27.1 二次函数的概念（分层作业练题型）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 本同步练习以“二次函数的概念”为核心，通过A、B、C组三级分层及中考拓展，构建从概念识别到综合应用的巩固路径，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|二次函数识别、定义求参数、一般式及简单计算|基础题占比高，聚焦概念理解，如题型01-04对应抽象能力| |B组|增长率、利润、几何图形等列函数表达式|综合应用题型，如题型05-08结合实际情境，体现模型意识| |C组|数形结合、代几综合、新定义问题|含动点、分段函数等复杂题，如“关联函数”题培养推理能力| |拓展|中考真题|对接中考题型，如天津中考动点问题，强化应用意识|

分层作业 27. 1二次函数的概念 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数的识别 题型02根据二次函数的定义求参数 题型03 二次函数的一般式 题型04 二次函数值的相关计算 题型05 列函数表达式（增长率问题） 题型06 列函数表达式（利润问题） 题型07 列函数表达式（几何图形问题） 题型08 列函数表达式（其他问题） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 二次函数的识别 题型01 1．（2026·上海闵行·一模）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海长宁·一模）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 3．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）下列函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 根据二次函数的定义求参数 题型02 4．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 5．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 6．已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 二次函数的一般式 题型03 7．二次函数化简后，其一次项系数是_________． 8．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 9．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 二次函数值的相关计算题型04 10．已知二次函数，当时，求函数的值． 11．若函数是二次函数． (1)求k的值； (2)当时，求自变量x的值． 列函数表达式（增长率问题）题型05 12．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 13．2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2) 如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 列函数表达式（利润问题）题型06 14．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）《疯狂动物城》票房大卖，周边玩偶热销．某商店将每件进价为元的毛绒公仔按每件元出售，一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种毛绒公仔单价每降低元，其销量可增加件． (1)若此商店经营该毛绒公仔一天要获利润元，则每件毛绒公仔应降价多少元？ (2)设后来该毛绒公仔每件降价元，此商店一天可获利润元．求出与之间的函数关系式，并求当取何值时，此商店获利润最大？ 15．（2026·黑龙江大庆·中考真题）某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 列函数表达式（几何图形问题）题型07 16．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 17．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 列函数表达式（其他问题）题型08 18．（2026·四川成都·模拟预测）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与，与之间的函数解析式（要求写出的取值范围）； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 19．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 20．2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 1．下列函数中不是二次函数的有（    ） A． B． C． D． 2．若是关于的二次函数，则的值为(　　) A． B． C．或 D．或 3．把变成一般式，它的常数项为_____． 4．如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是________． 5．已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 6．写出等边三角形的面积S与其边长a之间的关系式，并分别计算当，2时三角形的面积． 7．为美化居民小区，需在一块正方形空地上铺设草皮，图中的阴影部分即为铺草皮的区域(单位：米)    （1）计算阴影部分的面积(用含有的字母表示)； （2）若市场上草皮的单价为元米，当时，求购买草皮需多少元？ 8．王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现,该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系:．若这种产品每天的销售利润为(元).求与之间的函数关系式． 9．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 10．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 1．【数形结合】无论取什么实数，点都在二次函数的图像上，若是二次函数图像上的点，则_____________． 2．【代几综合】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为_______________． 3．【分段函数】某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表： 时间：第x（天）（1≤x≤30，x为整数） 日销售价（元/件） 36 日销售量（件） 设该商品的日销售利润为w元． (1)求出w与x的函数关系式； (2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 4．【动点问题】如图，等边中，，．点从点出发以每秒个单位的速度沿边向终点运动，过点作于点，过点向上作，且，以、为边作矩形，设点的运动时间为（秒），矩形与的重叠部分图形的面积为． (1)________（用含的式子表示）． (2)求当点落在上时的值． (3)当矩形与的重叠部分图形为四边形或三角形时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 5．【新定义问题】（2026·安徽合肥·一模）若函数图象上存在点与点（其中 ，则称该函数为“关联函数”，如函数 的图象上，存在点和，所以函数 称作“关联函数”． （1）已知关于x的一次函数是“关联函数”，则k的值为_____． （2）若关于x的二次函数 是“关联函数”，则m的取值范围为_____． 1. （2026·天津·中考真题）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A． ①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在边长为1的等边三角形中，D为边上的动点（不与端点重合），过点D作于点G．下列说法正确的有___________．（填写序号，错选不得分，少选得2分，选全得4分） ①； ②； ③设，则的面积S是关于x的二次函数； ④仅存在一点D，使得． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 27. 1二次函数的概念 参考答案 二次函数的识别 题型01 1．C 2．① 3．C 根据二次函数的定义求参数 题型02 4．B 5． 6． ， 二次函数的一般式 题型03 7． 8． 9． ． 二次函数值的相关计算题型04 10.【答案】 【详解】解：将代入，得． 11．【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， 即； （2）解：由（1）可得，该二次函数为， 当时， ∴， 解得：，． 列函数表达式（增长率问题）题型05 12． 13．【答案】(1)万 (2) 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 列函数表达式（利润问题）题型06 14．【答案】(1)元或元 (2)，元 【详解】（1）解：设每件毛绒公仔应降价元， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 答：每件商品应降价元或元． （2）解： ， ， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值为， 答：与之间的函数关系式为， 当取5时，此商店获利润最大． 15．【答案】(1)函数关系式为，的取值范围是． (2)函数关系式为，当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润，最大利润为元． 【详解】（1）解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． （2）根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）=每箱苹果的利润×平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 列函数表达式（几何图形问题）题型07 16． 17．C 列函数表达式（其他问题）题型08 18．【答案】(1)； (2)当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 【详解】（1）解：设矩形实验田与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，面积为， ∵栅栏总长为， ∴，即， 其中， 由，可得， ∴与的函数解析式为； 由矩形的面积可知，； （2）解：∵， ∴ 当时，矩形实验田的面积最大，为800，且满足的取值范围， 答：当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是． 19．【答案】 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 20．． 1．D 2．C 3． 4．敏敏 5．【答案】当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【详解】解：根据题意可得 解之得：或， 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【点睛】本题考查二次函数定义及相关基础问题，熟练掌握二次函数的定义并准确的找到二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项是解题的关键． 6．【答案】； 【详解】解：在等边三角形中， 底边上的高为：， ， 当时， ， 当时， 当时， 7．【答案】（1）平方米；（2）元 【详解】（1）右下角图形另一边长为： ∴图中的阴影部分面积为： ∴阴影部分的面积为平方米； （2）由（1）可知，当时 ∴ ∴购买草皮需元． 8．【答案】 【详解】. . 9．【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） 10．【答案】(1) (2)当销售单价为24元或44元时，厂商每月能获得312万元的利润；当销售单价为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，数形结合思想，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）根据销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意，得即可． （2）根据，当时，构造方程解答即可．根据，构造二次函数，根据二次函数的最值，即可求得． 【详解】（1）解：销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意得： ． 故． （2）解：由（1）可得， 当时，， ∴， 解得：， 根据题意，销售量且售价应高于成本，故且，解得， 答：销售单价应定为24元或44元时，厂商每月能够获得312万元的利润． 由（1）可得 ． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，L取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为34元/件时，每月的销售利润最大，最大利润是512万元． 1．3 2． 3．【答案】(1) (2)该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元 【详解】（1）当时， ， 当时， ， ∴w与x的函数关系式， 故答案为：； （2）当时， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为1216； 当时，， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∵， ∴该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元． 4．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， 如图，当点落在上，则， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴当点落在上时，的值为； （3）解：由（2）可得点落在上时，的值为 如图，当点与点重合， 则，解得； 当点与点重合， 则，解得； 当时， ∵， ∴； 当时，如图，， ∴ ∴， ∴， 综上所述，． 5．【答案】 1 或 【分析】（1）根据“关联函数”的定义求解即可； （2）方法同（1）得，进而得m的取值范围． 【详解】解：（1）把点与点代入得 由得 ∵， ∴, ∴； （2） 把点与点代入 得： ， 由得， ， 即， 把③代入①得： ， 整理得： ， 由得， ∴ ∴ ∵， ∴， 又，代入可知： ， ∴ ∴m的取值范围为或． D 2．【答案】①②③④ 【详解】解：∵是等边三角形，且边长为1， ∴， ∵， ∴，， ∵D为边上的动点（不与端点重合）， ∴， ∴，，故①说法正确； ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②说法正确； 设，则有， ∴， ∴， ∴的面积S是关于x的二次函数，故③说法正确； 过点作，如图所示： ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴仅存在一点D，使得，故④说法正确； 综上所述：正确的有①②③④． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 27. 1二次函数的概念 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数的识别 题型02根据二次函数的定义求参数 题型03 二次函数的一般式 题型04 二次函数值的相关计算 题型05 列函数表达式（增长率问题） 题型06 列函数表达式（利润问题） 题型07 列函数表达式（几何图形问题） 题型08 列函数表达式（其他问题） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 二次函数的识别 题型01 1．（2026·上海闵行·一模）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、是二次函数，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（2026·上海长宁·一模）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【答案】 ① 【详解】解：①，其中，是二次函数； ②，可能为0，不一定是二次函数； ③，为一次函数，不是二次函数； ④，是分式函数，不是二次函数． 故答案为：①． 3．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）下列函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数需满足最高次项为且系数不为0， A.，最高次项为，不是二次函数，不符合题意； B.，若，则，不是二次函数，不符合题意； C. ，∵，∴，恒满足二次函数定义，符合题意； D.，若，则，不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 根据二次函数的定义求参数 题型02 4．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 5．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 6．已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 【答案】 ， 【详解】解：（1）根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不为， 因此 ， 解得． （2）根据一次函数的定义，一次函数的二次项系数为且一次项系数不为， 因此 ， 解得且． 二次函数的一般式 题型03 7．二次函数化简后，其一次项系数是_________． 【答案】 【详解】解：， 其一次项为，系数是． 故答案为：． 8．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 9．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 【答案】 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为： ． 二次函数值的相关计算题型04 10．已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【详解】解：将代入，得． 11．若函数是二次函数． (1)求k的值； (2)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， 即； （2）解：由（1）可得，该二次函数为， 当时， ∴， 解得：，． 列函数表达式（增长率问题）题型05 12．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 13．2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【答案】(1)万 (2) 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 列函数表达式（利润问题）题型06 14．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）《疯狂动物城》票房大卖，周边玩偶热销．某商店将每件进价为元的毛绒公仔按每件元出售，一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种毛绒公仔单价每降低元，其销量可增加件． (1)若此商店经营该毛绒公仔一天要获利润元，则每件毛绒公仔应降价多少元？ (2)设后来该毛绒公仔每件降价元，此商店一天可获利润元．求出与之间的函数关系式，并求当取何值时，此商店获利润最大？ 【答案】(1)元或元 (2)，元 【详解】（1）解：设每件毛绒公仔应降价元， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 答：每件商品应降价元或元． （2）解： ， ， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值为， 答：与之间的函数关系式为， 当取5时，此商店获利润最大． 15．（2026·黑龙江大庆·中考真题）某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【答案】(1)函数关系式为，的取值范围是． (2)函数关系式为，当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润，最大利润为元． 【详解】（1）解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． （2）根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）=每箱苹果的利润×平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 列函数表达式（几何图形问题）题型07 16．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 17．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 列函数表达式（其他问题）题型08 18．（2026·四川成都·模拟预测）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与，与之间的函数解析式（要求写出的取值范围）； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 【详解】（1）解：设矩形实验田与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，面积为， ∵栅栏总长为， ∴，即， 其中， 由，可得， ∴与的函数解析式为； 由矩形的面积可知，； （2）解：∵， ∴ 当时，矩形实验田的面积最大，为800，且满足的取值范围， 答：当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是． 19．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 20．2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 【答案】 【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 1．下列函数中不是二次函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，是二次函数，不符合题意； B．，是二次函数，不符合题意； C．，是二次函数，不符合题意； D．，是一次函数，符合题意； 故选：D． 2．若是关于的二次函数，则的值为(　　) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：若是关于的二次函数，则且．， 解得：或． 故选：C． 3．把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】 【详解】解：， 把变成一般式，它的常数项为， 故答案为：. 4．如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是________． 【答案】敏敏 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得，，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键． 【详解】解：是二次函数， ， 解得，， 又， 即， ， 故敏敏正确． 5．已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【详解】解：根据题意可得 解之得：或， 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【点睛】本题考查二次函数定义及相关基础问题，熟练掌握二次函数的定义并准确的找到二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项是解题的关键． 6．写出等边三角形的面积S与其边长a之间的关系式，并分别计算当，2时三角形的面积． 【答案】； 【详解】解：在等边三角形中， 底边上的高为：， ， 当时， ， 当时， 当时， 【点睛】本题考查函数关系，解题的关键是根据等边三角形的性质求出底边上的高． 7．为美化居民小区，需在一块正方形空地上铺设草皮，图中的阴影部分即为铺草皮的区域(单位：米)    （1）计算阴影部分的面积(用含有的字母表示)； （2）若市场上草皮的单价为元米，当时，求购买草皮需多少元？ 【答案】（1）平方米；（2）元 【详解】（1）右下角图形另一边长为： ∴图中的阴影部分面积为： ∴阴影部分的面积为平方米； （2）由（1）可知，当时 ∴ ∴购买草皮需元． 8．王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现,该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系:．若这种产品每天的销售利润为(元).求与之间的函数关系式． 【答案】 【详解】. . 9．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） 10．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为24元或44元时，厂商每月能获得312万元的利润；当销售单价为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，数形结合思想，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）根据销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意，得即可． （2）根据，当时，构造方程解答即可．根据，构造二次函数，根据二次函数的最值，即可求得． 【详解】（1）解：销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意得： ． 故． （2）解：由（1）可得， 当时，， ∴， 解得：， 根据题意，销售量且售价应高于成本，故且，解得， 答：销售单价应定为24元或44元时，厂商每月能够获得312万元的利润． 由（1）可得 ． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，L取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为34元/件时，每月的销售利润最大，最大利润是512万元． 1．【数形结合】无论取什么实数，点都在二次函数的图像上，若是二次函数图像上的点，则_____________． 【答案】3 【详解】解：由题意得，当x=a-1时，y=2a2-4a+1=2（a-1）2-1， ∴可得：y=2x2-1， ∵Q（m，n）是二次函数y=2x2-1上的点， ∴2m2-1=n， ∴2m2-n=1， 所以4m2-2n+1=2（2m2-n）+1=3． 故答案为：3． 2．【代几综合】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为_______________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， 线段的垂直平分线为， ， 点的坐标是， ，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 3．【分段函数】某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表： 时间：第x（天）（1≤x≤30，x为整数） 日销售价（元/件） 36 日销售量（件） 设该商品的日销售利润为w元． (1)求出w与x的函数关系式； (2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】(1) (2)该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元 【详解】（1）当时， ， 当时， ， ∴w与x的函数关系式， 故答案为：； （2）当时， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为1216； 当时，， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∵， ∴该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元． 4．【动点问题】如图，等边中，，．点从点出发以每秒个单位的速度沿边向终点运动，过点作于点，过点向上作，且，以、为边作矩形，设点的运动时间为（秒），矩形与的重叠部分图形的面积为． (1)________（用含的式子表示）． (2)求当点落在上时的值． (3)当矩形与的重叠部分图形为四边形或三角形时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， 如图，当点落在上，则， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴当点落在上时，的值为； （3）解：由（2）可得点落在上时，的值为 如图，当点与点重合， 则，解得； 当点与点重合， 则，解得； 当时， ∵， ∴； 当时，如图，， ∴ ∴， ∴， 综上所述，． 5．【新定义问题】（2026·安徽合肥·一模）若函数图象上存在点与点（其中 ，则称该函数为“关联函数”，如函数 的图象上，存在点和，所以函数 称作“关联函数”． （1）已知关于x的一次函数是“关联函数”，则k的值为_____． （2）若关于x的二次函数 是“关联函数”，则m的取值范围为_____． 【答案】 1 或 【分析】（1）根据“关联函数”的定义求解即可； （2）方法同（1）得，进而得m的取值范围． 【详解】解：（1）把点与点代入得 由得 ∵， ∴, ∴； （2） 把点与点代入 得： ， 由得， ， 即， 把③代入①得： ， 整理得： ， 由得， ∴ ∴ ∵， ∴， 又，代入可知： ， ∴ ∴m的取值范围为或． 1. （2026·天津·中考真题）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：①当时，如图2， ，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当点在上，点在上，此时时，如图1， ，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为，②正确； ③当点在上，点在上，此时时， 又②可知：，， 由题意得， ∴（负值已舍）； 当点在上，点在上，此时时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确． 2．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在边长为1的等边三角形中，D为边上的动点（不与端点重合），过点D作于点G．下列说法正确的有___________．（填写序号，错选不得分，少选得2分，选全得4分） ①； ②； ③设，则的面积S是关于x的二次函数； ④仅存在一点D，使得． 【答案】①②③④ 【详解】解：∵是等边三角形，且边长为1， ∴， ∵， ∴，， ∵D为边上的动点（不与端点重合）， ∴， ∴，，故①说法正确； ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②说法正确； 设，则有， ∴， ∴， ∴的面积S是关于x的二次函数，故③说法正确； 过点作，如图所示： ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴仅存在一点D，使得，故④说法正确； 综上所述：正确的有①②③④． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $