专题11.3 乘法公式（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

本讲义聚焦平方差公式与完全平方公式，从多项式乘法推导公式入手，系统梳理结构特征、几何意义、常用变形及易错点，构建从基础推导到综合应用的学习支架。 通过数形结合（如正方形割补验证公式）培养几何直观，多样题型（化简求值、参数问题、几何面积计算）提升运算能力与推理意识，即学即练与易错点汇总助力课中教学与课后查漏补缺，强化数学语言表达与实际问题解决。

专题11.3 乘法公式 教学目标 1. 经历平方差公式、完全平方公式的推导过程，掌握两个乘法公式的结构特征，熟记公式及常用变形。 2. 理解乘法公式的几何意义，体会数形结合、从特殊到一般的数学思想，提升几何直观与逻辑推理能力。 3. 能准确识别公式结构，灵活选用公式进行整式化简、简便运算、化简求值，提升运算能力。 4. 掌握乘法公式的各类变形应用，能解决含参数求值、几何面积计算、代数推理等基础综合问题。 5. 能运用乘法公式解决简单的实际问题和规律探究问题，建立代数运算与实际场景的联系。 教学重难点 1. 重点 （1）掌握平方差公式、完全平方公式的推导过程、结构特征及标准运算。 （2）熟练运用乘法公式进行整式化简、简便计算、基础化简求值运算。 （3）理解乘法公式的几何面积模型，能用图形解释公式含义。 （4）掌握完全平方公式的常用变形，解决基础的知二求二求值问题。 2. 难点 （1）精准识别复杂整式的公式结构，灵活变形适配平方差、完全平方公式。 （2）完全平方公式运算中符号判断、不漏项，规避典型运算错误。 （3）利用乘法公式变形，解决含参数求值、代数推理、最值求解类综合问题。 （4）结合几何图形，运用乘法公式建立代数式、求解图形面积与边长问题。 知识点01：平方差公式 1. 公式推导：由多项式乘法展开化简可得 2. 公式内容：，两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差。 3. 结构特征：左边为两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数；右边为相同项的平方减去相反项的平方。 4. 适用范围：公式中的a、b可以是具体数字、单项式，也可以是多项式。 5. 几何意义：通过正方形割补拼接，利用阴影部分面积相等，直观验证平方差公式，体现数形结合思想。 6. 常用变式：包含位置变化、符号变化、系数变化、指数变化、项数变化、连用公式六种变形，适配复杂整式运算。 【即学即练】 1．利用平方差公式计算： (1)； (2)． 知识点02：完全平方公式 1. 两数和的平方公式：，两数和的平方，等于两数平方和加上两数积的2倍。 2. 两数差的平方公式：，两数差的平方，等于两数平方和减去两数积的2倍。 3. 公式推导：通过多项式乘法展开化简，结合正方形面积割补法完成几何验证。 4. 结构特征：左边是二项式的平方，右边是二次三项式；首尾项为两数的平方，中间项为两数乘积的2倍，符号由原式符号决定。 5. 适用范围：公式中的a、b可表示数字、单项式、多项式，可拓展应用于三项及以上整式的平方运算。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 知识点03：完全平方公式常用变形（必考） 1. 2. 3. 4. 5. 【即学即练】 1．已知，求的值． 知识点04：乘法公式易错点汇总 1. 区分平方差与差的平方：平方差为先平方后作差，差的平方为先作差后平方，二者运算顺序、结果完全不同。 2. 完全平方公式易错：切勿遗漏中间2ab项，同时注意中间项的正负符号，避免出现 这类典型错误。 3. 整体思想运用：复杂式子需整体识别a、b，不可拆分整体项，确保公式结构匹配。 4. 符号运算规范：负数、多项式整体平方时，需给整体加括号，再展开运算，防止符号出错。 【即学即练】 1．先化简，再求值：，其中．小明的解法如下： 原式（第一步） （第二步） ，（第三步） 当时， 原式．（第四步） (1)小明的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是（    ） A．平方差公式运用错误    B．去括号时符号错误    C．合并同类项错误 (2)请你借鉴小明的解题方法，写出此题的正确解答过程． 题型01 平方差公式基础计算 准确识别式子中相同项与相反项，严格套用 ，优先确定a、b对应整体，再平方作差，注意系数、符号整体运算。 【典例1】. （25-26七年级下·湖南邵阳·期末）下列各式可以用平方差公式进行计算的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西咸阳·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）计算的结果是_________． 【变式3】. （25-26六年级下·山东威海·期末）为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 题型02 平方差公式简便运算 将接近整十、整百、整千的数拆成两数和差形式，构造平方差公式结构，简化大数、小数复杂运算。 【典例2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式1】. （25-26七年级下·北京·期末）已知，则__________． 【变式2】. （25-26七年级下·四川达州·阶段检测）用公式计算： 9999×10001－100002 【变式3】. （25-26八年级上·全国·课后作业）简便运算： (1)； (2)． 题型03 平方差公式连续连用计算 观察连乘式子特征，补全因式构造平方差公式循环结构，逐层化简，直至无法套用公式为止。 【典例3】. （26-27七年级上·江苏扬州·开学考试）把式子化简的结果为___________． 【变式1】. （25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）计算：__________． 【变式2】. （25-26七年级下·广东清远·期末）学习了平方差公式：，小明发现对于某些多项式的运算进行适当的变形后可以出现平方差公式的结构，从而解决问题． 例如：计算． 解：原式， ， ， ． 根据上面的方法，解决以下的问题： (1)__________． (2)计算的值． (3)计算的值（，为正整数）． 【变式3】. （25-26七年级下·河南郑州·期中）【公式探究】 (1)如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含，的等式表示）； 【公式应用】 (2)请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：（使用乘法公式简便计算）． 【公式拓展】 (3)使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 题型04 完全平方公式基础展开计算 牢记口诀“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”，区分和、差公式符号，不遗漏中间2ab项，规范展开后合并同类项。 【典例4】. （25-26七年级下·陕西咸阳·期末）计算：________ 【变式1】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）计算：________． 【变式3】. （25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． 题型05 完全平方公式简便运算 把非整数、大数拆成整值与小数（或整数）的和差形式，套用完全平方公式展开，快速完成简便计算。 【典例5】. （25-26七年级下·四川成都·期中）运用所学乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【变式3】. （25-26七年级下·安徽合肥·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图1：__________________，图2：__________________，图3：__________________； (2)根据上述图中你探索发现的结论，简便计算： ①；②； (3)若图1中a与b的值分别为和，且满足，请求出的值． 题型06 乘法公式化简求值 先利用平方差、完全平方公式展开化简整式，化为最简形式后，再代入数值计算，优先使用整体代入法简化运算。 【典例6】. （25-26七年级下·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】. （25-26七年级下·湖南湘潭·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式2】. （25-26七年级下·湖南邵阳·期末）先化简再求值： (1)先化简：，代入，再求值； (2)先化简：，代入再求值． 【变式3】. （25-26七年级下·湖南郴州·期末）下面是小红化简的过程： 解 =……第一步 =……第二步 =……第三步 小明认为小红的化简过程出现了错误． (1)小红在第________步出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并计算当时原式的值． 题型07 完全平方公式变形求值（知二求二） 熟练运用五大公式变形，已知 中任意两个量，整体代换求解剩余量。 【典例7】. （25-26七年级下·江西吉安·期末）已知，，则的值为（     ） A．70 B．80 C．88 D．90 【变式1】. （25-26七年级下·湖南益阳·期末）按要求解题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求和的值． 【变式2】. （25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）数学课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片．种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．现在用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的正方形，根据图2可得出三个代数式：，． (1)写出三个代数式之间的等量关系； (2)解决如下问题 ①已知：求和的值； ②已知，求的值． 【变式3】. （25-26七年级下·江西吉安·期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出代数式，，之间的等量关系：______________________． (2)根据（1）中的等量关系，已知，，求的值． 题型08 完全平方式求参数 根据完全平方公式结构特征，对比多项式首尾平方项，确定中间项系数，注意参数多解情况（正负双解）。 【典例8】. （25-26七年级下·江西景德镇·期中）如果二项式加上一个含的单项式后构成的三项式是一个完全平方式，则满足条件的单项式是____________． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西咸阳·期末）是完全平方式，则________． 【变式2】. （25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）已知，则的值为（     ） A． B．6 C．9或 D．9 【变式3】. （25-26七年级下·河北沧州·期末）贝贝在学习完全平方公式时，发现是一个完全平方式，则m的值是（     ） A．5或 B．2或 C．5或 D．2或 题型09 乘法公式与几何图形面积应用 结合图形割补、拼接前后面积不变，用代数式表示边长，套用乘法公式列等式，求解图形面积、边长。 【典例9】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，某校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一个乒乓球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)用含，的代数式表示绿化部分的面积（结果需化简）． (2)当，时，求绿化部分的面积． 【变式1】. （25-26七年级下·四川成都·期末）有A，B两类正方形卡片，其边长分别为厘米、厘米，另有一类长方形卡片C，其长和宽分别为厘米和厘米．在同一平面内做如下操作：将卡片B放在卡片A的内部（剪掉卡片A中与卡片B重叠的部分），如图1所示；将卡片A，B并列放置后构造新的正方形，如图2所示．在图1、图2中，若阴影部分的面积分别为和，请完成下列问题： (1)_________； (2)聪聪同学想要拼一个长、宽分别为厘米和厘米的长方形（不重不漏），除用去6张卡片A，6张卡片B外，还需要卡片C_________张； (3)在同一平面内，用三张正方形卡片A和两张正方形卡片B摆放成如图3所示正方形，求图3中阴影部分的面积． 【变式2】. （25-26七年级下·四川成都·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 【知识回顾】 (1)如图1，借助图形能解释的乘法公式是_______． 【问题解决】 (2)如图2，点是线段上的一点，分别以，为边向上下两个方向作正方形和正方形，已知，两个正方形的面积和为38，求阴影部分的面积． 【变式3】. （25-26七年级下·江西景德镇·期中）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：______，______（用字母表示）． 【拓展探究】 (2)用4个长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是____________． 【解决问题】 (3)如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． 【知识迁移】 (4)当时，则的值是______．（直接写出结果） 题型10 乘法公式求最值问题 通过配方法将代数式化为完全平方式加常数的形式，利用完全平方式非负性，求解代数式最大、最小值。 【典例10】. （25-26八年级上·吉林长春·期末）【问题原型】在学完因式分解之后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ． ， ． ． 当，即时，的值最大，最大值是4． 根据上面的方法，求代数式的最大值； 【推广运用】某商品现在每件的利润为10元，每天的销售量为20件．市场调查发现：如果调整价格，每涨价1元，每天就要少卖1件商品．设每件商品涨价元． （1）涨价元后，每件商品的利润为______元，每天的销售量为______件；（用含的代数式表示） （2）求为何值时，每天的销售利润最大，并求出最大销售利润．（销售利润每件商品的利润销售量） 【变式1】. （25-26七年级下·浙江绍兴·阶段检测）我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，∴当时，的值最小，最小值是， ∴，∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当_______时，代数式的最小值是_______； (2)知识运用：若，当_______时，y有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏苏州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为，所以当时，的值最小，最小值是，所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是，即的最小值是． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 【探究问题】 (1)已知是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式________． 【拓展结论】 (2)①已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． ②已知，为有理数，且满足，若有最大（或最小）值，请求出其最大（或最小值）：若没有最大（或最小）值，请说明理由． 【变式3】. （25-26七年级下·广东梅州·期中）把整式通过配凑，得到完全平方式，再运用完全平方公式的逆运用 ，得到平方式：， 再利用平方的非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法． 例如：求的最小值． 解：， ， ， ∴当时， 的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1． 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)填空： （_______________）， (2)求 的最小值； (3) ，求的值． 一、单选题 1．下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．若是完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 4．如图，边长为x 的正方形的边长增加4，用含x 的式子表示增加后的正方形的面积为_______． 5．若，，则_______． 6．如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，如果，，那么阴影部分的面积是________． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)． 8．利用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 9．对于两数和的完全平方公式中的三个代数式：、和，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题： 【问题提出】 (1)已知，，则的值为____________． 【问题解决】 (2)如图1，点C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形，连接，若，两个正方形的面积和，求三角形的面积． 【问题拓展】 (3)如图2，大长方形纸片是由5个长为a、宽为b的小长方形纸片（图中空白部分），2个边长为a的大正方形纸片和2个边长为b的小正方形纸片拼接而成的，若图中空白部分的面积为20，大长方形纸片的周长为30，求图中阴影部分的面积． 1．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项式展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图），例如：，展开式中所有系数的和为．根据杨辉三角，可得展开式中所有系数之和为（     ） A． B． C． D． 2．如图，以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．观察下列各组等式： ①，； ②，；…… 猜想：当是正整数时，与的差为定值，这个定值为______． 4．如图，街心花园有一块边长为的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加，东西向减少．改造后得到一块长方形草坪．求这块长方形草坪的面积． 5．综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板的长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形割补到长方形的下方． (1)①图2中的阴影部分的面积是________； ②观察图1、图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积，可以验证恒等式________； 【实践应用】 (2)如图3，点是线段上的点，在的同侧作正方形和正方形，点在线段上，，连接，已知正方形的边长为，正方形的边长为，求阴影部分的面积．（用含的式子表示，结果化到最简） 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.3 乘法公式 教学目标 1. 经历平方差公式、完全平方公式的推导过程，掌握两个乘法公式的结构特征，熟记公式及常用变形。 2. 理解乘法公式的几何意义，体会数形结合、从特殊到一般的数学思想，提升几何直观与逻辑推理能力。 3. 能准确识别公式结构，灵活选用公式进行整式化简、简便运算、化简求值，提升运算能力。 4. 掌握乘法公式的各类变形应用，能解决含参数求值、几何面积计算、代数推理等基础综合问题。 5. 能运用乘法公式解决简单的实际问题和规律探究问题，建立代数运算与实际场景的联系。 教学重难点 1. 重点 （1）掌握平方差公式、完全平方公式的推导过程、结构特征及标准运算。 （2）熟练运用乘法公式进行整式化简、简便计算、基础化简求值运算。 （3）理解乘法公式的几何面积模型，能用图形解释公式含义。 （4）掌握完全平方公式的常用变形，解决基础的知二求二求值问题。 2. 难点 （1）精准识别复杂整式的公式结构，灵活变形适配平方差、完全平方公式。 （2）完全平方公式运算中符号判断、不漏项，规避典型运算错误。 （3）利用乘法公式变形，解决含参数求值、代数推理、最值求解类综合问题。 （4）结合几何图形，运用乘法公式建立代数式、求解图形面积与边长问题。 知识点01：平方差公式 1. 公式推导：由多项式乘法展开化简可得 。 2. 公式内容：，两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差。 3. 结构特征：左边为两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数；右边为相同项的平方减去相反项的平方。 4. 适用范围：公式中的a、b可以是具体数字、单项式，也可以是多项式。 5. 几何意义：通过正方形割补拼接，利用阴影部分面积相等，直观验证平方差公式，体现数形结合思想。 6. 常用变式：包含位置变化、符号变化、系数变化、指数变化、项数变化、连用公式六种变形，适配复杂整式运算。 【即学即练】 1．利用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点02：完全平方公式 1. 两数和的平方公式：，两数和的平方，等于两数平方和加上两数积的2倍。 2. 两数差的平方公式：，两数差的平方，等于两数平方和减去两数积的2倍。 3. 公式推导：通过多项式乘法展开化简，结合正方形面积割补法完成几何验证。 4. 结构特征：左边是二项式的平方，右边是二次三项式；首尾项为两数的平方，中间项为两数乘积的2倍，符号由原式符号决定。 5. 适用范围：公式中的a、b可表示数字、单项式、多项式，可拓展应用于三项及以上整式的平方运算。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接套用完全平方公式展开化简； （2）先利用乘方的符号性质变形，再套用完全平方公式展开化简． 【详解】（1）解： ； （2） ． 知识点03：完全平方公式常用变形（必考） 1. 2. 3. 4. 5. 【即学即练】 1．已知，求的值． 【答案】 【分析】先把两边平方，再代入的值，计算即可得到的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 知识点04：乘法公式易错点汇总 1. 区分平方差与差的平方：平方差为先平方后作差，差的平方为先作差后平方，二者运算顺序、结果完全不同。 2. 完全平方公式易错：切勿遗漏中间2ab项，同时注意中间项的正负符号，避免出现 这类典型错误。 3. 整体思想运用：复杂式子需整体识别a、b，不可拆分整体项，确保公式结构匹配。 4. 符号运算规范：负数、多项式整体平方时，需给整体加括号，再展开运算，防止符号出错。 【即学即练】 1．先化简，再求值：，其中．小明的解法如下： 原式（第一步） （第二步） ，（第三步） 当时， 原式．（第四步） (1)小明的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是（    ） A．平方差公式运用错误    B．去括号时符号错误    C．合并同类项错误 (2)请你借鉴小明的解题方法，写出此题的正确解答过程． 【答案】(1)二；B (2) 解：原式 ， 当时， 原式． 【详解】（1）解：小明的解题过程从第二步开始出现错误，错误的原因是去括号时，没有变号，即错误原因为选项B； （2）略 题型01 平方差公式基础计算 准确识别式子中相同项与相反项，严格套用 ，优先确定a、b对应整体，再平方作差，注意系数、符号整体运算。 【典例1】. （25-26七年级下·湖南邵阳·期末）下列各式可以用平方差公式进行计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式的结构为，判断两个相乘的二项式是否满足“一项完全相同，另一项互为相反数”，符合条件即可用平方差公式计算． 【详解】解：A选项：原式整理为，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算； B选项：原式整理为，无互为相反的不同项，不符合要求； C选项：原式中既无完全相同的项，也无互为相反数的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； D选项：原式整理为，无互为相反的不同项，不符合要求． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西咸阳·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接套用初中平方差公式即可计算出结果． 【详解】解：． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）计算的结果是_________． 【答案】/ 【详解】解：． 【变式3】. （25-26六年级下·山东威海·期末）为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的结构特征将原式变形为两个数的和乘两个数的差的形式，据此判断正确选项即可． 【详解】解：∵平方差公式要求式子变形为的形式，即两个因式中一组项相同，另一组项互为相反数， 观察原式，两个因式中是相同项，和互为相反数，对原式添括号变形：， ∴． 题型02 平方差公式简便运算 将接近整十、整百、整千的数拆成两数和差形式，构造平方差公式结构，简化大数、小数复杂运算。 【典例2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将所求式子变形为，结合平方差公式计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合平方差公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】. （25-26七年级下·北京·期末）已知，则__________． 【答案】 1234320 【分析】利用换元后将所求代数式变形，再通过平方差公式转化为已知条件计算． 【详解】解：令， 由题意得，， ∴所求式子变形为． 【变式2】. （25-26七年级下·四川达州·阶段检测）用公式计算： 9999×10001－100002 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·课后作业）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键． （1）先将恒等变形为，再由平方差公式计算即可得到答案； （2）先由乘法分配律的逆运算得到，再由平方差公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型03 平方差公式连续连用计算 观察连乘式子特征，补全因式构造平方差公式循环结构，逐层化简，直至无法套用公式为止。 【典例3】. （26-27七年级上·江苏扬州·开学考试）把式子化简的结果为___________． 【答案】 【分析】在原式前乘，其值为不改变原式结果，再连续利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式1】. （25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式将每个分解为，然后通过“约分”消去中间项，直接得到首尾相乘的结果即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2】. （25-26七年级下·广东清远·期末）学习了平方差公式：，小明发现对于某些多项式的运算进行适当的变形后可以出现平方差公式的结构，从而解决问题． 例如：计算． 解：原式， ， ， ． 根据上面的方法，解决以下的问题： (1)__________． (2)计算的值． (3)计算的值（，为正整数）． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，结果为；当时，结果为． 【分析】（1）仿照题干方法，通过构造平方差公式求解； （2）仿照题干方法，通过构造平方差公式求解； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：分两种情况讨论： 当时， 原式 ； 当时， 原式 ． 【变式3】. （25-26七年级下·河南郑州·期中）【公式探究】 (1)如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含，的等式表示）； 【公式应用】 (2)请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：（使用乘法公式简便计算）． 【公式拓展】 (3)使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 【答案】(1) (2)①8；② (3) 【分析】（1）用两种方法表示出阴影部分的面积即可得出结果； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）逆用公式，进行计算即可． 【详解】（1）解：由图2可知，阴影部分的面积为； 由图1可知，阴影部分的面积为； 故可得：； （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型04 完全平方公式基础展开计算 牢记口诀“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”，区分和、差公式符号，不遗漏中间2ab项，规范展开后合并同类项。 【典例4】. （25-26七年级下·陕西咸阳·期末）计算：________ 【答案】 【详解】解：. 【变式1】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】两个小题均利用完全平方和公式展开计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）计算：________． 【答案】 【分析】运用初中所学的完全平方和公式即可求出结果． 【详解】解： 【变式3】. （25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：． 题型05 完全平方公式简便运算 把非整数、大数拆成整值与小数（或整数）的和差形式，套用完全平方公式展开，快速完成简便计算。 【典例5】. （25-26七年级下·四川成都·期中）运用所学乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】. （25-26七年级下·安徽合肥·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图1：__________________，图2：__________________，图3：__________________； (2)根据上述图中你探索发现的结论，简便计算： ①；②； (3)若图1中a与b的值分别为和，且满足，请求出的值． 【答案】(1)，，； (2)①；②； (3)17 【分析】（1）根据阴影部分面积的不同表示形式列式即可； （2）①根据，结合完全平方公式求解；②原式化为，再由完全平方公式求解； （3）由已知可得，，根据，得到，即可求解． 【详解】（1）解：图1整体上是边长为的正方形，因此面积为，拼成图1的四个部分的面积和为， ∴有 图2阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，阴影部分也可以看作大正方形面积与空白部分的面积差，即 ∴有， 图3中左图是长为，宽为的长方形，因此面积为，拼成的右图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， ∴有， （2）解：①； ②； （3）解：∵，， ∴，； ∵， 即， 解得， 即． 题型06 乘法公式化简求值 先利用平方差、完全平方公式展开化简整式，化为最简形式后，再代入数值计算，优先使用整体代入法简化运算。 【典例6】. （25-26七年级下·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式， ， 当时，原式． 【变式1】. （25-26七年级下·湖南湘潭·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式化简多项式，再将，代入计算即可． 【详解】解： ∵，， ∴原式 ． 【变式2】. （25-26七年级下·湖南邵阳·期末）先化简再求值： (1)先化简：，代入，再求值； (2)先化简：，代入再求值． 【答案】(1)化简得；值为 (2)化简得；值为 【详解】（1）解： ， 把，代入上式得： ； （2）解： ， 当时， 原式 ． 【变式3】. （25-26七年级下·湖南郴州·期末）下面是小红化简的过程： 解 =……第一步 =……第二步 =……第三步 小明认为小红的化简过程出现了错误． (1)小红在第________步出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并计算当时原式的值． 【答案】(1)一 (2) 解： ， 当时，原式的值． 【分析】（1）检查展开过程可发现第一步展开完全平方公式出错， （2）先根据运算法则正确展开合并同类项，再代入的值计算结果即可． 【详解】（1）解：根据完全平方公式，，小红展开结果错误，因此小红在第一步出现错误； （2）解：将代入化简后的式子：原式 ． 题型07 完全平方公式变形求值（知二求二） 熟练运用五大公式变形，已知 中任意两个量，整体代换求解剩余量。 【典例7】. （25-26七年级下·江西吉安·期末）已知，，则的值为（     ） A．70 B．80 C．88 D．90 【答案】B 【分析】利用完全平方公式变形，将用已知的与表示，代入计算即可 【详解】解：， ． 【变式1】. （25-26七年级下·湖南益阳·期末）按要求解题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）通过对完全平方公式进行变形求解即可； （2）使用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式2】. （25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）数学课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片．种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．现在用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的正方形，根据图2可得出三个代数式：，． (1)写出三个代数式之间的等量关系； (2)解决如下问题 ①已知：求和的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）图2的面积可以表示为一个边长为的正方形面积，又可以表示为一个边长为a的正方形面积加上一个边长为b的正方形面积再加上两个长为b，宽为a的长方形面积，据此可得结论； （2）①根据可得，再根据（1）中的结论计算即可； ②把原式变形为，利用完全平方公式展开计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵图2是边长为的正方形， ∴， ∵图2可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b，宽为a的长方形的组合图形， ∴， ∴； （2）解：①， ， ， 又， ； ②， ， ， ． 【变式3】. （25-26七年级下·江西吉安·期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出代数式，，之间的等量关系：______________________． (2)根据（1）中的等量关系，已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过观察图1和图2之间的关系可得； （2）把已知条件代入小问1的结论，计算可得． 【详解】（1）略 （2），，， ， ， ． 题型08 完全平方式求参数 根据完全平方公式结构特征，对比多项式首尾平方项，确定中间项系数，注意参数多解情况（正负双解）。 【典例8】. （25-26七年级下·江西景德镇·期中）如果二项式加上一个含的单项式后构成的三项式是一个完全平方式，则满足条件的单项式是____________． 【答案】 或或 【分析】根据完全平方公式分情况讨论，筛选出符合“含的单项式”“构成三项式”要求的结果． 【详解】解：根据完全平方公式，分情况讨论如下： 若和为完全平方式的两个平方项， ，， 中间项为，此时添加后得到三项完全平方式，符合要求； 若为完全平方式的一个平方项，为中间项， 设添加的单项式为另一个平方项， 可得，解得， 此时添加后，得到三项完全平方式，符合要求； 若为完全平方式的一个平方项，为中间项， 设添加的单项式为另一个平方项， 可得，解得，属于分式不是单项式，不符合要求； 若添加或，结果为单项式，不满足三项式要求，舍去； 因此满足条件的单项式为，或． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西咸阳·期末）是完全平方式，则________． 【答案】或 【分析】根据完全平方公式的结构特征，确定一次项系数的两种可能，即可求解． 【详解】解：完全平方公式为， ∵ 是完全平方式， ∴ 对比公式结构可得 ，即，，即， ∴ 一次项满足 ， ∴ ． 【变式2】. （25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）已知，则的值为（     ） A． B．6 C．9或 D．9 【答案】C 【分析】根据等式左边为完全平方式，可知右边二次三项式为完全平方式，结合二次项与常数项的平方形式，确定一次项系数的两种情况，进而求解． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴或， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得； 综上所述，的值为9或． 【变式3】. （25-26七年级下·河北沧州·期末）贝贝在学习完全平方公式时，发现是一个完全平方式，则m的值是（     ） A．5或 B．2或 C．5或 D．2或 【答案】C 【分析】根据完全平方式的结构，得到一次项系数满足的关系，列方程求解即可． 【详解】∵是完全平方式，符合的结构，其中，，即， ∴， 分两种情况计算： 当时，解得， 当时，解得， ∴m的值为5或． 题型09 乘法公式与几何图形面积应用 结合图形割补、拼接前后面积不变，用代数式表示边长，套用乘法公式列等式，求解图形面积、边长。 【典例9】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，某校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一个乒乓球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)用含，的代数式表示绿化部分的面积（结果需化简）． (2)当，时，求绿化部分的面积． 【答案】(1) (2)167平方米 【分析】（1）根据代入计算即可得出答案； （2）把，代入（1）中的代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得： （平方米）； （2）解：当，时，（平方米）． 【变式1】. （25-26七年级下·四川成都·期末）有A，B两类正方形卡片，其边长分别为厘米、厘米，另有一类长方形卡片C，其长和宽分别为厘米和厘米．在同一平面内做如下操作：将卡片B放在卡片A的内部（剪掉卡片A中与卡片B重叠的部分），如图1所示；将卡片A，B并列放置后构造新的正方形，如图2所示．在图1、图2中，若阴影部分的面积分别为和，请完成下列问题： (1)_________； (2)聪聪同学想要拼一个长、宽分别为厘米和厘米的长方形（不重不漏），除用去6张卡片A，6张卡片B外，还需要卡片C_________张； (3)在同一平面内，用三张正方形卡片A和两张正方形卡片B摆放成如图3所示正方形，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由图1和图2得到两个关于的代数式，通过化简计算可得结果； （2）利用长方形的面积公式得长方形的面积为：，计算得到二次三项式，根据得到的结果观察可得结论； （3）由图3可得：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去三个正方形卡片A和两个正方形卡片B的面积，得到关于的代数式，再根据小问1的结果，即可求出图3中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图1得：， ， 由图2得：， ， ， 得：． （2）解：， 一个A类卡片面积为；一个B类卡片面积为；一个C类卡片面积为， 所以需要C类卡片张． （3）解：由小问1可得：；；， ， ， 由题意得：都是正数，， ， ，， ， 得：， ， ． 由图3可得： ． 【变式2】. （25-26七年级下·四川成都·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 【知识回顾】 (1)如图1，借助图形能解释的乘法公式是_______． 【问题解决】 (2)如图2，点是线段上的一点，分别以，为边向上下两个方向作正方形和正方形，已知，两个正方形的面积和为38，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用两种方法分别用代数式表示图1的面积即可． （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意可知，的关系和两个正方形的面积和为38，则根据求出的值即可． 【详解】（1）解：图1整体上是边长为的正方形，面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， ． （2）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ，两个正方形的面积和为38， ，， ， 阴影部分的面积 【变式3】. （25-26七年级下·江西景德镇·期中）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：______，______（用字母表示）． 【拓展探究】 (2)用4个长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是____________． 【解决问题】 (3)如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． 【知识迁移】 (4)当时，则的值是______．（直接写出结果） 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （3）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案； （4）根据公式直接转化即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为或，因此可得； 图2阴影部分的面积为或，因此可得； （2）解：图3阴影部分的面积为或， 因此可得； （3）解：由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 题型10 乘法公式求最值问题 通过配方法将代数式化为完全平方式加常数的形式，利用完全平方式非负性，求解代数式最大、最小值。 【典例10】. （25-26八年级上·吉林长春·期末）【问题原型】在学完因式分解之后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ． ， ． ． 当，即时，的值最大，最大值是4． 根据上面的方法，求代数式的最大值； 【推广运用】某商品现在每件的利润为10元，每天的销售量为20件．市场调查发现：如果调整价格，每涨价1元，每天就要少卖1件商品．设每件商品涨价元． （1）涨价元后，每件商品的利润为______元，每天的销售量为______件；（用含的代数式表示） （2）求为何值时，每天的销售利润最大，并求出最大销售利润．（销售利润每件商品的利润销售量） 【答案】【初步思考】14； 【推广运用】（1），；（2）时，每天的销售利润最大，最大销售利润是225元 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，能够读懂题意熟练运用完全平方公式是解题关键． 【初步思考】仿照题中例子配出完全平方公式求出的最大值即可； 【推广运用】（1）根据题意列出代数式即可； （2）仿照例题构建完全平方即可求解． 【详解】解：【初步思考】， ， ． ． 的最大值是14． 【推广运用】解：（1）∵现在每件的利润为10元，每件商品涨价元， ∴每件商品的利润为：元， ∵每件的利润为10元，每天的销售量为20件，每涨价1元，每天就要少卖1件商品． ∴涨价后每天的销售量为：件， 故答案为：，； 解：（2）∵， ， ． ． 当时，每天的销售利润最大，最大销售利润是225元． 【变式1】. （25-26七年级下·浙江绍兴·阶段检测）我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，∴当时，的值最小，最小值是， ∴，∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当_______时，代数式的最小值是_______； (2)知识运用：若，当_______时，y有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)2；11 (2)；大； (3)的最小值为． 【分析】（1）根据完全平方公式将原式整理后即可确定最小值； （2）将等式右边根据题中材料变形后即可确定当取何值时能取到最大值； （3）首先得到有关的关系式，根据完全平方公式将原式整理后确定最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值； （2）解：∵， ∴当时有最大值； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏苏州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为，所以当时，的值最小，最小值是，所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是，即的最小值是． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 【探究问题】 (1)已知是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式________． 【拓展结论】 (2)①已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． ②已知，为有理数，且满足，若有最大（或最小）值，请求出其最大（或最小值）：若没有最大（或最小）值，请说明理由． 【答案】(1) (2)①当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，． ∵，是整数， ∴当时，此时． 根据定义，是“完美数”，故是满足条件的一个值； ②有最大值，最大值是 【分析】（1）把分为两个整数的平方即可； （2）①根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； ②由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】（1）解：∵是“完美数”， ∴； （2）解：①略 ②∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值是． 【变式3】. （25-26七年级下·广东梅州·期中）把整式通过配凑，得到完全平方式，再运用完全平方公式的逆运用 ，得到平方式：， 再利用平方的非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法． 例如：求的最小值． 解：， ， ， ∴当时， 的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1． 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)填空： （_______________）， (2)求 的最小值； (3) ，求的值． 【答案】(1)，3 (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式变形即可； （2）利用完全平方公式变形，再根据偶次方的性质即可解答； （3）利用完全平方公式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， 故当时，取最小值0，最小值为； （3）解： ， ， ， ， ， 当且仅当且时，等式成立， 解得， ∴ ． 一、单选题 1．下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据完全平方公式的结构特征，判断各选项能否转化为两个相同二项式相乘的形式． 【详解】解：与均符合平方差公式结构，不适用完全平方公式， A、B不符合题意； 的两个二项式各项系数均不对应相等，无法转化为相同二项式相乘的形式， C不符合题意； ，可运用完全平方公式计算， D符合题意． 2．已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将通过完全平方公式恒等变形为含与的形式，代入已知数值计算． 【详解】解：． 3．若是完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据完全平方式的形式列方程求解即可． 【详解】解：∵完全平方式的一般形式为 给定多项式为，其中常数项 ∴一次项系数满足 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 二、填空题 4．如图，边长为x 的正方形的边长增加4，用含x 的式子表示增加后的正方形的面积为_______． 【答案】 【分析】根据题意确定新正方形的边长，利用完全平方公式或图形面积和计算总面积，对比系数得出结果． 【详解】解：由题意可知，增加后的正方形边长为 ，则正方形的面积为 ， 根据完全平方公式可得： ， 对比可知，的系数为． 5．若，，则_______． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解，代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 6．如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，如果，，那么阴影部分的面积是________． 【答案】11 【分析】首先利用完全平方公式求出，然后根据三角形的面积公式表示出阴影部分的面积，再利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：由图可知， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．利用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)11025 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．对于两数和的完全平方公式中的三个代数式：、和，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题： 【问题提出】 (1)已知，，则的值为____________． 【问题解决】 (2)如图1，点C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形，连接，若，两个正方形的面积和，求三角形的面积． 【问题拓展】 (3)如图2，大长方形纸片是由5个长为a、宽为b的小长方形纸片（图中空白部分），2个边长为a的大正方形纸片和2个边长为b的小正方形纸片拼接而成的，若图中空白部分的面积为20，大长方形纸片的周长为30，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)12 (2)5 (3)34 【分析】（1）根据代入数据计算即可； （2）设，，根据题意列方程解答即可； （3）根据题意列方程求出，，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：设，， ∵， ∴， ∵， ∴，则， 即， ∴，解得：， ∴三角形的面积． （3）解：如图， ∵空白部分的面积为20，大长方形纸片的周长为30， ∴，，即，， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积为． 1．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项式展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图），例如：，展开式中所有系数的和为．根据杨辉三角，可得展开式中所有系数之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出规律：当二项式的次数为时，系数和为，据此求解； 【详解】解：观察可得： 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， ⋯， 当二项式的次数为时，系数和为， ∴展开式的系数和是． 2．如图，以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】设，，根据题意可得，，利用完全平方公式即可求得． 【详解】解：设，， 根据题意可得，即， ，即， ， ∴长方形的面积为． 3．观察下列各组等式： ①，； ②，；…… 猜想：当是正整数时，与的差为定值，这个定值为______． 【答案】 【分析】根据题意列出表示两个式子差的代数式，利用完全平方公式和整式加减运算法则化简，即可求出定值． 【详解】解：计算两个式子的差： ． 4．如图，街心花园有一块边长为的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加，东西向减少．改造后得到一块长方形草坪．求这块长方形草坪的面积． 【答案】 【分析】根据题意可得这块长方形草坪的长为，宽为，再根据长方形的面积公式解答即可． 【详解】解：， 即这块长方形草坪的面积为． 5．综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板的长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形割补到长方形的下方． (1)①图2中的阴影部分的面积是________； ②观察图1、图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积，可以验证恒等式________； 【实践应用】 (2)如图3，点是线段上的点，在的同侧作正方形和正方形，点在线段上，，连接，已知正方形的边长为，正方形的边长为，求阴影部分的面积．（用含的式子表示，结果化到最简） 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由题中操作步骤即可得到图2中的阴影部分的面积；②用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积即可得到答案； （2）先由图中线段关系得到，数形结合得到，代入相关线段长度计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据题意，是长为、宽为的长方形， 阴影部分是一个边长为的正方形，则其面积为； ②图1的面积为，图2的面积为， 则由题意可得； （2）解：由题意得， ． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $