第11章 整式的乘除 单元复习（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

该初中数学单元复习讲义以“整式的乘除”为核心，通过表格梳理教学目标与重难点，分点呈现幂的运算、整式乘除、乘法公式、因式分解等知识点，构建“基础法则-公式应用-综合分解”的递进知识脉络，突出幂的运算、乘法公式等重点及因式分解综合方法等难点。 讲义亮点在于“题型分层+方法指导”设计，如“乘法公式几何背景应用”题型结合图形面积推导公式培养几何直观，“因式分解简便计算”题型通过整除判断强化运算能力与推理意识。每个知识点配备即学即练，进阶题型如十字相乘满足不同层次学生需求，教师可据此实施精准教学，助力学生系统提升。

第11章 整式的乘除 教学目标 1. 熟练掌握幂的四则运算法则、整式乘除法则，能规范完成基础整式运算。 2. 精准掌握平方差、完全平方公式，能灵活运用公式化简、计算、求值。 3. 理解因式分解的定义与本质，熟练运用提公因式法、公式法分解多项式。 4. 掌握十字相乘、分组分解等进阶方法，能综合运用知识解决混合运算问题。 5. 能运用整式运算、因式分解解决简便计算、参数求解、几何应用等综合问题。 教学重难点 1. 重点 （1）幂的运算、整式乘除的法则运用，熟练完成各类基础运算。 （2）平方差、完全平方公式的辨析与灵活应用，掌握公式变形求值。 （3）提公因式法、公式法因式分解，掌握全章基础解题流程。 （4）整式化简求值、因式分解简便计算等常规题型解题方法。 2. 难点 （1）幂的运算法则混淆、符号出错，负指数幂、零指数幂的规范运算。 （2）乘法公式的灵活变形与几何背景应用，区分两类公式适用场景。 （3）复杂多项式综合因式分解，规避分解不彻底、漏项、公式误用问题。 （4）结合参数、几何图形、整除判断的全章综合题型解题与推理。 知识点01：幂的基本运算 1. 同底数幂的乘法：（为正整数），底数不变，指数相加，可逆向运用。 2. 幂的乘方：（为正整数），底数不变，指数相乘。 3. 积的乘方：（为正整数），各因式分别乘方，再将幂相乘。 4. 同底数幂的除法：（为正整数，），底数不变，指数相减。 5. 零指数幂与负整数指数幂：；。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 知识点02：整式的乘法 1. 单项式乘单项式：系数、同底数幂分别相乘，单独含有的字母连同指数作为积的因式。 2. 单项式乘多项式：，利用乘法分配律，单项式乘遍多项式每一项。 3. 多项式乘多项式：，逐项相乘，不重不漏，最后合并同类项。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，计算即可； （2）整式的乘法，计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 知识点03：整式的除法 1. 单项式除以单项式：系数、同底数幂分别相除，被除式独有的字母连同指数保留。 2. 多项式除以单项式：，多项式每一项分别除以单项式，再将商相加。 【即学即练】 1．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 知识点04：乘法公式（核心） 1. 平方差公式：，适用一同一反二项式相乘，结果为同项平方减反项平方。 2. 完全平方和公式： 3. 完全平方差公式： 4. 公式变形：，常用于代数式整体求值。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 知识点05：因式分解基础 1. 定义：把多项式化为几个整式积的形式，核心为“和差化积”，与整式乘法互逆。 2. 分解原则：分解彻底、结果为整式乘积、相同因式写成幂的形式。 【即学即练】 1．把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ． 知识点06：因式分解常用方法 1. 提公因式法：，先找最大公因式（系数、字母、指数、整体、符号五看）。 2. 公式法：逆向运用平方差、完全平方公式分解多项式。 3. 进阶方法：十字相乘法（首1二次三项式）、分组分解法（二二分、三一分）。 题型01 幂的基础运算 熟记幂的四则运算法则，区分指数加减、乘除规则，注意符号与零、负指数幂限制条件。 【典例1】. （25-26七年级下·四川成都·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，本选项计算错误； 选项B：，本选项计算错误； 选项C：，本选项计算错误； 选项D：，本选项计算正确． 【变式1】. （2026·山东威海·模拟预测）在下列运算中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，故A正确，符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ，故D错误，不符合题意． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加分别对（1）、（2）、（3）小题进行计算即可得答案. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型02 幂的运算逆向应用与大小比较 逆向运用幂的运算法则变形，统一底数或指数后，快速比较幂的大小。 【典例2】. （25-26六年级下·山东威海·期末）已知，，其中m，n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则，将所求式子变形后代入已知条件即可求解． 【详解】解：，， ． 【变式1】. （25-26七年级下·重庆奉节·期末）若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂乘法和幂的乘方的运算法则，只需将所求代数式根据幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴． 【变式2】. （25-26七年级下·山东青岛·期中）比较底数大于1的幂的大小时，通常有两种方法；一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．例如： ①比较和的大小 解：因为，， 所以． ②比较和的大小 解：因为，，， 所以． 根据上述材料，解决下列问题： (1)比较和的大小； (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将和化成底数为2的数，然后再比较即可； （2）将，，化成指数为13的数，然后再比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，，， ∴． 【变式3】. （2026七年级下·全国·专题练习）阅读和学习下面的材料： 某同学在比较的大小时，发现55，44，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：∵， ∴， 请根据上述解题思路完成下题： 比较大小：若，则a，b，c的大小关系是什么？ 【答案】 【分析】按照例题的解题方法，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴． 题型03 整式基础乘除运算 严格遵循运算顺序，逐项运算不重不漏，及时合并同类项，化简至最简。 【典例3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用单项式除以单项式运算法则计算即可； （2）利用单项式除以单项式运算法则计算即可； （3）先利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式除以单项式运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式3】. （25-26七年级下·四川达州·阶段检测）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型04 整式化简求值 先化简整式式子，再代入数值计算，复杂题型可采用整体代入、降次代换法。 【典例4】. （25-26七年级下·四川达州·阶段检测）化简求值 (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 当时， 原式 （2）解： 当，时， 原式 【变式1】. （25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2】. （25-26七年级下·辽宁锦州·期末）先化简，再求值 ，其中，． 【答案】， 【详解】解： ∵，， ∴原式． 【变式3】. （25-26七年级下·四川达州·期末）先化简，再计算：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型05 平方差公式直接应用 识别“同项、反项”结构，套用快速化简计算。 【典例5】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）化简： 【答案】 【详解】解： ． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）简便计算：． 【答案】 【分析】将2025和2027改写为与2026相差1的形式，再通过公式展开化简即可． 【详解】解：原式． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西咸阳·期末）秦腔是四大声腔中最古老、最丰富的声腔体系，近期秦腔的爆火，让更多人了解了这一古老剧种．如图，某市有一个用于表演秦腔的长方形演艺厅，其长为米，宽为米，演艺厅内有一个长为米，宽为米的长方形舞台，现要对该演艺厅内除舞台以外的地方（图中阴影部分）进行装修． (1)求装修部分的面积；（结果用含、的代数式表示，并化为最简） (2)当，时，求装修部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)460平方米 【分析】（1）利用长方形演艺厅的面积减去长方形舞台的面积即可解答； （2）将，代入（1）中代数式求解即可 【详解】（1）解：由题意知： ， （平方米）， 所以装修部分的面积为平方米． （2）解：当，时，（平方米）， 所以装修部分的面积为460平方米． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏连云港·期末）已知两个正整数，，且比大，那么，的平方差一定是的倍数吗？请举例，并用所学知识证明你的结论． 【答案】一定是． 例如：，， 则 ∴此时，的平方差是20的倍数； 证明：设，则，是正整数， ， 是正整数， 也是正整数， 一定是的倍数， 即，的平方差一定是的倍数． 【分析】根据题意，先举例，例如：，，代入进行计算；设，则是正整数，计算得出，的平方差为，即可得证． 【详解】略 题型06 完全平方公式直接与变形应用 熟记完全平方公式及变形公式，重点掌握已知求题型。 【典例6】. （26-27八年级上·全国·课后作业）填空： （1）__________；     （2）__________； （3）______；     （4）____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式. 【详解】【小题1】解：, 故①填9，②填3. 【小题2】解： 故③填，④填5. 【小题3】解：, 故⑤填. 【小题4】解：, , 故⑥填使等式成立. 【变式1】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）若，，则的值为________． 【答案】 【分析】将所求代数式通过完全平方公式变形，用已知的和表示后代入数值计算即可． 【详解】解：，，， ． 【变式2】. （25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）数学课上，小明用图2中一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形、两个长为a宽为b的长方形共四个图形拼出图1的一个大正方形． (1)由图1到图2，你能得到怎样的等式？ (2)根据（1）中的等式解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用等面积法，大正方形边长为可直接表示整体面积，拆分后的四个小图形面积相加为各部分面积和，二者相等即可推导出完全平方和公式； （2）①直接套用（1）得到的完全平方公式，将已知、整体代入公式，通过移项变形求出； ②换元，令两个代数式分别为，，先计算的数值，再结合已知，套用完全平方公式求出，也就是所求式子的值． 【详解】（1）将图1中边长为的正方形的面积，拆分成图2中一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形、两个长为a宽为b的长方形四个图形面积之和， ； （2）①∵ ∴ ∴； ②设， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴． 【变式3】. （25-26八年级下·宁夏银川·期末）若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为________． 【答案】8或/或8 【分析】完全平方公式为，根据公式确定一次项系数的两种可能，进而求解． 【详解】解：∵关于的多项式是完全平方式， ∴， 整理得， 故的值为或． 题型07 乘法公式几何背景应用 利用图形面积的两种计算方式，推导、验证乘法公式，数形结合解题。 【典例7】. （25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如图1，一个长为、宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形 (1)根据图1和图2，直接写出、、之间的一个等量关系 ． (2)利用（1）中的结论解决下列问题： ①若，，求的值． ②如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为51，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）用代数式表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）①利用（1）的结论进行解答即可；②设，，则，根据，图中阴影部分面积为51，可得，，由（1）可得，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：图2整体上是边长为的正方形，面积为，中间小正方形的边长为，面积为，个长方形的面积为， ； （2）解：①由（1）可得，， ， ， ； ②设，则， ，图中阴影部分面积为51， ， 由（1）可得，， ， ， ，即， 的值为． 【变式1】. （25-26七年级下·宁夏银川·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为__________；（用含，的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的，，三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点、分别在、的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之和． 【答案】(1) (2)种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张 (3) 【分析】（1）根据等积法，列出等式即可； （2）将利用多项式乘以多项式的法则展开，即可得出结果； （3）设，根据题意易得，，再根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积， 故； （2）解：， 由图2可知，的面积为，的面积为，的面积为， 故需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张； （3）解：设，，不妨设，将图形补成边长为的大正方形，如图： 由题意，，， ， ． 【变式2】. （25-26七年级下·甘肃兰州·期末）用张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片，张长和宽分别为，的长方形纸片拼成如图所示的大正方形． (1)观察图，试用两种不同的方法表示图中两个阴影图形面积的和（用含，的代数式表示）． 代数式：____________________； 代数式：____________________； (2)从（1）中你能发现什么结论？请用等式表示出来：________ (3)如图，点是线段上的一点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形，若，两正方形的面积和．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）结合图形可得出结论； （2）由面积相等可得出结论； （3）设，，得，，则，进一步计算即可得结论． 【详解】（1）解：由题意可得，图1中两个阴影图形面积的和为代数式1：；代数式2：； （2）解：从（1）中结论可得． （3）解：设，，得，， 则， ∴， ∴． 【变式3】. （25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． 【观察总结】 (1)观察图①，会得到一个等式，是下面3个结论中的哪一个？（直接写出结果即可） 结论1．； 结论2．； 结论3．． (2)【牛刀小试】 如图②，长、宽分别为，的长方形，它的周长为26，面积为40，求的值． (3)【拓展应用】 将正方形与正方形按图③所示的方式摆放，当正方形与正方形的面积之和为52，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)结论3 (2)165 (3)10 【分析】（1）根据“大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积”即可解答； （2）根据周长为26，面积为40，求得，，再结合（1）求得，化简后，代入求值即可； （3）设正方形与正方形的边长分别为，则 ， 由完全平方公式的转化得，，再由阴影部分的面积为即可解答． 【详解】（1）解：由图可知大正方形的边长为，小正方形的边长为，4个长方形的面积为，根据“大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积”得； （2）解：∵长方形周长为26， ∴ ， ∴， ∵长方形面积为40， ∴， 由(1)知 ∴ ∴或 ∵为长，为宽 ∴ ∴ ； （3）解：设正方形与正方形的边长分别为， ∵两个正方形的面积之和为52，， ∴ ． ∵即． ∴ ∴ ， ∴（负值舍去） ∵ ∴ ∴阴影部分的面积为： 题型08 提公因式+公式法综合因式分解 严格遵循“先提公因式，再套公式”顺序，分步分解，杜绝分解不彻底。 【典例8】. （25-26八年级下·陕西咸阳·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式直接运用平方差公式进行因式分解即可； （2）原式提取公因式后运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】. （25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若，，求的值． 【答案】6 【分析】把提公因式后，再根据完全平方差公式分解因式得，最后把，代入化简后的式子计算即可得答案． 【详解】解： ， ，， ∴原式． 【变式2】. （25-26八年级下·山西晋中·期末）学习完因式分解后，老师布置了一道练习题，下面是小明和小红同学的解法，老师表示虽然解题方法有所不同，但都正确，值得大家学习！ 小明：解：     …………第一步     …………第二步     …………第三步 小红：解：     …………第一步     …………第二步     …………第三步 思考： (1)在上述解题过程中，小明第二步依据的数学公式是 （用字母表示），小红第二步因式分解的方法叫 ． (2)用你自己喜欢的方法因式分解：． (3)结合你平时学习因式分解的经验，为同伴提一条可行的学习建议． 【答案】(1)，提公因式法 (2)解：． (3)建议：学习因式分解时要牢记分解步骤，先观察多项式是否有公因式，有公因式一定要先提取，再用公式法继续分解，分解完成后要检查是否分解彻底．（合理即可） 【分析】（1）根据两人的解题步骤即可判断； （2）利用提公因式法结合平方差公式，即可完成因式分解； （3）结合因式分解的解题要求，提出合理可行的学习建议即可． 【详解】（1）解：小明第二步将变形为，再分解为两个因式的乘积，依据的公式是平方差公式：； 小红第二步提取了公因式，因此第二步的因式分解的方法是提公因式法． （2）略 （3）略 【变式3】. （25-26七年级下·浙江杭州·期末）本学期第四章，我们学习了因式分解，知道了“”可以用平方差公式因式分解为“”，善于思考的小聪提出了这样一个问题：“”可以因式分解吗？它的结果是什么？以下为小聪的部分推导过程： (1)请帮小聪完善推导的过程； (2)若，，求的值； (3)你能模仿小聪的方法对因式分解吗？ 【答案】(1) ； (2) (3) 【分析】（1）再提取公因式即可求解； （2）利用完全平方公式求得，再利用，整体代入求解即可； （3）用代替，利用求解即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （3）解： ． 题型09 十字相乘与分组分解因式 二次三项式用十字相乘法，多元、四项多项式用分组分解，构造公因式或公式结构。 【典例9】. （25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． (1)根据材料，分解因式：； (2)结合材料和材料，分解因式：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 原式 ， 再将“”还原，得 原式． 【变式1】. （25-26八年级下·河南商丘·阶段检测）利用“十字相乘法”因式分解： 同学们，我们已经学习了因式分解的两种常用方法：提公因式法与公式法．另外，因式分解还有一种很重要的方法叫作“十字相乘法”，常用于二次三项式的因式分解，实质上是逆用整式乘法的过程：，这个方法的关键是把二次项系数与常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘后的和等于一次项系数． 请你仿照以上方法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式2】. （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 原式． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3)若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】（1）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把整体提公因式； （2）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把看作整体，运用完全平方公式分解因式； （3）把方程左边分解因式，可得：，因为，，是的三边，不可能是，可得：，所以是等腰三角形． 【详解】（1）解： ；    （2）解： ；   （3）解：， ， ， ，     ，，是的三边， ，， ， ， ， 是等腰三角形． 题型10 因式分解简便计算与整除判断 对算式因式分解凑整简化运算，通过因式结构分析式子整除特性。 【典例10】. （25-26七年级下·河北保定·阶段检测）下面是老师在黑板上给出的例题讲解． 利用乘法公式有时能使计算更简便． 例如： （1） ； （2） ． 请你参考黑板中老师的讲解，运用乘法公式进行简便计算． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可； （2）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】. （26-27七年级·全国·小升初衔接）利用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)9996 (2)9801 (3) (4)2006； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】. （25-26七年级下·河北石家庄·期中）【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（     ）． A．8    B．10    C．14    D．17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值 ． 【答案】(1)C (2) 见解析 (3)2 【分析】（1）对因式分解，确定其因数，得到符合要求的选项； （2）利用平方差公式分解原式，化简后根据正整数的性质证明原式含因数24即可； （3）根据整除要求推导得到满足的条件，计算得到的最小值. 【详解】（1） 解：， 为正整数， 是整数， 一定能被14整除； （2）证明： ； 是正整数，和是连续正整数， 能被2整除， 能被整除， 能被24整除； （3）解：由（2）得， 能被36整除， 是整数，即能被3整除， 是正整数，和是连续正整数， 当时，，不能被3整除， 当时，，能被3整除， 的最小值为2. 【变式3】. （25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）【观察】 ； ． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大的数的平方与此偶数平方的差能被整除； 【验证】 (1)的结果是的________倍； (2)设偶数为（为整数），试说明比大的数的平方与平方的差能被整除； 【延伸】 (3)比任意一个整数大的数的平方与此整数平方的差被整除的余数是几？请说明理由． 【答案】(1) (2)由题意得偶数为，比偶数大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴能被3整除 (3)余数为3， 理由如下： 设这个数为，比大3的数为， 所以被6整除余3，余数为3 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用； （1）计算出的结果，即可； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，再利用平方差公式计算，即可； （3）设这个数为，比大3的数为，再利用平方差公式计算，即可． 【详解】（1）解：， ∴是3的15倍； 故答案为：； （2）略 （3）略 题型11 整式乘除新定义与阅读理解题型 准确读取题目自定义运算、新规则，将新定义运算转化为幂的运算、整式乘除、因式分解常规运算，按顺序化简求解即可。 【典例11】. （25-26七年级下·甘肃白银·期中）现定义一种新运算“”，对于任意数，，都有． 例如． 请根据上述定义回答下列问题： (1)计算：； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，据此计算求解即可； （2）根据定义求出的结果，再根据得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ； ∵， ∴ ∴， ∴． 【变式1】. （25-26七年级下·江苏常州·期末）定义：若一个整式能表示成（，为整式）的形式，则称这个整式为“平方和式”．例如，，且，均为整式，所以是“平方和式”． (1)在，，中，是“平方和式”的是 ： (2)根据定义，说明是“平方和式”； (3)如果，是“平方和式”，那么它们的乘积是否也是“平方和式”？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例． 【答案】(1) (2)证明：，且和都是整式，符合“平方和式”定义， 是“平方和式”； (3)是，乘积仍是“平方和式”， 理由如下： ，是“平方和式”， 可设，，其中、、、都是整式， 则 、、、都是整式， 和均为整式， 因此和的乘积可以表示为两个整式的平方和，是“平方和式”． 【分析】（1）逐一判断三个整式能否写成两个整式的平方和； （2）通过分组配方将原式变形为两个整式的平方和； （3）设出，的平方和形式，展开后重新配方即可证明乘积仍符合定义． 【详解】（1）解：逐个验证三个整式： 为一次整式，无法写成两个整式的平方和，不是“平方和式”， ，和均为整式，符合“平方和式”定义，是“平方和式”， ，无法写成两个整式的平方和，不是“平方和式”， 故符合要求的是； （2）略 （3）略 【变式2】. （25-26七年级下·山西晋中·期末）阅读与思考 阅读材料：完全平方公式的变形应用 我们熟知完全平方公式：， ， 由此可推导变形公式： ， ． 根据上面材料，解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用计算； （2）利用计算. 【详解】（1）解：∵，， ∴. （2）解：，，， . 【变式3】. （25-26八年级下·江苏盐城·期末）【阅读材料】 “换元法”是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具． 例题  因式分解：． 思路：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原成“”即可． 【解决问题】 (1)根据【阅读材料】中的“思路”，写出例题的解答过程； (2)在有理数范围内，利用换元法因式分解：． 【答案】(1)设，则原式． 把代入， 得原式 (2) 【分析】（1）根据题意进行因式分解即可； （2）设，再根据题意进行因式分解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则 原式． 把代入，得 原式． 题型12 整式乘除综合应用（几何、三角形、规律探究） 整合整式运算、乘法公式、因式分解知识，结合图形、几何性质、数列规律综合解题。 【典例12】. （25-26七年级下·江西吉安·期末）五一劳动节期间，有关部门计划在某广场规划出一块长为米，宽为米的长方形地块．在其内部选取一块边长为米的正方形地块用作劳动节活动宣传展区，并在左边修建一条宽为米的长方形步行街，其余阴影部分为绿化场地，尺寸如图所示． (1)用含，的代数式表示绿化的面积（结果要化简）； (2)若，，请求出绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（1）先求出长方形步行街的长为米，根据绿化的面积长方形地块的面积宣传展区的面积长方形步行街的面积列出代数式，利用整式的混合运算法则化简即可得出答案； （2）把，代入（1）中所得代数式，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵长方形地块的长为米，正方形宣传展区的边长为米， ∴长方形步行街的长为（米）， ∵长方形地块的宽为米，长方形步行街的宽为米， ∴绿化的面积为 （平方米）． （2）解：由（1）可知绿化的面积为平方米， ∵，， ∴绿化面积为（平方米）． 【变式1】. （25-26七年级下·山西运城·期末）魔法工坊社团的同学们需要为展区的正方形桌子设计一款创意桌布．现有一块长为米，宽为米的长方形四叶草布料（其中），通过裁剪拼接用作桌布的外围四周区域，正中区域用另一块其他花纹的布料填充．（拼接处所用材料忽略不计） 经过调查，以下三种设计方案备受大家喜欢，该花纹布料裁剪方式如下： (1)方案A如图2所示，把布料按左图裁剪成4块全等的长方形，并按右图拼接成大正方形，内部正方形用其它面料补充，则内部正方形的边长为______米，整个正方形桌布的边长为______米． (2)方案B如图3所示，把布料按左图裁剪成4块全等的直角三角形，按右图方式拼接成大正方形，求内部正方形的面积和该桌布的总面积． (3)方案C如图4所示，把布料按左图裁剪成8块全等的直角三角形，按右图中方式拼接成大正方形． ①通过计算，求内部正方形的面积和该桌布的总面积； ②若，请直接写出正方形的面积． 【答案】(1)； (2)内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米； (3)①内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米；②平方米 【分析】（1）原长方形布料长、宽，裁剪为4块全等小长方形后，每个小长方形长为、宽为，拼接后，内部正方形边长为小长方形的长减宽，整个桌布的边长为小长方形的长加宽； （2）根据题意得出内部正方形的边长为，从而求出面积；再根据整个桌布的面积四个直角三角形的面积内部正方形的面积求解即可； （3）①根据题意得出，拼接后大正方形（桌布）边长为，据此求出桌布总面积；再根据内部正方形的面积桌布总面积原布料面积求解即可； ②根据正方形的面积桌布总面积四个直角三角形的面积，代入求解即可； 【详解】（1）解：∵原长方形布料长、宽， ∴裁剪为4块全等小长方形后，每个小长方形长为、宽为， ∴内部正方形的边长为：米， 整个正方形桌布的边长为米． （2）解：根据题意可得，4个全等直角三角形的直角边分别为和， 内部正方形的面积， 原布料（4个直角三角形）总面积为， 整个桌布的面积， 答：内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米； （3）解：①根据题意，8个全等直角三角形的直角边分别为和，拼接后大正方形（桌布）边长为， 桌布总面积； 原布料（8个直角三角形）总面积为， ∴内部正方形的面积桌布总面积原布料面积， 答：内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米； ②∵， ∴平方米． 【变式2】. （25-26七年级下·宁夏银川·期末）“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习《整式乘法》时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． (1)观察图①，用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个图形，利用图形可以推导出的乘法公式是 ； (2)在（1）中公式里，若，（，），求的值． 【类比探究】 (3)若满足，求的值．小度的想法是设，，那么求出的值即可．请你按小度的思路完成解答． 【拓展应用】 (4)如图②，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和． 【答案】(1) (2)13 (3)10 (4) 【分析】（1）根据对图形面积的两种计算方式可解题目； （2）根据代入计算即可； （3）设，，则，，根据进行计算即可； （4）设米，米，由题意得，，根据求出的值即可． 【详解】（1）解：由图形知，大正方形的面积等于边长的平方，也等于里面四个图形的面积和，则得： ； （2）解：，而，， ∴， ，， ； （3）解：设，，则，， ， ， ， 即； （4）解：设米，米，由题意得，米，平方米， 即，， ， ， ， 种草区域的面积和（平方米）． 【变式3】. （25-26七年级下·山东菏泽·期末）【实践背景】 为打造“书香校园、绿色校园”，学校计划利用数形结合的数学思想，设计校园景观与文化标识，让抽象的数学知识在校园场景中变得直观可感．本次活动以“图形面积探究”为主题，引导学生通过几何图形的面积推导，理解数学公式的本质，并将其应用于校园景观设计中． 【知识建构】 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性．很多代数恒等式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 如图（1），在边长为的正方形中减掉一个边长为的小正方形，余下部分剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影面积可表示为，图（2）阴影面积可表示为，因此可得平方差公式：． 【类比探究】 (1)学校文化墙设计中，用两种不同方法表示图（3）中阴影部分的面积，可得代数恒等式：___________． 【实战运用】 (2)若文化墙设计中，，则阴影部分的面积和___________． 【深度拓展】 (3)校园景观设计中，某区域的尺寸满足，求该区域相关图形的面积和的值． 【迁移运用】 (4)如图（4），学校有一块梯形空地，对角线于点，，．学校计划在和区域内种花，已知种花区域的面积和为，对角线，求种草区域（和）的面积和． 【答案】(1) (2)90 (3)5 (4)12 【分析】（1）用代数式表示图3中各个部分的面积，再根据各个部分面积与总面积之间的和差关系即可得出答案； （2）利用（1）的结论，整体代入计算即可； （3）设，，则，，根据代入计算即可； （4）设，，由题意得到，，根据代入计算即可． 【详解】（1）解：图3中，阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即， 由于大正方形的边长为，因此面积为，两个空白矩形的面积和为， 因此阴影部分的面积为， 所以有代数恒等式：； （2）解：∵，， ∴； （3）解：设，，则，， ∴ ； （4）解：∵，设，， ∴，，，， ∵种花区域的面积和为，即， ∴， ∵， ∴种草区域的面积和为： ． 一、单选题 1．下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据因式分解的核心特征：左边为多项式，右边是几个整式的乘积形式，判断各选项． 【详解】解：A选项，是整式乘法运算，不符合因式分解定义． B选项，将多项式化为两个整式乘积的形式，符合定义． C选项，左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求． D选项，的右边为和的形式，不是整式乘积，不符合定义． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A，，错误； 对选项B，，错误； 对选项C，，错误； 对选项D，，正确． 3．已知正实数，，，，满足，，若图1中阴影部分的面积为，则图2中阴影面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图1阴影部分面积得出，根据图2阴影部分形状得出面积为，利用已知方程组通过平方差公式变形建立与的关系求解． 【详解】解：由图1可知，阴影部分为长方形，长为，宽为； 图1阴影面积． 图2阴影部分为长方形，长为，宽为， 图2阴影面积． 已知，即；，即． ∴， ∴， ， ， ． ， ， ， 即图2中阴影面积为8． 二、填空题 4．已知 则的值是__________． 【答案】 【分析】逆用同底数幂乘法法则，将变形为，代入已知数值计算． 【详解】解：由题意得 ，， ∴． 5．规定．若，则x的值为______． 【答案】1 【详解】解：由定义，可知， ∴， ∴． 6．已知，，则与的数量关系为_________（结果不含）． 【答案】 【分析】需要消去参数，计算和的平方再作差，即可消去得到关系． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， 即． 三、解答题 7．因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式：． （2）提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式可以将括号去掉，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 9．根据要求完成下列题目： (1)一个正方形的边长增加，它的面积增加了，求这个正方形原来的边长． (2)一个正方形的边长减少，它的面积减少了，这个正方形原来的边长是多少呢？它和小题（1）的答案相同吗？ 【答案】(1)这个正方形原来的边长为 (2)这个正方形原来的边长为，和小题（1）的答案不相同 【分析】（1）以边长增加前后的面积差为等量关系，设原边长为未知数列方程求解； （2）以边长减少前后的面积差为等量关系，设原边长为未知数列方程求解，再与（1）的结果对比． 【详解】（1）解：设这个正方形原来的边长为， 由题意得， ∴， 解得， 即这个正方形原来的边长为； （2）解：设这个正方形原来的边长为， 由题意得， ∴，解得， 即这个正方形原来的边长为， ∵， ∴和小题（1）的答案不相同． 10．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：____________；（直接列出等式即可） (2)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：________________________（直接列出等式即可） (3)若，，为实数，，，利用（1）的结论求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用两种方法表示出图2的面积，得出式子． （2）作出图形，根据图形进行因式分解即可． （3）由得，然后展开，代入数据计算即可； 【详解】（1）解：图2面积表示为：， 或表示为：， 所以有：． （2）解：如图所示： 由图可得，． （3）解：， ． ， ． ∴． ∴． 1．已知数，则数的位数是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】将原式转化为含的幂的形式，便于判断位数． 【详解】解：． ∵是1后面带9个0的正整数，共10位． ∴的位数为10． 2．如图，两个正方形的边长分别为，如果满足，则阴影部分的面积为（     ） A．14 B．12 C．9 D．6 【答案】B 【分析】根据推出，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 3．观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：____________． 【答案】 【分析】根据题干得出规律，再结合规律计算即可得出结果． 【详解】解：∵； ； ； …… ∴， ∴ ． 4．解答下列各题： (1)初步探究：能被67整除吗？请你说明理由． (2)迁移应用：当为大于1的整数时，请说明能否被三个连续的整数整除？ 【答案】(1)能被67整除， 理由：， ∴能被67整除； (2)能被三个连续的整数整除 理由：， ∵为大于1的整数， ∴、n、是连续的整数， ∴能被三个连续的整数整除． 【分析】（1）先提公因式66，再利用平方差公式因式分解，进而可得结论； （2）先提公因式n，再利用平方差公式因式分解，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 5．我们在研究数字规律时发现了一类特殊的数． 定义：如果一个正整数可以写成的形式（为正整数），那么称为“奇异数”，称为的层级．例如：当时，，所以8为“奇异数”，它的层级是1． (1)下列各数为“奇异数”的是_________；（填序号） ①16；②21；③32． (2)请说明：任意一个“奇异数”都能被8整除； (3)已知两个“奇异数”，，它们的层级分别为，（，为正整数，）． ①若，，求的值； ②若，请直接写出所有符合条件的和的值． 【答案】(1)①③ (2)证明：， ， ∵为正整数， ∴是8的倍数，即任意一个“奇异数”都能被8整除． (3)①4；②或 【分析】（1）根据题中所给关系式逐一判断即可； （2）先对进行因式分解，再结合为正整数，即可证明； （3）①先根据题中所给条件求出，再结合求得，进而求解； ②根据和，得出，再因式分解得，分情况讨论进而求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴16是“奇异数”； ②∵不能写成的形式， ∴21不是“奇异数”； ③∵， ∴32是“奇异数”． （2）略． （3）解：由题意得：，， ①∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵ ， ∴， ， ∴． ②∵，，， ∴，即， ∴，即， ∵，为正整数，， ∴，且是16的正、负整数因数， 若， ，解得，， ，解得，， ，解得，舍去， 若， ，解得，舍去， ，解得，舍去， ，解得，舍去． 综上，或． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 整式的乘除 教学目标 1. 熟练掌握幂的四则运算法则、整式乘除法则，能规范完成基础整式运算。 2. 精准掌握平方差、完全平方公式，能灵活运用公式化简、计算、求值。 3. 理解因式分解的定义与本质，熟练运用提公因式法、公式法分解多项式。 4. 掌握十字相乘、分组分解等进阶方法，能综合运用知识解决混合运算问题。 5. 能运用整式运算、因式分解解决简便计算、参数求解、几何应用等综合问题。 教学重难点 1. 重点 （1）幂的运算、整式乘除的法则运用，熟练完成各类基础运算。 （2）平方差、完全平方公式的辨析与灵活应用，掌握公式变形求值。 （3）提公因式法、公式法因式分解，掌握全章基础解题流程。 （4）整式化简求值、因式分解简便计算等常规题型解题方法。 2. 难点 （1）幂的运算法则混淆、符号出错，负指数幂、零指数幂的规范运算。 （2）乘法公式的灵活变形与几何背景应用，区分两类公式适用场景。 （3）复杂多项式综合因式分解，规避分解不彻底、漏项、公式误用问题。 （4）结合参数、几何图形、整除判断的全章综合题型解题与推理。 知识点01：幂的基本运算 1. 同底数幂的乘法：（为正整数），底数不变，指数相加，可逆向运用。 2. 幂的乘方：（为正整数），底数不变，指数相乘。 3. 积的乘方：（为正整数），各因式分别乘方，再将幂相乘。 4. 同底数幂的除法：（为正整数，），底数不变，指数相减。 5. 零指数幂与负整数指数幂：；。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点02：整式的乘法 1. 单项式乘单项式：系数、同底数幂分别相乘，单独含有的字母连同指数作为积的因式。 2. 单项式乘多项式：，利用乘法分配律，单项式乘遍多项式每一项。 3. 多项式乘多项式：，逐项相乘，不重不漏，最后合并同类项。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 知识点03：整式的除法 1. 单项式除以单项式：系数、同底数幂分别相除，被除式独有的字母连同指数保留。 2. 多项式除以单项式：，多项式每一项分别除以单项式，再将商相加。 【即学即练】 1．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点04：乘法公式（核心） 1. 平方差公式：，适用一同一反二项式相乘，结果为同项平方减反项平方。 2. 完全平方和公式： 3. 完全平方差公式： 4. 公式变形：，常用于代数式整体求值。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)． 知识点05：因式分解基础 1. 定义：把多项式化为几个整式积的形式，核心为“和差化积”，与整式乘法互逆。 2. 分解原则：分解彻底、结果为整式乘积、相同因式写成幂的形式。 【即学即练】 1．把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 知识点06：因式分解常用方法 1. 提公因式法：，先找最大公因式（系数、字母、指数、整体、符号五看）。 2. 公式法：逆向运用平方差、完全平方公式分解多项式。 3. 进阶方法：十字相乘法（首1二次三项式）、分组分解法（二二分、三一分）。 题型01 幂的基础运算 熟记幂的四则运算法则，区分指数加减、乘除规则，注意符号与零、负指数幂限制条件。 【典例1】. （25-26七年级下·四川成都·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （2026·山东威海·模拟预测）在下列运算中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) 【变式3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 幂的运算逆向应用与大小比较 逆向运用幂的运算法则变形，统一底数或指数后，快速比较幂的大小。 【典例2】. （25-26六年级下·山东威海·期末）已知，，其中m，n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级下·重庆奉节·期末）若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级下·山东青岛·期中）比较底数大于1的幂的大小时，通常有两种方法；一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．例如： ①比较和的大小 解：因为，， 所以． ②比较和的大小 解：因为，，， 所以． 根据上述材料，解决下列问题： (1)比较和的大小； (2)已知，，，试比较，，的大小． 【变式3】. （2026七年级下·全国·专题练习）阅读和学习下面的材料： 某同学在比较的大小时，发现55，44，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：∵， ∴， 请根据上述解题思路完成下题： 比较大小：若，则a，b，c的大小关系是什么？ 题型03 整式基础乘除运算 严格遵循运算顺序，逐项运算不重不漏，及时合并同类项，化简至最简。 【典例3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式1】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式3】. （25-26七年级下·四川达州·阶段检测）计算 (1)； (2) 题型04 整式化简求值 先化简整式式子，再代入数值计算，复杂题型可采用整体代入、降次代换法。 【典例4】. （25-26七年级下·四川达州·阶段检测）化简求值 (1)，其中． (2)，其中，． 【变式1】. （25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式2】. （25-26七年级下·辽宁锦州·期末）先化简，再求值 ，其中，． 【变式3】. （25-26七年级下·四川达州·期末）先化简，再计算：，其中，． 题型05 平方差公式直接应用 识别“同项、反项”结构，套用快速化简计算。 【典例5】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）化简： 【变式1】. （25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）简便计算：． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西咸阳·期末）秦腔是四大声腔中最古老、最丰富的声腔体系，近期秦腔的爆火，让更多人了解了这一古老剧种．如图，某市有一个用于表演秦腔的长方形演艺厅，其长为米，宽为米，演艺厅内有一个长为米，宽为米的长方形舞台，现要对该演艺厅内除舞台以外的地方（图中阴影部分）进行装修． (1)求装修部分的面积；（结果用含、的代数式表示，并化为最简） (2)当，时，求装修部分的面积． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏连云港·期末）已知两个正整数，，且比大，那么，的平方差一定是的倍数吗？请举例，并用所学知识证明你的结论． 题型06 完全平方公式直接与变形应用 熟记完全平方公式及变形公式，重点掌握已知求题型。 【典例6】. （26-27八年级上·全国·课后作业）填空： （1）__________；     （2）__________； （3）______；     （4）____． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）若，，则的值为________． 【变式2】. （25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）数学课上，小明用图2中一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形、两个长为a宽为b的长方形共四个图形拼出图1的一个大正方形． (1)由图1到图2，你能得到怎样的等式？ (2)根据（1）中的等式解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 【变式3】. （25-26八年级下·宁夏银川·期末）若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为________． 题型07 乘法公式几何背景应用 利用图形面积的两种计算方式，推导、验证乘法公式，数形结合解题。 【典例7】. （25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如图1，一个长为、宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形 (1)根据图1和图2，直接写出、、之间的一个等量关系 ． (2)利用（1）中的结论解决下列问题： ①若，，求的值． ②如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为51，求的值． 【变式1】. （25-26七年级下·宁夏银川·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为__________；（用含，的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的，，三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点、分别在、的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之和． 【变式2】. （25-26七年级下·甘肃兰州·期末）用张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片，张长和宽分别为，的长方形纸片拼成如图所示的大正方形． (1)观察图，试用两种不同的方法表示图中两个阴影图形面积的和（用含，的代数式表示）． 代数式：____________________； 代数式：____________________； (2)从（1）中你能发现什么结论？请用等式表示出来：________ (3)如图，点是线段上的一点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形，若，两正方形的面积和．求图中阴影部分的面积． 【变式3】. （25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． 【观察总结】 (1)观察图①，会得到一个等式，是下面3个结论中的哪一个？（直接写出结果即可） 结论1．； 结论2．； 结论3．． (2)【牛刀小试】 如图②，长、宽分别为，的长方形，它的周长为26，面积为40，求的值． (3)【拓展应用】 将正方形与正方形按图③所示的方式摆放，当正方形与正方形的面积之和为52，时，求图中阴影部分的面积． 题型08 提公因式+公式法综合因式分解 严格遵循“先提公因式，再套公式”顺序，分步分解，杜绝分解不彻底。 【典例8】. （25-26八年级下·陕西咸阳·期末）因式分解： (1)； (2)． 【变式1】. （25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若，，求的值． 【变式2】. （25-26八年级下·山西晋中·期末）学习完因式分解后，老师布置了一道练习题，下面是小明和小红同学的解法，老师表示虽然解题方法有所不同，但都正确，值得大家学习！ 小明：解：     …………第一步     …………第二步     …………第三步 小红：解：     …………第一步     …………第二步     …………第三步 思考： (1)在上述解题过程中，小明第二步依据的数学公式是 （用字母表示），小红第二步因式分解的方法叫 ． (2)用你自己喜欢的方法因式分解：． (3)结合你平时学习因式分解的经验，为同伴提一条可行的学习建议． 【变式3】. （25-26七年级下·浙江杭州·期末）本学期第四章，我们学习了因式分解，知道了“”可以用平方差公式因式分解为“”，善于思考的小聪提出了这样一个问题：“”可以因式分解吗？它的结果是什么？以下为小聪的部分推导过程： (1)请帮小聪完善推导的过程； (2)若，，求的值； (3)你能模仿小聪的方法对因式分解吗？ 题型09 十字相乘与分组分解因式 二次三项式用十字相乘法，多元、四项多项式用分组分解，构造公因式或公式结构。 【典例9】. （25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． (1)根据材料，分解因式：； (2)结合材料和材料，分解因式：． 【变式1】. （25-26八年级下·河南商丘·阶段检测）利用“十字相乘法”因式分解： 同学们，我们已经学习了因式分解的两种常用方法：提公因式法与公式法．另外，因式分解还有一种很重要的方法叫作“十字相乘法”，常用于二次三项式的因式分解，实质上是逆用整式乘法的过程：，这个方法的关键是把二次项系数与常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘后的和等于一次项系数． 请你仿照以上方法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【变式2】. （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3)若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 题型10 因式分解简便计算与整除判断 对算式因式分解凑整简化运算，通过因式结构分析式子整除特性。 【典例10】. （25-26七年级下·河北保定·阶段检测）下面是老师在黑板上给出的例题讲解． 利用乘法公式有时能使计算更简便． 例如： （1） ； （2） ． 请你参考黑板中老师的讲解，运用乘法公式进行简便计算． (1)． (2)． 【变式1】. （26-27七年级·全国·小升初衔接）利用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式2】. （25-26七年级下·河北石家庄·期中）【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（     ）． A．8    B．10    C．14    D．17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值 ． 【变式3】. （25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）【观察】 ； ． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大的数的平方与此偶数平方的差能被整除； 【验证】 (1)的结果是的________倍； (2)设偶数为（为整数），试说明比大的数的平方与平方的差能被整除； 【延伸】 (3)比任意一个整数大的数的平方与此整数平方的差被整除的余数是几？请说明理由． 题型11 整式乘除新定义与阅读理解题型 准确读取题目自定义运算、新规则，将新定义运算转化为幂的运算、整式乘除、因式分解常规运算，按顺序化简求解即可。 【典例11】. （25-26七年级下·甘肃白银·期中）现定义一种新运算“”，对于任意数，，都有． 例如． 请根据上述定义回答下列问题： (1)计算：； (2)若，求a的值． 【变式1】. （25-26七年级下·江苏常州·期末）定义：若一个整式能表示成（，为整式）的形式，则称这个整式为“平方和式”．例如，，且，均为整式，所以是“平方和式”． (1)在，，中，是“平方和式”的是 ： (2)根据定义，说明是“平方和式”； (3)如果，是“平方和式”，那么它们的乘积是否也是“平方和式”？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例． 【变式2】. （25-26七年级下·山西晋中·期末）阅读与思考 阅读材料：完全平方公式的变形应用 我们熟知完全平方公式：， ， 由此可推导变形公式： ， ． 根据上面材料，解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏盐城·期末）【阅读材料】 “换元法”是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具． 例题  因式分解：． 思路：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原成“”即可． 【解决问题】 (1)根据【阅读材料】中的“思路”，写出例题的解答过程； (2)在有理数范围内，利用换元法因式分解：． 题型12 整式乘除综合应用（几何、三角形、规律探究） 整合整式运算、乘法公式、因式分解知识，结合图形、几何性质、数列规律综合解题。 【典例12】. （25-26七年级下·江西吉安·期末）五一劳动节期间，有关部门计划在某广场规划出一块长为米，宽为米的长方形地块．在其内部选取一块边长为米的正方形地块用作劳动节活动宣传展区，并在左边修建一条宽为米的长方形步行街，其余阴影部分为绿化场地，尺寸如图所示． (1)用含，的代数式表示绿化的面积（结果要化简）； (2)若，，请求出绿化面积． 【变式1】. （25-26七年级下·山西运城·期末）魔法工坊社团的同学们需要为展区的正方形桌子设计一款创意桌布．现有一块长为米，宽为米的长方形四叶草布料（其中），通过裁剪拼接用作桌布的外围四周区域，正中区域用另一块其他花纹的布料填充．（拼接处所用材料忽略不计） 经过调查，以下三种设计方案备受大家喜欢，该花纹布料裁剪方式如下： (1)方案A如图2所示，把布料按左图裁剪成4块全等的长方形，并按右图拼接成大正方形，内部正方形用其它面料补充，则内部正方形的边长为______米，整个正方形桌布的边长为______米． (2)方案B如图3所示，把布料按左图裁剪成4块全等的直角三角形，按右图方式拼接成大正方形，求内部正方形的面积和该桌布的总面积． (3)方案C如图4所示，把布料按左图裁剪成8块全等的直角三角形，按右图中方式拼接成大正方形． ①通过计算，求内部正方形的面积和该桌布的总面积； ②若，请直接写出正方形的面积． 【变式2】. （25-26七年级下·宁夏银川·期末）“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习《整式乘法》时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． (1)观察图①，用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个图形，利用图形可以推导出的乘法公式是 ； (2)在（1）中公式里，若，（，），求的值． 【类比探究】 (3)若满足，求的值．小度的想法是设，，那么求出的值即可．请你按小度的思路完成解答． 【拓展应用】 (4)如图②，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和． 【变式3】. （25-26七年级下·山东菏泽·期末）【实践背景】 为打造“书香校园、绿色校园”，学校计划利用数形结合的数学思想，设计校园景观与文化标识，让抽象的数学知识在校园场景中变得直观可感．本次活动以“图形面积探究”为主题，引导学生通过几何图形的面积推导，理解数学公式的本质，并将其应用于校园景观设计中． 【知识建构】 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性．很多代数恒等式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 如图（1），在边长为的正方形中减掉一个边长为的小正方形，余下部分剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影面积可表示为，图（2）阴影面积可表示为，因此可得平方差公式：． 【类比探究】 (1)学校文化墙设计中，用两种不同方法表示图（3）中阴影部分的面积，可得代数恒等式：___________． 【实战运用】 (2)若文化墙设计中，，则阴影部分的面积和___________． 【深度拓展】 (3)校园景观设计中，某区域的尺寸满足，求该区域相关图形的面积和的值． 【迁移运用】 (4)如图（4），学校有一块梯形空地，对角线于点，，．学校计划在和区域内种花，已知种花区域的面积和为，对角线，求种草区域（和）的面积和． 一、单选题 1．下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知正实数，，，，满足，，若图1中阴影部分的面积为，则图2中阴影面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知 则的值是__________． 5．规定．若，则x的值为______． 6．已知，，则与的数量关系为_________（结果不含）． 三、解答题 7．因式分解： (1)． (2)． 8．先化简，再求值：，其中． 9．根据要求完成下列题目： (1)一个正方形的边长增加，它的面积增加了，求这个正方形原来的边长． (2)一个正方形的边长减少，它的面积减少了，这个正方形原来的边长是多少呢？它和小题（1）的答案相同吗？ 10．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：____________；（直接列出等式即可） (2)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：________________________（直接列出等式即可） (3)若，，为实数，，，利用（1）的结论求的值； 1．已知数，则数的位数是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．如图，两个正方形的边长分别为，如果满足，则阴影部分的面积为（     ） A．14 B．12 C．9 D．6 3．观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：____________． 4．解答下列各题： (1)初步探究：能被67整除吗？请你说明理由． (2)迁移应用：当为大于1的整数时，请说明能否被三个连续的整数整除？ 5．我们在研究数字规律时发现了一类特殊的数． 定义：如果一个正整数可以写成的形式（为正整数），那么称为“奇异数”，称为的层级．例如：当时，，所以8为“奇异数”，它的层级是1． (1)下列各数为“奇异数”的是_________；（填序号） ①16；②21；③32． (2)请说明：任意一个“奇异数”都能被8整除； (3)已知两个“奇异数”，，它们的层级分别为，（，为正整数，）． ①若，，求的值； ②若，请直接写出所有符合条件的和的值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $