第11章 整式的乘除（高效培优讲义）数学华东师大版2024八年级上册

该初中数学讲义通过表格梳理教学目标与重难点，用思维导图呈现幂的运算、整式乘除、因式分解等10个考点的内在联系，突出法则逆用、符号处理等核心问题，直观构建知识脉络与易错点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，如“乘法公式变形求值”强调整体代入法，“几何背景应用”结合图形面积验证公式，培养运算能力与几何直观。13个题型涵盖基础到综合，典例与变式题助力不同学生提升，支持教师精准复习教学。

第11章 整式的乘除 教学目标 1.掌握同底数幂、幂的乘方、积的乘方及整式乘除的核心法则，构建知识网络。 2.能熟练运用法则进行整式乘除及混合运算，准确处理符号与指数问题。 3.会运用整式乘除知识解决几何面积、实际应用等问题，提升运算应用能力。 4.体会数形结合、转化思想，避免常见运算错误，形成规范解题习惯。 教学重难点 1.重点 （1）同底数幂、幂的乘方、积的乘方法则的理解与应用。 （2）单项式与单项式、单项式与多项式的乘除运算。 （3）多项式乘多项式的运算及符号规则把握。 （4）整式乘除混合运算的顺序与步骤规范。 2.难点 （1）乘除运算中负号、括号的符号处理。 （2）幂的运算法则的混淆与错用（如同底数幂乘除与幂的乘方）。 （3）多项式乘除中漏乘项、同类项合并错误。 （4）整式乘除法则的逆用及综合应用题求解。 考点01幂的运算 核心内容 同底数幂乘法：（逆用：） 幂的乘方：（逆用：） 积的乘方：（逆用：） 同底数幂除法：（，逆用：） 易错点：底数互为相反数的转化、指数运算混淆（相加/相乘） 考点02整式的乘法 核心内容 单项式×单项式：系数相乘+同底数幂相乘+单独字母保留 单项式×多项式：（不漏项、符号正确） 多项式×多项式：逐项相乘再合并同类项（常用：） 易错点：漏乘项、符号错误、同类项合并出错 考点03乘法公式 核心内容 平方差公式：（逆用：） 完全平方公式：（逆用：） 常用变形： 易错点：1、完全平方公式中间项漏乘；2、符号错误 考点04整式的除法 核心内容 单项式÷单项式：系数相除+同底数幂相除+被除式单独字母保留 多项式÷单项式：（逐项相除，不漏项） 易错点：系数符号、同底数幂指数相减混淆、漏项 考点05因式分解 核心内容 定义：多项式化为整式积的形式（分解彻底） 提公因式法：找系数最大公约数+相同字母最低次幂（首负先提“-”） 公式法：平方差公式（二项平方差）、完全平方公式（三项平方和+两倍积） 十字相乘法：； 分组分解法：分组后提公因式/用公式（目标：产生新公因式） 易错点：分解不彻底、漏项、公因式提取不全 考点06整式的化简与求值 核心内容 化简顺序：幂运算→乘除→加减（有括号先算括号内） 求值技巧：整体代入法、降次代换法（高次转低次） 关键：先化简再求值（因式分解约分简化计算） 考点07乘法公式的几何背景 核心内容 平方差公式：大正方形-小正方形=长方形面积（） 完全平方公式：大正方形面积=小正方形+长方形面积（） 应用：图形面积→代数等式；代数等式→拼接图形 考点08因式分解的实际应用 核心内容 简便计算：提公因式、公式法简化运算（如） 整除判断：因式分解后含目标因数 图形问题：面积表达式因式分解求边长/面积 考点09整式运算特殊问题 核心内容 不含某项：展开后令该项系数为0求参数 与字母无关：化简后含该字母项系数为0求参数 考点10幂的运算与因式分解逆用 核心内容 幂的逆用：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方逆用求值/比较大小 因式分解逆用：提公因式、公式逆用化简求值（如） 题型01幂的基本运算（同底数幂、幂的乘方、积的乘方） 方法技巧： 1.核心法则：底数不变，指数运算（同底数幂乘加、除减，幂的乘方相乘）。 2.公式牢记：、、（，为正整数)。 3.注意符号处理，积的乘方需将每一个因式分别乘方，负号奇次幂为负、偶次幂为正。 【典例1】．（25-26七年级上·上海金山·期中）若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相除，利用指数运算法则，将转化为已知指数的形式进行计算即可，熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·四川乐山·期中）计算的结果是（   ） A． B．－3 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方是解题的关键；利用指数运算性质，将原式拆分为同指数幂的乘积，简化后计算即可． 【详解】解： ； 故选D． 【变式2】．（25-26八年级上·江西宜春·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查幂的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算乘方和幂的乘方，最后根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （2）原式先计算积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的乘法，最后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘除法则，合并同类项的法则，积的乘方法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选B． 题型02同底数幂的除法与零指数幂、负整数指数幂 方法技巧： 1.基本法则：(，)，底数不为0是前提。 2.特殊规定：()、(，为正整数)。 3.运算时先统一底数，再按法则计算，结果化为正指数形式。 【典例1】．（25-26七年级上·上海·期末）计算：_________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘除，先算幂的乘方，再算同底数幂乘除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求，的值． 【答案】3；288 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 【详解】解：①； ②. 【变式2】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）解答题： (1)计算： (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、绝对值化简、负整指数幂的除法，关键是熟练应用运算法则进行运算； （1）根据运算法则先算乘方、绝对值化简，最后算加减即可； （2）根据单项式除单项式的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式3】．（25-26八年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式指数幂的混合运算，熟练掌握整数的指数幂的运算是解题的关键， （1）利用负数的奇次幂，零次幂，绝对值的非负性计算即可得到答案； （2）利用幂的乘方，分配律，合并同类项进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型03单项式与单项式的乘除运算 方法技巧： 1.乘法：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母连同指数保留。 2.除法：系数相除，同底数幂相除，被除式单独字母连同指数保留。 3.结果注意化简，系数化为最简分数，符号遵循“同号得正，异号得负”。 【典例1】．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是做题的关键．先计算乘方，再计算乘法，最后再合并同类项即可． 【详解】解：原式 【变式1】．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式和多项式除以单项式，根据单项式乘以多项式法则和多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 . 【变式2】．（25-26八年级上·北京丰台·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式的乘方、乘法与除法运算，熟练运用幂的运算法则（ 积和幂的乘方、同底数幂的乘除）是解答本题的关键． （1）先运用积和幂的乘方法则计算乘方项，再运用单项式乘法法则计算乘积； （2）先运用幂的乘方法则计算乘方项，再运用单项式除法法则计算商式． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式运算法则，积的乘方，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式运算法则，进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则，进行计算即可； （3）根据单项式乘单项式运算法则，积的乘方运算法则，进行计算即可； （4）根据单项式乘单项式运算法则，进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 题型04乘法公式基础应用(平方差、完全平方公式) 方法技巧： 1.平方差公式：，认准“两数和×两数差”结构，相同项平方减相反项平方。 2.完全平方公式：，牢记中间项是2ab，符号与左边一致。 3.避免常见错误：、。 【典例1】．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用，包括完全平方公式和平方差公式．通过观察各选项的形式，判断是否可以直接应用公式． 【详解】A. 不符合乘法公式的形式； B. ，可以用完全平方公式； C. 不符合乘法公式的形式； D. 不符合乘法公式的形式． 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1) (2)利用乘法公式计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的化简和乘法公式进行简便运算． （1）利用完全平方公式和平方差公式计算，再进行合并同类项即可； （2）利用乘法公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】．（25-26八年级上·四川广元·阶段练习）计算： (1)（用乘法公式计算）； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平方差公式和积的乘方的逆用，熟练掌握幂的运算法则和乘法公式是关键． （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式3】．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)；（利用乘法公式计算） (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）利用完全平方公式计算即可； （）利用平方差公式计算即可； （）先进行积的乘方运算，再进行同底数幂的乘法运算，最后合并同类项即可； （）利用平方差公式计算即可； 本题考查了整式的运算，掌握整式的乘法公式和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型05提公因式法因式分解 方法技巧： 1.三步找公因式：找系数最大公因数→找相同字母→取相同字母最低次幂。 2.首项为负先提负号，提取后括号内各项符号改变。 3.提公因式要彻底，括号内不能再含公因式。 【典例1】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解： （1）提取公因数，利用平方差公式即可； （2）提取公因数，利用完全平方公式即可． 【详解】（1）， ， ； （2）， ， ． 【变式1】．（25-26八年级上·湖南常德·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的方法，正确的计算是解决本题的关键． （1）根据提公因式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】．（25-26八年级上·河南南阳·期中）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提取公因式，再由完全平方公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再合并，合并同类项后，再提取公因数2即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： 【变式3】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）提取公因式法分解即可； （2）提取公因式法分解即可； （3）利用平方差公式，完全平方公式分解即可； （4）先提取公因式，再运用完全平方公式解答即可． 本题考查了因式分解，灵活选择方法是解题的关键． 【详解】（1）解： （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型06幂的运算逆向应用(求值、比较大小) 方法技巧： 1.逆向公式：、、。 2.求值时将所求式转化为已知幂的形式，如；比较大小时统一底数或指数，利用“底数>1时，指数大则幂大”。 3.结合整体思想，将复杂代数式视为一个整体代入计算。 【典例1】．（25-26八年级上·吉林·期中）若，，则________． 【答案】2 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握同底数幂的除法的逆运算法则是解题的关键，利用同底数幂的除法的逆运算法则变形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 【变式1】．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）已知，，，那么a、b、c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算和幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方的逆运算法则和幂的乘方法则可得，，，据此比较大小即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴， 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方运算的逆用即可求解； （2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方进行计算即可． 本题主要考查了幂运算，掌握相关运算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵ ，， ∴ ，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【变式3】．（25-26八年级上·河南·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)______． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“＜”连接起来． (3)若，，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)18 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方，逆用法则是解题的关键． （1）逆用积的乘方即可求解； （2）先把a、b化为指数为3的幂，在指数相同的情况下，通过比较底数的大小，即可比较幂的大小； （3）逆用同底数幂的乘法与幂的乘方，即可求解． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：1； （2）解：， ∵， ∴， 即； （3）解： ． 题型07整式乘法中“不含某项”问题 方法技巧： 1.步骤：先按法则展开整式→合并同类项→令“不含项”的系数为0。 2.关键：准确展开多项式乘法，避免漏乘或符号错误，重点关注指定次数项的系数。 3.例如：不含项，则项系数为0，列方程求解参数。 【典例1】．（25-26八年级上·福建福州·期中）计算的结果不含项，那么m的值为（　　） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算是关键．先合并多项式中的同类项，再求出展开后结果含的项，令项的系数为零，求出m的值即可． 【详解】解：， 展开后结果含的项为和， 根据题意，结果不含项，故， ． 故选：B． 【变式1】．（25-26七年级上·江西景德镇·期中）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则，同类项的合并，多项式项的系数，幂的运算及负整数指数幂的运算．先根据多项式乘法法则求出两个多项式的乘积，再根据不含项和项这一条件求出m、n的值，最后代入计算结果． 【详解】解：， ∵关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项， ∴，， ∴， ∴． 【变式2】．（25-26八年级上·四川资阳·期中）若的展开式中不含和的项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式不含某项、代数式化简求值等知识，熟记整式运算法则是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式运算法则展开，再根据的展开式中不含和的项，得到，，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，，先化简代数式得到，再将，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 的展开式中不含和的项， ，， 解得； （2）解：由（1）知，， ， ， 原式 ． 【变式3】．（25-26八年级上·四川内江·期中）若的积中不含与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键． （1）利用条件中积不含与项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； （2）利用第（1）问中的结果，代入求值． 【详解】（1）解：原式 积中不含项与项， ，， 解得：，； （2）解：， 原式 题型08乘法公式变形求值 方法技巧： 核心变形：；。 已知、、中任意两个，可求第三个及相关代数式的值。 整体代入优先，避免单独求、的值，简化运算。 【典例1】．（25-26八年级上·四川乐山·期中）若，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）利用完全平方公式，得到，代值计算即可； （2）根据，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴ ． 【变式1】．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）已知，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）根据进行计算的值即可； （2）根据结合（1），进行计算的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，即， 则； （2）解：由（1）知，， 则，即， 因此． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽·期末）（1）一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积． 方法1：______．方法2：______． （2）利用等量关系解决下面的问题： ，，求和的值； 已知，求的值． 【答案】（1），，（2）①，，② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式是解题的关键． （1）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积；也可以直接利用小正方形的面积公式得到； （2）①根据（1）的结论代入进行计算即可求解；②根据（1）的结论代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1）阴影部分的面积等于大正方形与原长方形的面积差，或小正方形的面积， ∵小正方形的边长为，大正方形的边长为， ∴阴影部分的面积表示为或， 故答案为：，． （2）①∵，， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．（25-26七年级上·湖北·期中）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)图②中的大正方形的边长为_______；阴影部分的正方形的边长为_______； (2)请用两种方式表示图②中阴影部分的面积； (3)观察图②，、、这三个代数式之间有何数量关系？若，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义与代数运算，以及非负数的性质，通过图形拼接理解代数公式是解答本题的关键． （1）结合长方形的长、宽与拼接后图形的边长关系，确定大正方形和阴影正方形的边长； （2）从 “阴影图形本身的形状” 和 “大图形与小图形的面积差” 两个角度，表示阴影部分的面积； （3）通过观察图形面积的数量关系，推导代数公式，再利用绝对值的非负性求出对应字母的值，代入公式计算结果． 【详解】（1）解：大正方形的边长，阴影部分的正方形的边长； （2）解：阴影部分的面积第一种直接用， 第二种可看作用大正方形的面积减去4个小长方形的面积为； （3）解：由（2）可得， ， 由题意可得，， 代入上式可得． 题型09公式法因式分解(平方差、完全平方公式) 方法技巧： 1.平方差公式：，适用二项式，两项均为平方，符号相反。 2.完全平方公式：，适用三项式，首尾为平方，中间为两数积的2倍。 3.先提公因式，再用公式，分解结果需彻底。 【典例1】．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式1】．（25-26八年级上·四川乐山·期中）分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）根据平方差公式，分解因式即可； （2）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）（1）用配方法因式分解：． （2）若，求的最小值． （3）已知，求的值 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了完全平方公式的应用：因式分解、求代数式的最值等，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）使用配方法将二次表达式转化为完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解； （2）通过配方法将二次函数化为顶点式，求最小值； （3）对给定方程进行分组和配方，利用平方的非负性求值． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵， ∴， 即M的最小值为； （3）∵， ∴， 即， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【变式3】．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）先阅读材料，再解答问题： 因式分解：， 解：将“”看成一个整体，设，则原式， 再将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）利用完全平方进行因式分解； （2），则，利用完全平方进行因式分解得到，则，，进而可求得长方形的周长． 【详解】（1）解：设，则原式可化为， 则， 再把代入，得到原式； （2）解：先把变形为， 则原式变为， 设，则， 则，即， 解得． 因为长方形的周长， 把代入，得到． 题型10十字相乘法因式分解(二次三项式) 方法技巧： 1.形式1()：分解为，找到两个数p、q，使p+q为一次项系数，pq为常数项。 2.形式2(，)：分解为，满足、、。 3.尝试时优先考虑整数因数，符号需匹配一次项和常数项。 【典例1】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）两名学生将一个二次三项式因式分解，一名学生看错了一次项系数，因式分解的结果为；另一名学生看错了常数项，因式分解的结果为，那么这个二次三项式正确的因式分解结果是 ． 【答案】 【分析】该题考查了整式乘法和因式分解，根据第一个学生的分解结果，常数项正确，得出，根据第二个学生的分解结果，一次项系数正确，得出，从而得到正确的二次三项式，再因式分解． 【详解】解：设正确的二次三项式为． 由第一个学生因式分解的结果，由于看错了一次项系数，但常数项正确，故，． 由第二个学生因式分解的结果 ，由于看错了常数项，但一次项系数正确，故，． 因此正确的二次三项式为， 故． 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·河南南阳·期中）【阅读与思考】请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 分解因式，我们可以按下面的方法解答． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式：，． ．我们把这种因式分解的方法形象地称为十字相乘法． 【任务】试用十字相乘法把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法分别求解（1）（2）（3）即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式2】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）小亮自学湘教版八年级上册数学教材第14页的“多知道一点”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式 的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式 因式分解，这个式子的二次项系数是1， 常数项，一次项系数，可用十字相乘为 则 ，仿照上述解决下列问题： (1)因式分解： (2)若二次三项式 可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． (3)阅读并解答：若多项式 中有因式，我们把代入多项式 发现能使多项式 的值为0， ①已知：二次三项式 有一个因式是 ，求m 的值． ②已知：二次三项式 有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②， 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解的应用，解题的关键是理解十字相乘法中 “常数项为两数之积，一次项系数为两数之和” 的核心关系，并能找出符合条件的因数对． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为的值即可； （3）①当时，的值为0，即可求解m；②当时，二次三项式 的值为0，即可求解． 【详解】（1）解： 一次项为∶， 则常数项为， 则 （2）解：若 可分解为两个一次因式的积，则整数a的所有可能的值是： ， 即整数a的所有可能的值是：． （3）解：根据题意：①当时，二次三项式 的值为0， 即 解得：；      ②根据题意：当时，二次三项式 的值为0， 即 解得： ；      则原二次三项式为 ∴另一个因式为. 【变式3】．（25-26八年级上·四川内江·期中）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． 首先把二次项系数分解为；再分解常数项；最后验算“交叉相乘之和”． ①，②，③，④． 发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数－1，即，则．像这样分解因式的方法叫作十字相乘法． 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （1）①_____；②_____； 【探究与拓展】我们已经知道：．反过来，就得到． （2）请你仔细体会上述方法并尝试进行分解因式： ①_____； ②若a、b均为整数，且a、b满足，求的值． 【答案】（1）①，②；（2）①，②或者 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； ②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解； ②利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】 解：（1）①∵ ∴， ∴； 故答案为：； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （2）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当，时，，， ∴； 当，时，，，； 综上，的值为或． 题型11乘法公式的几何背景与应用 方法技巧： 1.利用图形面积验证公式：如正方形面积推导完全平方公式，长方形面积推导平方差公式。 2.解决几何问题：通过面积关系建立代数式，结合公式计算边长、面积或周长。 3.关键：将几何图形与代数公式对应，从“形”的直观到“数”的运算。 【典例1】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）我们已知道可以用一些长方形（或正方形）硬纸片拼成的图形面积来解释代数恒等式． (1)如图1，根据标注，可解释的代数恒等式是 ； (2)如图2，点在上，以，为边分别作正方形和正方形，它们的面积分别为和．若，，求的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用． （1）用两种方法表示面积，列出等式即可； （2）设正方形，的边长分别为，，可得，，代入（1）中结论求出，进而根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：图1面积可表示为、， 即， 故答案为：； （2）解：设正方形，的边长分别为，， ，， ，， ， 即， ， ． 【变式1】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如下用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积． (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式___________； (2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现的等式可表示为___________； (3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，可得的值为___________； (4)如图3，两个正方形的边长分别为、，若，请利用（1）中的结论可求得阴影部分的面积为___________． 【答案】(1) (2) (3)21 (4)11 【分析】本题完全平方公式与几何的综合应用，多项式乘多项式与几何图形的面积，利用等积法正确地列出等式，是解题的关键： （1）根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去2个小长方形的面积，即可得出结果； （2）分割法表示出大正方形的面积即可得出结果； （3）利用（2）的结论，进行计算即可； （4）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：； 故答案为：； （2）由图可知：； （3）∵，， ∴ ， ∴； （4）∵， ∴， 由图可知，阴影部分的面积 ． 【变式2】．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． 【公式推导】 （1）①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，可得_______； ②如图2，用4个长和宽分别为的长方形拼成一个大正方形，可得______； 【阅读理解】“若满足，求的值．” 解：设，则．． 【解决问题】 （2）若满足，求的值； （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是132，四边形和都是正方形，四边形是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】（1）①；②；（2）660；（3）553 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式及整体思想是解题的关键． （1）①根据等面积法即可得到答案； ②根据等面积法即可得到答案； （2）运用题干所给的方法进行计算即可； （3）根据题意易得、的长，然后结合图形、运用题干所给的方法求解即可． 【详解】解：（1）①由图1的面积可得：． ②由图2正方形的面积可得：． （2）设，， 则， ， ； （3）矩形的面积， 设，， 则 ∴阴影部分的面积 ． 答：阴影部分的面积为553． 【变式3】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）知识生成：在数学课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A纸片一张，B纸片一张，C纸片两张拼成如图2所示的大正方形．由图2所示我们可以得到一个熟悉的数学公式：，经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 直接应用：（1）若，，直接写出ab的值为 ． 类比应用：（2）若a满足，求的值． 知识迁移：（3）如图3，在长方形中，，E，F是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用完全平方公式求解； （2）令，，分别求得与，再利用完全平方公式求出即可； （3）设正方形和的边长分别为a、b，先求得、，再利用完全平方公式求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，解得：， 故答案为：； （2）a满足， 令，， 则，， ∴ 即； （3）设正方形和的边长分别为a、b， 则，， ∴， ∵长方形的面积为45， ∴， ∴阴影部分的面积为： ． 题型12因式分解综合应用(分组分解、拆添项法) 方法技巧： 1.分组分解法：将多项式分组后提取公因式，使两组产生相同因式，如。 2.拆添项法：针对不能直接用公式的多项式，拆项或添相反项构造公式形式，如。 3.遵循“一提二套三分组”原则，分解彻底。 【典例1】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读下面分解因式的过程：．利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)若，，是的三边，求证：； (3)求方程的整数解． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了因式分解，三角形三边关系． （1）根据分组分解法求解即可； （2）根据分组分解法将原式分解为，根据三角形三边关系判断即可； （3）根据分组分解法将原方程化为，再根据，都是整数得到，都是整数，进而根据求解方程组即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）证明： ， ，，是的三边， ，， ， 即； （3）解：， ， ， ，都是整数， ，都是整数， ∵， 或， 解得：或， 综上，方程的整数解为：或． 【变式1】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【答案】(1)②，① (2) 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【详解】（1）解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． （2）解： ． 【变式2】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）阅读理解：对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫作添（拆）项法． 学以致用： (1)请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式分解因式； (2)请用上述的添（拆）项法将二次三项式因式分解，并直接写出使等式成立的的值． 【答案】(1) (2)，或 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键． （1）根据示例，先利用添项法把配成完全平方式，再分解因式即可， （2）根据示例，可得，再根据积等于0，则必有因式等于即可得出的值． 【详解】（1）解： ． ． （2） ． 所以，使等式，则或， 故或． 【变式3】．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【项目学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，，，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图1是一组邻边长分别为5，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由； (3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个中间隔有一道栅栏的长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1)当时，有最小值，最小值 (2) (3)当时，有最大值243 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质； （1）利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答； （2）根据矩形的面积公式、正方形的面积公式用表示出、，利用配方法得到，判断即可； （3）用表示出长方形场地的面积，利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值； （2）解：，理由如下： 由题意得，，， ∴ ∵， ∴， ∴． （3）解：当时，有最大值243．理由如下： 由题意，设的长为米，四边形的面积为，则米， 则 ∴当时，有最大值243． 题型13整式运算的规律探究与新定义问题 方法技巧： 1.规律探究：观察已知等式，总结系数、指数的变化规律，如杨辉三角与完全平方公式的关系。 2.新定义运算：按定义转化为整式的乘除、因式分解等熟悉运算，注意定义的适用范围。 3.结合分类讨论思想，处理含参数的规律或新定义问题。 【典例1】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在“探索与表达规律”一课中，我们充分学习了归纳的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略．请结合归纳策略完成以下问题： ； ； ；…… (1)根据以上规律，计算：______； (2)你能否由此归纳出一般性规律：______； (3)根据（2）的规律请你求出：的值； (4)若，则______． 【答案】(1) (2) (3) (4)0或2 【分析】本题主要考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索规律，根据规律答题． （1）运用多项式乘多项式法则展开，合并同类项即得； （2）根据所列等式得出规律：等号右边为x的幂，x的指数为左边第二个因式第一项指数加1，据此即可得出结论； （3）原式乘以(2－1)，然后利用（2）中结论解答即可； （4）根据题意得出，确定或，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故答案为：． （2）根据规律可得：． 故答案为：． （3）解：∵， ∴ ． （4）∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， 故答案为：0或2． 【变式1】．（25-26八年级上·四川乐山·期中）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期一．其中正确的序号有 ． 【答案】①②③ 【点睛】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，根据表中等式的项数和系数的和，找出规律可判断①；利用“杨辉三角”的规律解答可判断②③④，综上即可求解，找出规律是解题的关键． 【详解】解：①∵，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为:， ，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为， ， ∴展开式有项，系数的和为，故①正确； ②∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴， 当代数式的值是时，， 解得，故③正确； ④∵， ∴展开式中除最后一项，均含有因数，都能被整除，展开式的最后一项为， ∴的余数与的余数相同， ∵， ∴的余数为， ∴的余数为， ∴如果今天是星期一，那么天后是星期日，故④错误； 综上，正确的序号有①②③， 故答案为：①②③． 【变式2】．（25-26八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于____________对称； (2)若关于的多项式关于对称，则的值为_________； (3)整式关于____________对称． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式的配方以及根据新定义判断多项式的对称轴，解题的关键在于将多项式通过配方转化为完全平方式的形式，再根据定义确定对称轴． （1）首先对多项式进行配方，化成完全平方的形式，求解对称轴即可． （2）先对多项式进行配方，再根据多项式关于对称，求解的值即可． （3）先对整式中的两个多项式分别进行因式分解，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式关于对称 故答案为：3； （2）解：∵， ∴关于对称， ∵关于对称， ∴， ； 故答案为：； （3）解：， ， ∴原式， ∵当取相反数时，相等，故原式值相等， ∴关于对称． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式(a，b，c，d是常数)，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子． (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． (3)若多项式 (m是常数)是一组平衡多项式，求m的值． 【答案】(1) (2)是，平衡因子为 (3)或7或 【分析】本题主要考查了新定义的理解，多项式乘多项式，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式法则计算，并求出平衡因子； （2）根据运算法则计算，并求出平衡因子； （3）分三种情况列出算式，再计算求值． 【详解】（1）解： ， 该组平衡多项式的平衡因子是． （2）多项式，，，是一组平衡多项式． ， 该组平衡多项式的平衡因子是． （3）需分三种情况讨论： ① ， 这组多项式是一组平衡多项式， ， ． ② ， 这组多项式是一组平衡多项式， ，． ③ ， 这组多项式是一组平衡多项式， ，． 综上所述，m的值为或7或． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 整式的乘除 教学目标 1.掌握同底数幂、幂的乘方、积的乘方及整式乘除的核心法则，构建知识网络。 2.能熟练运用法则进行整式乘除及混合运算，准确处理符号与指数问题。 3.会运用整式乘除知识解决几何面积、实际应用等问题，提升运算应用能力。 4.体会数形结合、转化思想，避免常见运算错误，形成规范解题习惯。 教学重难点 1.重点 （1）同底数幂、幂的乘方、积的乘方法则的理解与应用。 （2）单项式与单项式、单项式与多项式的乘除运算。 （3）多项式乘多项式的运算及符号规则把握。 （4）整式乘除混合运算的顺序与步骤规范。 2.难点 （1）乘除运算中负号、括号的符号处理。 （2）幂的运算法则的混淆与错用（如同底数幂乘除与幂的乘方）。 （3）多项式乘除中漏乘项、同类项合并错误。 （4）整式乘除法则的逆用及综合应用题求解。 考点01幂的运算 核心内容 同底数幂乘法：（逆用：） 幂的乘方：（逆用：） 积的乘方：（逆用：） 同底数幂除法：（，逆用：） 易错点：底数互为相反数的转化、指数运算混淆（相加/相乘） 考点02整式的乘法 核心内容 单项式×单项式：系数相乘+同底数幂相乘+单独字母保留 单项式×多项式：（不漏项、符号正确） 多项式×多项式：逐项相乘再合并同类项（常用：） 易错点：漏乘项、符号错误、同类项合并出错 考点03乘法公式 核心内容 平方差公式：（逆用：） 完全平方公式：（逆用：） 常用变形： 易错点：1、完全平方公式中间项漏乘；2、符号错误 考点04整式的除法 核心内容 单项式÷单项式：系数相除+同底数幂相除+被除式单独字母保留 多项式÷单项式：（逐项相除，不漏项） 易错点：系数符号、同底数幂指数相减混淆、漏项 考点05因式分解 核心内容 定义：多项式化为整式积的形式（分解彻底） 提公因式法：找系数最大公约数+相同字母最低次幂（首负先提“-”） 公式法：平方差公式（二项平方差）、完全平方公式（三项平方和+两倍积） 十字相乘法：； 分组分解法：分组后提公因式/用公式（目标：产生新公因式） 易错点：分解不彻底、漏项、公因式提取不全 考点06整式的化简与求值 核心内容 化简顺序：幂运算→乘除→加减（有括号先算括号内） 求值技巧：整体代入法、降次代换法（高次转低次） 关键：先化简再求值（因式分解约分简化计算） 考点07乘法公式的几何背景 核心内容 平方差公式：大正方形-小正方形=长方形面积（） 完全平方公式：大正方形面积=小正方形+长方形面积（） 应用：图形面积→代数等式；代数等式→拼接图形 考点08因式分解的实际应用 核心内容 简便计算：提公因式、公式法简化运算（如） 整除判断：因式分解后含目标因数 图形问题：面积表达式因式分解求边长/面积 考点09整式运算特殊问题 核心内容 不含某项：展开后令该项系数为0求参数 与字母无关：化简后含该字母项系数为0求参数 考点10幂的运算与因式分解逆用 核心内容 幂的逆用：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方逆用求值/比较大小 因式分解逆用：提公因式、公式逆用化简求值（如） 题型01幂的基本运算（同底数幂、幂的乘方、积的乘方） 方法技巧： 1.核心法则：底数不变，指数运算（同底数幂乘加、除减，幂的乘方相乘）。 2.公式牢记：、、（，为正整数)。 3.注意符号处理，积的乘方需将每一个因式分别乘方，负号奇次幂为负、偶次幂为正。 【典例1】.（25-26七年级上·上海金山·期中）若，，则的值是 ． 【变式1】.（25-26八年级上·四川乐山·期中）计算的结果是（   ） A． B．－3 C．3 D． 【变式2】.（25-26八年级上·江西宜春·期中）计算： (1)； (2)． 【变式3】.（25-26八年级上·甘肃天水·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型02同底数幂的除法与零指数幂、负整数指数幂 方法技巧： 1.基本法则：(，)，底数不为0是前提。 2.特殊规定：()、(，为正整数)。 3.运算时先统一底数，再按法则计算，结果化为正指数形式。 【典例1】.（25-26七年级上·上海·期末）计算： ． 【变式1】.（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求，的值． 【变式2】.（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）解答题： (1)计算： (2)化简：． 【变式3】.（25-26八年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) 题型03单项式与单项式的乘除运算 方法技巧： 1.乘法：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母连同指数保留。 2.除法：系数相除，同底数幂相除，被除式单独字母连同指数保留。 3.结果注意化简，系数化为最简分数，符号遵循“同号得正，异号得负”。 【典例1】.（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【变式2】（25-26八年级上·北京丰台·期中）计算： (1) (2) 【变式3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型04乘法公式基础应用(平方差、完全平方公式) 方法技巧： 1.平方差公式：，认准“两数和×两数差”结构，相同项平方减相反项平方。 2.完全平方公式：，牢记中间项是2ab，符号与左边一致。 3.避免常见错误：、。 【典例1】.（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1) (2)利用乘法公式计算： 【变式2】．（25-26八年级上·四川广元·阶段练习）计算： (1)（用乘法公式计算）； (2)． 【变式3】．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)；（利用乘法公式计算） (3)； (4) 题型05提公因式法因式分解 方法技巧： 1.三步找公因式：找系数最大公因数→找相同字母→取相同字母最低次幂。 2.首项为负先提负号，提取后括号内各项符号改变。 3.提公因式要彻底，括号内不能再含公因式。 【典例1】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）分解因式： (1)； (2)． 【变式1】．（25-26八年级上·湖南常德·期中）因式分解： (1)； (2)． 【变式2】．（25-26八年级上·河南南阳·期中）分解因式： (1) (2) 【变式3】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型06幂的运算逆向应用(求值、比较大小) 方法技巧： 1.逆向公式：、、。 2.求值时将所求式转化为已知幂的形式，如；比较大小时统一底数或指数，利用“底数>1时，指数大则幂大”。 3.结合整体思想，将复杂代数式视为一个整体代入计算。 【典例1】．（25-26八年级上·吉林·期中）若，，则 ． 【变式1】．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）已知，，，那么a、b、c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 【变式3】．（25-26八年级上·河南·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)______． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“＜”连接起来． (3)若，，求的值． 题型07整式乘法中“不含某项”问题 方法技巧： 1.步骤：先按法则展开整式→合并同类项→令“不含项”的系数为0。 2.关键：准确展开多项式乘法，避免漏乘或符号错误，重点关注指定次数项的系数。 3.例如：不含项，则项系数为0，列方程求解参数。 【典例1】．（25-26八年级上·福建福州·期中）计算的结果不含项，那么m的值为（　　） A． B． C．4 D．12 【变式1】．（25-26七年级上·江西景德镇·期中）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 【变式2】．（25-26八年级上·四川资阳·期中）若的展开式中不含和的项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【变式3】．（25-26八年级上·四川内江·期中）若的积中不含与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 题型08乘法公式变形求值 方法技巧： 核心变形：；。 已知、、中任意两个，可求第三个及相关代数式的值。 整体代入优先，避免单独求、的值，简化运算。 【典例1】．（25-26八年级上·四川乐山·期中）若，求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式1】．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）已知，，求下列代数式的值： (1) (2) 【变式2】．（25-26八年级上·安徽·期末）（1）一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积． 方法1：______．方法2：______． （2）利用等量关系解决下面的问题： ，，求和的值； 已知，求的值． 【变式3】．（25-26七年级上·湖北·期中）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)图②中的大正方形的边长为_______；阴影部分的正方形的边长为_______； (2)请用两种方式表示图②中阴影部分的面积； (3)观察图②，、、这三个代数式之间有何数量关系？若，求的值． 题型09公式法因式分解(平方差、完全平方公式) 方法技巧： 1.平方差公式：，适用二项式，两项均为平方，符号相反。 2.完全平方公式：，适用三项式，首尾为平方，中间为两数积的2倍。 3.先提公因式，再用公式，分解结果需彻底。 【典例1】．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： 【变式1】．（25-26八年级上·四川乐山·期中）分解因式： (1)； (2)； 【变式2】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）（1）用配方法因式分解：． （2）若，求的最小值． （3）已知，求的值 【变式3】．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）先阅读材料，再解答问题： 因式分解：， 解：将“”看成一个整体，设，则原式， 再将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 题型10十字相乘法因式分解(二次三项式) 方法技巧： 1.形式1()：分解为，找到两个数p、q，使p+q为一次项系数，pq为常数项。 2.形式2(，)：分解为，满足、、。 3.尝试时优先考虑整数因数，符号需匹配一次项和常数项。 【典例1】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）两名学生将一个二次三项式因式分解，一名学生看错了一次项系数，因式分解的结果为；另一名学生看错了常数项，因式分解的结果为，那么这个二次三项式正确的因式分解结果是 ． 【变式1】．（25-26八年级上·河南南阳·期中）【阅读与思考】请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 分解因式，我们可以按下面的方法解答． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式：，． ．我们把这种因式分解的方法形象地称为十字相乘法． 【任务】试用十字相乘法把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式2】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）小亮自学湘教版八年级上册数学教材第14页的“多知道一点”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式 的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式 因式分解，这个式子的二次项系数是1， 常数项，一次项系数，可用十字相乘为 则 ，仿照上述解决下列问题： (1)因式分解： (2)若二次三项式 可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． (3)阅读并解答：若多项式 中有因式，我们把代入多项式 发现能使多项式 的值为0， ①已知：二次三项式 有一个因式是 ，求m 的值． ②已知：二次三项式 有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【变式3】．（25-26八年级上·四川内江·期中）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． 首先把二次项系数分解为；再分解常数项；最后验算“交叉相乘之和”． ①，②，③，④． 发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数－1，即，则．像这样分解因式的方法叫作十字相乘法． 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （1）①_____；②_____； 【探究与拓展】我们已经知道：．反过来，就得到． （2）请你仔细体会上述方法并尝试进行分解因式： ①_____； ②若a、b均为整数，且a、b满足，求的值． 题型11乘法公式的几何背景与应用 方法技巧： 1.利用图形面积验证公式：如正方形面积推导完全平方公式，长方形面积推导平方差公式。 2.解决几何问题：通过面积关系建立代数式，结合公式计算边长、面积或周长。 3.关键：将几何图形与代数公式对应，从“形”的直观到“数”的运算。 【典例1】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）我们已知道可以用一些长方形（或正方形）硬纸片拼成的图形面积来解释代数恒等式． (1)如图1，根据标注，可解释的代数恒等式是 ； (2)如图2，点在上，以，为边分别作正方形和正方形，它们的面积分别为和．若，，求的面积． 【变式1】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如下用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积． (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式___________； (2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现的等式可表示为___________； (3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，可得的值为___________； (4)如图3，两个正方形的边长分别为、，若，请利用（1）中的结论可求得阴影部分的面积为___________． 【变式2】．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． 【公式推导】 （1）①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，可得_______； ②如图2，用4个长和宽分别为的长方形拼成一个大正方形，可得______； 【阅读理解】“若满足，求的值．” 解：设，则．． 【解决问题】 （2）若满足，求的值； （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是132，四边形和都是正方形，四边形是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【变式3】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）知识生成：在数学课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A纸片一张，B纸片一张，C纸片两张拼成如图2所示的大正方形．由图2所示我们可以得到一个熟悉的数学公式：，经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 直接应用：（1）若，，直接写出ab的值为 ． 类比应用：（2）若a满足，求的值． 知识迁移：（3）如图3，在长方形中，，E，F是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 题型12因式分解综合应用(分组分解、拆添项法) 方法技巧： 1.分组分解法：将多项式分组后提取公因式，使两组产生相同因式，如。 2.拆添项法：针对不能直接用公式的多项式，拆项或添相反项构造公式形式，如。 3.遵循“一提二套三分组”原则，分解彻底。 【典例1】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读下面分解因式的过程：．利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)若，，是的三边，求证：； (3)求方程的整数解． 【变式1】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【变式2】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）阅读理解：对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫作添（拆）项法． 学以致用： (1)请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式分解因式； (2)请用上述的添（拆）项法将二次三项式因式分解，并直接写出使等式成立的的值． 【变式3】．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【项目学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，，，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图1是一组邻边长分别为5，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由； (3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个中间隔有一道栅栏的长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 题型13整式运算的规律探究与新定义问题 方法技巧： 1.规律探究：观察已知等式，总结系数、指数的变化规律，如杨辉三角与完全平方公式的关系。 2.新定义运算：按定义转化为整式的乘除、因式分解等熟悉运算，注意定义的适用范围。 3.结合分类讨论思想，处理含参数的规律或新定义问题。 【典例1】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在“探索与表达规律”一课中，我们充分学习了归纳的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略．请结合归纳策略完成以下问题： ； ； ；…… (1)根据以上规律，计算：______； (2)你能否由此归纳出一般性规律：______； (3)根据（2）的规律请你求出：的值； (4)若，则______． 【变式1】．（25-26八年级上·四川乐山·期中）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期一．其中正确的序号有 ． 【变式2】．（25-26八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于____________对称； (2)若关于的多项式关于对称，则的值为_________； (3)整式关于____________对称． 【变式3】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式(a，b，c，d是常数)，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子． (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． (3)若多项式 (m是常数)是一组平衡多项式，求m的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $