专题11.2 整式的乘法（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

本讲义聚焦整式乘法核心知识点，系统梳理单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，通过法则推导、几何面积模型理解及三类法则对比，构建从具体运算到综合应用的学习支架。 该资料以几何直观呈现整式乘法的面积模型，如用长方形分割解释分配律，培养学生数学眼光。设计基础计算、参数求解、几何应用等分层题型，结合“即学即练”与变式训练，提升运算能力与推理意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过综合题与规律探究查漏补缺，强化知识应用。

专题11.2 整式的乘法 教学目标 1. 经历整式乘法法则推导，理解单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，能熟练进行基础计算。 2. 理解整式乘法的几何面积模型，体会转化思想，提高符号运算能力。 3. 会进行整式的化简求值，能够利用 “恒等对应系数相等” 求解简单参数。 4. 会运用整式乘法解决简单的几何面积、实际应用问题。 教学重难点 重点： （1）单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则 （2）整式乘法的计算，化简求值运算 （3）利用面积模型理解整式乘法 难点： （1）多项式乘法中的符号处理，防止漏乘项 （2）含参数问题，利用多项式恒等求字母的值 （3）整式乘法混合运算，结合几何图形建立代数式 知识点 01：单项式与单项式相乘 1. 运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别 ；对于只在一个单项式里出现的字母，连同它的 一起作为积的一个因式。 2. 符号表示： 3. 运算实质：转化为有理数乘法、同底数幂的乘法运算。 4. 拓展说明：法则适用于三个及以上单项式相乘；运算结果仍然是单项式。 5. 易错提示：系数要带符号参与运算；不能遗漏只出现一次的字母；区分系数相乘和指数相加。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2) 知识点 02：单项式与多项式相乘 1. 运算法则：用单项式去乘多项式的 ，再把所得的积 。 2. 符号表示： 3. 运算实质：利用乘法分配律，将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式。 4. 几何意义：大长方形面积等于若干个小长方形面积之和，直观解释分配律。 5. 注意事项：单项式要乘遍多项式的每一项，不可漏乘常数项；单项式为负数时，注意每一项乘积的符号；运算结果是多项式，项数与原多项式项数保持一致，最后需要合并同类项。 【即学即练】 1．计算： (1) (2) 知识点 03：多项式与多项式相乘 1. 运算法则：先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的 ，再把所得的积 。 2. 符号表示： 3. 运算实质：多次使用乘法分配律，把多项式乘多项式转化为单项式乘法的和。 4. 几何意义：大长方形分割成四个小长方形，总面积等于四个小长方形面积相加。 5. 运算步骤：逐项相乘，做到不重不漏；准确判断每一项乘积的符号；展开之后合并同类项，一般按某个字母降幂排列。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 知识点 04：整式乘法三类法则对比 运算类型 法则核心 结果形式 易错点 单项式 × 单项式 系数相乘，同底数幂指数相加，保留独有字母 单项式 漏写独有字母、符号出错 单项式 × 多项式 单项式乘遍多项式每一项，积相加 多项式 漏乘项、负号处理错误 多项式 × 多项式 每一项乘每一项，积相加再合并同类项 多项式 漏乘、符号错误、同类项未合并 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 知识点 05：整式乘法综合运算要点 1. 运算顺序：先乘方，再做乘法，最后做加减；有括号先算括号内部。 2. 化简要求：运算结束后必须合并全部同类项，化为最简整式。 3. 恒等条件：两个整式恒等，则对应项的系数全部相等，可用于求解参数。 【即学即练】 1．计算： (1) (2) 题型 01 单项式乘单项式基础计算 先确定积的符号；系数相乘；同底数幂指数相加；只出现一次的字母连同指数保留，不可遗漏。 【典例1】. （2026·浙江·中考真题）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级下·广东茂名·期末）计算：________． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 02 单项式乘单项式逆用求参数 等式两边化为同底数幂形式，对比系数、对应字母的指数，建立方程求解参数。 【典例2】. （25-26七年级下·甘肃白银·期中）若，则________． 【变式1】. （24-25七年级下·宁夏中卫·阶段检测），求的值_______． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西渭南·阶段检测）若单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式，则的值为_______． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 题型 03 单项式乘多项式基础运算 依据分配律，单项式乘多项式的每一项，注意负号带来变号；计算结束后合并同类项。 【典例3】. （25-26七年级下·湖南湘潭·期末）计算： ________． 【变式1】. （25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）化简：________． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2) 【变式3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型 04 单项式乘多项式化简求值 先展开、合并同类项化简代数式，再代入对应数值计算，不要直接代入原式硬算。 【典例4】. （25-26七年级下·陕西咸阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】. （2026·浙江·模拟预测）化简求值：，其中． 【变式2】. （25-26七年级下·重庆·期中）先化简，再求值： ，其中． 【变式3】. （25-26七年级下·山东聊城·期中）先化简，再求值：．其中，． 题型 05 单项式乘多项式不含某项求参数 展开整理多项式，令目标项的系数等于 0，解方程得到参数。 【典例5】. （25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）若的展开式中不含项，则______． 【变式1】. （25-26七年级下·辽宁·期中）要使的展开式中不含项，则a应等于（ ） A．6 B． C． D．0 【变式2】. （25-26七年级下·河北衡水·期中）若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 【变式3】. （25-26七年级下·北京·课堂例题）已知的展开式中不含项，求的值． 题型 06 多项式乘多项式基础展开计算 逐项相乘，保证不漏乘；每一项带上自身符号；展开完成后合并同类项，整理成降幂形式。 【典例6】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式1】. （25-26七年级下·四川成都·期末）若的乘积结果中不含的一次项，则常数的值为________． 【变式2】. （25-26七年级下·广西桂林·期中）若，则的值为（     ） A．1 B．9 C．10 D．20 【变式3】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 题型 07 多项式乘多项式化简求值 先全部展开合并同类项，再代入数值；部分题目可以整体代入，不必解出未知数。 【典例7】. （25-26七年级下·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】. （25-26七年级下·湖南娄底·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏无锡·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式3】. （25-26七年级下·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中，． 题型 08 多项式乘积不含某项求参数 完整展开合并同类项，把不含的项的系数设置为 0，构建方程组求解参数。 【典例8】. （25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知m，n均为常数，若的乘积不含二次项，则________． 【变式1】. （25-26七年级下·湖南益阳·期末）若的展开式中不含的一次项，则常数的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】. （25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）若的积中不含x与项， (1)求______，______； (2)求代数式的值． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏泰州·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a和m的值． (2)若，求代数式的值． 题型 09“将错就错” 类整式乘法错题复原 把抄错的算式正常展开，对比错误结果，得到关于字母的方程，解出参数，再重新计算正确结果。 【典例9】. （25-26七年级下·江苏宿迁·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)请求出正确的结果． 【变式1】. （25-26八年级上·河南周口·阶段检测）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)求的正确结果． 【变式2】. （25-26七年级下·浙江杭州·期中）小明在计算一个多项式乘以多项式时，因将乘法看错成了加法，得到的结果为． (1)请求出多项式； (2)请你帮助小明计算出正确的结果． 【变式3】. （2026七年级下·河北·专题练习）小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：． (1)小万在做题时不小心将中的x写成了，结果展开后的式子中不含x的二次项，求a的值； (2)小鹿在做题时将中的一个数字看错成了k，结果展开后的式子中不含x的一次项，则k的值可能是多少？ 题型 10 整式乘法与几何图形面积 用代数式表示图形长、宽；通过整体面积减去局部面积，或者分割图形列整式；化简后代入数值求面积。 【典例10】. （25-26七年级下·河南平顶山·期末）按要求完成下列各题 (1)如图1，由两个等宽的长方形和拼接而成的大长方形，在计算大长方形的面积时，小明采用了两种不同的方法： 方法一：大长方形的面积等于其长乘以宽，即________； 方法二：大长方形的面积等于两个小长方形的面积和，即________； 因为大长方形的面积相同，可得等量关系为________； (2)请你运用小明的思路方法，探究图2中包含的等量关系． 【变式1】. （25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，长方形，，，交于点P，已知长方形的面积等于长方形的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（     ） A．长方形与长方形的面积之差 B．长方形与长方形的面积之差 C．长方形与长方形的面积之和 D．长方形与长方形的面积之和 【变式2】. （25-26七年级下·全国·单元测试）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在正中央修建一座底部为正方形的雕塑，正方形的边长为米，左右两边各修一条长为a米，宽为b米的通道，其余部分进行绿化．（，） (1)试用含a，b的代数式表示绿化的面积． (2)若雕塑面积恰好为绿化面积的2倍，求此时绿化部分与原长方形地块的面积之比． 【变式3】. （25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置在正方形内部，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求出的值的是（   ） A．①和②的面积差 B．长方形纸片长和宽的差 C．长方形纸片的周长和面积 D．长方形纸片和②的面积差 题型 11 整式乘法规律探究 计算前几组式子，观察项、系数变化，归纳通用规律；利用规律直接完成计算。 【典例11】. （25-26七年级下·四川·期中）观察：，，，，你发现其中末尾两位数字的规律了吗？ (1)表示出第个等式，并猜想末尾两位数字的规律． (2)用字母表示第个等式，并用代数式解释规律． (3)在探究规律时，除了末尾两位数字规律以外，有同学将等式进行变形得：，，，，…，你能从中发现三个连续奇数之间的规律吗？并用代数式解释规律． 【变式1】. （2026·河北石家庄·一模）【观察发现】例如： 以上举例的两位数乘两位数，其十位数字相同，个位数字相加得，其计算规律总结为：两个数的个位数字相乘的积作十位和个位（积不足的十位用填充），十位数字与比十位数字大1的数字的积作百位（或者是千位和百位）． (1)【规律运用】用总结的规律计算： ①； ②； ③； (2)【规律证明】设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（），用，，表示上面的规律，并给予证明． 【变式2】. （2026·安徽黄山·一模）项目式学习探究任务：“整式的规律密码”． 在一次数学项目式学习活动中，某探究小组接到任务：“发现并推导()与长多项式相乘的通用规律”．小组决定遵循“从特殊到一般”的探究思路，展开如下研究，请你协助完成． 任务一：特例入手，归纳特征 (1)请计算以下三组特殊式子，观察结果特征，寻找规律： ① ； ② ； ③ ． 任务二：猜想规律，建立模型 (2)结合上述计算结果，大胆猜想： ． 任务三：模型应用，解决实际问题 (3)请利用任务二得出的规律，计算求值：． 【变式3】. （25-26九年级下·广东深圳·期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角” 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数依次为______、______； (2)展开式共有______项，第100项的系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期六，那么再过是星期几？（直接写出结果） 一、单选题 1．计算：（     ） A． B． C． D． 2．若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 3．若的展开式中不含的一次项，则k的值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若，则的值为___________． 5．若二次三项式分解因式的结果是，则________． 6．已知单项式M，N满足，则_______． 三、解答题 7．计算 (1) (2) 8．化简求值：，其中． 9．阅读下列材料，完成后面的任务． 定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由； (2)若，是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”． ①嘉嘉同学认为可能是二项式，请你写出一个符合条件的二项式，即_____； ②乐乐同学认为也可能是三项式，设（，是常数，，），请判断乐乐同学的说法是否正确？若正确，求出多项式，若不正确，请说明理由． 1．已知，则代数式的值为___________． 2．观察下列算式以及运算结果： ① ② ③ …… 根据发现的规律计算：的值是（     ） A．255 B．256 C．128 D．127 3．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要________张． 4．观察下列等式： ； ； ； (1)请根据以上等式的规律猜想并填空： ________（其中为正整数，且）； (2)利用（1）的结论计算：． 5．将6个如图1的长为a，宽为b的小长方形，无重叠地放入一个大长方形中，摆放方式如图2所示，图2中的阴影部分分别记为①，②，③，④，其中①为正方形． (1)写出a，b满足的关系式为__________． (2)记①，②，③，④的面积分别为，，，，若，求大长方形的面积． (3)记①，②，③，④的周长分别为，，，，若，，求阴影部分③的短边长度． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.2 整式的乘法 教学目标 1. 经历整式乘法法则推导，理解单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，能熟练进行基础计算。 2. 理解整式乘法的几何面积模型，体会转化思想，提高符号运算能力。 3. 会进行整式的化简求值，能够利用 “恒等对应系数相等” 求解简单参数。 4. 会运用整式乘法解决简单的几何面积、实际应用问题。 教学重难点 重点： （1）单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则 （2）整式乘法的计算，化简求值运算 （3）利用面积模型理解整式乘法 难点： （1）多项式乘法中的符号处理，防止漏乘项 （2）含参数问题，利用多项式恒等求字母的值 （3）整式乘法混合运算，结合几何图形建立代数式 知识点 01：单项式与单项式相乘 1. 运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘；对于只在一个单项式里出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。 2. 符号表示：。 3. 运算实质：转化为有理数乘法、同底数幂的乘法运算。 4. 拓展说明：法则适用于三个及以上单项式相乘；运算结果仍然是单项式。 5. 易错提示：系数要带符号参与运算；不能遗漏只出现一次的字母；区分系数相乘和指数相加。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式乘法运算，涉及同底数幂的乘法、积的乘方、单项式乘单项式的运算法则，熟练掌握运算法则即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 知识点 02：单项式与多项式相乘 1. 运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 2. 符号表示：。 3. 运算实质：利用乘法分配律，将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式。 4. 几何意义：大长方形面积等于若干个小长方形面积之和，直观解释分配律。 5. 注意事项：单项式要乘遍多项式的每一项，不可漏乘常数项；单项式为负数时，注意每一项乘积的符号；运算结果是多项式，项数与原多项式项数保持一致，最后需要合并同类项。 【即学即练】 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算，单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键． （1）首先利用幂的乘方运算法则化简，再合并同类项求出答案； （2）利用单项式乘以多项式计算法则即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点 03：多项式与多项式相乘 1. 运算法则：先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 2. 符号表示：。 3. 运算实质：多次使用乘法分配律，把多项式乘多项式转化为单项式乘法的和。 4. 几何意义：大长方形分割成四个小长方形，总面积等于四个小长方形面积相加。 5. 运算步骤：逐项相乘，做到不重不漏；准确判断每一项乘积的符号；展开之后合并同类项，一般按某个字母降幂排列。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 知识点 04：整式乘法三类法则对比 运算类型 法则核心 结果形式 易错点 单项式 × 单项式 系数相乘，同底数幂指数相加，保留独有字母 单项式 漏写独有字母、符号出错 单项式 × 多项式 单项式乘遍多项式每一项，积相加 多项式 漏乘项、负号处理错误 多项式 × 多项式 每一项乘每一项，积相加再合并同类项 多项式 漏乘、符号错误、同类项未合并 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 知识点 05：整式乘法综合运算要点 1. 运算顺序：先乘方，再做乘法，最后做加减；有括号先算括号内部。 2. 化简要求：运算结束后必须合并全部同类项，化为最简整式。 3. 恒等条件：两个整式恒等，则对应项的系数全部相等，可用于求解参数。 【即学即练】 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型 01 单项式乘单项式基础计算 先确定积的符号；系数相乘；同底数幂指数相加；只出现一次的字母连同指数保留，不可遗漏。 【典例1】. （2026·浙江·中考真题）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘以单项式的法则计算即可． 【详解】解：． 【变式1】. （25-26七年级下·广东茂名·期末）计算：________． 【答案】 【分析】先根据积的乘方公式计算原式第一个括号，再根据单项式乘单项式即可得答案． 【详解】解： 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型 02 单项式乘单项式逆用求参数 等式两边化为同底数幂形式，对比系数、对应字母的指数，建立方程求解参数。 【典例2】. （25-26七年级下·甘肃白银·期中）若，则________． 【答案】 【分析】计算出的结果，可确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】. （24-25七年级下·宁夏中卫·阶段检测），求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西渭南·阶段检测）若单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式，则的值为_______． 【答案】3 【分析】先根据单项式乘单项式法则计算两个单项式的乘积，再根据单项式次数的定义列方程求解即可． 【详解】解：， ∵单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式， ∴是一个十次单项式， ∴， ∴． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 题型 03 单项式乘多项式基础运算 依据分配律，单项式乘多项式的每一项，注意负号带来变号；计算结束后合并同类项。 【典例3】. （25-26七年级下·湖南湘潭·期末）计算： ________． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 【变式1】. （25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）化简：________． 【答案】 【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： ． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】单项式乘以多项式，需要将单项式与多项式的每一项相乘，再相加，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ． 题型 04 单项式乘多项式化简求值 先展开、合并同类项化简代数式，再代入对应数值计算，不要直接代入原式硬算。 【典例4】. （25-26七年级下·陕西咸阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式， 当时，原式． 【变式1】. （2026·浙江·模拟预测）化简求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 【变式2】. （25-26七年级下·重庆·期中）先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，合并同类项，再根据绝对值和算术平方根的非负性计算出a和b的值，最后代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ，， ，， 原式 ． 【变式3】. （25-26七年级下·山东聊城·期中）先化简，再求值：．其中，． 【答案】； 【分析】先利用单项式乘多项式运算法则和积的乘方运算法则化简原式，再将和的值代入化简后的式子计算结果即可． 【详解】解：原式 当，时 原式． 题型 05 单项式乘多项式不含某项求参数 展开整理多项式，令目标项的系数等于 0，解方程得到参数。 【典例5】. （25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）若的展开式中不含项，则______． 【答案】 【分析】原式利用单项式乘多项式法则计算，合并同类项后，根据展开式不含项得到项的系数为0，即可求出的值． 【详解】解： ∵展开式中不含项， ∴ 解得． 【变式1】. （25-26七年级下·辽宁·期中）要使的展开式中不含项，则a应等于（） A．6 B． C． D．0 【答案】D 【分析】先根据单项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项，令的系数为0即可求出a的值． 【详解】解： ， 展开式中不含项， 项的系数为，即， 解得． 【变式2】. （25-26七年级下·河北衡水·期中）若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 【答案】2 【分析】先把原式进行化简，再根据结果与x的取值无关列方程并解方程即可． 【详解】解： ∵多项式的结果与的取值无关， ∴含项的系数为0， 即， 解得：． 【变式3】. （25-26七年级下·北京·课堂例题）已知的展开式中不含项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则求出展开式，再根据展开式中不含项可得项的系数为，解之即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵展开式中不含项， ∴， ∴． 题型 06 多项式乘多项式基础展开计算 逐项相乘，保证不漏乘；每一项带上自身符号；展开完成后合并同类项，整理成降幂形式。 【典例6】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】. （25-26七年级下·四川成都·期末）若的乘积结果中不含的一次项，则常数的值为________． 【答案】1 【分析】展开多项式乘积，令的一次项系数为，解方程即可得到的值． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴一次项系数等于，即， 解得． 【变式2】. （25-26七年级下·广西桂林·期中）若，则的值为（     ） A．1 B．9 C．10 D．20 【答案】B 【分析】展开等式左侧的多项式乘法，通过对应项系数相等求出、的值，再计算． 【详解】解：． ∵， ∴，， ∴． 【变式3】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图1中，阴影部分的长为，宽为，图2中，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去长是a，宽是x的长方形的面积，再减去长是b，宽是x的长方形的面积，再加上边长是x的正方形的面积，分别表示出阴影部分的面积，即可得解． 【详解】解：∵图1中，阴影部分的长为，宽为， ∴图1中阴影部分的面积为， ∵图2中，阴影部分的面积为大长方形的面积减去长是a，宽是x的长方形的面积，再减去长是b，宽是x的长方形的面积，再加上边长是x的正方形的 面积， ∴图2中阴影部分的面积为， ∴ ． 题型 07 多项式乘多项式化简求值 先全部展开合并同类项，再代入数值；部分题目可以整体代入，不必解出未知数。 【典例7】. （25-26七年级下·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【详解】解：原式 当，时， 原式 ． 【变式1】. （25-26七年级下·湖南娄底·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先根据整式的乘法法则计算，再将数值代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式 ． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏无锡·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，30 【分析】运用整式的混合运算法则化简，再代入计算即可． 【详解】解： ， 其中， ∴原式． 【变式3】. （25-26七年级下·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】利用多项式乘多项式和单项式乘多项式的运算法则展开原式，合并同类项得到最简结果，再代入x和y的数值计算即可． 【详解】解： ； 当，时 原式． 题型 08 多项式乘积不含某项求参数 完整展开合并同类项，把不含的项的系数设置为 0，构建方程组求解参数。 【典例8】. （25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知m，n均为常数，若的乘积不含二次项，则________． 【答案】 【分析】将展开，再根据题意可得，即可解答． 【详解】解： 的乘积不含二次项， ，解得． 【变式1】. （25-26七年级下·湖南益阳·期末）若的展开式中不含的一次项，则常数的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先展开多项式乘积，合并同类项后，根据展开式不含x的一次项，得到一次项系数为0，即可求解a的值． 【详解】解：， 展开式中不含的一次项， 一次项系数为，即， 解得． 【变式2】. （25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）若的积中不含x与项， (1)求______，______； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)12 【分析】（1）首先根据多项式乘以多项式法则进行计算，然后根据“积中不含x与项”可得，求解即可获得答案； （2）首先将原式整理为，然后代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的积中不含x与项， ∴，解得； （2）解：由（1）可知，， ∴ ． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏泰州·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a和m的值． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）先将已知代数式整理后，根据题意求得的值； （2）根据，求得的值，然后代值求解即可． 【详解】（1）解： ， 因代数式中不含项与常数项， ， ． （2）解：∵， ， ， 解得：， ． 题型 09“将错就错” 类整式乘法错题复原 把抄错的算式正常展开，对比错误结果，得到关于字母的方程，解出参数，再重新计算正确结果。 【典例9】. （25-26七年级下·江苏宿迁·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)请求出正确的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得：，然后去括号合并同类项可得答案； （2）根据（1）所得的结论，利用多项式乘法法则可得答案． 【详解】（1）解：∵一个多项式加上，得到的结果是， 即， ∴， ∴这个多项式为； （2）解：， ∴正确的结果是． 【变式1】. （25-26八年级上·河南周口·阶段检测）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)求的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式加减法和乘法的计算，熟练掌握多项式的运算法则，正确计算是解本题的关键． （1）根据多项式的加减法计算法则得出代数式的值； （2）根据多项式的乘法计算法则得出正确的计算结果即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式2】. （25-26七年级下·浙江杭州·期中）小明在计算一个多项式乘以多项式时，因将乘法看错成了加法，得到的结果为． (1)请求出多项式； (2)请你帮助小明计算出正确的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据整式的加减混合运算求出原多项式即可； （）根据多项式乘多项式法则求出正确的结果即可． 【详解】（1）解：由题意，小明误算为， ． （2）解：正确结果为，代入， ． 正确结果为：． 【变式3】. （2026七年级下·河北·专题练习）小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：． (1)小万在做题时不小心将中的x写成了，结果展开后的式子中不含x的二次项，求a的值； (2)小鹿在做题时将中的一个数字看错成了k，结果展开后的式子中不含x的一次项，则k的值可能是多少？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令二次系数为，即可求出答案， （2）根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令一次系数为，即可求出答案． 【详解】（1）解： 展开后的式子中不含x的二次项， ， 解得； （2）解：①若将中的3看成k， ， 展开后的式子中不含x的一次项， ， ． ②若将中的看成k， ， 展开后的式子中不含x的一次项， ， 解得． ③若指数2看作k，当时， 原式 不符合题意； ④若指数2看作k，当时， 原式 ， 不符合题意； 或． 题型 10 整式乘法与几何图形面积 用代数式表示图形长、宽；通过整体面积减去局部面积，或者分割图形列整式；化简后代入数值求面积。 【典例10】. （25-26七年级下·河南平顶山·期末）按要求完成下列各题 (1)如图1，由两个等宽的长方形和拼接而成的大长方形，在计算大长方形的面积时，小明采用了两种不同的方法： 方法一：大长方形的面积等于其长乘以宽，即________； 方法二：大长方形的面积等于两个小长方形的面积和，即________； 因为大长方形的面积相同，可得等量关系为________； (2)请你运用小明的思路方法，探究图2中包含的等量关系． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）分别用整体长×宽、两个小长方形面积相加两种方式表示总面积，面积相等得到单项式乘多项式的等式； （2）同理，先用整体长宽乘积表示大长方形面积，再拆成四个长方形面积相加整理化简，两种面积表达式相等，得到多项式乘多项式展开恒等式． 【详解】（1）方法一：大长方形长为，宽为，面积； 方法二：长方形面积，长方形面积，总面积 ； ∴等量关系： （2）由图可知，大长方形由四部分组成，设其面积为，则 ， 又大长方形的长为，宽为，则， 由此可得等量关系为：． 【变式1】. （25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，长方形，，，交于点P，已知长方形的面积等于长方形的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（     ） A．长方形与长方形的面积之差 B．长方形与长方形的面积之差 C．长方形与长方形的面积之和 D．长方形与长方形的面积之和 【答案】B 【分析】设，推出，即可. 【详解】解：由题意，可知，四边形均为长方形， 设， ∴， ∵ ； ∵长方形的面积等于长方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴只要知道长方形与长方形的面积之差，即可求出图中阴影部分的面积. 【变式2】. （25-26七年级下·全国·单元测试）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在正中央修建一座底部为正方形的雕塑，正方形的边长为米，左右两边各修一条长为a米，宽为b米的通道，其余部分进行绿化．（，） (1)试用含a，b的代数式表示绿化的面积． (2)若雕塑面积恰好为绿化面积的2倍，求此时绿化部分与原长方形地块的面积之比． 【答案】(1)绿化的面积是平方米 (2)绿化部分与原长方形地块的面积之比是 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘多项式与图形面积，多项式除以多项式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）绿化面积=大长方形的面积-雕塑面积-通道面积，大长方形的面积，雕塑的面积，通道的面积，代入到关系式中计算即可； （2）因为雕塑面积恰好为绿化面积的2倍，可得，化简可得，因为，，所以，绿化部分与原长方形地块的面积之比是，化简后得，将代入，求出最简比． 【详解】（1）解： （平方米）； 答：绿化的面积是平方米． （2）， ， 即， 因为，， 所以， ， 答：绿化部分与原长方形地块的面积之比是． 【变式3】. （25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置在正方形内部，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求出的值的是（   ） A．①和②的面积差 B．长方形纸片长和宽的差 C．长方形纸片的周长和面积 D．长方形纸片和②的面积差 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法、完全平方公式在图形中的应用，熟记运算法则是解题的关键． 设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得． 【详解】解：如图，设正方形的边长为， 则， ， ， ∵长方形纸片的周长为，面积为， ∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项B、C不符合题意； 图中①的面积为， ②的面积为， ∴①和②的面积差为， ∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项A不符合题意； ∵长方形纸片和②的面积差为， ∴若知道长方形纸片和②的面积差，不能求出，即选项D符合题意； 故选：D． 题型 11 整式乘法规律探究 计算前几组式子，观察项、系数变化，归纳通用规律；利用规律直接完成计算。 【典例11】. （25-26七年级下·四川·期中）观察：，，，，你发现其中末尾两位数字的规律了吗？ (1)表示出第个等式，并猜想末尾两位数字的规律． (2)用字母表示第个等式，并用代数式解释规律． (3)在探究规律时，除了末尾两位数字规律以外，有同学将等式进行变形得：，，，，…，你能从中发现三个连续奇数之间的规律吗？并用代数式解释规律． 【答案】(1)，规律是积的末尾两位数字为 (2) ， ． 为非负整数， 也为非负整数， 末尾两位数字为， 末尾数字为． (3) 猜想：间隔一个奇数的两奇数之积等于中间奇数的平方减4． 验证：设三个连续奇数为，，， ∴， ∴猜想成立． 【分析】（1）计算，即可求解； （2）计算得出 ，根据末尾两位数字为，即可求解； （3）猜想：间隔一个奇数的两奇数之积等于中间奇数的平方减4，计算，即可求解． 【详解】（1）解： ，末尾数字两位为 （2）略 （3）略 【变式1】. （2026·河北石家庄·一模）【观察发现】例如： 以上举例的两位数乘两位数，其十位数字相同，个位数字相加得，其计算规律总结为：两个数的个位数字相乘的积作十位和个位（积不足的十位用填充），十位数字与比十位数字大1的数字的积作百位（或者是千位和百位）． (1)【规律运用】用总结的规律计算： ①； ②； ③； (2)【规律证明】设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（），用，，表示上面的规律，并给予证明． 【答案】(1)①；②；③ (2)，证明： ， ， ． 【分析】（1）按照规律计算即可； （2）利用代数式表示两个乘数，根据总结的规律列出等式，再根据整式的运算进行证明即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； （2）略 【变式2】. （2026·安徽黄山·一模）项目式学习探究任务：“整式的规律密码”． 在一次数学项目式学习活动中，某探究小组接到任务：“发现并推导()与长多项式相乘的通用规律”．小组决定遵循“从特殊到一般”的探究思路，展开如下研究，请你协助完成． 任务一：特例入手，归纳特征 (1)请计算以下三组特殊式子，观察结果特征，寻找规律： ① ； ② ； ③ ． 任务二：猜想规律，建立模型 (2)结合上述计算结果，大胆猜想： ． 任务三：模型应用，解决实际问题 (3)请利用任务二得出的规律，计算求值：． 【答案】(1)①，②，③； (2) (3)． 【分析】（1）根据平方差公式以及多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据（1）的结论，猜想结果； （3）设，根据（2）的规律得出，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：①， ② ， ③ （2）由（1）可得： （3）解：设， 根据任务二的规律，当时，有， 所以， 所以，即． 【变式3】. （25-26九年级下·广东深圳·期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角” 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数依次为______、______； (2)展开式共有______项，第100项的系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期六，那么再过是星期几？（直接写出结果） 【答案】(1)6，10 (2)102，5050 (3) (4) (5)星期日 【分析】（1）观察杨辉三角的规律，杨辉三角中，每行数字左右对称，且每个数等于它上方两数之和即可求解； （2）对于（为非负整数）的展开式，其项数为项，进行求解，再进行展开求解即可； （3）根据杨辉三角的规律，的展开式各项系数依次找出，求解即可； （4）观察算式，它与二项式的展开式结构完全一致，其中，，因此原式可化简为，计算即可； （5）将转化为与有关的形式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据规律可得，； 故图中括号内的数依次为6、10； （2）解：展开式的项数为项， 在杨辉三角中，第行第个数（从开始计数）就是展开式中第项的系数， 那么展开式第项，即第个系数（从开始计数）， 根据杨辉三角的对称性，它与第个系数相同， 通过杨辉三角的规律可知，展开式第个系数为， 所以第项的系数为． （3）解：根据杨辉三角的规律，的展开式各项系数依次为；；；；；；， 所以． （4）解：观察原式， 发现它与的展开式形式相似， 令，，则原式可转化为． （5）解：因为， 所以：． 则， 前面所有项都有因数 7，所以这些项都是7 的倍数，除以 7 余数都是 0； 只有最后一项：，不是 7 的倍数． 所以，除以 7 的余数，就等于最后一项的余数：1， 余数是 1，说明再过天，相当于在星期六的基础上往后数 1 天， 那么再过是星期日． 一、单选题 1．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开所求代数式，整理后整体代入已知的和的值计算即可，运用整体思想简化计算，不需要单独求解和； 【详解】解： ， ， ， 代入得原式． 3．若的展开式中不含的一次项，则k的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，由展开式不含的一次项，可得一次项系数为，解方程即可求出的值． 【详解】解： 展开式中不含的一次项， 一次项系数， 解得． 二、填空题 4．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】展开等式左侧的多项式乘积，合并同类项后，对比等式两侧对应项的系数，即可得到的值. 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴. 5．若二次三项式分解因式的结果是，则________． 【答案】 【分析】将分解因式后的结果展开，得到的二次三项式和原二次三项式相等，根据对应项的系数也相等即可得到的值． 【详解】解：将展开，得， ∵， ∴． 6．已知单项式M，N满足，则_______． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则，展开等式左边后，分情况比较等式两边对应项，再将两个单项式相乘从而求解． 【详解】解：， ∵M，N为单项式， ∴，， ∴． 三、解答题 7．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用多项式乘法、加减法的法则进行化简，再代入求值． 【详解】解： 把代入上式， 原式． 9．阅读下列材料，完成后面的任务． 定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由； (2)若，是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”． ①嘉嘉同学认为可能是二项式，请你写出一个符合条件的二项式，即_____； ②乐乐同学认为也可能是三项式，设（，是常数，，），请判断乐乐同学的说法是否正确？若正确，求出多项式，若不正确，请说明理由． 【答案】(1)是，理由如下： ，， ， 的项数比的项数多1， 是的“友好多项式”； (2)①（答案不唯一）；②乐乐同学的说法正确， 【分析】（1）首先计算、的乘积，再利用“友好多项式”的定义判断即可； （2）①根据“特别友好多项式”的定义，写出符合条件的二项式即可； ②利用多项式乘以多项式法则计算、的乘积，再利用“特别友好多项式”的定义求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， 若， ∴， 此时的项数与的项数相同，是的“特别友好多项式”， ∴写出一个符合条件的二项式，即（答案不唯一）； ②乐乐同学的说法正确，理由如下： 若，（，是常数，，）， ∴ ∵， ∴， 若是的“特别友好多项式”， ∴的项数与的项数相同，即C是二项式， ∴，， 解得，， ∴． 1．已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】将所给的等式变形成，再代入所求代数式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴． 2．观察下列算式以及运算结果： ① ② ③ …… 根据发现的规律计算：的值是（     ） A．255 B．256 C．128 D．127 【答案】A 【分析】先观察已知算式总结规律得到，再将所求式子变形，利用总结的规律简便计算． 【详解】解：①， ②， ③， …… ∴； 设所求式子为 ， ∵， ∴． 3．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要________张． 【答案】 15 【分析】根据长方形的面积公式，利用多项式乘多项式法则展开，根据展开式中，，的系数确定各类卡片的数量，最后求和即可． 【详解】解：由图可知，类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为 长方形的长为，宽为， 长方形的面积： 需要类卡片1张，类卡片6张，类卡片8张 ，，类卡片一共需要（张）． 4．观察下列等式： ； ； ； (1)请根据以上等式的规律猜想并填空： ________（其中为正整数，且）； (2)利用（1）的结论计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过观察已知等式的结果指数和结构，总结规律即可得到猜想结论； （2） 将所求算式变形为符合（1）结论的形式，根据（1）中规律即可求解； 【详解】（1）解：观察已知等式可得时，； 时，； 时，； ...， 因此可得猜想：（其中为正整数，且）； （2）解：根据（1）中规律可得： ． 5．将6个如图1的长为a，宽为b的小长方形，无重叠地放入一个大长方形中，摆放方式如图2所示，图2中的阴影部分分别记为①，②，③，④，其中①为正方形． (1)写出a，b满足的关系式为__________． (2)记①，②，③，④的面积分别为，，，，若，求大长方形的面积． (3)记①，②，③，④的周长分别为，，，，若，，求阴影部分③的短边长度． 【答案】(1) (2)24 (3)2 【分析】（1）根据大长方形的宽可以得到； （2）利用平移的性质先表述出四个阴影的面积，再结合题意得到，根据求出结果； （3）先表示出，，的周长，再根据题意求出的周长，利用周长公式求出结果． 【详解】（1）解：观察图2可知大长方形的宽为； （2）由（1）可得，即， 由图2可得，，， ， ，即， （3）由图2得：，，， ， ，则， ③的短边长度为． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $