27.3 确定二次函数的表达式（分层作业练题型）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以分层递进设计构建二次函数表达式求解能力体系，A组夯实基础方法，B组强化综合应用，C组深化思维创新，拓展对接中考，助力学生从数学抽象到模型应用的能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|一般式、顶点式、交点式等8类基础求法|通过三点坐标、顶点坐标等基础情境，培养抽象能力与运算能力| |B组|函数变换（平移/翻折/旋转）及综合计算|结合图形变换与动态问题，发展推理意识与空间观念| |C组|分类讨论、数形结合、实际应用|以矿洞支撑架等复杂情境，提升创新意识与模型观念| |拓展|中考真题|通过跨学科问题与代几综合题，强化应用意识与解题策略|

分层作业 27.3 确定二次函数的表达式 目 录 A组 巩固过关 题型01 用一般式求二次函数表达式 题型02 用顶点式求二次函数表达式 题型03 用交点式求二次函数表达式 题型04 已知对称轴、最值求二次函数表达式 题型05 重设表达式求求二次函数表达式 题型06 求平移后的二次函数表达式 题型07 求翻折后的二次函数表达式 题型08 求旋转后的二次函数表达式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 用一般式求二次函数表达式 题型01 1．二次函数的图象经过三点，求该二次函数的解析式． 2．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的解析式为___________． 用顶点式求二次函数表达式 题型02 3． 抛物线的顶点坐标为，且图象经过原点． (1)求函数解析式． (2)求抛物线与轴交点坐标． 4．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 用交点式求二次函数表达式 题型03 5．已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 6． 如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 已知对称轴、最值求二次函数表达式 题型04 7. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 8. 如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 重设表达式求求二次函数表达式题型05 9.抛物线与轴交于，两点，抛物线的解析式为________． 10.已知二次函数，其顶点为，且图象经过． (1)求a，b，c的值： (2)若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． 11.（上海市上海市浦东新区九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点(不与B、C重合)，过点P作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值； 求平移后的二次函数表达式 题型06 12．（2026·上海奉贤·三模）将抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与轴交点的坐标是_______． 13．（2026·上海浦东新·二模）将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 14．（2026·上海闵行·二模）已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 求翻折后的二次函数表达式 题型07 15．（25-26九年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，所得抛物线相应的函数表达式为___________． 16．将函数的图象沿y轴翻折所得到的图象对应的函数表达式是_________． 17．如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是________． 求旋转后的二次函数表达式 题型08 18．把二次函数的图象绕原点旋转后得到的图象的解析式为_______． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣6），顶点为D（﹣2，2）． (1)求抛物线W1的表达式； (2)将抛物线W1绕原点O旋转180°得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D'，在抛物线W2上是否存在点M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 1．若二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（　　） A．y=-（x-2）2-1 B．y=-（x-2）2-1 C．y=（x-2）2-1 D．y=（x-2）2-1 2．）抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．已知抛物线经过，两点，则该抛物线的解析式为(    ) A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，抛物线C2是由抛物线C1沿x轴平移得到的，它们的交点坐标为（－1，a），若抛物线C1表达式为，则抛物线C2的顶点坐标为（    ） A．（－4，n－9m） B．（－4，9m－n） C．（－5，n－9m） D．（－5，9m－n） 5．二次函数的图象过点，，则_____． 6．抛物线y＝ax2＋bx＋c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的解析式是_______. 7．已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，求该二次函数的解析式． 8．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，抛物线与抛物线关于x轴对称． (1)求的值以及抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线，如果新拋物线恰好经过，求的值． 9．（2026·上海杨浦·二模）已知二次函数经过点；； (1)直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势． (2)设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长． 10．某公司在年初上市了一款新款手机，该款手机自上市以来产生的利润（万元），与销售时间（月份）之间满足二次函数的关系，其部分图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题．    (1)求与之间的函数解析式． (2)求几月份该公司所获得的利润恰好为万元． (3)年月份该公司所获得的利润是多少万元？ 1．【分类讨论】在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 2．【数形结合】已知抛物线如图1所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，的取值范围是_______． 3．【实际应用】（2026·上海宝山·二模）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形组成，矩形的边，，E是抛物线L的顶点，且点E到的距离为，矩形的边为支撑架的架骨，点F、G在边上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点B为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； (2)当支撑架为正方形时，求架骨的长； (3)为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 4．【代几综合】已知抛物线过点、 、，顶点为C，将绕点O旋转，使点A、B、C分别落在点、、处，（其中在第一象限），边交y轴于点D，边交x轴于点E． (1)求抛物线的表达式和顶点C的坐标； (2)若四边形为梯形，求点的坐标； 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2) 若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 2．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 27.3确定二次函数的表达式 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 用一般式求二次函数表达式 1. 【答案1=+兮44 【详解】解：设该二次函数的解析式为y=ar+br+c(a≠0)， 将A,B,C三点坐标分别代入，得 9a-3b+c=0 c=4 16a+4b+c=0 a23 1 解得6=3 1 c=4 12,1 故该二次函数的解析式为y=3+x+4 2.y=x2+x+1 题型02 用顶点式求二次函数表达式 3. 【详解】(1)解：设抛物线的关系式为y=a(x+3)2+2, ,抛物线经过原点， .0=a(0+3)2+2, 1/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得a= 2 99 二次函数关系式为y=一 +3驴+2 2)解当y=0时，与x+3+2=0, 解得=0，x2=-6 ∴抛物线与×轴的交点坐标为(0,0)，(6,0)】 4.【答案】（四抛物线的解析式为：y=2x-2少+3，不能射进球门 (2)1 【详解】(1)解：由题意得：抛物线的顶点坐标为(2,3)， ∴.设抛物线的解析式为：y=a(x-2)2+3, 经过点A(8,0), .0=a(8-2)2+3, 1 解得：a=- 12 :抛物线的解析式为：y= 12x-22+3. 1 当x=0时，y=2 4+3=8>2.44, 3 不能射进球门： 解：设向后方移动nm,则移动后的抛物线的解析式为：y三12x一2一刀 经过点(0,2.25)」 2.25= 0-2-n3+3, 12 (0n+2)2=0.75×12, ∴.n+2=3或n+2=-3, 解得：”=1，”=-5（不合题意，舍去）， ∴.向后移动lm才能让足球经过点O正上方2.25m处. 题型03 用交点式求二次函数表达式 5.【答案】(1)y=x2-4x+3 2119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)点P(-1,8)在此抛物线上 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的 关键。 (1)先理解题意，设二次函数的解析式为y=(x-(x-3),再把(0,3)代入进行计算，即可作答. (2)由(1)得y=x2-4x+3,则把x=-1代入y=x2-4x+3,得出y=8,即可作答. 【详解】(1)解：二次函数图象与x轴的交点是(1,0)，(3,0)， :设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3)」 依题意，把(0,3)代入y=a(x-1)(x-3). 得3=a×(0-1)x(0-3), 解得a=1, .y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3, (2)解：由(1)得y=x2-4x+3. 当x=-1时，y=(-1)-4×(-1)+3=8。 :点P(-,8)在此抛物线上. 6.【详解】(1)解：：抛物线过点A(-2,0),B(4,0) ∴.可设二次函数的表达式为y=a(x+2)(x-4), ∴y=a(x2-2x-8)=a(x-12-9a .顶点为(1,9a) ·顶点在直线y=2×上， 2 :.a=-g “二次函数的表达式为y= -+2 (2)解：由(1)得：点M到x轴的距离为2， 由平移的性质得：MN=AC=3,MN∥AC, ∴四边形ACNM为平行四边形， ·四边形ACWM的面积为yM×AC=2×3=6, 题型04 已知对称轴、最值求二次函数表达式 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.【详解】(1)解：：点A(-1,0)与点B关于直线x=1对称， ∴点B的坐标为(3,0)， 1-b+c=0 代入y=x2+bx+c' 得： 9+3b+c=0? 「b=-2 解得c=-3 .二次函数的表达式为y=x2-2x-3 (2)解：由x2-2x-3=0 解得：=3,2=-1 y<0 .-1<x<3 8.【答案】(1)y=-(x-1)2+4 (2)(1,2） 【详解】(1)解：设抛物线的解析式为y=a(x-m)+n, ,抛物线的对称轴为直线x=1, .m=1, y=a(x-1)2+n, :抛物线与x轴交于点(，0)，点C的坐标为(0,3)， (-1-1)a+n=0 (-}a+n=3, a=-1 解得n=4’ ∴抛物线的解析式为y=-(x-1)+4: (2)解：连接BC交抛物线对称轴于点P,则此时PA+PC的值最小， 令y=0,则-(x-1)2+4=0, 解得x=-1或x=3, 点B(3,0), 设直线BC的解析式为：y=ax+b, 4/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点B(3,0),点C(0,3). 0=3k+b 13=b [k=-1 解得：b=3· ∴直线BC的解析式为：y=-x+3, 当x=1时，y=-1+3=2」 当PA+PC的值最小时，点P的坐标为(，2) B 题型05 重设表达式求求二次函数表达式 9.y=2x2-2x-12 10.【详解】(1)方法一（用一般式）解：己知二次函数y=ar2+br+c(a≠0)，其顶点为P(,4),且图象 经过Q(3,0), b =1,则b=-2a' .2a [a+b+c=4 9a+3b+c=0 a=-1 解得， b=2 c=3 ∴二次函数的表达式为y=-x2-2x+3。 方法二（用顶点式）设抛物线y=a(x-1)?+4 把(3,0)代入得，0=4a+4 解得，a=-1 5/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .二次函数的表达式为y=-x2-2x+3。 方法三（用交点式）由题意对称轴为=1， 可知抛物线与×轴的另一个交点为(-1,0) 设抛物线解析式为y=a(x-x1)(x-X2) 则有设抛物线解析式为y=a(x+1)〔x-3)】 把(1,4)代入得，4=-4a 解得，a=-1 ∴二次函数的表达式为y=-x2-2x+3。 (2)解：由(1)得，抛物线解析式为y=-x2+2x+3, ·平移后，图象经过原点(0,0)， .将抛物线向下平移3个单位得到，y=-x2+2x. 11.【答案】(1)y=-x2+2x+3 暖 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点， 设抛物线解析式为y=a(x+)(x-3), 代入(0,3)得3=a(0+1)(0-3), 解得a=-1, ∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3 (2)解：由(1)可知，y=-x2+2x+3, 令x=0,则y=3,即C(0,3), ∴.设直线BC的解析式为y=c+3, B(3,0),则0=3k+3, 解得k=-1, ∴.直线BC的解析式为y=-x+3 设P(m,-m+3)(0<m<3),则D(m,-m2+2m+3), 6/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ∴.PD=（-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=- 3 当m= 时，PD最大，最大值为4 题型06 求平移后的二次函数表达式 12.(0,2）」 13.y=x2-4x+3 14.x=2+2=4 题型07 求翻折后的二次函数表达式 15.y=-x2+4 16.y=x2+4x+1 17.-3<x<0或x>3 题型08 求旋转后的二次函数表达式 18.y=-(x-1)2+2 19.【答案】(1)y=-2x2-8x-6 【详解】(1)解：D(-2,2). :.设抛物线W的表达式为：y=a(x+2)2+2,将点C(0,-6)代入得： a(0+2)2+2=-6,解得：a=-2, ∴y=-2(x+2)2+2=-2x2-8x-6, 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：W:y=-2x2-8x-6 ∴W2:-y=-2(-x)2-8(-x)-6, .W2:y=2x2-8x+6,D(2,-2),连接DD', W:y=-2x2-8x-6=-2(x+3)(x+1), .A(-3,0),B(-1,0) SDpM=SDAD=2S,4D0=2×)×3×2=6, M \c 设M(m,2m2-8mI+6,过点作MN∥y轴交DD于点N, ·ypo=-x, N(m,-m), .MN=2m2-8m+6-(-m)=2m2-7m+6, ÷Soae2。-小N-x4MN=2MN=6, .MN=3, .2m2-7m+6=3, 2m2-7m+3=0, .(2m-10(m-3)=0. m=2m=3. 5引4，a0. 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 1.C 2.C 3.B. 4.C 5.3 6.y=x2+4x+3: 7.【答案】y=+-2 【详解】解：二次函数的图象的顶点是(1，-2)， :可设该二次函数解式为y=a(c+1-2,则有 a(0+1)}-2=-3 2 解得a=2: 1 故该二次函数解析式为y=x+-2. 8.【答案】(1)m=-1,y=-x2 (2)n=2或n=4 【详解】(1)解：：抛物线C:y=x+m+1的顶点是原点， .m+1=0. .m=-1, ∴.抛物线C的解析式为y=x2, :抛物线C与抛物线C,关于x轴对称， ∴.抛物线C2的解析式为y=-x2 (2)解：将抛物线C,向右平移n个单位后得到新抛物线的解析式为y=-(x-n)', :新抛物线恰好经过(3，)， -1=-(3-n)2, 解得n=2或n=4」 9/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.【答案】(1)二次函数解析式为y=-x2+4x-3,对称轴为直线x=2,顶点坐标(2，)，当x≥2时，y随× 的增大而减小；当x≤2时，y随×的增大而增大 (2)△ABC的面积为3，△ABC的周长为2V5+4V2 【详解】(1)解：：二次函数y=m+br+c(a≠0)经过点(0，-3)：(1,0)：(3,0)， “将点(0，-3)：(1,0)；(3,0)依次代入二次函数解析式y=a2+bx+c, c=-3 可得： a+b+c=0 9a+3b+c=0 a=-1 解得： b=4 c=-3 ∴二次函数的解析式为：y=-x2+4x-3, b4 对称轴为直线×=2.2×可2，即对称轴为直线=2 :y=-x2+4x-3=-(x2-4x+4)+1=-(x-2}+1, ∴二次函数顶点坐标为(2,1)， 当x≥2时，y随×的增大而减小；当x≤2时，y随×的增大而增大. (2)解：，该二次函数图象与×轴交于点A, ∴对于y=-x2+4x-3,令y=0, 解得：x=1,x2=3, ,点A在抛物线的右侧， .A(3,0) ,该二次函数图象与y轴交于点B, 对于y=-x2+4x-3,令x=0, 解得：y=-3, B(0,-3), ,顶点为C, .C(2,1), 如图，过点C作EC∥x轴，过点A作AF⊥EC交EC延长线于点F, 10/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C(2,1) .EC=2,OE=1, :A3,0) .0A=3, EC∥x轴， ∴.∠EOA+∠FEO=180°， ∠E0A=90°， .∠FE0=90°， ,AF⊥EC, .∠F=∠FE0=∠EOA=90°， ∴四边形EOAF是矩形， .EF=OA=3,AF=OE=1, B(0,-3), .OB=3, ÷5am-x01x0B=) 1 2’S矩形EOAF=OE×OA=3, S.-xECx+O)x()4. 1 Se4F×cr-x4Fxr-c)-1xB-2到- =5m+5w-m-5-3-43 2 在RtAAOB中， OB=3,OA=3,∠AOB=90°， ..AB=042+OB2=32, 在RtACEB中， 11/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,CE=2,EB=E0+OB=1+3=4,∠CEB=90°， ,CB=√CE2+EB2=2N5, 在Rt△CFA中， CF=EF-CE=3-2=1,AF=1,∠CFA=90°， ..CA=CF2+AF2=2. ∴.△ABC的周长为：CA+CB+AB=V2+2V5+3V2=2V5+4V2, ∴.△ABC的面积为3，△ABC的周长为2N5+4V2, 10,【答案】ay=-2-2 (2)8月份 (3)48万元 【详解】(1)解：由图可知二次函数图象过点(0,0)，(4,0)， 则二次函数的对称轴为直线x 0+4=2, 2 结合二次函数图象过点(2，-2)， 则二次函数的顶点坐标为(2，-2)， 设y与x的函数解析式为y=a(x-2)-2. 将点(0,0)代入， 得0=a(0-2)}-2, 1 解得：a=2 y与之间的函数解析武为(-2-2： 2)解：把)=16代入yx-2-2, 得16=0x-2y-2, 解得：=8，=4（不符合题意，舍去）， ∴.8月份该公司所获得的利润恰好为16万元： (3)解：将x=12代入y=-2-2, 12/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得y=2×12-2}-2=48, ∴.2024年12月份该公司所获得的利润是48万元. C组 思维拔高 1.C. 2.0<m<3 3.【答案】四E2,3,y=x-2+3 2)(210-4)m (3)2-V2≤BF≤0.7 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形， .'CD=AB=1m, .A(0,1), :矿洞横截面是轴对称图形，BC=4m,点E到BC的距离为3m, ∴顶点E(2,3), 设抛物线L的表达式为y=a(x-2)+3, 代入A(0,1)得，4a+3=1, 解得a=- 2 抛物线的表达式为=-2+3， (2)解：设正方形FGMN的边长为2m,则FN=FG=2m, 根据对称性可得，OF=2-m, .:N(2-m,2m). 将点N2-m,2m)代入y=-2+3得，2-m-2+3=2m, 解得m=0-2,m,=-0-2(舍去)， ∴.正方形边长为20-4，即架骨MN的长为(210-4)m: (3)解：，矿车距离上方预留0.lm的安全距离， 13/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把y=19+01=2代入y=-2y+3, 则0-2+3=2， 解得x=2-V2,=2+V5(舍去)， ∴此时BF=2-√2， 两侧支撑架需预留0.lm的安全距离， 六此时8F=4-24,01x2=07, ∴.为满足宽为2.4m,高为1.9m的矿车能够在支撑架内通行，2-V2≤BF≤0.7. 4【答案1国y=41,c0 3333 2)22或2’2 【详解】(1)解：抛物线过点A5,0.B5,0）, “设抛物线的解析式为y=a(x-V5)x+V5), :抛物线过点M(3,-2), -2=a3-5)3+5)片 帮程： “频物线的解析式为y=号+1，顶点C的坐标为0,1) (2)解：A(-5,0）,B(V5,0）,C(0,1). .A0=B0=V3,0C=1, .AC=BC ∴.∠CAB=∠CBA=30 ,四边形CDOE为梯形，此时分情况讨论： ①当DC∥x轴，如图，过点B作BH⊥x轴交点H, 14/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA E .∠B,OH=∠DB,O=30° 在RtoBOH中，BH= 20= 2 0H=o-8r-号， B (35 22 ②当CE∥y轴，如图，过点B作BH1x轴交点H, B A C OH 3 A .∠3=∠4=30° .∠2=∠3=30° ∴.∠1=∠C0H-∠2=60°， 在Ra80I中，0H-0g=5 1 2 :AH=Og-0m-3 (33 B 2’2: 综上所述，四边形 C.DOE 为，点的标5到 拓展 链接中考 3 1. 【答案】0y=写+2x, 15/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)-1<a<0. 【详解】(1)解：①A(3,3)为二次函数的顶点， 9a+3b=3 b=3 l 2a 1 a=- 解得 3 b=2 二次函数表达式为少3+2x ②因为正比例函数y=x经过点A(3,3), .3k=3, .k=1, ∴.正比例函数表达式为y=x, 设0D=0s1≤3)则CD=1,PD=+2, 31 .PC-PD-CD--+2- 3 ∴当1=2时，线段PC的长度取得最大值4： (2)解：二次函数y=ax2+bx经过点A(3,3), .9a+3b=3,即b=1-3a, 令ax2+bx=0, b 解得x=0,五=一2 :二次函数与x轴的一个交点为B(m,0),m>4, b .m=-0 a b 16/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a<0, ∴.b>-4a, .1-3a>-4a, a>-1, ∴.a的取值范围是-1<a<0. 2.【答案】(1)0，b=-2a 3 2①4：②a≤4且a≠0 【详解】(1)解：将点O(0,0)代入，抛物线y=ax2+bx+c, 可得c=0, ∴该抛物线解析式为y=axr2+bx, 将点A(3,3a)代入，抛物线y=a2+bx, 可得3a=9a+3b,解得b=-2a: (2)①若a=1,则该抛物线及直线解析分别为y=x2-2x,y=x, 当t=4时，可有点P(4,0), 如下图， ·PM⊥x轴， ..Xy=XN=4. 将x=4代入y=x2-2x,可得y=42-2×4=8,即M(4,8), 将x=4代入y=x,可得y=4,即N(4,4), :.MN=8-4=4: ②当点P从点0运动到点B(2a,0)的过程中， :PMLx轴，P(t,0). 17/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .XM=xN=t, 将x=t代入y=ax2-2ax,可得y=a2-2at,即M(6,at2-2a）, 将x=t代入y=ar,可得y=at,即N(t,at), .MN =at2-2at-atat2-3at, 令MN=0,即at2-3at=0,解得t=0或t=3, 若a>0,可有2a>0,即点B在y轴右侧，如下图， 当0<1≤3时，可有MN=-ar+3a,其图像开口向下，对称轴为1=多 2 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大， 3 则2a≤2，解得a≤4， 当>3时，可有=一共图像厅口向上，对称轴为子.不符合思意， 若a<0,可有2a<0,即点B在y轴左侧，如下图， 当<0时，可有N:+3,其图像开口向上，对称轴为1-影 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大， 则2a≤3，解得a 3 Γ4 .a<0. 综上所述，a的取值范围为a≤4且a≠0： 18/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19/19 分层作业 27.2.3 确定二次函数的表达式 目 录 A组 巩固过关 题型01 用一般式求二次函数表达式 题型02 用顶点式求二次函数表达式 题型03 用交点式求二次函数表达式 题型04 已知对称轴、最值求二次函数表达式 题型05 重设表达式求求二次函数表达式 题型06 求平移后的二次函数表达式 题型07 求翻折后的二次函数表达式 题型08 求旋转后的二次函数表达式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 用一般式求二次函数表达式 题型01 1．二次函数的图象经过三点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【详解】解:设该二次函数的解析式为. 将三点坐标分别代入，得 ， 解得， 故该二次函数的解析式为. 2．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的解析式为___________． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图像经过点、， ∴代入点得：，即， 代入点得：，即， 解方程组：， 两式相加得：，解得， 把代入得：，解得， ∴二次函数的解析式为， 故答案为． 用顶点式求二次函数表达式 题型02 3． 抛物线的顶点坐标为，且图象经过原点． (1)求函数解析式． (2)求抛物线与轴交点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的关系式为， ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴二次函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为． 4．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【答案】(1)抛物线的解析式为：，不能射进球门 (2)1 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 不能射进球门； （2）解：设向后方移动，则移动后的抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴向后移动才能让足球经过点正上方处． 用交点式求二次函数表达式 题型03 5．已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)点在此抛物线上 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设二次函数的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）由（1）得，则把代入，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与x轴的交点是，， ∵设二次函数的解析式为， 依题意，把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 当时，， 点在此抛物线上． 6． 如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴可设二次函数的表达式为， ∴ ∴顶点为（1，-9a） ∵顶点在直线y=2x上， ∴ ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得：点M到x轴的距离为2， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为． 已知对称轴、最值求二次函数表达式 题型04 7. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 【详解】（1）解：∵点与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得， ∴二次函数的表达式为 （2）解：由， 解得：， ∵ ∴ 8. 如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点的坐标为， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 令，则， 解得或， ∴点， 设直线的解析式为：， ∵点，点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴当的值最小时，点的坐标为． 重设表达式求求二次函数表达式题型05 9.抛物线与轴交于，两点，抛物线的解析式为________． 【答案】 【详解】解：由题意得二次函数解析式为， ∴， 故答案为：． 10.已知二次函数，其顶点为，且图象经过． (1)求a，b，c的值： (2)若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． 【详解】（1）方法一（用一般式）解：已知二次函数，其顶点为，且图象经过， ∴，则， ， 解得，； ∴二次函数的表达式为。 方法二（用顶点式）设抛物线 把（3，0）代入得，0=4a+4 解得，a=-1 ∴二次函数的表达式为。 方法三（用交点式）由题意对称轴为x=1, 可知抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0） 设抛物线解析式为 则有设抛物线解析式为 把（1, 4）代入得，4=-4a 解得，a=-1 ∴二次函数的表达式为。 （2）解：由（1）得，抛物线解析式为， ∵平移后，图象经过原点， ∴将抛物线向下平移3个单位得到，． 11.（上海市上海市浦东新区九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点(不与B、C重合)，过点P作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点， 设抛物线解析式为， 代入得， 解得， ． （2）解：由（1）可知，， 令，则，即， ∴设直线的解析式为， ∵，则， 解得， ∴直线的解析式为． 设，则， ∴， ∴当时，最大，最大值为． 求平移后的二次函数表达式 题型06 12．（2026·上海奉贤·三模）将抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与轴交点的坐标是_______． 【答案】 【详解】解：将抛物线向右平移个单位， 根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 抛物线与轴交点的横坐标为，令，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 13．（2026·上海浦东新·二模）将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 【答案】 【详解】解：∵抛物线向上平移个单位， ∴得到新抛物线的表达式是． 14．（2026·上海闵行·二模）已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 【答案】直线 【详解】∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴原抛物线的对称轴为：直线， ∵将抛物线向右平移个单位时，对称轴同步向右平移个单位， ∴平移后抛物线的对称轴为直线 ． 求翻折后的二次函数表达式 题型07 15．（25-26九年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，所得抛物线相应的函数表达式为___________． 【答案】 【详解】∵将二次函数的图象沿轴翻折， ∴ ∴所得抛物线相应的函数表达式为． 故答案为：． 16．将函数的图象沿y轴翻折所得到的图象对应的函数表达式是_________． 【答案】 【详解】解：函数的图象沿y轴翻折后，变为， 将替换为得， 故答案为：． 17．如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是________． 【答案】或 【详解】解：由题意，将二次函数位于轴的下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数， 新函数的解析式为． 当时，， 解得或， 根据函数图象可得：当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是或． 故答案为：或． 求旋转后的二次函数表达式 题型08 18．把二次函数的图象绕原点旋转后得到的图象的解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，根据顶点式解析式求出原二次函数的顶点坐标，然后根据关于中心对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数求出旋转后的二次函数的顶点坐标，最后根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状写出解析式即可．利用点的变换解决函数图象的变换，求出变换后的顶点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数顶点坐标为， 又∵图象绕原点旋转后得到的二次函数图象的顶点坐标为，开口方向向下， ∴旋转后的新函数图象的解析式为． 故答案为：． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣6），顶点为D（﹣2，2）． (1)求抛物线W1的表达式； (2)将抛物线W1绕原点O旋转180°得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D'，在抛物线W2上是否存在点M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）解：， 设抛物线的表达式为：，将点代入得： ，解得：， ， （2）解：， ， ，连接， ， ， ， 设，过点M作轴交于点N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 1．若二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（　　） A．y=-（x-2）2-1 B．y=-（x-2）2-1 C．y=（x-2）2-1 D．y=（x-2）2-1 【答案】C 【详解】解: 设这个二次函数的解析式为y=a（x-h）2+k ∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1）， ∴二次函数的解析式为y=a（x-2）2-1， 把（0，3）分别代入得a=1， 所以y=（x-1）2-1． 故选C 2．）抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点， ∴设经过平移后的抛物线为， 其对称轴为直线， ， ， 平移后的抛物线为， 故选：C． 3．已知抛物线经过，两点，则该抛物线的解析式为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， 又 ∴, ∴解析式为， 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，抛物线C2是由抛物线C1沿x轴平移得到的，它们的交点坐标为（－1，a），若抛物线C1表达式为，则抛物线C2的顶点坐标为（    ） A．（－4，n－9m） B．（－4，9m－n） C．（－5，n－9m） D．（－5，9m－n） 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线C1的顶点坐标为（3，n－9m）， ∵（－1，a）在抛物线C1的图象上， ∴，解得， ∵抛物线C2是由抛物线C1沿x轴平移得到的， ∴设抛物线C2的解析式为， ∵（－1，a）也在抛物线C2的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴解得或， ∴抛物线C2的顶点坐标为（－5，n－9m）或（3，n－9m）（点C1，舍去）， 故选：C 5．二次函数的图象过点，，则_____． 【答案】 【详解】∵二次函数的图象过点，， ∴ 解得 ∴． 故答案为：． 6．抛物线y＝ax2＋bx＋c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的解析式是_______. 【答案】 【详解】解:∵点(1,0),(3,0),(0,3)关于y轴的对称点是(−1,0),(−3,0),(0,3). 则联立方程组 解得： ∴y=x²+4x+3； 7．已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【详解】解：二次函数的图象的顶点是， 可设该二次函数解式为，则有 ， 解得， 故该二次函数解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法中用顶点式求二次函数解析式，掌握解法是解题的关键． 8．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，抛物线与抛物线关于x轴对称． (1)求的值以及抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线，如果新拋物线恰好经过，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是原点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与抛物线关于x轴对称， ∴抛物线的解析式为． （2）解：将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线的解析式为， ∵新拋物线恰好经过， ∴， 解得或． 9．（2026·上海杨浦·二模）已知二次函数经过点；； (1)直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势． (2)设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长． 【答案】(1)二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 (2)的面积为3，的周长为 【详解】（1）解：∵二次函数经过点；；， ∴将点；；依次代入二次函数解析式， 可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 对称轴为直线，即对称轴为直线， ∵， ∴二次函数顶点坐标为， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （2）解：∵该二次函数图象与x轴交于点A， ∴对于，令， 解得：，， ∵点A在抛物线的右侧， ∴， ∵该二次函数图象与y轴交于点B， ∴对于，令， 解得：， ∴， ∵顶点为C， ∴， 如图，过点C作轴，过点A作交延长线于点F， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ， ， ∴； 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴的周长为：， ∴的面积为3，的周长为． 10．某公司在年初上市了一款新款手机，该款手机自上市以来产生的利润（万元），与销售时间（月份）之间满足二次函数的关系，其部分图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题．    (1)求与之间的函数解析式． (2)求几月份该公司所获得的利润恰好为万元． (3)年月份该公司所获得的利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)月份 (3)万元 【详解】（1）解：由图可知二次函数图象过点，， 则二次函数的对称轴为直线， 结合二次函数图象过点， 则二次函数的顶点坐标为， 设与的函数解析式为． 将点代入， 得， 解得：， 与之间的函数解析式为； （2）解：把代入， 得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 月份该公司所获得的利润恰好为万元； （3）解：将代入， 得， 年月份该公司所获得的利润是万元． 1．【分类讨论】在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ∵B（1，2），C（3，-1） B和C的横坐标关于对称轴对称，但纵坐标却不相等，所以B、D不可能同时在抛物线上 ， 关于对称轴对称， 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；； 将代入得， 解得， 抛物线上， 把代入得， 解得， ∴抛物线上， 把代入得， 解得， 同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C ． 2．【数形结合】已知抛物线如图1所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：抛物线的顶点翻折后为， 则可知，当时，即直线为， 此时直线与新图象恰有三个交点，如图， 当时，即直线为， 此时直线与新图象恰有两个交点，如图， ∴可知，当时，直线与新图象有四个交点． 故答案为： ． 3．【实际应用】（2026·上海宝山·二模）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形组成，矩形的边，，E是抛物线L的顶点，且点E到的距离为，矩形的边为支撑架的架骨，点F、G在边上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点B为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； (2)当支撑架为正方形时，求架骨的长； (3)为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵矿洞横截面是轴对称图形，，点E到的距离为， ∴顶点， 设抛物线L的表达式为， 代入得，， 解得， ∴抛物线L的表达式为； （2）解：设正方形的边长为，则， 根据对称性可得，， ∴， 将点代入得，， 解得，（舍去）， ∴正方形边长为，即架骨的长为； （3）解：∵矿车距离上方预留的安全距离， ∴把代入， 则， 解得（舍去）， ∴此时， ∵两侧支撑架需预留的安全距离， ∴此时， ∴为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行，． 4．【代几综合】已知抛物线过点、 、，顶点为C，将绕点O旋转，使点A、B、C分别落在点、、处，（其中在第一象限），边交y轴于点D，边交x轴于点E． (1)求抛物线的表达式和顶点C的坐标； (2)若四边形为梯形，求点的坐标； 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为，顶点C的坐标为． （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴=30， ∵四边形为梯形，此时分情况讨论： ①当轴，如图，过点作轴交点H， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②当轴，如图，过点作轴交点H， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 综上所述，四边形为梯形时，点的坐标为或． 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】（1）解：∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的取值范围是． 2．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $