “完美扇形”的周长为两个半径长加弧长， 由题意得， 将代入得， 解得， 则， 圆锥的侧面积等于其侧面展开扇形的面积， 因此这个圆锥的侧面积为． 题型10求圆锥的底面圆半径 【典例】用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【分析】扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，利用该等量关系列方程即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为， ∵用扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴代入圆心角，扇形半径， 得方程， 解得， ∴这个圆锥的底面圆的半径为． 【变式】在春季研学活动中，某校学生前往研学基地学习编织一种圆锥形传统手工艺术品．若这种圆锥形传统手工艺术品的母线长为，侧面展开的圆心角度数是，则该底面圆的半径为_____． 【答案】/15厘米 【分析】圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，根据弧长公式列等式求解即可． 【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为，由题意得： ， 解得． 题型11求圆锥的高 【典例】如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：如下图所示， 扇形的半径为， ， 阴影扇形的弧长是， ， ， ． 【变式】若圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角的度数为，则该圆锥的高为_____ ． 【答案】4 【分析】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长，然后再利用勾股定理求圆锥的高即可． 【详解】解：圆锥的底面周长为：； ∴圆锥侧面展开图的弧长为, 设圆锥的母线长为, ∴， 解得． 由勾股定理得圆锥的高为（）. 故答案为：4． 题型12求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例】已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是（     ）度 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥的性质：侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长，列方程求解即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角为 ， ∵圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，圆锥底面半径 ，母线长 ， ∴圆锥底面周长 ，扇形弧长公式为，据此列方程得 ， 解得 ， ∴圆心角为． 【变式】编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 【答案】 【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算． 【详解】解：设圆心角为， ∵母线长为36cm，底面圆半径为20cm， ∴， 解得：， ∴该圆锥侧面展开扇形圆心角度数为． 题型13圆锥的实际问题 【典例】如图，一堆沙子，其形状近似于圆锥，其底面周长是米，高是米．（取） (1)这堆沙子的体积是多少立方米？ (2)如果用这堆沙子铺一条宽5米、厚2厘米的小路，可以铺小路多少米？ 【答案】(1)这堆沙子的体积是立方米 (2)可以铺米的小路 【分析】本题考查有理数的乘除运算，圆锥的体积公式，长方形的体积公式，掌握知识点是解题的关键． （1）先根据圆锥的底面周长公式，求出底面半径，再根据圆锥的体积计算公式，求出这堆沙的体积，即可解答． （2）根据沙子的体积不变，代入长方体的体积公式即可求出所铺沙子的长度． 【详解】（1）解：（米） （立方米） 答：这堆沙子的体积是188．4立方米． （2）2厘米米 （米） 答：可以铺1884米的小路． 【变式】如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______． 【答案】24 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， 解得， ∴母线长是． 故答案为：24． 题型14圆锥侧面展开图上最短路径问题 【典例】如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【答案】C 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度． 由题意知，， ， 设，根据弧长公式可求， 则最短路程为：在中，． 【变式】如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是， 以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是， 设展开后的圆心角是，则， 解得：， ∴展开后， ，， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【巩固训练】 1．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可． 【详解】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 2．如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，熟知圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知， 令圆锥的底面半径为r， 则， 解得， 所以圆锥的底面半径为 故选： 4．若一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，母线长为40，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【详解】解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 5．机械学家莱洛研究发明的“莱洛三角形”是：分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形(如图)．已知一个“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为，则此“莱洛三角形”的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出等边三角形的边长为，过点作的垂线，求出的面积，再结合扇形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为， 所以， 过点作的垂线，垂足为， 由是等边三角形得， ， ，， 则， 所以， 又因为， 所以“莱洛三角形”的面积为：． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是扇形面积的计算、勾股定理、等边三角形的性质，解题关键是熟知扇形的面积公式及等边三角形的性质． 6．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为： ． 故答案为：． 7．如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解决问题的关键．由题意，利用计算即可． 【详解】解：过A作， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， 设长度为，则，在中，由勾股定理得： 解得：， ， ， 则，， ， ． 故答案为：． 8．如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________．    【答案】/ 【分析】由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为，则扇形中未组成圆锥底面的弧长，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为， ∴扇形中未组成圆锥底面的弧长， ∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积， ∴圆锥上粘贴部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的弧长、面积公式．解题的关键在于熟练掌握，，其中为扇形的圆心角，为扇形的半径． 9．如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格点三点，请在网格中进行下列操作：    (1)在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置． (2)写出D点坐标为_________，并求的半径长． 【答案】(1) 由垂径定理得到圆的圆心D;如图所示：    (2)； 【分析】（1）根据垂径定理得到圆的圆心D点的位置及坐标； （2）从图上可直接读出点D的坐标；根据勾股定理进行计算，得到答案． 【详解】（1）略． （2）   D点坐标为； 连接，由勾股定理得： 【点睛】本题考查的是过三点的圆、垂径定理、勾股定理，掌握这些知识点是解题的关键． 10．在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图 小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．” 你认同小亮的说法吗？请说明理由． 【答案】 甲圆锥的底面半径为BC，母线为AB，， 乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，， ∵， ∴， 故不认同小亮的说法． 【分析】根据圆锥的侧面面积公式进行比较即可得到答案． 【详解】略 【点睛】本题考查圆锥的侧面面积，解题的关键是熟知圆锥侧面面积的计算公式． 【强化训练】 11．已知一个圆心角为，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示（A，B两点触地放置），向右滚动工件至点B再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点经过的路径；确定点O的路径是关键；点O的路径是两个半径为3且圆心角为的弧，而平移的距离是一条线段，其长度是扇形工件的弧长，利用弧长公式可求得圆心O所经过的路线长． 【详解】解：∵， ∴， 当旋转到与地面垂直时，旋转角度为，此时点O的路径是半径为3且圆心角为的弧；扇形工件继续旋转时，点O的路径是一条线段，直至垂直地面，其长度是扇形工件的弧长；扇形工件继续绕A旋转，直到点A落地，此时点O的路径是半径为3且圆心角为的弧； ∴圆心O所经过的路线长为：； 故选：C． 24．如图所示，中，，，在以的中点为坐标原点、所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得，点旋转至轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据直角三角形的性质可得，，即旋转角为．根据即可求出阴影部分的面积．本题主要考查直角三角形的性质，旋转的性质和扇形的面积．熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．扇形的面积，其中n表示圆心角的度数，r表示扇形的半径． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 根据旋转的性质可得，， ∴ ． 13．如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长和圆锥侧面展开图的认识，根据圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，可求得结果，解题的关键是计算出侧面展开图的圆心角． 【详解】解：设大圆的半径为，则小圆半径为， ∴圆锥的底面圆周长为， 圆锥侧面展开图扇形的弧长为， ∴， ∴扇形圆心角等于， 只有选项D符合题意， 故选：D． 14．如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的计算、弧长的计算，根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，由弧长公式求出圆锥的母线，再由勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为， 圆锥的母线为 ∴ 故选：C． 15．如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】连接、、，过点O作于点M，根据正六边形的性质得出，，，证明和为等边三角形，求出，证明，得出，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：连接、、，过点O作于点M，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴，，， ∴和为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质． 16．如图，在正方形铁皮上，以A为圆心剪下一个圆心角为的扇形，剩余部分剪一个半径为r的圆形，使之恰好围成一个圆锥．若，则r的最大值是_______． 【答案】1 【分析】本题考查了圆锥的计算，切线的性质，根据题意，当与和都相切时，最大，采用数形结合的方法是解题的关键． 【详解】     , 当与和都相切时，最大， 如图，过点作于点， 则，四边形为正方形， ，， , , 解得， 即的最大值是1， 故答案为：1． 17．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、圆周角定理等，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．连接，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定可得是等腰直角三角形，再根据圆周角定理和弧长的计算公式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是圆的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2． (1)求α； (2)点C是OA上的一点，若OC＝4，求S阴影． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由于这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到然后解方程即可； （2）过C点作CD⊥BO于D，如图，先利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC进行计算． 【详解】（1）解：设∠AOB＝n°， 根据题意得， 解得n＝120， α为120°； （2）过C点作CD⊥BO于D，如图， ∵∠BOC＝120°， ∴∠COD＝60°， ∴ODOC＝2， ∴CDOD， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC ． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，掌握圆锥的展开图是解题的关键． 19．如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：； (2)若，求阴影部分弓形的面积． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 为直径， ， ， ， 弧弧， ； (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式．熟练掌握圆周角定理，扇形的面积公式是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理可知， 由等腰三角形的性质得到，再由弧，弦关系证明即可． （2）连接，过点作于点，证明为等边三角形，由计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，过点作于点， ， ， ，， 为等边三角形， ， 又， 为等边三角形， ，，， ． 20．如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，             （1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积； （2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到，，则可计算出，然后利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积进行计算；（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h． 【详解】∵在等腰中，， ∴， ∵AD是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积. （2）设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得，解得， 这个圆锥的高． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30 弧长、扇形面积和圆锥 一、素养目标 1.推导弧长、扇形面积公式，熟练运用公式完成基础计算； 2.依托圆的相关知识推导公式，建立数形结合的分析思路； 3.借助公式求解图形旋转扫过面积，能解决简单几何实际问题. 4.理解圆锥各部分对应关系，推导侧面积、全面积公式，能完成相关几何计算； 5.经历立体转平面的探究过程，感悟转化思想，发展空间想象与逻辑推理能力； 6.能运用公式解决生活中的圆锥实际问题，体会数学的实用价值. 二、重点与难点 重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算；体会圆锥侧面积的探索过程. 难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程；会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题. 一、弧长公式 弧长公式 若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为 ①公式中的n和180表示的是倍数关系，没有单位； ② l，n，R三个量可知二求一. 二、扇形面积公式 若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形面积是 S扇形＝＝＝ (其中l为扇形的弧长，R为半径) ① 扇形面积公式中的n与弧长公式中的n一样，不带单位； ② 已知S扇形，l，R，n四个量中的任意两个，都可以求出另外两个. 三、弓形面积（弓形面积＝扇形面积±三角形的面积） S弓形＝S扇形－S三角形 S弓形＝S扇形＋S三角形 四、圆锥的相关概念 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，它的底面是一个圆面，它的侧面是一个曲面.我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫作圆锥的高.圆锥的底面半径、高、母线长三者之间的关系：h2＋r2＝l2 五、圆锥的侧面积公式 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么圆锥的侧面积为 πrl ，圆锥的全面积为 πr(r＋l) . 题型01用弧长公式求弧长 【典例】如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是（     ） A． B． C． D． 【变式】如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 题型02用扇形面积公式求扇形面积 【典例】如图，的半径为是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式】如图，是的直径，点，在上，，是的切线，，垂足为． (1)求的度数；(2)若，求扇形的面积． 题型03求图形旋转后扫过的面积 【典例】如图，方格纸中的每格都是边长为1的正方形，将（顶点都是正方形的顶点）绕点O按逆时针方向旋转得到． (1)在所给的图形中画出； (2)线段的长为______，此过程中线段所扫过的图形的面积为______． 【变式】图①，矩形纸片的边，，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图②，将绕点逆时针方向旋转，（，且）得到，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)当时，求四边形的面积． (3)当四边形有一个角是度时，直接写出线段扫过的面积． 题型04求弓形面积 【典例】如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【变式】【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 题型05求其他不规则图形的面积 【典例】如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，连接，求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果） 【变式】计算阴影部分的面积 题型06求扇形的半径 【典例】如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【变式】一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为________． 题型07求圆心角 【典例】如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 【变式】（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________． （2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________． （3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________． 题型08求某点的弧形运动路径长度 【典例】如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【变式】如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 题型09求圆锥的侧面积 【典例】圆锥的底面圆直径为6，侧面展开扇形圆心角的度数为，则该圆锥的侧面积是______． 【变式】如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”．已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长是12，则这个圆锥的侧面积是_________． 题型10求圆锥的底面圆半径 【典例】用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 【变式】在春季研学活动中，某校学生前往研学基地学习编织一种圆锥形传统手工艺术品．若这种圆锥形传统手工艺术品的母线长为，侧面展开的圆心角度数是，则该底面圆的半径为_____． 题型11求圆锥的高 【典例】如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【变式】若圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角的度数为，则该圆锥的高为_____ ． 题型12求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例】已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是（     ）度 A． B． C． D． 【变式】编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 题型13圆锥的实际问题 【典例】如图，一堆沙子，其形状近似于圆锥，其底面周长是米，高是米．（取） (1)这堆沙子的体积是多少立方米？ (2)如果用这堆沙子铺一条宽5米、厚2厘米的小路，可以铺小路多少米？ 【变式】如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______． 题型14圆锥侧面展开图上最短路径问题 【典例】如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【变式】如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 【巩固训练】 1．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．若一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，母线长为40，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 5．机械学家莱洛研究发明的“莱洛三角形”是：分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形(如图)．已知一个“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为，则此“莱洛三角形”的面积为（   ） A． B． C． D． 6．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 8．如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________．    9．如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格点三点，请在网格中进行下列操作： (1)在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置． (2)写出D点坐标为_________，并求的半径长．    10．在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图 小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．” 你认同小亮的说法吗？请说明理由． 【强化训练】 11．已知一个圆心角为，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示（A，B两点触地放置），向右滚动工件至点B再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是（    ） A．6 B． C． D． 24．如图所示，中，，，在以的中点为坐标原点、所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得，点旋转至轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（     ） A． B． C． D． 13．如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（   ） A．9 B． C． D． 15．如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______． 16．如图，在正方形铁皮上，以A为圆心剪下一个圆心角为的扇形，剩余部分剪一个半径为r的圆形，使之恰好围成一个圆锥．若，则r的最大值是_______． 17．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则的长为____________． 18．如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2． (1)求α； (2)点C是OA上的一点，若OC＝4，求S阴影． 19．如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：； (2)若，求阴影部分弓形的面积． 20．如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，             （1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积； （2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h． / 学科网（北京）股份有限公司 $