专题12.1 命题、定义、定理与证明（高效培优讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题12.1 命题、定义、定理与证明 1.命题的概念及结构（重点） 2.定义与定理的区分（重点） 3.证明的基本步骤和书写格式（重点） 4.将复杂命题改写成 “如果…… 那么……” 的形式（难点） 5.区分命题的真假并进行证明或举反例（难点） 6.规范书写证明过程（难点） 命题、定义、定理与证明 1.命题 表示判断的语句叫做命题特别解读:(1)命题只是对事情进行判断，判断的结果可能是正确的，也可能是错误的，(2)命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语(3)命题必须具有“判断”作用，要对事情进行肯定或否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句 2.命题的结构 命题由条件和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 3.命题的种类 (1)真命题:如果条件成立，那么结论一定成立.像这样的命题，叫做真命题(2)假命题:当条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立.像这样的命题，叫做假命题 4.举反例 要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子,说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了.在数学中，这种方法称为“举反例” 1.命题常可以写成“如果...那么….....”的形式，其中“如果”后接的部分是条件，“那么”后接的部分是结论。 2.有些命题的条件和结论不明显，可将它经过适那么......”的形式。当变形，改写成“如果.…， 定义与定理 1.定义 用不同的语句说明名词各自所包含的确切意义，这样的语句叫做这些名词的定义 2.基本事实 经过长期实践后公认为正确的命题,并作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实.例如(1)两点确定一条直线;(2)两点之间线段最短(3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行(5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 3.定理 有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 命题、基本事实、定理之间的联系与区别: 1.联系:基本事实和定理都是命题 2.区别:基本事实、定理都是真命题，都可以作为判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始的依据:而命题不一定是真命题，因而不一定能作为判断其他命题真假的依据 命题证明的一般步骤 1.证明 根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演经推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明 2.命题证明的一般步骤 第一步:分清命题的条件和结论，若命题与图形有关则根据题意,画出图形，并在图形上标出相关的字母和符号；第二步:根据条件、结论，结合图形,写出已知、求证；第三步:观察图形，分析证明思路，找出证明方法；第四步:写出证明的过程，并注明依据 3.推论 由一个定理直接推出的正确结论叫做这个定理的推论.例如“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是定理“两条平行线被第三条直线所截同位角相等”的推论.推论和定理一样，可以作为进一步证明的依据 要证明一个命题是真命题，就要证明符合条件的所有情况，得出的结论都成立;要证明一个命题是假命题，只需要举出一个反例说明命题不成立即可 题型一、判断是否是命题 例1（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列语句是命题的是（    ） A．画 B．三条直线两两相交，有几个交点呢？ C．今天真冷呀！ D．天水是中国历史文化名城． 1-1（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）下列语句中不是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．连结A、B两点 C．两直线与第三条直线相交，同位角相等 D．不平行的两条直线有一个交点 1-2（23-24八年级上·广西百色·期末）下列四个句子中是命题的是（　　） A．正方形的四条边相等 B．利用三角板画的角 C．生活在水里的动物是鱼吗？ D．直线、射线、线段 1-3（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）下列语句中，是命题的个数为（    ） ①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二、写出命题的题设与结论 例2（23-24八年级上·湖南怀化·期中）将“三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角”写成“如果…，那么…”的形式是 ； 2-1把命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成如果那么的形式是 ． 2-2 把“一个锐角的补角大于这个锐角的余角”写成“如果…那么…”的形式 ． 题型三、判断命题真假 例3（24-25八年级上·湖南益阳·期中）下列说法错误的是（    ） A．判断命题的真假需要证明 B．举反例是一种证明的方法 C．证明假命题举一个反例即可 D．证明真命题举一个成立的例子即可 3-1（24-25八年级上·广西桂林·期中）下列命题中的假命题是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行 3-2（24-25八年级上·湖南怀化·期中）下列命题中，真命题是（   ） A．同位角相等 B．邻补角相等 C．等角的余角互余 D．对顶角相等 3-3（24-25八年级上·湖南张家界·期中）下列命题中，是真命题的是（   ） A．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．直角的补角仍然是直角 D．同旁内角互补 3-4（24-25八年级上·河南周口·期中）下列命题中，是真命题的是（   ） A．若，则 B．内错角相等 C．若，则 D．对顶角相等 题型四、举例说明假(真)命题 例4（24-25八年级上·福建漳州·期中）对假命题：“若，则”举个反例，符合要求的反例是（   ） A． B． C． D． 4-1（24-25八年级上·浙江·期中）说明命题“若，则”是假命题，可用的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 4-2（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（        ） A．， B．， C．， D．， 4-3（23-24八年级上·浙江丽水·期中）下列选项中a的值，可以作为说明命题“，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 4-4（23-24八年级上·浙江湖州·期末）对于命题“若，则” 能说明它属于假命题的反例是（   ）． A． B． C． D． 题型五、代数问题证明 例5下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 5-1 证明：两个奇数之和是偶数． 题型六、写出一个命题的已知、求证及证明过程 例6（23-24八年级上·广东广州·期中）小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行了证明． (1)请根据以上命题和图形写出已知和求证： 已知：________________________________________________________， 求证：________________________________________________________． (2)请证明以上命题． 6-1要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做 ． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过 的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的 的实例． 6-2（23-24八年级上·福建福州·期中）求证：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度． 根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整． 已知：如图，在中，，______． 求证：______． 证明： 题型七、根据给出的论断组命题并证明 例7下列说法中，正确的是（    ） A．经过证明为正确的真命题叫做公理 B．假命题不是命题 C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可 D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可 7-1 【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 7-2（23-24八年级上·浙江杭州·期中）数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点． 求证：______________________． 请你补全求证，并写出证明过程． 题型八、定理与证明 例8（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8-1 下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 8-2（24-25八年级上·上海·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．每个命题不一定都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题仍是真命题 D．假命题的逆命题未必是假命题 8-3 下列语句中，是定义的是（　　） A．点A到点B的距离是 B．两直线平行，同位角相等 C．直角都相等 D．两边相等的三角形是等腰三角形 易错点 混淆命题的条件与结论，或误将非命题当作命题 例 命题“同位角相等”的题设是 ；结论是 ；这是一个 命题（填“真或假”）． 【答案】 两个角是同位角 这两个角相等 假 【分析】本题考查了命题。解题的关键是会判断命题的真假． 对命题进行分析，写出题设和结论，判断真假即可． 【详解】解：命题“同位角相等”可写成“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， ∵同位角不一定相等， ∴这是一个假命题， 故答案为： 两个角是同位角，这两个角相等，假． 1．下列命题中，逆命题是真命题的是（  ） A．如果两个直角三角形全等，那么它们的斜边相等 B．如果两个实数的商为，那么这两个实数互为相反数 C．如果，那么 D．如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形两腰上的高相等 2．下列命题是真命题的是（   ） A．若a是实数，则一定没有平方根 B．若的三边长为a、b、c，那么 C．角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上 D．如果一个三角形有两个锐角，那么它的另一个角一定是钝角 3．嘉琪的答卷如下．嘉琪的得分为（   ） 填空题（每小题2分） 姓名：嘉琪 （1）的相反数是2． （2）平方根等于它本身的数有0和1． （3）近似数万精确到了千位． （4）． （5）命题“若，则”的逆命题是真命题（填“真”或“假”）． A．4分 B．6分 C．8分 D．10分 4．在说明命题“若，则”是假命题时，可以成为反例的是（    ） A． B． C． D． 5．把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为： 6．已知下列命题：①同旁内角互补；②平行于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是对顶角；④正数的立方根是正数．其中是真命题的有 个． 7．要说明命题若“，则”是假命题，可以举的反例是 （一个即可）． 8．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ． 9．（1）将下列命题写成“如果……那么……”的形式，并指出它们是真命题还是假命题． ①在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行； ②两个锐角的和是钝角； ③内错角相等，两直线平行； ④负数小于0． （2）已知：如图，在中，，平分外角． 求证：． （3）用10个除颜色外完全相同的球设计摸球游戏．你是怎么设计的？ ①使得摸到红球的概率是，摸到白球的概率也是： ②使得摸到红球的概率是，摸到白球和黄球的概率都是． 10．如图，给出下列等量关系：①，；②；③AF平分；请你以其中两个为条件，另一个为结论，写出一个正确命题，并加以证明． 11．如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.1 命题、定义、定理与证明 1.命题的概念及结构（重点） 2.定义与定理的区分（重点） 3.证明的基本步骤和书写格式（重点） 4.将复杂命题改写成 “如果…… 那么……” 的形式（难点） 5.区分命题的真假并进行证明或举反例（难点） 6.规范书写证明过程（难点） 命题、定义、定理与证明 1.命题 表示判断的语句叫做命题特别解读:(1)命题只是对事情进行判断，判断的结果可能是正确的，也可能是错误的，(2)命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语(3)命题必须具有“判断”作用，要对事情进行肯定或否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句 2.命题的结构 命题由条件和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 3.命题的种类 (1)真命题:如果条件成立，那么结论一定成立.像这样的命题，叫做真命题(2)假命题:当条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立.像这样的命题，叫做假命题 4.举反例 要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子,说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了.在数学中，这种方法称为“举反例” 1.命题常可以写成“如果...那么….....”的形式，其中“如果”后接的部分是条件，“那么”后接的部分是结论。 2.有些命题的条件和结论不明显，可将它经过适那么......”的形式。当变形，改写成“如果.…， 定义与定理 1.定义 用不同的语句说明名词各自所包含的确切意义，这样的语句叫做这些名词的定义 2.基本事实 经过长期实践后公认为正确的命题,并作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实.例如(1)两点确定一条直线;(2)两点之间线段最短(3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行(5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 3.定理 有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 命题、基本事实、定理之间的联系与区别: 1.联系:基本事实和定理都是命题 2.区别:基本事实、定理都是真命题，都可以作为判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始的依据:而命题不一定是真命题，因而不一定能作为判断其他命题真假的依据 命题证明的一般步骤 1.证明 根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演经推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明 2.命题证明的一般步骤 第一步:分清命题的条件和结论，若命题与图形有关则根据题意,画出图形，并在图形上标出相关的字母和符号；第二步:根据条件、结论，结合图形,写出已知、求证；第三步:观察图形，分析证明思路，找出证明方法；第四步:写出证明的过程，并注明依据 3.推论 由一个定理直接推出的正确结论叫做这个定理的推论.例如“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是定理“两条平行线被第三条直线所截同位角相等”的推论.推论和定理一样，可以作为进一步证明的依据 要证明一个命题是真命题，就要证明符合条件的所有情况，得出的结论都成立;要证明一个命题是假命题，只需要举出一个反例说明命题不成立即可 题型一、判断是否是命题 例1（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列语句是命题的是（    ） A．画 B．三条直线两两相交，有几个交点呢？ C．今天真冷呀！ D．天水是中国历史文化名城． 【答案】D 【详解】此题考查了命题的定义， 根据命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．需逐一分析各选项是否为陈述句且可判断真假． 【分析】A．“画”是祈使句，描述动作而非陈述事实，无法判断真假，故不是命题． B．“三条直线两两相交，有几个交点呢？”是疑问句，未陈述事实，无法判断真假，故不是命题． C．“今天真冷呀！”是感叹句，且“冷”是主观感受，无法客观判断真假，故不是命题． D．“天水是中国历史文化名城”是陈述句，且天水确为中国历史文化名城（事实为真），可明确判断真假，因此是命题． 故选：D． 1-1（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）下列语句中不是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．连结A、B两点 C．两直线与第三条直线相交，同位角相等 D．不平行的两条直线有一个交点 【答案】B 【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题都是由题设和结论两部分组成的．根据命题的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．两点之间，线段最短，是命题，故A不符合题意； B．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题，故B符合题意； C．两直线与第三条直线相交，同位角相等，是命题，故C不符合题意； D．不平行的两条直线有一个交点，是命题，故D不符合题意． 故选：B． 1-2（23-24八年级上·广西百色·期末）下列四个句子中是命题的是（　　） A．正方形的四条边相等 B．利用三角板画的角 C．生活在水里的动物是鱼吗？ D．直线、射线、线段 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理，掌握命题的定义是解题的关键； 根据命题的定义，逐个判断即可； 【详解】A、是对正方形的性质进行的判断，所以是命题，故选项符合题意； B、作图语言，没有进行判断，不是命题，故选项不符合题意； C、是疑问句，没有进行判断，不是命题，故选项不符合题意； D、描述性语句，没有进行判断，不是命题，故选项不符合题意； 故选：A． 1-3（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）下列语句中，是命题的个数为（    ） ①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的概念是解题的关键；因此此题可根据“一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题”进行排除选项． 【详解】解：①②④⑤符合命题的定义，而③不能写出题设与结论出来，故不是命题，所以是命题的个数有4个； 故选C． 题型二、写出命题的题设与结论 例2（23-24八年级上·湖南怀化·期中）将“三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角”写成“如果…，那么…”的形式是 ； 【答案】如果一个角是三角形的一个外角，那么这个角大于任何一个和它不相邻的内角． 【分析】此题考查了命题与定理，根据命题的概念，首先找出命题的题设部分，再找出结论部分，用“如果”连接题设，用“那么”连接结论，正确理解命题的概念是解题的关键． 【详解】根据命题的概念，将“三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角”写成“如果…，那么…”的形式是：如果一个角是三角形的一个外角，那么这个角大于任何一个和它不相邻的内角． 故答案为：如果一个角是三角形的一个外角，那么这个角大于任何一个和它不相邻的内角． 2-1把命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成如果那么的形式是 ． 【答案】如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式 【分析】本题考查的是命题与定理，命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．根据命题的概念解答即可． 【详解】解：命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成“如果那么的形式是：如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式， 故答案为：如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式． 2-2 把“一个锐角的补角大于这个锐角的余角”写成“如果…那么…”的形式 ． 【答案】如果一个角是锐角，那么这个锐角的补角大于它的余角 【分析】根据把一个命题写成“如果…那么…”的形式，其中如果后面是条件，那么后面是结论，即可得到答案． 【详解】解：“一个锐角的补角大于这个锐角的余角”的条件是：一个角是锐角，结论是：这个锐角的补角大于它的余角， 写成“如果…那么…”的形式为：如果一个角是锐角，那么这个锐角的补角大于它的余角， 故答案为：如果一个角是锐角，那么这个锐角的补角大于它的余角． 【点睛】本题考查了命题的叙述形式，熟练掌握把一个命题写成“如果…那么…”的形式，其中如果后面是条件，那么后面是结论是解此题的关键． 题型三、判断命题真假 例3（24-25八年级上·湖南益阳·期中）下列说法错误的是（    ） A．判断命题的真假需要证明 B．举反例是一种证明的方法 C．证明假命题举一个反例即可 D．证明真命题举一个成立的例子即可 【答案】D 【详解】本题考查命题的真假判断及证明方法，需逐一分析各选项的正确性，熟练掌握命题相关知识点是解此题的关键． 【分析】解：A、判断命题的真假需要证明：无论是真命题还是假命题，均需通过逻辑推理或举反例进行验证，而举反例本身属于证明方法的一种，故原说法正确，不符合题意； B、举反例是一种证明的方法：举反例是证明命题为假的常用方法，属于反证法的一种形式，故原说法正确，不符合题意； C、证明假命题举一个反例即可：若命题为假，存在至少一个反例，举出即可证明其不成立，故原说法正确，不符合题意； D、证明真命题举一个成立的例子即可：真命题需满足所有情况均成立，仅举一个特例无法保证普遍性，例如，命题“所有偶数都是4的倍数”中，4和8符合条件，但2不符合，说明单举例子不能证明命题为真，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 3-1（24-25八年级上·广西桂林·期中）下列命题中的假命题是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理及对顶角的性质逐一判断即可，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、同位角相等，两直线平行：这是平行线的判定定理之一，正确，故不符合题意； B、内错角相等，两直线平行：这是平行线的判定定理之一，正确，故不符合题意； C、同旁内角互补，两直线平行：这是平行线的判定定理之一，正确，故不符合题意； D、对顶角相等，两直线平行：对顶角相等是几何性质，但该性质与两直线是否平行无关，例如，两条相交直线形成的对顶角相等，但两直线不平行，因此命题的条件与结论无必然联系，是假命题，故符合题意； 故选：D． 3-2（24-25八年级上·湖南怀化·期中）下列命题中，真命题是（   ） A．同位角相等 B．邻补角相等 C．等角的余角互余 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．根据平行线的性质，邻补角的定义，余角的性质，对顶角的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题； B．邻补角互补，不一定相等，故原命题是假命题； C．等角的余角相等，故原命题是假命题； D．对顶角相等，是假命题； 故选D． 3-3（24-25八年级上·湖南张家界·期中）下列命题中，是真命题的是（   ） A．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．直角的补角仍然是直角 D．同旁内角互补 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断命题真假，全等三角形的判定，平行线的性质，补角的定义等知识点，熟练掌握真假命题的判断方法是解题的关键：要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明），要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 根据全等三角形的判定方法，平行线的性质，补角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定全等，故本选项命题是假命题，选项不符合题意； B. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，选项不符合题意； C. 直角的补角仍然是直角，故本选项命题是真命题，选项符合题意； D. 两直线平行，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，选项不符合题意； 故选：． 3-4（24-25八年级上·河南周口·期中）下列命题中，是真命题的是（   ） A．若，则 B．内错角相等 C．若，则 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，平方的意义、内错角、对顶角、不等式的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．根据平方的意义、内错角的定义和平行线的性质、对顶角、不等式的性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、若，则或，故该命题是假命题，本选项不符合题意； B、 两直线平行，内错角相等，故该命题是假命题，本选项不符合题意； C、 若，则，故该命题是假命题，本选项不符合题意； D、 对顶角相等，该命题是真命题，本选项符合题意． 故选：D． 题型四、举例说明假(真)命题 例4（24-25八年级上·福建漳州·期中）对假命题：“若，则”举个反例，符合要求的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定义：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．将各选项代入判断即可． 【详解】解：“若，则”举个反例，则反例应为小于等于1的数，故C、D不符合题意， 那么A、当时，，故A符合题意； 那么B、当时，，故B不符合题意， 故选：A． 4-1（24-25八年级上·浙江·期中）说明命题“若，则”是假命题，可用的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，直接把已知数据代入各个选项进而判断得出答案． 【详解】解：A、∵当，时， ，， 故“若，则”是假命题的反例不可以为：，； B、∵当，时， ，， 故“若，则”是假命题的反例不可以为：，； C、∵当，时， ，， 故“若，则”是假命题的反例可以为：，； D、∵当，时， ，， 故“若，则”是假命题的反例不可以为：，． 故选：C． 4-2（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（        ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理的知识．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，符合题意， ∴当，时，不符合若，不符合题意， 故选：C． 4-3（23-24八年级上·浙江丽水·期中）下列选项中a的值，可以作为说明命题“，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用举反例法证明一个命题是假命题，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法． 根据举反例时需满足命题的题设，而不满足命题的结论即可作答． 【详解】解：用来证明命题“，则”是假命题的反例可以是：， ，但是， 选项A符合题意； 故选：A． 4-4（23-24八年级上·浙江湖州·期末）对于命题“若，则” 能说明它属于假命题的反例是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查举反例判断命题的真假，根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解． 【详解】A选项，，则，，不能说明； B选项，，则，，可以说明． C选项，，则，，不能说明； D选项，，则，，不能说明； 故选：B． 题型五、代数问题证明 例5下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 【答案】B 【解析】略 5-1 证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 【详解】证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 题型六、写出一个命题的已知、求证及证明过程 例6（23-24八年级上·广东广州·期中）小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行了证明． (1)请根据以上命题和图形写出已知和求证： 已知：________________________________________________________， 求证：________________________________________________________． (2)请证明以上命题． 【答案】(1)如图，在中，平分，为中点； 为等腰三角形． (2)证明见解析 【分析】（1）根据命题和图形写出已知和求证即可； （2）过点分别作：，证明，得到，从而推出，即可得证． 【详解】（1）已知：如图，在中，平分，为中点，求证：为等腰三角形． 故答案为：如图，在中，平分，为中点；为等腰三角形． （2）证明：如图，过点分别作：，垂足分别为：， 则：， ∵平分， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，以及角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，利用证明三角形全等，是解题的关键． 6-1要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做 ． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过 的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的 的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 6-2（23-24八年级上·福建福州·期中）求证：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度． 根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整． 已知：如图，在中，，______． 求证：______． 证明： 【答案】；．证明见解析 【分析】本题主要考查命题的证明，根据命题条件和结论分别补全求证的题干和结论，再延长至D，使得，连接，即可证明垂直平分，进一步有是等边三角形，利用三角形内角和定理即可证明． 【详解】解：根据直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，则． 根据这条直角边所对的角等于30度，则． 延长至D，使得，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∵，且． ∴垂直平分 ∴， ∴， 则是等边三角形． ∴． ∴． 故答案为：，，（证明见上）． 题型七、根据给出的论断组命题并证明 例7下列说法中，正确的是（    ） A．经过证明为正确的真命题叫做公理 B．假命题不是命题 C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可 D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，根据公理的定义、假命题的定义、真假命题的证明方法进行逐一判断即可． 【详解】解；A、经过长期实践证实为正确的真命题称为公理，故此选项错误； B、假命题是不正确的命题，故此选项错误； C、要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可，故此项正确； D、要证明一个命题是真命题，需要进行推论论证说明它正确，故此项错误； 故选：C． 7-1 【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【答案】(1)见解析 (2)②④，证明见解析 【分析】（1）根据，可得> ab．从而得到 ．再由，，可得ac．从而得到 ．即可求证； （2）选择②④ ．理由：根据a<b，b<0，可得a<0．再由绝对值的性质可得，．然后根据a < b，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴> ab． ∴ ． ∵，， ∴ac． ∴ ． ∴ ． （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵a<b，b<0， ∴a<0． ∴，． ∵a < b， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键． 7-2（23-24八年级上·浙江杭州·期中）数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点． 求证：______________________． 请你补全求证，并写出证明过程． 【答案】，证明过程见解析 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】求证：， 证明：如图，设直线与的交点为， 直线为线段的垂直平分线， ，， ， 在与中， ， ∴（SAS）， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 题型八、定理与证明 例8（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：能被2整除的数未必能被4 整除，所以①是假命题，不能作为定理； 相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理； 25 与x的平均值是 ，所以③是假命题，不能作为定理； 三角形的内角和为，经过证明是正确的，所以④可以作为定理． 故选：A． 8-1 下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 【答案】B 【分析】本题考查了命题、定理、真命题与假命题．根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、基本事实可以作为定理的前提条件或基础,定理可以基于基本事实进行推导和证明，定理可以进一步解释和揭示基本事实之间的关系,或从基本事实中得出更深入的结论定理，不一定可以推导出基本事实，故原说法错误，不符合题意； B、定理都是真命题，正确，符合题意； C、定理都是经过推论、论证的真命题，需要进行证明，原说法错误，不符合题意； D、基本事实是真命题，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 8-2（24-25八年级上·上海·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．每个命题不一定都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题仍是真命题 D．假命题的逆命题未必是假命题 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理的区别，（1）判断正确的命题叫定理；（2）任何一个命题都有逆命题，但不一定是真命题；不是任何一个定理都有逆定理． 根据逆命题的概念、真假命题的概念判断即可． 【详解】解：A、每个命题都有逆命题，故本选项说法错误，不符合题意； B、每个定理都有逆命题，不一定有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意； D、假命题的逆命题不一定是假命题，本选项说法正确，符合题意； 故选：D． 8-3 下列语句中，是定义的是（　　） A．点A到点B的距离是 B．两直线平行，同位角相等 C．直角都相等 D．两边相等的三角形是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查定义．根据定义的概念判断即可． 【详解】解：A、点A到点B的距离是，不是定义，不符合题意； B、两直线平行，同位角相等是定理，不是定义，不符合题意； C、直角都相等，不是定义，不符合题意； D、两边相等的三角形是等腰三角形，是定义，符合题意； 故选：D． 易错点 混淆命题的条件与结论，或误将非命题当作命题 例 命题“同位角相等”的题设是 ；结论是 ；这是一个 命题（填“真或假”）． 【答案】 两个角是同位角 这两个角相等 假 【分析】本题考查了命题。解题的关键是会判断命题的真假． 对命题进行分析，写出题设和结论，判断真假即可． 【详解】解：命题“同位角相等”可写成“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， ∵同位角不一定相等， ∴这是一个假命题， 故答案为： 两个角是同位角，这两个角相等，假． 1．下列命题中，逆命题是真命题的是（  ） A．如果两个直角三角形全等，那么它们的斜边相等 B．如果两个实数的商为，那么这两个实数互为相反数 C．如果，那么 D．如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形两腰上的高相等 【答案】D 【分析】本题考查了逆命题以及真假命题，掌握相关定理是解题关键． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，把四个选项中的命题的结论与条件互换可得到逆命题，再判断出真假即可． 【详解】解：、逆命题为：如果两个直角三角形的斜边相等，那么它们全等，错误，是假命题，不符合题意； 、逆命题为：如果两个实数互为相反数，那么它们的商为，错误，是假命题，不符合题意； 、逆命题为：如果，那么，错误，是假命题，不符合题意； 、逆命题为如果三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意； 故选：． 2．下列命题是真命题的是（   ） A．若a是实数，则一定没有平方根 B．若的三边长为a、b、c，那么 C．角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上 D．如果一个三角形有两个锐角，那么它的另一个角一定是钝角 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了平方根的性质、勾股定理、角平分线的判定及三角形内角和等知识．利用平方根的性质、勾股定理、角平分线的判定及三角形内角和分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、若a是实数，当时有平方根，原命题是假命题； B、若直角（）的三边长为a、b、c，那么，原命题是假命题； C、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题； D、如果一个三角形有两个锐角，那么它的另一个角是钝角、锐角或直角，原命题是假命题； 故选：C． 3．嘉琪的答卷如下．嘉琪的得分为（   ） 填空题（每小题2分） 姓名：嘉琪 （1）的相反数是2． （2）平方根等于它本身的数有0和1． （3）近似数万精确到了千位． （4）． （5）命题“若，则”的逆命题是真命题（填“真”或“假”）． A．4分 B．6分 C．8分 D．10分 【答案】A 【分析】根据算术平方根和相反数的定义判断（1）；根据平方根的意义判定（2）；根据求近似数方法得判断（3），根据绝对值的意义判断（4），根据命题的分类及意义判断（5），然后在计算得分即可． 【详解】解：（1），所以，的相反数是，故该小题说法错误，不得分； （2）根据平方根的性质，0的平方根是0，1的平方根是，所以平方根等于它本身的数只有0，而不是0和1，故该小题说法错误，不得分； （3）因为万，此时数字2在千位上，所以近似数万精确到了千位，该小题正确，得2分； （4）根据绝对值的性质：当时，，可得，该小题正确，得2分． （5）原命题的逆命题为“若，则”，当时，，此时或，例如当，时，，但，所以逆命题是假命题，故该小题错误，不得分． 综上，嘉琪答对了2道题，共得分， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，绝对值的意义，相反数的定义，近似数，命题的判断等知识，熟练掌握它们的定义和性质是解题的关键． 4．在说明命题“若，则”是假命题时，可以成为反例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：A. ∵当a＝﹣3，b＝2时，，但是， ∴a＝﹣3，b＝2是假命题的反例．符合题意； B. ∵当a＝3，b＝2时，，则， ∴a＝3，b＝2不是假命题的反例．不符合题意； C. ∵当a＝2，b＝﹣1时，，则， ∴a＝2，b＝﹣1不是假命题的反例．不符合题意； D. ∵当a＝3，b＝﹣2时，，则， ∴a＝3，b＝﹣2不是假命题的反例．不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了证明命题，举例满足题设，只需证明结论的成立与否，正确掌握命题的证明方法是解题的关键． 5．把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为： 【答案】如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可． 【详解】解：把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 ． 6．已知下列命题：①同旁内角互补；②平行于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是对顶角；④正数的立方根是正数．其中是真命题的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了命题真假的判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．根据平行线的判定与性质可判定①，②的真假，根据对顶角的性质可判断③的真假，根据立方根的定义可判断④的真假． 【详解】解：一般情况下，同旁内角不一定互补，命题①是假命题； 平行于同一条直线的两条直线平行，命题②是真命题； 相等的角不一定是对顶角，命题③是假命题； 正数的立方根是正数，命题④是真命题． ∴是真命题的有2个． 故答案为：2． 7．要说明命题若“，则”是假命题，可以举的反例是 （一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，要使得成立，则，因此举反例可列举的数字即可，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 【详解】解：由题意可知，当时，满足，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 8．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ． 【答案】 3 如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么 【分析】本题主要考查了判断命题真假，不等式的性质，写出命题的题设和结论当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件 为结论时，据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明． 【详解】解：当选取，作为条件，为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件，为结论时， ∵， ∴当时，则 ，即，符合题意； 当时，则 ，即，不符合题意； ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件 为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 综上所述，可以组成真命题的个数为3个，命题为：如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么． 故答案为：3；如果，，那．么或如果，，那么或如果，，那么． 9．（1）将下列命题写成“如果……那么……”的形式，并指出它们是真命题还是假命题． ①在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行； ②两个锐角的和是钝角； ③内错角相等，两直线平行； ④负数小于0． （2）已知：如图，在中，，平分外角． 求证：． （3）用10个除颜色外完全相同的球设计摸球游戏．你是怎么设计的？ ①使得摸到红球的概率是，摸到白球的概率也是： ②使得摸到红球的概率是，摸到白球和黄球的概率都是． 【答案】（1）①在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；真命题． ②如果两个角是锐角，那么它们的和是钝角；假命题． ③如果内错角相等，那么两条直线平行；真命题． ④如果一个数是负数，那么这个数小于0；真命题． （2）答案见详解； （3）①红球5个，白球5个； ②红球2个，白球黄球各4个． 【分析】（1）①本题中的条件是垂直于同一条直线的两条直线，结论是这两条直线平行，由此可改写命题并做出判断； ②本题中条件是两个角是锐角，结论是两个角的和是钝角，由此可改写并做出判断； ③本题中条件是内错角相等，结论是两直线平行，由此可改写并做出判断； ④本题中条件是负数，结论是小于0，由此可改写并做出判断； （2）根据三角形内角和以及补角可得到∠B+∠C=∠CAE，再由平分线、等腰三角形的性质以及平行线判定定理，即可证明； （3）①一共10个球，根据概率的定义可知红球的个数及白球的个数； ②根据概率的定义，可知红球、白球和黄球的个数比是，即可求得答案． 【详解】（1）①由题意知，原命题可改为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一直线，那么两直线平行； 由题意知：∵AB⊥EF，CD⊥EF ∴∠AEF=90°，∠CFE=90° ∴∠AEF+∠CEF=180° ∴AB//CD 故原命题为真命题； ②由题意知，原命题可改为：如果两个角是锐角，那么它们的和是钝角； ∵ ∴ ∴即可能是钝角，也可能是锐角或直角， 故原命题为假命题； ③由题意知，原命题可改为：如果内错角相等，那么两直线平行；由平行线的判定定理可知为真命题； ④由题意知，原命题可改为：如果一个数是负数，那么这个数小于0；由负数的定义可知此命题为真命题． （2）证明：∵∠B+∠C=180°-∠BAC，∠CAE=180°-∠BAC ∴∠B+∠C=∠CAE ∵∠B=∠C，AD是∠EAC的角平分线 ∴∠C=∠CAD ∴AD//BC （3）①∵一共10个球，摸到红球和白球的概率都为，且概率和为1 ∴红球和白球的个数比为1:1 ∴红球白球各5个 ②因为摸到红球的概率是，摸到白球和黄球的概率都是且概率和为1 ∴红球、白球、黄球的个数比为1:2:2 ∴红球个数为：10×=2个，白球、黄球的数量均为：10×=4个 故红球为两个，白球、黄球各4个． 【点睛】本题考查了命题的改写、真假命题的判断、平行线的判定以及概率，掌握并熟练使用相关定义或定理，注意在解题过程中需注意的事项，认真审题是本题的解题关键． 10．如图，给出下列等量关系：①，；②；③AF平分；请你以其中两个为条件，另一个为结论，写出一个正确命题，并加以证明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定以及角平分线的判定， 选取①②为条件，③为结论，先证明，进而可得，由角平分线判定即可证明结论； 选取①③为条件，②为结论，先证明，得，再证明即可得出结论． 【详解】选择（1）：①②为条件，③为结论， 即已知：如图，①，；②，那么③AF平分； 证明：∵，； ∴， 又∵，， ∴ ∴，， ∴， ∴，即， 又∵，； ∴AF平分； 选择（2）：①③为条件，②为结论， 即已知：如图，①，；③AF平分；那么②， ∵AF平分； ∴， ∵，； ∴， 又∵， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， 11．如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 【答案】答案见详解 【分析】根据平行线性质及判定，角平分线定义及等量代换即可得到证明； 【详解】解：选择①②作为条件，③作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； 选择①③作为条件，②作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 选择②③作为条件，①作为结论．理由如下： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查书写命题，平行线的性质与判定及角平分线的定义，解题的关键是正确书写命题． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $