专题11.1 幂的运算（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

本讲义聚焦幂的运算核心知识点，系统梳理同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的基本法则推导与推广，通过逆用公式及对比辨析表整合，构建从基础运算到综合应用的递进学习支架。 资料以“即学即练+典例变式”分层设计，逆用公式题型培养推理意识，新定义问题提升创新意识，对比辨析表强化抽象能力。课中辅助教师系统授课，课后多样化练习助力学生查漏补缺，落实运算能力培养。

专题11.1 幂的运算 教学目标 1. 经历幂的运算法则的推导过程，理解并掌握同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的运算规则，能准确完成基础运算。 2. 能灵活运用法则的逆运算进行简便计算、幂的大小比较与参数求解，提升代数运算与逻辑推理能力。 3. 能运用幂的运算法则解决实际应用问题，体会整体代换、转化的数学思想，建立代数符号意识。 教学重难点 重点： 1. 同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方的基本运算法则 2. 幂的四则混合运算的运算顺序与规范计算 3. 幂的运算法则的逆用与简便计算 难点： 1. 底数为多项式、互为相反数的幂的运算处理 2. 幂的运算法则的综合变形与代数式整体求值 3. 幂的运算中的规律探究与新定义问题 知识点 01：同底数幂的乘法 1. 核心法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2. 基本公式： 3. 法则推广：三个及以上同底数幂相乘，法则仍然成立，即（均为正整数）。 4. 逆用公式：，可将指数和的形式拆分为同底数幂相乘，用于简便计算与代数式变形。 5. 注意事项 　　底数可以是单项式，也可以是多项式； 　　单独一个字母的指数为 1，运算时不可遗漏。 【即学即练】 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 知识点 02：幂的乘方 1. 核心法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2. 基本公式： 3. 法则推广：多重乘方运算，（均为正整数）。 4. 逆用公式：，常用于幂的大小比较、指数拆分变形。 5. 符号规律：负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数，运算时先确定结果符号。 【即学即练】 1．计算：． 知识点 03：积的乘方 1. 核心法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 2. 基本公式： 3. 法则推广：三个及以上因式的积的乘方，（为正整数）。 4. 逆用公式：，当底数乘积为、整十整百数时，可大幅简化计算。 5. 注意事项：系数也要参与乘方运算，不可遗漏；分数乘方需分子、分母分别乘方。 【即学即练】 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 知识点 04：同底数幂的除法 1. 核心法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2. 基本公式： 3. 法则推广：多个同底数幂连除，（）。 4. 逆用公式：，用于指数差形式的幂的变形。 5. 注意事项 　　底数不能为 0，除数为 0 无意义； 　　底数互为相反数的幂，可先根据指数奇偶性统一底数，再进行除法运算。 【即学即练】 1．计算_____． 知识点 05：四大运算法则对比辨析 运算类型 核心规则 正用公式 指数变化 底数要求 同底数幂乘法 底数不变，指数相加 指数相加 底数相同 幂的乘方 底数不变，指数相乘 指数相乘 底数为幂的形式 积的乘方 因式分别乘方，结果相乘 各因式同步乘方 底数为乘积形式 同底数幂除法 底数不变，指数相减 指数相减 底数相同且不为 0 题型 01 同底数幂乘法的基础计算 先确认底数是否相同，底数不同时先通过符号法则统一底数；运算时底数不变、指数相加，单个字母的指数 1 不可遗漏。 【典例1】. （25-26七年级下·山西运城·期末）计算______． 【变式1】. （25-26七年级下·广东深圳·期末）___________． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）计算：． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型 02 幂的乘方的基础计算 严格遵循 “底数不变，指数相乘” 的规则；先处理符号，负数偶次幂得正、奇次幂得负；注意区分幂的乘方与同底数幂乘法的指数运算差异。 【典例2】. （25-26七年级下·湖南株洲·期末）计算：________． 【变式1】. （26-27七年级·上海·暑假作业）计算： 【变式2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 03 积的乘方的基础计算 将积的每一个因式分别乘方，再将结果相乘；系数、字母、符号都要参与乘方，分数乘方需分子分母分别运算。 【典例3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）等于什么？ 【变式1】. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 04 同底数幂除法的基础计算 同底数幂直接指数相减；底数互为相反数时，根据指数奇偶性统一底数后再计算；注意底数不为 0 的隐含条件。 【典例4】. （25-26七年级下·安徽宿州·期中）计算：． 【变式1】. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）下面的计算是否正确？如有错误请改正． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 题型 05 幂的四则混合运算 遵循运算顺序：先算乘方（幂的乘方、积的乘方），再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右进行，最终结果需合并同类项。 【典例5】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）计算：． 【变式1】. （25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）化简：． 【变式2】. （25-26七年级上·江苏盐城·期末）计算或化简： (1)； (2)． 【变式3】. （25-26八年级上·四川南充·期末）计算： (1)； (2)． 题型 06 积的乘方逆用与简便计算 当多个幂的指数相同或可化为相同时，逆用，将底数凑整（如凑 1、-1、10 等）简化计算。 【典例6】. （25-26七年级下·广西桂林·期中）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）_________． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）不使用计算器，如何快速求出下列各式的结果？ ． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏常州·期末）已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 题型 07 幂的大小比较 常用两种思路：①化同指数，比较底数大小，底数大于 1 时指数相同底数越大数据越大；②化同底数，比较指数大小，底数大于 1 时指数越大数据越大。 【典例7】. （25-26七年级下·北京·课后作业）（1）比较与的大小； （2）已知，，试比较P与Q的大小． 【变式1】. （25-26七年级下·甘肃张掖·期中）某同学在比较的大小时，发现44，33都是11的倍数，于是他将这两个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这两个数的大小． 解：因为， 所以 即 请根据上述解题思路完成下题：若，试比较a，b的大小． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏镇江·期中）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结1：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结2：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． (3)比较与的大小． 【变式3】. （25-26七年级下·北京延庆·期中）阅读下面材料： 材料一：比较和的大小 材料二：比较和的大小 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较的大小． 题型 08 利用幂的运算求参数的值 将等式两边化为同底数的幂，根据 “底数不为 0 且不为 ±1 时，指数相等” 列方程；含多个等式时，联立方程组求解参数。 【典例8】. （25-26七年级下·江苏扬州·期末）根据已知条件求值． (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【变式1】. （25-26七年级下·四川巴中·期末）某数学学习小组在学习完幂的相关运算后，遇到下面几个问题，请你尝试帮助他们解决： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，试将用含、、的代数式表示出来． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏淮安·期末）计算： (1)已知，，求代数式的值； (2)已知，求的值． 【变式3】. （25-26七年级下·河北沧州·期末）若，则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值． 题型 09 幂的运算中的代数式整体求值 利用运算法则将所求代数式变形，转化为已知幂的和、差、积、商的形式，整体代入已知条件求值，无需单独求解未知数。 【典例9】. （25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）若，则的值为____________． 【变式1】. （25-26七年级下·浙江台州·期末）若，，则的值为__________． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）已知，，求①；②的值． 【变式3】. （25-26七年级下·贵州毕节·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 题型 10 新定义类幂的运算 准确理解新定义的运算规则，将新运算转化为常规的幂的乘除、乘方运算，按四则运算顺序逐步计算即可。 【典例10】. （25-26七年级下·江苏无锡·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则______． 【变式1】. （25-26七年级下·江苏泰州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如 (1)填空：当，时， ； (2)若，，求的值． 【变式2】. （25-26八年级下·甘肃兰州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”的定义来说明等式成立．证明：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：＝ ； (2)计算 ； (3)利用“雅对”定义说明：对于任意正整数都成立． 【变式3】. （25-26七年级下·山东青岛·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则， 即． (1)根据上述规定，填空：_____；_____；_____． (2)计算_____． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意正整数都成立． 一、单选题 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（     ） A．16 B．24 C．32 D．8 3．下面是计算的过程： 解：原式． 在上述运算中，依据（1）（2）分别表示的是（     ） A．合并同类项，同底数幂相乘 B．幂的乘方，同底数幂相乘 C．幂的乘方，乘法结合律 D．乘法交换律，合并同类项 二、填空题 4．化简的结果是______________． 5．已知，则的值为________． 6．若，，则，的大小关系是______________． 三、解答题 7．对于有理数，定义一种幂的新运算：，其中，是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求的值． 8．规定一种新运算：，例如，． (1)求的值； (2)若，求的值． 9．规定，两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：∵，∴． (1)根据上述规定，填空：__________，__________； (2)若，则__________； (3)已知，，且，求的值． 1．我们知道下面的结论：若（，且），则．设，，，下列关于，，三者之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，则n的值为_____ ． 3．用“”，“”定义两种新运算：对于两个整数，，规定，．例如：，． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 4．阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么，例如，记作． (1)根据以上规定求出：_____________；_____________； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ． 根据以上证明，请计算：_____________； (3)若，，，则，，之间的数量关系为_____________； (4)求的值． 5．魔方是深受人们喜爱的玩具．如图，设组成魔方的每一个小立方体的棱长为，那么这个魔方的体积为，我们把它称为号魔方．用若干个号魔方可以拼成号魔方，它的棱长是号魔方棱长的倍．用若干个号魔方可以拼成号魔方，它的棱长是号魔方棱长的倍，按照这个规律，可以拼成号魔方． (1)①请直接写出号魔方的体积（用含的代数式表示）． ②若，求的值． (2)类比探究：计算，小明同学的解法如下： 解：，① ，② ②－①，得：，． 请根据小明的方法探究计算1号魔方，2号魔方至10号魔方的体积之和，并说明理由． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1 幂的运算 教学目标 1. 经历幂的运算法则的推导过程，理解并掌握同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的运算规则，能准确完成基础运算。 2. 能灵活运用法则的逆运算进行简便计算、幂的大小比较与参数求解，提升代数运算与逻辑推理能力。 3. 能运用幂的运算法则解决实际应用问题，体会整体代换、转化的数学思想，建立代数符号意识。 教学重难点 重点： 1. 同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方的基本运算法则 2. 幂的四则混合运算的运算顺序与规范计算 3. 幂的运算法则的逆用与简便计算 难点： 1. 底数为多项式、互为相反数的幂的运算处理 2. 幂的运算法则的综合变形与代数式整体求值 3. 幂的运算中的规律探究与新定义问题 知识点 01：同底数幂的乘法 1. 核心法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2. 基本公式：（均为正整数）。 3. 法则推广：三个及以上同底数幂相乘，法则仍然成立，即（均为正整数）。 4. 逆用公式：，可将指数和的形式拆分为同底数幂相乘，用于简便计算与代数式变形。 5. 注意事项 　　底数可以是单项式，也可以是多项式； 　　单独一个字母的指数为 1，运算时不可遗漏。 【即学即练】 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 【详解】解：． 知识点 02：幂的乘方 1. 核心法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2. 基本公式：（均为正整数）。 3. 法则推广：多重乘方运算，（均为正整数）。 4. 逆用公式：，常用于幂的大小比较、指数拆分变形。 5. 符号规律：负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数，运算时先确定结果符号。 【即学即练】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，幂的乘方， 先根据幂的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 知识点 03：积的乘方 1. 核心法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 2. 基本公式：（为正整数）。 3. 法则推广：三个及以上因式的积的乘方，（为正整数）。 4. 逆用公式：，当底数乘积为、整十整百数时，可大幅简化计算。 5. 注意事项：系数也要参与乘方运算，不可遗漏；分数乘方需分子、分母分别乘方。 【即学即练】 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据计算即可． 【详解】解：． 知识点 04：同底数幂的除法 1. 核心法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2. 基本公式：（，均为正整数，且）。 3. 法则推广：多个同底数幂连除，（）。 4. 逆用公式：，用于指数差形式的幂的变形。 5. 注意事项 　　底数不能为 0，除数为 0 无意义； 　　底数互为相反数的幂，可先根据指数奇偶性统一底数，再进行除法运算。 【即学即练】 1．计算_____． 【答案】 【详解】 ． 知识点 05：四大运算法则对比辨析 运算类型 核心规则 正用公式 指数变化 底数要求 同底数幂乘法 底数不变，指数相加 指数相加 底数相同 幂的乘方 底数不变，指数相乘 指数相乘 底数为幂的形式 积的乘方 因式分别乘方，结果相乘 各因式同步乘方 底数为乘积形式 同底数幂除法 底数不变，指数相减 指数相减 底数相同且不为 0 题型 01 同底数幂乘法的基础计算 先确认底数是否相同，底数不同时先通过符号法则统一底数；运算时底数不变、指数相加，单个字母的指数 1 不可遗漏。 【典例1】. （25-26七年级下·山西运城·期末）计算______． 【答案】 【分析】先计算乘方，再计算同底数幂相乘，即可得出结果． 【详解】解：． 【变式1】. （25-26七年级下·广东深圳·期末）___________． 【答案】 【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解： 【变式2】. （25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）计算：． 【答案】 【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 题型 02 幂的乘方的基础计算 严格遵循 “底数不变，指数相乘” 的规则；先处理符号，负数偶次幂得正、奇次幂得负；注意区分幂的乘方与同底数幂乘法的指数运算差异。 【典例2】. （25-26七年级下·湖南株洲·期末）计算：________． 【答案】 【分析】根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 【变式1】. （26-27七年级·上海·暑假作业）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则计算，即幂的乘方，底数不变，指数相乘； 仿照（1）解答（2），（3），（4）即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型 03 积的乘方的基础计算 将积的每一个因式分别乘方，再将结果相乘；系数、字母、符号都要参与乘方，分数乘方需分子分母分别运算。 【典例3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）等于什么？ 【答案】 【分析】利用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 【变式1】. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据积的乘方运算法则计算，再根据幂的乘方运算法则计算，即积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘． （2）（3）（4）仿照（1）解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）原式根据积的乘方与幂的乘方的运算法则进行计算即可； （2）原式根据积的乘方与幂的乘方的运算法则进行计算即可； （3）原式根据积的乘方与幂的乘方的运算法则进行计算即可； （4）原式根据积的乘方与幂的乘方的运算法则进行计算后再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法以及整式的减法，按照相关运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型 04 同底数幂除法的基础计算 同底数幂直接指数相减；底数互为相反数时，根据指数奇偶性统一底数后再计算；注意底数不为 0 的隐含条件。 【典例4】. （25-26七年级下·安徽宿州·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：． 【变式1】. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）原式； （2）． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）下面的计算是否正确？如有错误请改正． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)错误，改正： (2)错误，改正： (3)正确 (4)错误，改正： 【详解】（1）解：∵， ∴原题的计算错误，改正为； （2）解：∵， ∴原题的计算错误，改正为； （3）解：∵， ∴原题的计算正确； （4）解：∵， ∴原题的计算错误，改正为． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)64 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据同底数幂的除法的运算法则，依次进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式； （7）解：原式； （8）解：原式． 题型 05 幂的四则混合运算 遵循运算顺序：先算乘方（幂的乘方、积的乘方），再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右进行，最终结果需合并同类项。 【典例5】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】先根据同底数幂除法、幂的乘方、同底数幂乘法依次计算，再按照整式加减合并同类项即可求出答案． 【详解】解： ． 【变式1】. （25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）化简：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式2】. （25-26七年级上·江苏盐城·期末）计算或化简： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，幂的混合运算，整式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先计算同底数幂的乘法，单项式乘以单项式，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】. （25-26八年级上·四川南充·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先计算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂的乘除法即可； （2）先根据多项式与多项式的乘法、完全平方公式计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型 06 积的乘方逆用与简便计算 当多个幂的指数相同或可化为相同时，逆用，将底数凑整（如凑 1、-1、10 等）简化计算。 【典例6】. （25-26七年级下·广西桂林·期中）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个幂的指数相同，可逆用积的乘方运算简化计算． 【详解】解： ． 【变式1】. （25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）_________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）不使用计算器，如何快速求出下列各式的结果？ ． 【答案】； ； ． 【分析】利用积的乘方的逆运算，将同指数的幂结合凑出整数，简化计算即可． 【详解】略 【变式3】. （25-26七年级下·江苏常州·期末）已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用，即可作答； （2）将等式两边都化为以2为底数的幂，问题即可得解； （3）等式左边逆用积的乘方，将其化为底数为15的幂，问题即可得解． 【详解】（1）解：，即； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3） ∵， ∴， ∴， 解得：． 题型 07 幂的大小比较 常用两种思路：①化同指数，比较底数大小，底数大于 1 时指数相同底数越大数据越大；②化同底数，比较指数大小，底数大于 1 时指数越大数据越大。 【典例7】. （25-26七年级下·北京·课后作业）（1）比较与的大小； （2）已知，，试比较P与Q的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方运算，解题的关键是掌握相应的运算法则； （1）将问题转化为比较之间的大小即可； （2）将利用积的逆运算整理得到即可比较大小． 【详解】解：（1）， 因为， 所以， （2） 所以． 【变式1】. （25-26七年级下·甘肃张掖·期中）某同学在比较的大小时，发现44，33都是11的倍数，于是他将这两个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这两个数的大小． 解：因为， 所以 即 请根据上述解题思路完成下题：若，试比较a，b的大小． 【答案】 【分析】根据题干给出的解题思路，将两个数转化为指数相同的幂，通过比较底数的大小即可得到结果． 【详解】解： 已知 ， ，观察指数可知，． 所以 ，． 因为 ， 所以 ， 即 . 【变式2】. （25-26七年级下·江苏镇江·期中）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结1：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结2：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料1的方法，化为指数相同的幂的形式，再比较底数的大小，即可求解； （2）根据材料2的方法，化为底数相同的幂的形式，再比较指数的大小，即可求解； （3）分别化为，，即可求解． 【详解】（1）解： 因为， 所以 即 （2） 因为， 所以 即 （3） 因为， 所以 即 【变式3】. （25-26七年级下·北京延庆·期中）阅读下面材料： 材料一：比较和的大小 材料二：比较和的大小 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， 且， ， 即； （2）解：，，， 且， ， 即． 题型 08 利用幂的运算求参数的值 将等式两边化为同底数的幂，根据 “底数不为 0 且不为 ±1 时，指数相等” 列方程；含多个等式时，联立方程组求解参数。 【典例8】. （25-26七年级下·江苏扬州·期末）根据已知条件求值． (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据同底数幂除法逆运算求值即可； （2）根据同底数幂乘法公式化简可得，则，再解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， 解得． 【变式1】. （25-26七年级下·四川巴中·期末）某数学学习小组在学习完幂的相关运算后，遇到下面几个问题，请你尝试帮助他们解决： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，试将用含、、的代数式表示出来． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据计算求解即可； （2）根据题意可得，进一步可变形为，则，进而得到，求出的值即可得到答案； （3）根据推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴ ． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏淮安·期末）计算： (1)已知，，求代数式的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式3】. （25-26七年级下·河北沧州·期末）若，则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用逆用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方法则，结合题干给出的结论：若（且）则，对所求式子进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴ ， ∴，解得． （3）解：∵， ∴． 题型 09 幂的运算中的代数式整体求值 利用运算法则将所求代数式变形，转化为已知幂的和、差、积、商的形式，整体代入已知条件求值，无需单独求解未知数。 【典例9】. （25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）若，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ∴ 【变式1】. （25-26七年级下·浙江台州·期末）若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先由已知得，，再根据同底数幂的乘法的逆运算将所求式子变形为，代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）已知，，求①；②的值． 【答案】①；② 【分析】①根据幂的乘方，可得要求的形式，根据同底数幂的乘法，可得答案； ②根据幂的乘方，可得要求的形式，根据同底数幂的除法，可得答案； 【详解】解：①∵，∴． 由同底数幂的乘法，得， 即； ②∵，∴， 由同底数幂的除法，得． 【变式3】. （25-26七年级下·贵州毕节·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方的运算法则，进行计算即可； （2）根据幂的乘方和同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 题型 10 新定义类幂的运算 准确理解新定义的运算规则，将新运算转化为常规的幂的乘除、乘方运算，按四则运算顺序逐步计算即可。 【典例10】. （25-26七年级下·江苏无锡·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则______． 【答案】100 【分析】 根据规定的新运算可得，从而可得：，根据幂的乘方和积的乘方运算法则整理可得：，然后再整体代入计算可得原式结果． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 【变式1】. （25-26七年级下·江苏泰州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如 (1)填空：当，时， ； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中的新定义法则求解； （2）首先根据新定义法则得到，，然后求出，，然后将原式变形后代入求解即可． 【详解】（1）解：当，时，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】. （25-26八年级下·甘肃兰州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”的定义来说明等式成立．证明：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：＝ ； (2)计算 ； (3)利用“雅对”定义说明：对于任意正整数都成立． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析 【分析】（1）利用“雅对”的定义求解即可； （2）设，，则有，利用“雅对”的定义计算可得，所以可得； （3）设，则，所以可得，可证对于任意正整数都成立． 【详解】（1）解：， ； （2）解：设，， 则，， ， ， ， ； （3）解：设，则， 为任意正整数， ， ， ， 对于任意正整数都成立． 【变式3】. （25-26七年级下·山东青岛·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则， 即． (1)根据上述规定，填空：_____；_____；_____． (2)计算_____． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意正整数都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2) (3) 设， ∴，即， ∴，即， ∴． 【分析】（1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴； （3）略 一、单选题 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 2．已知，则的值为（     ） A．16 B．24 C．32 D．8 【答案】C 【分析】将待求式中的、化为以2为底的幂，使指数出现，整体代入已知条件求值． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴原式． 3．下面是计算的过程： 解：原式． 在上述运算中，依据（1）（2）分别表示的是（     ） A．合并同类项，同底数幂相乘 B．幂的乘方，同底数幂相乘 C．幂的乘方，乘法结合律 D．乘法交换律，合并同类项 【答案】B 【分析】区分幂的乘方与同底数幂乘法的运算法则，对应两步运算判断． 【详解】解：第（1）步，，依据是幂的乘方； 第（2）步，，依据是同底数幂相乘． 二、填空题 4．化简的结果是______________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 5．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用幂的运算法则化简所求代数式，再根据已知等式得到的值，代入计算即可． 【详解】解：． ∵， ∴， ∴原式． 6．若，，则，的大小关系是______________． 【答案】/ 【分析】将两个幂变形为指数相同的形式，再根据指数相同，正整数指数幂中底数越大，幂越大即可得． 【详解】解： ，， ∵， ∴． 三、解答题 7．对于有理数，定义一种幂的新运算：，其中，是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)97 (2) 【分析】（1）按照题干定义的运算法则计算即可； （2）由题干定义的运算法则得关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由，得， 即， ∴， ∴， ∴， 解得． 8．规定一种新运算：，例如，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)32 (2)2 【分析】（1）根据新定义直接计算即可求解； （2）根据新定义得出，根据同底数幂的乘法得出，解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ， ， ， ， 9．规定，两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：∵，∴． (1)根据上述规定，填空：__________，__________； (2)若，则__________； (3)已知，，且，求的值． 【答案】(1)2，3 (2)或 (3) 【分析】（1）根据定义，计算求解即可； （2）根据题意，得，求平方根解答即可； （3）根据题意，得，，利用逆用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，求解即可． 【详解】（1）解：∵，∴． ∵，∴． （2）解：∵， ∴， 解得或； （3）解：， ，， ， ， 1．我们知道下面的结论：若（，且），则．设，，，下列关于，，三者之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用的数值关系，结合幂的运算规则推导指数间的等式． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴． 2．已知，则n的值为_____ ． 【答案】 【详解】 ， 解得：． 3．用“”，“”定义两种新运算：对于两个整数，，规定，．例如：，． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】（1）根据“”的新运算，使用同底数幂的乘法运算求解即可； （2）根据“”的新运算，使用同底数幂的除法运算求解即可； （3）分别列出与的值，由相等这一条件求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解：根据题意，； （3）解：根据题意，得，， ， ，即， 解得， 当为10时，的值与的值相等． 4．阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么，例如，记作． (1)根据以上规定求出：_____________；_____________； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ． 根据以上证明，请计算：_____________； (3)若，，，则，，之间的数量关系为_____________； (4)求的值． 【答案】(1)，． (2)． (3)． (4)． 【分析】根据题中定义，类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴，； （2）解：根据题意设：，， 则，， ， 即， ∴ ∴； （3）解：∵，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即； （4）解∶，设，， 则， ∴， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ ． 5．魔方是深受人们喜爱的玩具．如图，设组成魔方的每一个小立方体的棱长为，那么这个魔方的体积为，我们把它称为号魔方．用若干个号魔方可以拼成号魔方，它的棱长是号魔方棱长的倍．用若干个号魔方可以拼成号魔方，它的棱长是号魔方棱长的倍，按照这个规律，可以拼成号魔方． (1)①请直接写出号魔方的体积（用含的代数式表示）． ②若，求的值． (2)类比探究：计算，小明同学的解法如下： 解：，① ，② ②－①，得：，． 请根据小明的方法探究计算1号魔方，2号魔方至10号魔方的体积之和，并说明理由． 【答案】(1)①（为正整数）；② (2)解：． 理由：设， ∴①， ∴②， ②－①，得：， ∴． 【分析】（1）①利用“立方体的体积棱长”可得结论； ②根据①结论及幂的乘方的逆运算可得答案； （2）仿照小明同学的解法求解即可． 【详解】（1）解：①由题意知： 号魔方的体积：， 号魔方的体积：， 号魔方的体积：， ∴号魔方的体积（为正整数）； ②由①知：号魔方的体积， ∵， ∴，即， ∴； （2）略． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $