2.1二次函数（题型专练）数学北师大版九年级下册

2.1二次函数 题型一 判断是否是二次函数 1．（25-26九年级上·四川广元·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列函数中二次函数是（   ）． A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·四川自贡·阶段练习）下列函数是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段练习）下列函数属于关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）下列各式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二 二次函数相关参数的识别 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）二次函数的一次项系数是（    ） A． B．4 C． D．1 2．（25-26九年级上·云南·阶段练习）二次函数的一次项系数是（   ） A．1 B．5 C．2 D． 3．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段练习）二次函数的一次项系数是（　　） A． B．2 C．3 D．7 4．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 5．（24-25九年级上·四川·期末）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 6．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 7．（23-24九年级上·全国·开学考试）下列函数中，哪些是二次函数？并分别指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)． 8．（23-24九年级上·全国·开学考试）下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值． (1)； (2)； (3)． 题型一 根据二次函数的定义求参数的值 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 3．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）已知关于x的二次函数，则m的值是（    ） A． B．1 C． D．0 4．（2025九年级上·北京·专题练习）若是关于的二次函数，则m的值为 ． 5．（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）若函数是二次函数，则 ． 6．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）已知是关于的二次函数，则 ． 7．（16-17九年级下·全国·单元测试）当 时，函数是二次函数． 8．（2025九年级·全国·专题练习）若函数是关于的二次函数，则以和4为两边长的等腰三角形的周长为 ． 9．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值． (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 10．（25-26九年级上·河南·阶段练习）已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 题型二 根据二次函数的定义求参数的取值范围 1．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）若是关于的二次函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·天津·阶段练习）已知函数是二次函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·天津·阶段练习）已知是关于的二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）已知是二次函数，则的取值范围为 ． 6．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知函数是二次函数，则常数的取值范围是 ． 7．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若函数（是常数）是关于的二次函数，则的取值范围是 ． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于x的函数是二次函数，则a的取值范围是 ． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的函数． （1）若这个函数是一次函数，则的值为 ． （2）若这个函数是二次函数，则的取值范围是 ． 题型三 列二次函数关系式 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·开学考试）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·黑龙江·开学考试）参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为 ． 6．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为 ． 7．（25-26九年级上·青海西宁·阶段练习）西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为 (化为一般式) 8．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是 ，自变量x的取值范围为 ． 9．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 题型一 二次函数与图形综合 1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林四平·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示， 点B与坐标原点O重合， 的长分别是方程 的两个根． P、Q两点分别从点A、C同时出发，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度；点Q以每秒 个单位长度的速度沿线段 向终点A 运动，过点 P 作于点D，以，为邻边作矩形 ．设运动时间为秒，矩形和重叠部分的面积为y． (1)求点 A 的坐标； (2)当点 Q与点D 重合时，求x的值； (3)求y关于x 的函数解析式，并写出x的取值范围； (4)在平面内是否存在点 F，使以 B、C、P、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1二次函数 题型一 判断是否是二次函数 1．（25-26九年级上·四川广元·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（a、b、c为常数，）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，不符合题意；     B．整理为一般式为是一次函数，不符合题意； C．是一次函数，不符合题意；     D．是二次函数，符合题意． 故选D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的判断，掌握定义是解题的关键， 根据二次函数的定义：形如（为常数且），逐项判断即可解答． 【详解】解：A、是一次函数，故A错误； B、是二次函数，故B正确； C、不是二次函数，故C错误； D、是反比例函数，故D错误； 故选：B． 3．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（、、为常数，且）的函数叫做二次函数，根据二次函数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、不是二次函数，故不符合题意； B、不是二次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、不是二次函数，故不符合题意； 故选：C． 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列函数中二次函数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的定义． 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，其中最高次数为2，由此判断即可． 【详解】解：选项A：，最高次数为1，为一次函数，不符合二次函数定义； 选项B：，满足二次函数的定义，是二次函数； 选项C：，可写为，次数为，不符合二次函数定义； 选项D：，最高次数为1，为一次函数，不符合二次函数定义． 故选：B ． 5．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，正确理解二次函数的定义是解题的关． 【详解】解：、，等式右边含分式，不是二次函数，原选项不符合题意； 、，是二次函数，原选项符合题意； 、，不是二次函数，原选项不符合题意； 、在中，因为没有限定，所以不一定是二次函数，原选项不符合题意； 故选：． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数． 根据二次函数的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不是二次函数，不符合题意； B．不是二次函数，不符合题意； C．是二次函数，符合题意； D．不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 7．（25-26九年级上·四川自贡·阶段练习）下列函数是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解，熟记：“形如（，其中、为常数）的函数是二次函数”是解题的关键． 【详解】解：A、是二次函数，故不符合题意； B、，是一次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、，，分式形式，故不是二次函数，故不符合题意； 故选：C． 8．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次函数的识别．根据一元二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：是一次函数，不符合题意； B：是二次函数，符合题意； C：含有分式，不是二次函数，不符合题意； D：当时，不是二次函数，不符合题意． 故选：B． 9．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数形式为， 逐一判断即可解答． 【详解】解：A．是一次函数，不符合题意； B．是二次函数，符合题意； C．，此函数的次数是，不是二次函数，不符合题意． D．，最高次为4，不是二次函数，不符合题意． 故选B． 10．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段练习）下列函数属于关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（、、是常数，）是二次函数．直接利用二次函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、中是分式，不是二次函数，选项错误； B、，是一次函数，不是二次函数，选项错误； C、是二次函数，选项正确； D、当时，不是二次函数，选项错误； 故选：C． 11．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）下列各式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，不是的二次函数，不符合题意； B、中含分式，不是整式函数，不满足二次函数的定义，不符合题意； C、符合二次函数的一般式，所以是二次函数，符合题意； D、中有根号，不是整式函数，不满足二次函数的定义，不符合题意． 故选：C． 题型二 二次函数相关参数的识别 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）二次函数的一次项系数是（    ） A． B．4 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的相关定义解答即可. 【详解】解：二次函数的一次项系数为. 故选：A 2．（25-26九年级上·云南·阶段练习）二次函数的一次项系数是（   ） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数中某项的系数．先找出二次函数中的一次项，根据系数的定义即可解答． 【详解】解：二次函数的一次项为，其系数为5． 故选：B． 3．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段练习）二次函数的一次项系数是（　　） A． B．2 C．3 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 根据二次函数的相关定义解答即可. 【详解】解：二次函数的一次项系数为. 故选：A. 4．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“二次函数中，二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c”进行求解即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别为， 故选B． 5．（24-25九年级上·四川·期末）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如（、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，4，． 故选：C． 6．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1 (2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. 【详解】（1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 7．（23-24九年级上·全国·开学考试）下列函数中，哪些是二次函数？并分别指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)是二次函数，二次项系数是3，一次项系数是，常数项4 (2)不是二次函数 (3)是二次函数，二次项系数是，一次项系数是0，常数项3 (4)不是二次函数 (5)是二次函数，二次项系数是，一次项系数是0，常数项0 【分析】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的定义，二次函数的一般形式，是解题的关键．二次函数的定义：形如（a、b、c常数，）的函数，称为二次函数． （1）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，是二次函数，写出各项系数； （2）根据二次函数的定义判定，不是二次函数； （3）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，是二次函数，写出各项系数； （4）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，不是二次函数； （5）根据二次函数的定义判定，是二次函数，写出各项系数． 【详解】（1）解：， 是二次函数， 二次项系数是3，一次项系数是，常数项4． （2）解：， 不是二次函数； （3）解：， 是二次函数， 二次项系数是，一次项系数是0，常数项3． （4）解：， 不是二次函数； （5）解：， 是二次函数， 二次项系数是，一次项系数是0，常数项0． 8．（23-24九年级上·全国·开学考试）下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是二次函数， (2)是二次函数， (3)不是二次函数 【分析】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的定义，一般形式，是解题的关键．形如（a、b、c是常数，）的函数，称为二次函数． （1）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，写出各项系数； （2）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，写出各项系数； （3）化成一般形式，是一次函数，不是二次函数． 【详解】（1）解：∵， ∴是二次函数，． （2）解：∵， ∴是二次函数，． （3）解：∵， ∴不是二次函数． 题型一 根据二次函数的定义求参数的值 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且，解之即可，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得， 故选：． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 3．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）已知关于x的二次函数，则m的值是（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如，a、b、c是常数的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且，解得：． 故选：B． 4．（2025九年级上·北京·专题练习）若是关于的二次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，利用二次函数定义可得，且，解方程即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得：． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）若函数是二次函数，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式为（是常数，且），其中最高次项的次数为．要确定函数为二次函数，需根据二次函数定义，先令最高次项的次数为2，再保证二次项系数，从而求解的值． 【详解】解：是二次函数， 且， 即，且 ，且， ， 故答案为：3． 6．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）已知是关于的二次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，正确求出的值．根据二次函数的定义，得出即可求出的值． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴ 解得， 故答案为：． 7．（16-17九年级下·全国·单元测试）当 时，函数是二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，注意：形如、、为常数，的函数，称为二次函数．根据二次函数的定义，只要的系数不为0，列式解答即可． 【详解】解：根据题意得：且， 由得， 由得， ． 故答案为：． 8．（2025九年级·全国·专题练习）若函数是关于的二次函数，则以和4为两边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】10或11 【分析】本题考查了二次函数的概念和三角形三边关系，根据二次函数的特点，得到，且，求得后，再根据三角形三边关系确定三角形周长． 【详解】解：由题意，得，且， 由得， 解得，， ∵， ∴， ． ①若以为腰长，则三边长分别为，，，，能构成三角形，符合题意， 周长为； ②若以为腰长，则三边长分别为，，，，能构成三角形，符合题意， 周长为． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值． (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)m的值为 (2)m的值为1 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，掌握二次函数和一次函数的定义是解决本题的关键． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵是一次函数， ∴当时，则， 解得， ∴ ，不是一次函数， 当时，则， ∴ ， 综上所述，m的值为； （2）解：∵是二次函数， ∴ ， 当时， ，是一次函数，不符合题意， ∴当时， ， 综上所述，m的值为1． 10．（25-26九年级上·河南·阶段练习）已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)； (2)且 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，当且时，这个函数是一次函数；当时，这个函数是二次函数，据此即可求解； 【详解】（1）解：当且时，这个函数是一次函数， 此时：； （2）当时，这个函数是二次函数， 此时：且 题型二 根据二次函数的定义求参数的取值范围 1．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）若是关于的二次函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级上·天津·阶段练习）已知函数是二次函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次项系数不为0是解题的关键．根据二次项系数不为0求解即可． 【详解】解：函数是二次函数， ， ， 故选：． 3．（25-26九年级上·天津·阶段练习）已知是关于的二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数，解题的关键是掌握二次项系数不为0． 根据二次项系数不为0得到，即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义． 根据二次函数的定义，可得关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故选：． 5．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）已知是二次函数，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，理解形如（a，b，c为常数，且）的函数是二次函数是解题的关键； 根据二次函数的定义列不等式即可解题. 【详解】是二次函数， ， 解得， 的取值范围为． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知函数是二次函数，则常数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数，可得，进一步求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若函数（是常数）是关于的二次函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键； 根据二次函数的定义列式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴ ，解得， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于x的函数是二次函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地形如（，，为常数，）的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴． 解得：． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的函数． （1）若这个函数是一次函数，则的值为 ． （2）若这个函数是二次函数，则的取值范围是 ． 【答案】 0 且 【分析】本题主要考查了一次函数的定义以及二次函数的定义，解题的关键是应用定义得到有关字母系数的等式或不等式． （1）由一次函数的定义可得，且，进而求解即可； （2）由二次函数的定义可得，，进而求解即可． 【详解】解：（1）这个函数是一次函数， 且， 解得：(已舍去)． 故答案为：． （2）这个函数是二次函数， ， 解得且． 故答案为：且． 题型三 列二次函数关系式 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据长方形的面积公式列出函数关系式即可. 【详解】解：设鸡场的宽为． 由题意可得：， ∴. 故选：B 2．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米，根据矩形的面积列函数关系式即可． 【详解】解：由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米， ． 故选：D． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·开学考试）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 4．（25-26九年级上·黑龙江·开学考试）参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可． 【详解】∵参加会议的人两两彼此握手， ∴． 故选：B． 5．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，求二次函数的关系式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意再表达另一边的长度为米，运用矩形的面积公式进行列式，得，即可作答． 【详解】解：依题意，另一边的长度为（米）， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出长方形的面积．先表示出边长缩短后的长方形的长和宽，计算出边长缩短后的长方形的面积，再计算出原长方形的面积，作差即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：长和宽缩短后的长方形的长为：，宽为， 边长缩短后的长方形的面积为： ， 原长方形的面积为：， 它减少的面积为：， 它减少的面积关于的函数解析式为， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·青海西宁·阶段练习）西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为 (化为一般式) 【答案】 【分析】本题考查根据题意列二次函数解析式． 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，再化为一般式即可． 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是 ，自变量x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 9．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 【答案】(1)， (2)设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米 【分析】本题考查了根据题意列二次函数关系式，一元二次方程的应用等知识﹒ （1）根据矩形的面积公式即可列出函数关系式，根据矩形的两条边都为正数即可确定自变量的取值范围； （2）根据设计费为24000元得到矩形面积为12平方米，据此列出方程，解方程即可﹒ 【详解】（1）解：∵矩形一边长为米，周长为16米, ∴矩形的另一边为米， ∴，其中， 即， ； （2）解：能，理由如下： 当设计费能达到24000元时，矩形面积为（平方米）， 即， 解得﹒ 答：设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米﹒ 题型一 二次函数与图形综合 1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先证明，可说明四边形是正方形，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形. ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形. ∵， ∴. 在中，， ∴， 即. 故选：D. 2．（25-26九年级上·吉林四平·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示， 点B与坐标原点O重合， 的长分别是方程 的两个根． P、Q两点分别从点A、C同时出发，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度；点Q以每秒 个单位长度的速度沿线段 向终点A 运动，过点 P 作于点D，以，为邻边作矩形 ．设运动时间为秒，矩形和重叠部分的面积为y． (1)求点 A 的坐标； (2)当点 Q与点D 重合时，求x的值； (3)求y关于x 的函数解析式，并写出x的取值范围； (4)在平面内是否存在点 F，使以 B、C、P、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，或或 【分析】（1）先解方程可得，，证明，，进一步可得答案； （2）当点和点重合时，，列出一元一次方程，即可解答； （3）分类讨论：①当时；②当时；③当时，交于点，交于点，逐个分析，即可解答． （4）如图，当在上时，以，，，为顶点的四边形是菱形，可得△为等边三角形，可得，进一步结合平移可得：或或，如图，当在上时，，，三点共线，不符合题意，舍去． 【详解】（1）解：（1）， 解得：，， ，，而， ， ，， ， ； （2）解：当点和点重合时， ， 依题意得：， 则，， 即， 解得． 故答案为：； （3）解：当点与点重合时，依题意得：， 解得：， 当点与点重合时，依题意得：， 解得：， 此时，则点与点重合， 分三种情况讨论： ①当时，如下图， ， ， ； ②当时，如下图，交于点， ， ， ， ， ； ③当时，如下图，交于点，交于点， ，，， ， ，，， ， ； 综上所述，． （4）解：在平面内存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形；点的坐标为或或；理由如下： 在上时，以，，，为顶点的四边形是菱形， △为等腰三角形， ， △为等边三角形， ，， ， ， 如下图， ∴， ， 则如图所示，皆为所求， 即左移2个单位，即右移2个单位，与关于对称， 或或， 如下图，当在上时，，，三点共线，不符合题意，舍去， 综上所述，在平面内存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形；点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，锐角三角函数，等边三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，平移，掌握相关知识是解决问题的关键． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $