专题11.5 因式分解（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

本讲义聚焦初中数学因式分解核心知识点，从概念理解（定义、与整式乘法互逆关系）出发，逐步展开提公因式法、平方差公式、完全平方公式等基本方法，进阶至十字相乘法、分组分解法，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过“知识点+即学即练+题型分类”分层设计，强化概念辨析培养抽象能力（数学眼光），公式应用与综合解题提升运算能力和推理意识（数学思维），结合简便计算、几何面积等实际问题渗透应用意识（数学语言）。课中助力教师系统授课，课后便于学生巩固练习、查漏补缺。

专题11.5 因式分解 教学目标 1. 理解因式分解的定义、本质特征，明晰因式分解与整式乘法的互逆关系，区分两种变形。 2. 熟练掌握公因式的查找方法，能规范运用提公因式法完成基础因式分解运算。 3. 精准掌握平方差、完全平方公式的结构特征，能灵活套用公式法分解对应多项式。 4. 掌握十字相乘、分组分解等进阶方法，能综合多种方法完成复杂因式分解运算。 5. 能运用因式分解进行简便计算、代数式求值、整除判断，提升代数运算与推理能力。 教学重难点 重点 （1）理解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法的区别与联系。 （2）熟练确定公因式，规范运用提公因式法分解多项式。 （3）掌握平方差、完全平方公式的结构特征，能直接套用公式因式分解。 （4）掌握因式分解“先提公因式、再套公式”的基础解题流程。 难点 （1）准确识别公式适用条件，区分平方差与完全平方公式，规避公式误用。 （2）处理多项式整体底数、符号变换问题，灵活完成整体代入分解。 （3）综合运用多种分解方法，做到因式分解彻底，杜绝分解不彻底、漏项问题。 （4）运用因式分解解决求值、简便运算、整除证明等综合应用问题。 知识点01：因式分解的概念 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，也叫做分解因式。 2. 核心特征：变形方向为“和差化积”，结果必须是整式乘积形式，不含加减运算。 3. 与整式乘法的关系：二者是互逆恒等变形。整式乘法是“积化和差”，因式分解是“和差化积”。 4. 分解原则：分解要彻底，直至每一个因式都不能再分解为止；相同因式需写成幂的形式。 【即学即练】 1．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式），根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A、等式右边是多项式，属于整式乘法，不属于因式分解，不符合题意； B、等式右边是整式的积的形式，属于因式分解，符合题意； C、等式右边含不是整式的项，不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； D、等式右边为和的形式，不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意． 知识点02：提公因式法因式分解 1. 公因式定义：多项式各项共有的公共因式，分为单项式公因式和多项式公因式。 2. 公因式确定方法（五看）：一看系数，取各项系数的最大公因数；二看字母，取各项相同字母；三看指数，取相同字母最低次幂；四看整体，相同多项式整体视为一个因式；五看符号，首项为负时公因式带负号。 3. 运算法则： 4. 分解步骤：第一步确定最大公因式；第二步提取公因式，确定剩余因式；第三步整理化简，保证分解彻底。 5. 易错要点：提公因式后剩余因式项数与原多项式一致；单独一项全部提出后，括号内保留1，不可遗漏。 【即学即练】 1．因式分解： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用提公因式分解因式即可； （2）先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 知识点03：平方差公式因式分解 1. 公式逆向运用： 2. 适用多项式特征：整体为二项式；两项均可化为平方形式；两项符号一正一负。 3. 公式说明：a、b可代表单项式、多项式等整体式子，灵活整体代入分解。 【即学即练】 1．下列各式能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】能用平方差公式因式分解的多项式需要满足：多项式为两项，两项符号相反，且两项都能写成某个整式的平方，即符合的形式，据此判断各选项即可． 【详解】解：平方差公式因式分解的形式为. 选项A：是两个平方项的和，符号相同，不符合平方差公式要求，∴A错误； 选项B：中，不是某个整式的平方，不符合要求，∴B错误； 选项C：，符合的形式，可以用平方差公式因式分解，∴C正确； 选项D：是三项式，符合完全平方公式的形式，不能用平方差公式因式分解，∴D错误． 知识点04：完全平方公式因式分解 1. 公式逆向运用：、 2. 适用多项式特征：整体为三项式；首尾两项为平方形式且符号相同；中间项为首尾底数乘积的2倍，符号可正可负。 3. 完全平方式定义：符合上述特征的二次三项式，统称为完全平方式。 【即学即练】 1．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 知识点05：进阶因式分解方法 1. 十字相乘法：针对二次三项式，适用于首项系数为1的二次多项式分解。 2. 分组分解法：分为二二分法、三一分法，通过分组构造公因式或平方公式，分步完成分解。 【即学即练】 1．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将拆为，拆为9与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （2）将拆为，拆为1与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （3）把看成整体，将拆为，6拆为与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ； （2）解：， ，，， ； （3）解：， ，，， ． 2．我们已经学习过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有拆项法和分组分解法等等． ①拆项法：例： ②分组分解法：例： (1)仿照上面方法分解因式： ①__________；②__________； (2)已知，，为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）①仿照题干中的方法把拆成，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式； ②利用分组分解因式的方法，可得：原式，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式； （2）利用拆项法可得：，利用完全平方公式分解因式可得，根据平方的非负性可得，，，再根据三角形的周长公式求解． 【详解】（1）①解： ； ②解： ； （2）解：， ， ， ，，， ，，， ． 知识点06：因式分解通用解题步骤 1. 一提：优先提取多项式的最大公因式； 2. 二套：无公因式时，根据项数套用公式，二项式用平方差公式，三项式用完全平方公式； 3. 三分：无法套公式时，用十字相乘、分组分解法拆分； 4. 四查：检查每一个因式是否分解彻底，无剩余公因式、无未化简因式。 【即学即练】 1．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型01 因式分解概念辨析 紧扣“多项式化为整式积”核心定义，区分因式分解（和差化积）与整式乘法（积化和差），排除含分式、和差结果的变形。 【典例1】. （25-26八年级下·陕西西安·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断因式分解需同时满足两个条件：左边是多项式，右边是几个整式的积的形式． 【详解】解：A、是整式乘法，不属于因式分解，该选项不符合题意； B、的右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解，该选项不符合题意； C、满足因式分解的条件，属于因式分解，该选项符合题意； D、的左边是单项式，不属于因式分解，该选项不符合题意． 【变式1】. （25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．的变形为整式乘法，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解． B．，右边为和的形式，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解． C．的变形为整式乘法，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解． D．是将多项式化为几个整式的积的形式，属于因式分解． 【变式2】. （25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式的积的形式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A：是整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意； 选项B：右边不是整式的积的形式，故B不符合题意； 选项C：中是分式，右边不是整式的积的形式，故C不符合题意； 选项D：符合因式分解的要求，故D符合题意． 【变式3】. （25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）下列由左边到右边的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以因式分解的定义为判断依据，即多项式化为几个整式的积的恒等变形，进行解答，即可． 【详解】解：A、左边是多项式，右边是两个整式的积，变形正确，是因式分解，符合题意； B、左到右是整式乘法，将积化为多项式，不是因式分解，不符合题意； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、左右两边不相等，变形错误，不是因式分解，不符合题意； 题型02 查找多项式公因式 按“系数最大公因数+相同字母最低次幂+整体多项式”规则查找，优先判断首项符号，确定正负公因式。 【典例2】. （25-26八年级上·辽宁大连·期末）用提公因式法分解时，应提出的公因式为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据公因式的意义求解． 【详解】解：∵各项系数的最大公约数为2， 各项都有字母为， 对应字母的最低次幂均为1次， ∴应提出的公因式为． 【变式1】. （25-26八年级下·广东深圳·期末）多项式中各项的公因式是__________． 【答案】 【分析】根据公因式的定义，确定多项式各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，即可得到公因式． 【详解】解：多项式的第一项为，第二项为，各项系数的最大公约数是，相同字母为和，的最低次幂是次，的最低次幂是次， 因此各项的公因式为． 【变式2】. （25-26八年级下·宁夏银川·期末）多项式中各项的公因式是_____． 【答案】 【分析】根据确定公因式的方法，先求多项式各项系数的最大公约数，再找各项含有的相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：多项式的两项为和， 系数部分：5和10的最大公约数是5， 字母部分：两项都含有字母m和n，m的最低次幂是1，n的最低次幂是1， ∴公因式为． 【变式3】. （25-26八年级下·山东济南·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是_____． 【答案】 【分析】根据公因式的确定，一看系数：各项系数为整数时，提取各项系数的最大公因数；二看字母：取各项都含有的相同字母；三看字母指数：取相同字母的最低次幂，进行解答，即可． 【详解】解：多项式中，系数与的最大公因数是，两项都含有的相同字母是，的最低次数是， ∴分解因式时应提取的公因式是． 题型03 基础提公因式法分解因式 先提最大公因式，逐项提取不遗漏，剩余因式项数与原式一致，单独项提尽后保留常数1。 【典例3】. （2026·山东威海·三模）因式分解：____________________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解． 【详解】解： ． 【变式1】. （25-26八年级下·江西萍乡·期末）因式分解：_______． 【答案】 【分析】找出多项式各项的公因式，再提取公因式完成因式分解． 【详解】解： ． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）直接提取公因式即可； （3）运用平方差公式分解因式即可； （4）运用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 题型04 变号后提公因式分解因式 利用统一多项式底数，再提取整体公因式，注意符号整体变换。 【典例4】. （25-26八年级下·陕西西安·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式变形后提取公因式即可完成分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可； 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式1】. （25-26八年级下·四川成都·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将原式变形得到公因式，再提取公因式完成因式分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式完成因式分解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】. （25-26八年级下·江西萍乡·期末）因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用提取公因式法分解即可； （2）利用平方差公式分解即可； 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏南京·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式，即可求解； （2）先提公因式，再根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式         ． 题型05 直接利用平方差公式因式分解 判断二项式、平方形式、异号三大特征，直接套用，分解后检查彻底性。 【典例5】. （2026·贵州黔西南·模拟预测）下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据能用平方差公式因式分解的多项式的条件判断，条件为：多项式共两项，两项都可写成平方的形式，且两项符号相反; 【详解】解： A. ∵中两项符号相同，不符合平方差公式因式分解的要求，∴A错误； B. ∵，是两项，两项均为平方项，且符号相反，符合平方差公式因式分解的要求，∴B正确； C. ∵是三项多项式，不符合要求，∴C错误； D. ∵，两项符号相同，不符合要求，∴D错误; 【变式1】. （25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式分解因式要求多项式可化为两个平方项作差，即形如，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、，两项符号相同，无法写成两个平方项作差的形式，因此不能用平方差公式分解因式，符合题意； B、符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； D、 ，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意． 【变式2】. （25-26九年级上·云南昆明·期末）分解因式：____________． 【答案】 【分析】先提取原式的公因式，再用平方差公式分解，直至不能再分解． 【详解】解：． 【变式3】. （25-26八年级下·广东梅州·期末）在实数范围内分解因式：． 丽华的解题过程如下： 解：原式． 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来． 【答案】不正确， 正确的解题过程如下： 原式 【分析】分解因式需要分解至不能再分解为止，利用平方差公式进行两次分解即可得到正确结果． 【详解】略 题型06 直接利用完全平方公式因式分解 识别三项式、首尾平方同号、中间2倍乘积特征，匹配和或差的完全平方公式完成分解。 【典例6】. （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、多项式无法化为两数差的平方形式，不能用完全平方公式分解． B、为平方差形式，不能用完全平方公式分解． C、，能用完全平方公式分解． D、多项式无法化为两数和或差的平方形式，不能用完全平方公式分解． 【变式1】. （25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用完全平方公式分解因式，解题关键是掌握完全平方公式的结构特征，根据公式结构逐一判断选项即可． 【详解】解：∵完全平方公式的结构为， 对于选项A：，符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解因式，符合题意； 对于选项B：的常数项为负数，无法写成正平方项，不符合完全平方公式结构，不能分解，不符合题意； 对于选项C：只符合平方差公式结构，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式分解，不符合题意； 对于选项D：中，若符合完全平方公式，常数项应为，不是1，因此不符合结构，不能分解，不符合题意． 【变式2】. （25-26八年级下·广东茂名·期末）先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解． 解：把看作一个整体，令，则 原式， ， ． 上述解题用到的是“整体思想”．“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求的值； (3)请尝试证明：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)证明：设四个连续整数为，，，（为整数）， 则四个连续整数的积与1的和为， ， ， 令，则 原式， ， ， ， 为整数， 是整数， 四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 【分析】（1）将多项式整体代换简化二次式，用完全平方公式逐层因式分解即可； （2）对四个一次因式分组相乘构造整体，结合已知方程整体代入求值即可； （3）设四个连续整数为，，，（为整数），分组相乘构造相同二次整体，换元后配成完全平方即可完成证明． 【详解】（1）解：， 令，则 原式， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ； （3）略 【变式3】. （25-26七年级下·河北承德·期末）【阅读材料】乘法公式是代数运算的基石，其中完全平方公式和平方差公式最为常用．它们不仅可以进行整式乘法，还能逆向使用进行因式分解． (1)因式分解：__________，__________； (2)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：__________； (3)参考上面方法，分解因式：． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：根据完全平方公式可知：是一个完全平方式； （3）解：原式 ． 题型07 底数为多项式的公式法因式分解 将多项式整体视为公式中的a或b，整体代入平方差、完全平方公式，展开后化简整理。 【典例7】. （25-26八年级下·广东深圳·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 【答案】(1) (2)证明：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式， ， 无论取何值时，的值一定是非负数． 【分析】（1）令，代入原式，利用完全平方式因式分解，再将“”还原即可； （2）令，代入原式，化简后再利用完全平方式因式分解，再将“”还原，得原式，任何情况下，都是非负数，题目得证． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式； （2）略 【变式1】. （25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）阅读以下材料： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原， 得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)利用上述方法先因式分解：，再当时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 因式分解结果为，当时，代数式的值为 【分析】（1）把看作整体，利用完全平方公式分解因式； （2）首先把看作整体，利用多项式乘多项式的法则把展开，再利用完全平方公式进行因式分解，把代入化简后的结果计算求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时， 可得：原式． 【变式2】. （25-26八年级下·河南郑州·期末）阅读以下材料． 材料：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 【答案】(1) (2) (3)证明：令， ， 将还原， ， 无论为何值， ， 即式子的值一定是一个不小于2的数． 【分析】（1）令，则原式可化为，运用完全平方公式因式分解，再将“m”还原即可； （2）令，则原式可化为运用完全平方公式因式分解，再将“m”还原，注意还原之后能继续因式分解要继续分解； （3）令，则原式可化为，配方法得到，将“m”还原之后可化为，根据即可得解． 【详解】（1）解：令， ， 将“”还原，得； （2） 解：令， ， 将“”还原，得： ； （3）证明详见答案 【变式3】. （25-26七年级下·安徽安庆·阶段检测）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可； （2）设，则原式，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， ， 将“A”还原，可以得到：； （2）解：令， 则 ， 将“B”还原，可以得到：． 题型08 先提公因式再套公式综合分解 严格遵循“先提公因式，再套公式”顺序，所有因式需分解至最简，无剩余可分解因式。 【典例8】. （25-26八年级上·山西吕梁·期末）因式分解：________． 【答案】 【分析】整理后提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 【变式1】. （25-26八年级下·陕西汉中·期末）分解因式： 【答案】 【详解】解： ． 【变式2】. （25-26八年级下·江苏镇江·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】. （25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）将下列各式分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型09 十字相乘法因式分解 针对首项系数为1的二次三项式，拆分常数项为两个数的积，且两数和为一次项系数，拆分后因式分解。 【典例9】. （宁夏银川市第六中学2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷）材料：如何将型的式子分解因式呢？ 我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：． 例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为 ； (2)若利用十字相乘法可分解为（a，p均为整数），求a和p的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：由题意得， 均为整数， ， ． 【变式1】. （25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，理解并运用题中的分解因式方法是解题的关键． （1）①仿照题中十字相乘法将原式分解即可；②先根据平方差公式分解因式，再利用十字相乘法分解因式得出答案； （2）把8分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 【详解】（1）解：①； ② ； （2）∵，，，， ∴整数的可能值为：，，，， ∴整数的所有可能值为：，． 故答案为：，． 【变式2】. （25-26八年级上·山东烟台·期中）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由得；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解，例如：因式分解，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”，请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题． (1)用“十字相乘法”因式分解：①；② (2)可分解为两个一次因式的积，则整数a的所有可能值是______． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了十字相乘法． （1）用十字相乘法因式分解即可； （2）把写成整数积的形式，两个因数的和就是的值． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②，， ∴； （2）解：∵可分解为两个一次因式的积，， ∴或或或， 故答案为：或． 【变式3】. （25-26八年级上·陕西安康·期末）材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的因式分解： （1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：由题意得， 均为整数， ， ． 题型10 分组分解法因式分解 根据多项式结构二二分组或三一分组，分组后分别提公因式或套公式，二次合并完成分解。 【典例10】. （25-26八年级下·陕西西安·期末）因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】. （25-26八年级下·贵州毕节·期末）【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这个三角形是等边三角形，理由如下： ， ， ∴， ，， ． ，，                 ，， ， ∴这个三角形是等边三角形． 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到，，之间的关系，即可得出结果． 【详解】（1）解：原式  ． （2）解：原式， ， ．                 （3）略 【变式2】. （25-26八年级下·陕西咸阳·期末）小辰对多项式进行因式分解，采用的方法如下：．根据以上方法，解答下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知是的三边长，且满足，试说明是等腰三角形． 【答案】(1) (2)∵， ∴， ∴， ∵是的三边长， ∴，即， ∴，即， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）利用分组分解法求解即可； （2）利用分组分解法得到，根据三角形关系得到，求得，据此即可得到是等腰三角形． 【详解】（1）解： ； （2）解：略 【变式3】. （25-26八年级下·陕西渭南·期末）阅读材料：如何对多项式进行因式分解呢？小明想到可以将这个多项式“两两分组”再进行因式分解，具体过程为：．小红用类似的方法对多项式进行因式分解，具体过程为：．像这种先将一个多项式适当分组，再分解因式的方法叫作“分组分解法”．请按照以上材料，将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分组，然后提取公因式分解因式即可； （2）先分组，然后利用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型11 因式分解简便计算与求值 对算式因式分解，凑整化简运算；代数式优先分解化简，再代入数值或整体代入求值。 【典例11】. （25-26八年级下·江苏南京·期中）把下列各式因式分解或简便计算： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)简便计算：； (4)简便计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解； （）先变形提取公因式，再用平方差公式因式分解； （）利用平方差公式变形后进行简便计算； （）将原式变形后，利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】. （25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）因式分解、用因式分解进行简便计算： (1)因式分解：； (2)用因式分解进行简便计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： . 【变式2】. （25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）因式分解（或利用因式分解进行简便运算）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）把原式变形为，再利用完全平方公式分解因式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型12 因式分解综合应用 结合整除判断、几何图形面积、三角形形状判定等场景，因式分解后分析式子结构与数量关系。 【典例12】. （26-27八年级上·全国·课后作业）在一块边长的正方形空地的四角均留出一块边长的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪．问：草坪的面积有多大？ 【答案】 【分析】用大正方形的面积减去小正方形的面积得出草坪的面积即可． 【详解】解：草坪的面积为： ． 【变式1】. （25-26八年级下·陕西汉中·期末）有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式 因式分解的结果为或，取个人年龄作为x的值，当 时， ， ，此时可以得到数字密码1723或2317．根据上述方法，若小阳选取的多项式是 ，已知取小阳当前的年龄作为x的值，设置的数字密码是6位数字141213，请分析小阳当前的年龄，并说明理由． 【答案】， ∵小阳手机的锁屏密码是6位数字141213，且结合 ∴，，， ∴． 答：小阳当前年龄是13岁． 【分析】先将原式分解成，结合题意得，，，据此计算即可作答． 【详解】解：略 【变式2】. （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，人民公园有一块半径为的圆形空地，在该空地上修建4个半径均为的圆形花坛，其余部分（阴影部分）种植草坪．（取3） (1)种植草坪（阴影部分）的面积为__________；（用含R，r的代数式表示） (2)当时，利用因式分解计算种植草坪（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用大圆面积减去4个小圆的面积，列出阴影部分面积的表达式； （2）对面积表达式先提取公因式，再用平方差公式因式分解，代入数值简化计算． 【详解】（1）解：=大圆面积−4×小圆面积， ． （2）解：． 当，时， ． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏盐城·期中）综合与实践． 【主题】利用因式分解生成密码． 【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码． 【操作】 步骤一：分解因式； 步骤二：取，则有，其中04，04，11，05分别为因式码； 步骤三：将这四个因式码按从小到大的顺序排列，形成密码04040511． 【注意】字母的取值不同，所得的密码也不同；若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01，以此类推； 【理解】 (1)①已知多项式，当取时，则生成的密码是__________． ②已知多项式，当时，用上述方法生成的密码是一个六位数，则生成的密码是__________． 【拓展】 (2)①已知多项式，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为05，07，则第三个因式码为__________． ②若多项式，用上述方法生成密码时，已知当取x，y某一组值时，生成的密码是，请写出满足条件的和，并说明理由． 【答案】(1)①② (2)①②，理由见详解 【分析】（1）①利用平方差公式分解因式，再根据的值求出和的值即可得到答案； ②先运用完全平方公式进行因式分解，再根据求出三个因式的值即可得到答案； （2）①利用平方差公式分解因式，得到，根据密码的前两个因式码为05，07，进行列式计算，即可作答． ②先把进行因式分解，得出，再根据当取x，y某一组值时，生成的密码是，建立方程组，再解方程组，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，， ∵， ∴， 依题意，因式码为，按从小到大排列得密码； 即生成的密码是． ②， ∵， ∴ 依题意，因式码为，按从小到大排列得六位数密码， ∴生成的密码是． （2）解：①， 依题意，都是非负整数 ∴， ∵密码的前两个因式码为05，07， ∴， 解得， ∴． 即第三个因式码为； ②，理由如下： ， ∵当取x，y某一组值时，生成的密码是， ∴， 解得． 一、单选题 1．下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据因式分解的结果为几个整式乘积的特征判断． 【详解】解：A．是整式乘法，不符合题意． B．符合因式分解要求，是因式分解，符合题意． C．仅为符号变形，左右均为乘积形式，不是因式分解，不符合题意． D．右边为和的形式，不是因式分解，不符合题意． 2．已知可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解，需考虑和、差两种完全平方形式． 【详解】解：∵可以用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴． 3．若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对等式左边用平方差公式因式分解，结合三角形三边关系判断m的符号． 【详解】解： ， ∵为三角形的三条边长， ∴， ， ∴， ， ∴， 即． 二、填空题 4．分解因式______________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解：． 5．分解因式：_____． 【答案】 【详解】解：． 6．已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 【答案】/ 【分析】设出另一个因式，利用因式乘积展开后对应系数相等求解． 【详解】解：设多项式的另一个因式为，则， ， ， 解得：， 因此另一个因式为． 三、解答题 7．把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．按要求完成下列各小题： (1)简便运算：； (2)因式分解：； (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1)4 (2) (3)，8 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当，时， 原式 ． 9．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值的问题． 例如：分解因式：； 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：_______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 【答案】(1) (2)多项式的最大值为 (3) 【分析】（1）先在一次项后加上，再减去，构造完全平方式，最后用平方差公式分解； （2）先提取负号，将括号内的二次三项式配方，利用完全平方式的非负性，求出最大值； （3）先将等式配方，求出和的值，再利用三角形三边关系确定的范围． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∴， 当时，有最大值； （3）解：， ， ， 即， ，， ，， 、、是的三边， ， 故． 1．已知x，y，z是的三边长，其中x，y满足，则的值可能为（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】先对给定的等式进行变形，因为平方数和算术平方根都具有非负性，两个非负数相加为0，则各自为0，所以可以分别求出和的值．因为是三角形的三边长，所以根据三角形三边关系定理，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可列出关于的不等式，确定的取值范围．对照选项，判断哪个选项的数值在的取值范围内即可． 【详解】解：可化为． ∵，， ∴，， 解得，， 根据三角形三边关系，得， 即． 选项中只有5符合该范围，故选项B符合题意． 2．老师布置了一个任务：对于非零实数，，满足，探讨的值．小光解得，但同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数，，使原等式成立，但．如：___________． 【答案】 ，（答案不唯一） 【分析】将原等式整理因式分解后可得，满足且非零时，即可满足且原等式成立． 【详解】解：， ∵要求原等式成立且，为非零实数 ∴只需满足，且， ∴可取，得 验证：左边，右边，左边右边，且，符合要求． 3．定义∶是以，，为系数的二次多项式，即，其中，，均为实数，例如，，则．若，则_________． 【答案】 【分析】本题为新定义下的多项式乘法问题，先根据定义写出两个多项式的乘积等式，再将代入等式，通过提取公因式化简即可得到所求结果． 【详解】解： 根据定义可得，， 因此可得， 将代入等式两边，得， ∴， ∴， ∴． 4．判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)两个连续整数的平方差必是奇数； (2)若a为整数，则能被6整除． 【答案】(1)说法正确，理由如下： 设两个连续整数为，（为整数），则平方差为， ∵为整数， ∴是偶数，是奇数， ∴两个连续整数的平方差必是奇数； (2)说法正确，理由如下： ， ∵为整数， ∴，，是三个连续整数，而任意三个连续整数中，必有一个数能被整除，且至少有一个是偶数， ∴三个连续整数的乘积必定能被整除，即能被6整除． 【分析】（1）设两个连续整数为，（为整数），再结合完全平方公式计算即可得证； （2）将变形为，再结合，，是三个连续整数，而任意三个连续整数中，必有一个数能被整除，且至少有一个是偶数，分析即可得证． 【详解】（1）略； （2）略． 5．阅读材料： 利用完全平方公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可； （2）根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案； （3）根据配方法配方，得到，再根据非负数的性质求出的值，可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值， 即多项式的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴的周长为． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.5 因式分解 教学目标 1. 理解因式分解的定义、本质特征，明晰因式分解与整式乘法的互逆关系，区分两种变形。 2. 熟练掌握公因式的查找方法，能规范运用提公因式法完成基础因式分解运算。 3. 精准掌握平方差、完全平方公式的结构特征，能灵活套用公式法分解对应多项式。 4. 掌握十字相乘、分组分解等进阶方法，能综合多种方法完成复杂因式分解运算。 5. 能运用因式分解进行简便计算、代数式求值、整除判断，提升代数运算与推理能力。 教学重难点 重点 （1）理解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法的区别与联系。 （2）熟练确定公因式，规范运用提公因式法分解多项式。 （3）掌握平方差、完全平方公式的结构特征，能直接套用公式因式分解。 （4）掌握因式分解“先提公因式、再套公式”的基础解题流程。 难点 （1）准确识别公式适用条件，区分平方差与完全平方公式，规避公式误用。 （2）处理多项式整体底数、符号变换问题，灵活完成整体代入分解。 （3）综合运用多种分解方法，做到因式分解彻底，杜绝分解不彻底、漏项问题。 （4）运用因式分解解决求值、简便运算、整除证明等综合应用问题。 知识点01：因式分解的概念 1. 定义：把一个多项式化成几个 的 的形式，这种式子变形叫做 ，也叫做 。 2. 核心特征：变形方向为“和差化积”，结果必须是 ，不含加减运算。 3. 与整式乘法的关系：二者是互逆恒等变形。整式乘法是“积化和差”，因式分解是“和差化积”。 4. 分解原则：分解要彻底，直至每一个因式都不能再分解为止；相同因式需写成幂的形式。 【即学即练】 1．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 知识点02：提公因式法因式分解 1. 公因式定义：多项式各项共有的 ，分为 和 。 2. 公因式确定方法（五看）：一看系数，取各项系数的最大公因数；二看字母，取各项相同字母；三看指数，取相同字母最低次幂；四看整体，相同多项式整体视为一个因式；五看符号，首项为负时公因式带负号。 3. 运算法则： 4. 分解步骤：第一步确定最大公因式；第二步提取公因式，确定剩余因式；第三步整理化简，保证分解彻底。 5. 易错要点：提公因式后剩余因式项数与原多项式一致；单独一项全部提出后，括号内保留1，不可遗漏。 【即学即练】 1．因式分解： (1) (2) 知识点03：平方差公式因式分解 1. 公式逆向运用： 2. 适用多项式特征：整体为二项式；两项均可化为平方形式；两项符号一正一负。 3. 公式说明：a、b可代表单项式、多项式等整体式子，灵活整体代入分解。 【即学即练】 1．下列各式能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 知识点04：完全平方公式因式分解 1. 公式逆向运用： 2. 适用多项式特征：整体为三项式；首尾两项为平方形式且符号相同；中间项为首尾底数乘积的2倍，符号可正可负。 3. 完全平方式定义：符合上述特征的二次三项式，统称为完全平方式。 【即学即练】 1．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 知识点05：进阶因式分解方法 1. 十字相乘法：针对二次三项式，适用于首项系数为1的二次多项式分解。 2. 分组分解法：分为二二分法、三一分法，通过分组构造公因式或平方公式，分步完成分解。 【即学即练】 1．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 2．我们已经学习过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有拆项法和分组分解法等等． ①拆项法：例： ②分组分解法：例： (1)仿照上面方法分解因式： ①__________；②__________； (2)已知，，为的三条边，，求的周长． 知识点06：因式分解通用解题步骤 1. 一提：优先提取多项式的最大公因式； 2. 二套：无公因式时，根据项数套用公式，二项式用平方差公式，三项式用完全平方公式； 3. 三分：无法套公式时，用十字相乘、分组分解法拆分； 4. 四查：检查每一个因式是否分解彻底，无剩余公因式、无未化简因式。 【即学即练】 1．因式分解： (1) (2) 题型01 因式分解概念辨析 紧扣“多项式化为整式积”核心定义，区分因式分解（和差化积）与整式乘法（积化和差），排除含分式、和差结果的变形。 【典例1】. （25-26八年级下·陕西西安·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）下列由左边到右边的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 题型02 查找多项式公因式 按“系数最大公因数+相同字母最低次幂+整体多项式”规则查找，优先判断首项符号，确定正负公因式。 【典例2】. （25-26八年级上·辽宁大连·期末）用提公因式法分解时，应提出的公因式为（     ） A．2 B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级下·广东深圳·期末）多项式中各项的公因式是__________． 【变式2】. （25-26八年级下·宁夏银川·期末）多项式中各项的公因式是_____． 【变式3】. （25-26八年级下·山东济南·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是_____． 题型03 基础提公因式法分解因式 先提最大公因式，逐项提取不遗漏，剩余因式项数与原式一致，单独项提尽后保留常数1。 【典例3】. （2026·山东威海·三模）因式分解：____________________． 【变式1】. （25-26八年级下·江西萍乡·期末）因式分解：_______． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型04 变号后提公因式分解因式 利用统一多项式底数，再提取整体公因式，注意符号整体变换。 【典例4】. （25-26八年级下·陕西西安·期末）分解因式： (1) (2) 【变式1】. （25-26八年级下·四川成都·期末）因式分解： (1)； (2)． 【变式2】. （25-26八年级下·江西萍乡·期末）因式分解： (1)； (2) 【变式3】. （25-26八年级下·江苏南京·期末）分解因式： (1)； (2)． 题型05 直接利用平方差公式因式分解 判断二项式、平方形式、异号三大特征，直接套用，分解后检查彻底性。 【典例5】. （2026·贵州黔西南·模拟预测）下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26九年级上·云南昆明·期末）分解因式：____________． 【变式3】. （25-26八年级下·广东梅州·期末）在实数范围内分解因式：． 丽华的解题过程如下： 解：原式． 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来． 题型06 直接利用完全平方公式因式分解 识别三项式、首尾平方同号、中间2倍乘积特征，匹配和或差的完全平方公式完成分解。 【典例6】. （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级下·广东茂名·期末）先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解． 解：把看作一个整体，令，则 原式， ， ． 上述解题用到的是“整体思想”．“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求的值； (3)请尝试证明：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【变式3】. （25-26七年级下·河北承德·期末）【阅读材料】乘法公式是代数运算的基石，其中完全平方公式和平方差公式最为常用．它们不仅可以进行整式乘法，还能逆向使用进行因式分解． (1)因式分解：__________，__________； (2)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：__________； (3)参考上面方法，分解因式：． 题型07 底数为多项式的公式法因式分解 将多项式整体视为公式中的a或b，整体代入平方差、完全平方公式，展开后化简整理。 【典例7】. （25-26八年级下·广东深圳·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 【变式1】. （25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）阅读以下材料： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原， 得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)利用上述方法先因式分解：，再当时，求代数式的值． 【变式2】. （25-26八年级下·河南郑州·期末）阅读以下材料． 材料：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 【变式3】. （25-26七年级下·安徽安庆·阶段检测）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 题型08 先提公因式再套公式综合分解 严格遵循“先提公因式，再套公式”顺序，所有因式需分解至最简，无剩余可分解因式。 【典例8】. （25-26八年级上·山西吕梁·期末）因式分解：________． 【变式1】. （25-26八年级下·陕西汉中·期末）分解因式： 【变式2】. （25-26八年级下·江苏镇江·期末）因式分解： (1)； (2)． 【变式3】. （25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）将下列各式分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 题型09 十字相乘法因式分解 针对首项系数为1的二次三项式，拆分常数项为两个数的积，且两数和为一次项系数，拆分后因式分解。 【典例9】. （宁夏银川市第六中学2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷）材料：如何将型的式子分解因式呢？ 我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：． 例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为 ； (2)若利用十字相乘法可分解为（a，p均为整数），求a和p的值． 【变式1】. （25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 【变式2】. （25-26八年级上·山东烟台·期中）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由得；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解，例如：因式分解，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”，请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题． (1)用“十字相乘法”因式分解：①；② (2)可分解为两个一次因式的积，则整数a的所有可能值是______． 【变式3】. （25-26八年级上·陕西安康·期末）材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 题型10 分组分解法因式分解 根据多项式结构二二分组或三一分组，分组后分别提公因式或套公式，二次合并完成分解。 【典例10】. （25-26八年级下·陕西西安·期末）因式分解： (1)； (2) 【变式1】. （25-26八年级下·贵州毕节·期末）【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【变式2】. （25-26八年级下·陕西咸阳·期末）小辰对多项式进行因式分解，采用的方法如下：．根据以上方法，解答下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知是的三边长，且满足，试说明是等腰三角形． 【变式3】. （25-26八年级下·陕西渭南·期末）阅读材料：如何对多项式进行因式分解呢？小明想到可以将这个多项式“两两分组”再进行因式分解，具体过程为：．小红用类似的方法对多项式进行因式分解，具体过程为：．像这种先将一个多项式适当分组，再分解因式的方法叫作“分组分解法”．请按照以上材料，将下列各式分解因式： (1)； (2)． 题型11 因式分解简便计算与求值 对算式因式分解，凑整化简运算；代数式优先分解化简，再代入数值或整体代入求值。 【典例11】. （25-26八年级下·江苏南京·期中）把下列各式因式分解或简便计算： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)简便计算：； (4)简便计算：． 【变式1】. （25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）因式分解、用因式分解进行简便计算： (1)因式分解：； (2)用因式分解进行简便计算：． 【变式2】. （25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）因式分解（或利用因式分解进行简便运算）： (1)； (2)； (3)． 【变式3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型12 因式分解综合应用 结合整除判断、几何图形面积、三角形形状判定等场景，因式分解后分析式子结构与数量关系。 【典例12】. （26-27八年级上·全国·课后作业）在一块边长的正方形空地的四角均留出一块边长的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪．问：草坪的面积有多大？ 【变式1】. （25-26八年级下·陕西汉中·期末）有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式 因式分解的结果为或，取个人年龄作为x的值，当 时， ， ，此时可以得到数字密码1723或2317．根据上述方法，若小阳选取的多项式是 ，已知取小阳当前的年龄作为x的值，设置的数字密码是6位数字141213，请分析小阳当前的年龄，并说明理由． 【变式2】. （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，人民公园有一块半径为的圆形空地，在该空地上修建4个半径均为的圆形花坛，其余部分（阴影部分）种植草坪．（取3） (1)种植草坪（阴影部分）的面积为__________；（用含R，r的代数式表示） (2)当时，利用因式分解计算种植草坪（阴影部分）的面积． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏盐城·期中）综合与实践． 【主题】利用因式分解生成密码． 【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码． 【操作】 步骤一：分解因式； 步骤二：取，则有，其中04，04，11，05分别为因式码； 步骤三：将这四个因式码按从小到大的顺序排列，形成密码04040511． 【注意】字母的取值不同，所得的密码也不同；若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01，以此类推； 【理解】 (1)①已知多项式，当取时，则生成的密码是__________． ②已知多项式，当时，用上述方法生成的密码是一个六位数，则生成的密码是__________． 【拓展】 (2)①已知多项式，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为05，07，则第三个因式码为__________． ②若多项式，用上述方法生成密码时，已知当取x，y某一组值时，生成的密码是，请写出满足条件的和，并说明理由． 一、单选题 1．下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．已知可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 3．若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 二、填空题 4．分解因式______________． 5．分解因式：_____． 6．已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 三、解答题 7．把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 8．按要求完成下列各小题： (1)简便运算：； (2)因式分解：； (3)先化简，再求值：，其中，． 9．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值的问题． 例如：分解因式：； 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：_______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 1．已知x，y，z是的三边长，其中x，y满足，则的值可能为（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．老师布置了一个任务：对于非零实数，，满足，探讨的值．小光解得，但同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数，，使原等式成立，但．如：___________． 3．定义∶是以，，为系数的二次多项式，即，其中，，均为实数，例如，，则．若，则_________． 4．判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)两个连续整数的平方差必是奇数； (2)若a为整数，则能被6整除． 5．阅读材料： 利用完全平方公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $