第11章 整式的乘除（复习讲义）数学华东师大版2024八年级上册

第11章 整式的乘除（复习讲义） 课程标准： 一、知识与技能目标 1.探索并了解正整数幂的运算法则（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），并会运用它们进行计算。 2.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，会进行简单的整式乘法运算。 3.会由整式的乘法推导出乘法公式，了解两个乘法公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算。 4.探索并了解单项式除以单项式，多项式除以单项式的法则，并能进行简单的整式除法运算。 5.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，从中体会事物之间可以互相转换的辩证思想。会用提取公因式、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解。 二、过程与方法目标 1.通过从幂的运算到整式的乘法，再到乘法公式的学习，了解乘法公式来源于整式乘法，又运用于整式乘法的辩证过程，并初步认识到事物发展过程中“特殊—一般—特殊”的一般规律。 2.让学生主动参与到一些探索实践过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力。 三、情感态度价值观目标 1.通过本章一些生活实例的学习，体会数学与生活的密切联系，在一定程度上了解数学的应用价值，提高数学学习兴趣。 以上内容仅供参考，如需更具体的信息，可查阅相关教材或咨询专业教师。 中考考查的考点： 考点一：整式的概念及运算 考点二：幂的运算 考点三：乘法公式及其应用 考点四：整式的除法及其应用 考点五：因式分解 考点六：整式的化简与求值 考点七：实际问题与整式运算 考点八：整式的综合应用 考点九：整式的几何意义 考点十：整式的创新题型 章节 常考结论 易错点 整式的乘法 单项式乘单项式法则 单项式乘多项式法则 多项式乘多项式法则 系数相乘时忽略指数 同类项合并时指数处理不当 整式的除法 单项式除以单项式法则 多项式除以单项式法则 除法运算时符号处理错误 多项式除法中余数处理不当 乘法公式 平方差公式 完全平方公式 立方和与差公式 公式应用时符号错误 公式记忆不准确 因式分解 提公因式法 公式法 分组分解法 分解不彻底 分解过程中漏项 题型一 同底数幂乘法的逆用 【例1】若，，则的值是（   ） A．28 B．11 C． D． 【变式1-1】若，，则 ． 【变式1-2】定义两个正数，之间的一种运算，记作，如果，那么，例如，所以． (1)根据上述规定，填空：_____ ，_____． (2)小亮通过探究发现：． 证明如下：设，则． 因为，所以． 又因为，，所以．所以． 所以． 请你类比这种方法证明等式成立． 题型二 幂的乘方 【例2】若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知，，，则，，的大小关系为 （用“>”连接）． 【变式2-2】将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求：的值； (2)已知，求x的值． 题型三 积的乘方 【例3】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】若，则 ． 【变式3-2】幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 题型四 同底数幂的除法 【例4】已知，，若，则x的值为（   ） A．4 B．2 C． D．1 【变式4-1】若，，则 ． 【变式4-2】已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为______． 题型五 不含某项、与某项无关 【例5】若的乘积中不含项，则常数a的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式5-1】已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 【变式5-2】已知将乘开的结果不含和项． (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 题型六 规律问题 【例6】观察下列等式： ； ； … 小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子的值，这个值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【变式6-2】阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察] ①； ② ③ …… [特例]________； [归纳]由此可得：________． [应用] （1）________； （2）计算：． 题型七 新定义问题 【例7】定义关于任意正整数的一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则（ A． B． C． D． 【变式7-1】现定义一种新运算：．若，则，所以． （1）若，则 ； （2）若为正整数，则 （用含的代数式表示）． 【变式7-2】定义，如．已知(n为常数)， ． (1)若，求x的值； (2)若A的代数式中不含x的一次项，且，求的值； (3)若A中的n满足，且，求的值． 题型八 乘法公式与几何图形结合 【例8】如图，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连结．若，两正方形的面积和是，求的面积（   ） A．6 B． C．3 D．1 【变式8-1】如图，在大正方形内放置两个边长为的小正方形“”，且每个小正方形“”的一条边分别在大正方形的一组对边上，已知，设图中阴影部分的面积为，大正方形内空白部分的面积为，若，则一个小正方形“”的面积为 ． 【变式8-2】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：．图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． (1)如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于的等式是__________； (2)若，则__________； (3)如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 题型九 因式分解与几何图形结合 【例9】如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（   ） A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板 C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板 【变式9-1】如图，某市有一块面积为平方米的矩形空地，规划部门计划在这块矩形空地上修建一个长米、宽米的矩形花坛(其中，其余四周全部修建成健身休闲区，，分别表示矩形花坛的面积和健身休闲区的面积，则 (填“”“”或“”)． 【变式9-2】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 题型十 十字相乘发与分组分解法 【例10】分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】分解因式： ． 【变式10-2】【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法 （1）填空：因式分解________ 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为 ． （2）请在上述方法的启发下，分解下列因式： ①； ②． 【应用尝试】 （3）已知实数a，b满足，求的值． 基础巩固通关测 1．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算一定正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知，，，则x、y、z三者之间关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．分解因式： ． 5．已知，则的值为 ． 6．已知代数式中含项的系数为3，则n的值为 ． 7．（1）已知，求t的值； （2）已知，，求的值． 8．因式分解 (1) (2) 9．先化简，再求值：，其中． 10．请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中的面积关系，可以验证下列哪些等式______； ① ② ③ ④ (2)如果图中的a，满足，． ①求的值； ②求a，b的值． 能力提升进阶练 1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（　　） A． B． C． D． 4．如果，，那么 ． 5．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有 项，含项的系数是 ． 6．将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图①，图②所示的方式放置在长方形内，（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①，图②中阴影部分的面积为分别为，当时，请你用含的代数式表示的值是 ． 7．某学校举行社团展示活动，计划在室内体育馆和操场两个场地布置展区．已知体育类社团需要有2个边长为的正方形展区，艺术类社团需要8个长为、宽为的长方形展区，科学类社团需要6个边长为的正方形展区．室内体育馆可以提供一块长为、宽为的长方形展示场地，如图1所示；操场可以提供一块长为、宽为的长方形展示场地，如图2所示．学校要求在规定的场地内布置展区． (1)通过计算说明，室内体育馆可以安排体育类、艺术类、科学类社团展区的个数分别是多少？ (2)通过计算说明，操场可以安排的体育类、艺术类、科学类社团展区的个数分别是多少？ (3)请在图1、图2中画出展示场地划分方案，并在相应场地上标注社团名称． 8．如图1，用不同的方法表示阴影部分的面积，可以得到完全平方公式． (1)如图2，用不同的方法表示阴影部分的面积，可得公式________． (2)利用完全平方公式，解决下列问题： ①若，则的值为________； ②如图3，在线段上取一点D，分别以为边作正方形，连接．若图中两个阴影部分的面积之和为6，且的面积为4，求的长． 9．先阅读材料，再回答问题： 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)因式分解：； (3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 10．探究与实践 (1)【探索发现】 用四个长为、宽为的长方形拼成如图①所示的正方形，由此得到的等量关系是___________； (2)【解决问题】 ①若，则__________； ③当时，求的值； (3)【拓展提升】 如图②，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中为两条互相垂直的道路，且，四边形与四边形为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了26万刚好用完，求的值．（道路的宽度均不计） 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 整式的乘除（复习讲义） 课程标准： 一、知识与技能目标 1.探索并了解正整数幂的运算法则（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），并会运用它们进行计算。 2.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，会进行简单的整式乘法运算。 3.会由整式的乘法推导出乘法公式，了解两个乘法公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算。 4.探索并了解单项式除以单项式，多项式除以单项式的法则，并能进行简单的整式除法运算。 5.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，从中体会事物之间可以互相转换的辩证思想。会用提取公因式、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解。 二、过程与方法目标 1.通过从幂的运算到整式的乘法，再到乘法公式的学习，了解乘法公式来源于整式乘法，又运用于整式乘法的辩证过程，并初步认识到事物发展过程中“特殊—一般—特殊”的一般规律。 2.让学生主动参与到一些探索实践过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力。 三、情感态度价值观目标 1.通过本章一些生活实例的学习，体会数学与生活的密切联系，在一定程度上了解数学的应用价值，提高数学学习兴趣。 以上内容仅供参考，如需更具体的信息，可查阅相关教材或咨询专业教师。 中考考查的考点： 考点一：整式的概念及运算 考点二：幂的运算 考点三：乘法公式及其应用 考点四：整式的除法及其应用 考点五：因式分解 考点六：整式的化简与求值 考点七：实际问题与整式运算 考点八：整式的综合应用 考点九：整式的几何意义 考点十：整式的创新题型 章节 常考结论 易错点 整式的乘法 单项式乘单项式法则 单项式乘多项式法则 多项式乘多项式法则 系数相乘时忽略指数 同类项合并时指数处理不当 整式的除法 单项式除以单项式法则 多项式除以单项式法则 除法运算时符号处理错误 多项式除法中余数处理不当 乘法公式 平方差公式 完全平方公式 立方和与差公式 公式应用时符号错误 公式记忆不准确 因式分解 提公因式法 公式法 分组分解法 分解不彻底 分解过程中漏项 题型一 同底数幂乘法的逆用 【例1】若，，则的值是（   ） A．28 B．11 C． D． 【答案】A 【分析】利用同底数幂相乘的运算法则，把转化为与相乘的形式，再代入已知值计算．本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加的运算法则是解题的关键． 【详解】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（，、为整数）， ∴． 又，， ． 故选： ． 【变式1-1】若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，利用同底数幂乘法的逆运算计算即可，掌握同底数幂乘法的逆运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】定义两个正数，之间的一种运算，记作，如果，那么，例如，所以． (1)根据上述规定，填空：_____ ，_____． (2)小亮通过探究发现：． 证明如下：设，则． 因为，所以． 又因为，，所以．所以． 所以． 请你类比这种方法证明等式成立． 【答案】(1)，； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了实数的运算，同底数幂乘法的逆用，解题关键是理解已知条件中的新运算． （）根据已知条件中的新运算进行计算即可； （）按照已知条件中的方法，先设，，然后根据新运算进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴． 题型二 幂的乘方 【例2】若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方逆运算法则及合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法及合并同类项是解题的关键；由题意易得，，得到，进而问题可求解． 【详解】解：，，且满足， ，即， 故选：B． 【变式2-1】已知，，，则，，的大小关系为 （用“>”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，运用幂运算的性质把它们变成相同的指数，然后根据底数大的就大比较两个数的大小即可. 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为： 【变式2-2】将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求：的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1)6 (2)6 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算； （1）根据计算即可； （2）先全部根据幂的乘方的逆运算化成同底数幂，再比较指数即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 解得． 题型三 积的乘方 【例3】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是逆用同底数幂的乘法与积的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键．根据逆用同底数幂的乘法与积的乘方法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式3-1】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，先整理，结合，得，进行解方程，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【变式3-2】幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的逆用、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）利用幂的乘方、积的乘方的逆用变形，得到，即，求解即可； （2）利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则变形，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 题型四 同底数幂的除法 【例4】已知，，若，则x的值为（   ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用，幂的乘方的逆用，掌握相关运算法则是解题关键．将变形为，得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式4-1】若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了逆用积的乘方、逆用同底数幂乘法和除法法则等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 逆用幂的乘方将化为、即，再逆用同底数幂乘法、除法法则可得，最后将相关条件代入计算即可． 【详解】解：由可得、即， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； （3）利用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）由（1）知，，， ； （3）， ， ； 故答案为：． 题型五 不含某项、与某项无关 【例5】若的乘积中不含项，则常数a的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，合并同类项．利用多项式乘多项式的法则运算并合并同类项，再令项的系数为0得到关于a的方程求解即可． 【详解】解： , ∵多项式的乘积中不含项， ∴，解得：． 故选D． 【变式5-1】已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 【答案】 【分析】由题意列式为，利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，再根据积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为求得，的值，将其代入中计算即可． 【详解】解：， 代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 【变式5-2】已知将乘开的结果不含和项． (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、二元一次方程组等知识，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题关键． （1）先计算多项式乘以多项式，再根据结果中含和项的系数等于0建立方程组，解方程组即可得； （2）先计算多项式乘以多项式，再将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解： ， ∵将乘开的结果不含和项， ∴，， 解得，． （2）解： ， 将，代入得：原式． 题型六 规律问题 【例6】观察下列等式： ； ； … 小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子的值，这个值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法，找出式子的规律是解题的关键．根据给定的式子的规律可得，然后将变形为，再计算即可． 【详解】解：由题意可得： ， ∴ ， 故选：B． 【变式6-1】【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式6-2】阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察] ①； ② ③ …… [特例]________； [归纳]由此可得：________． [应用] （1）________； （2）计算：． 【答案】[特例]；[归纳]；[应用]（1）；（2） 【分析】本题考查整式乘法的规律探索问题. [特例]根据[观察]作答即可； [归纳]根据[观察]作答即可； [应用]（1）根据[归纳]的规律作答即可； （2）根据[归纳]的规律作答即可. 【详解】[特例]解：由[观察]可知：； 故答案为：； [归纳]解：由[观察]可知：； 故答案为：； [应用]（1）解：∵ ∴ 即 ∴ 故答案为：； （2）解：原式 ∵ ∴ 即， ∴ 即. 题型七 新定义问题 【例7】定义关于任意正整数的一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则（ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 由新运算，可知， 则， ∴． 故选：D． 【变式7-1】现定义一种新运算：．若，则，所以． （1）若，则 ； （2）若为正整数，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】题目主要考查新定义及同底数幂的除法运算，理解新定义是解题关键． （1）根据新定义直接求解即可； （2）根据新定义得出，然后利用同底数幂的除法运算求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：25；． 【变式7-2】定义，如．已知(n为常数)， ． (1)若，求x的值； (2)若A的代数式中不含x的一次项，且，求的值； (3)若A中的n满足，且，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)5 【分析】（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴； （2）解： ∵A的代数式中不含x的一次项， ∴， ∵， ∴， ∴时， ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，求代数式的值，整式中不含项的意义，完全平方公式的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 题型八 乘法公式与几何图形结合 【例8】如图，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连结．若，两正方形的面积和是，求的面积（   ） A．6 B． C．3 D．1 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式和几何图形的面积，设，易得，利用完全平方公式的变形求出的值，即可得出结果． 【详解】解：设，由题意，得：， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； 故选B． 【变式8-1】如图，在大正方形内放置两个边长为的小正方形“”，且每个小正方形“”的一条边分别在大正方形的一组对边上，已知，设图中阴影部分的面积为，大正方形内空白部分的面积为，若，则一个小正方形“”的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算及合并同类项，分别表示出空白部分和阴影部分的面积以及熟练运用整式乘法的运算法则及完全平方公式是解决本题的关键．设，则，分别表示出空白部分的面积和阴影部分的面积，根据可得出，即可得答案． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即一个小正方形“”的面积为． 故答案为： 【变式8-2】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：．图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． (1)如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于的等式是__________； (2)若，则__________； (3)如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解， (2)16 (3)17 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． （1）根据题意，方法一：阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；方法二：阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 【详解】（1）解：方法一：阴影部分的面积： 方法二：阴影部分的面积： 故答案为： （2）解：若， （3）解：如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 题型九 因式分解与几何图形结合 【例9】如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（   ） A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板 C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，根据各选项，列出代数式，进行因式分解即可． 【详解】解：A、用全部7块纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； B、加上3块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； C、拿掉2块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； D、加上1块型纸板，总面积为：，即可以拼出一个长为，宽为的大长方形； 故选D． 【变式9-1】如图，某市有一块面积为平方米的矩形空地，规划部门计划在这块矩形空地上修建一个长米、宽米的矩形花坛(其中，其余四周全部修建成健身休闲区，，分别表示矩形花坛的面积和健身休闲区的面积，则 (填“”“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解的应用，根据题意分别求得，，进而用作差法比较大小，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式9-2】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式分别表示出，，，即可得到答案； （2）根据（1）所求求出，进而可求出S的值，再由长方形面积计算公式可得答案； （3）根据题意可得，则；再证明，据此代值计算即可． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴，， ∴； （2）∵，，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴； ∵ ， ∴． 题型十 十字相乘发与分组分解法 【例10】分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解，先运用多项式乘多项式求得，的值，再对原式进行因式分解． 【详解】解：李想同学看错了a的值，分解的结果是，但是正确，则； 王敏同学看错了b的值，分解的结果是，但是正确，则， ∴， 故选：B． 【变式10-1】分解因式： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键． 将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式． 【详解】解： 故答案为：． 【变式10-2】【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法 （1）填空：因式分解________ 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为 ． （2）请在上述方法的启发下，分解下列因式： ①； ②． 【应用尝试】 （3）已知实数a，b满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）4 【分析】本题考查了因式分解、二元一次方程组的应用等知识，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可得； （2）①将因式分组为，再利用提取公因式法分解因式即可得； ②将因式分组为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可得； （3）先利用完全平方公式分解因式可得，根据偶次方的非负性可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：（1） ， 故答案为：． （2）① ． ② ． （3） ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 基础巩固通关测 1．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式因式，熟知分解因式的方法是解题的关键，公式法为． 【详解】解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意． B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意． C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意． D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意． 故选：C． 2．下列计算一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘法计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 3．已知，，，则x、y、z三者之间关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行计算，从而作出判断． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 4．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式分解因式即可. 【详解】解：， 故答案为： 5．已知，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．已知代数式中含项的系数为3，则n的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．根据展开式中含项的系数为3，求得的值即可． 【详解】解：∵ ， ∵代数式中含项的系数为3， ∴， 解得， 故答案为：3． 7．（1）已知，求t的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）（2）2 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法，正确理解题意是解题的关键： （1）根据题意得出，求解即可得出答案； （2）根据题意得出，代入即可得出答案 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以， 所以． （2）因为，， 所以． 8．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，综合利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式，再提公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算-化简求值．根据完全平方公式、平方差公式和单项乘多项式的运算法则可以化简题目中的式子，再将m、n的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 当时， 原式． 10．请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中的面积关系，可以验证下列哪些等式______； ① ② ③ ④ (2)如果图中的a，满足，． ①求的值； ②求a，b的值． 【答案】(1)②④ (2)①；②， 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解二元一次方程组，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）图中两个阴影部分的面积之和等于边长为a的正方形面积加上边长为b的正方形面积，又等于边长为的正方形面积减去2个长为a，宽为b的长方形面积，据此求解即可； （2）①根据（1）所求可得，则；②根据（1）所求可得，则，据此可得，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为或； 所以； 再根据大正方形面积可以得到， 故选②④． （2）解：因为a，满足，， ①所以， 又因为，，所以； ②因为， 因为， 所以， 所以，解得，． 能力提升进阶练 1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握把一个多项式化成几个整式乘积形式叫因式分解是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A、右边为，是乘积与常数的和，不符合因式分解的结果是积的形式，故此选项不符合题意． B、左边乘积式，右边多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意． C、左边提取公因数得，进一步分解为，符合因式分解的定义，故此选项符合题意． D、左边的正确分解应为，而右边为，分解错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．已知，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 通过作差法比较M与N的大小，将化简为完全平方形式，结合平方数的非负性判断符号． 【详解】解：∵（）， ∴作差，得． ∵，且， ∴． 故． ∴． 故选：B． 3．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含，，的代数式表示出、和、是解题关键．用含，，的代数式表示出图1、图2中阴影部分的周长和面积，可得、，代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：长方形的长为，宽为， 则，， ， ， ，， ， ∴ ∴， 解得：， 故选：C． 4．如果，，那么 ． 【答案】37 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键；由题意得；为了利用完全平方公式，先计算的值；此时代数式可利用完全平方公式即可计算，最后把值除以2即可求解． 【详解】解：把，两式相加得：； ， ∴； 故答案为：37． 5．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有 项，含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可知的展开式有项，的展开式中从左往右第二项的系数为，令，则的展开式中从左往右第二项的系数为，据此可得答案． 【详解】解：，展开式有2项， ，展开式有3项， ，展开式有4项， ，展开式有5项， ……， 以此类推可知，的展开式有项， ∴展开式中，共有项； ，展开式中从左往右第二项的系数为1， ，展开式中从左往右第二项的系数为2， ，展开式中从左往右第二项的系数为3， ，展开式中从左往右第二项的系数为4， ……， 以此类推可知，的展开式中从左往右第二项的系数为， 令，则的展开式中从左往右第二项的系数为， ∴的展开式中，含项的系数是， 故答案为：；． 6．将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图①，图②所示的方式放置在长方形内，（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①，图②中阴影部分的面积为分别为，当时，请你用含的代数式表示的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式及整式混合运算，设，则，数形结合，分别表示出，进而代入，再利用整式混合运算法则化简即可得到答案．数形结合分别表示出，并灵活运用整式混合运算化简求值是解决问题的关键． 【详解】解：设，则， ， ， ， 故答案为：． 7．某学校举行社团展示活动，计划在室内体育馆和操场两个场地布置展区．已知体育类社团需要有2个边长为的正方形展区，艺术类社团需要8个长为、宽为的长方形展区，科学类社团需要6个边长为的正方形展区．室内体育馆可以提供一块长为、宽为的长方形展示场地，如图1所示；操场可以提供一块长为、宽为的长方形展示场地，如图2所示．学校要求在规定的场地内布置展区． (1)通过计算说明，室内体育馆可以安排体育类、艺术类、科学类社团展区的个数分别是多少？ (2)通过计算说明，操场可以安排的体育类、艺术类、科学类社团展区的个数分别是多少？ (3)请在图1、图2中画出展示场地划分方案，并在相应场地上标注社团名称． 【答案】(1)室内体育馆展区可安排1个体育类、3个艺术类、2个科学类社团 (2)安排1个体育类、5个艺术类、4个科学类社团 (3)见解析 【分析】本题主要考查了整式的混合运算的应用，解题时要熟练掌握运算技巧并能灵活运用是关键． （1）依据题意，室内体育馆展示场地，进而可以判断得解； （2）依据题意，室外操场展示场地，进而可以判断得解； （3）依据（1）（2），进而可以画图得解． 【详解】（1）解：∵， ∴室内体育馆展区可安排1个体育类、3个艺术类、2个科学类社团； （2）解：∵， ∴操场部分展区，可安排1个体育类、5个艺术类、4个科学类社团； （3）解：如图所示． ． 8．如图1，用不同的方法表示阴影部分的面积，可以得到完全平方公式． (1)如图2，用不同的方法表示阴影部分的面积，可得公式________． (2)利用完全平方公式，解决下列问题： ①若，则的值为________； ②如图3，在线段上取一点D，分别以为边作正方形，连接．若图中两个阴影部分的面积之和为6，且的面积为4，求的长． 【答案】(1) (2)①1015；② 【分析】本题考查了几何图形与完全平方公式，完全平方公式的变形应用等知识，正确而灵活地应用是解题的关键． （1）一方面，阴影部分面积直接由边长为的正方形面积计算求得；另一方面，阴影部分面积可用边长为a的大正方形面积减去两个长宽分别为a与b的长方形面积，这样多减去了一个边长为b的正方形面积，于是再加上边长为b的正方形面积；由此可得公式； （2）①设，由题意得，由所设得，利用完全平方公式变形即可求得，从而求得结果； ②设；由，得．根据阴暗部分面积和为6，求得，直接利用完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：一方面，阴影部分面积为； 另一方面，阴影部分面积为， ∴； 故答案为：； （2）解：①设， ∵， ∴； 由所设得， ∵， ∴， ∴； 故答案为：1015； ②设， 由题意，得， ∴． 又． ． 整理，得． ． 或（舍去）． 故． 9．先阅读材料，再回答问题： 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)因式分解：； (3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，从新定义中整理出进一步解题的有关知识． （1）将看作整体，由完全平方式的形式进行判断即可； （2）先将前三项看作完全平方式，再利用平方差公式进行分解即可； （3），则原式．将代入还原，可得原式．即可判断． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ； （3）解： 令， 则原式， ， ， 原式． 为正整数， 也为正整数， 代数式的值一定是某一个正整数的平方． 10．探究与实践 (1)【探索发现】 用四个长为、宽为的长方形拼成如图①所示的正方形，由此得到的等量关系是___________； (2)【解决问题】 ①若，则__________； ③当时，求的值； (3)【拓展提升】 如图②，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中为两条互相垂直的道路，且，四边形与四边形为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了26万刚好用完，求的值．（道路的宽度均不计） 【答案】(1) (2)①；②225； (3)20米 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据大正方形的面积等于边长乘以边长，又等于四个长为a、宽为b的长方形面积加上一个边长为的阴影正方形面积即可得到结论； （2）①由（1）中关系式可知，，将已知代入求得即可求解； ②设，，则，，，代入（1）中关系式求得即可求解； （3）设，由题意得，，两个三角形区域的面积之和，两个长方形区域的面积之和，则一共需要的资金 元，求出，则一共需要的资金 元，根据题意得到方程，进而求得，据此可得答案． 【详解】（1）解：由图可知，大正方形的面积可以表示为，正方形的面积又可以表示为四个长为a、宽为b的长方形面积加上一个边长为的阴影正方形面积，即， ∴， 故答案为：； （2）解：①由（1）中关系式可知，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②设，，则，，， ∵， ∴ ， 即的值为225； （3）解：设， 由题意得，，， 两个三角形区域的面积之和， 两个长方形区域的面积之和， ∴一共需要的资金 元， ∵， ∴， ∴一共需要的资金 元， ∵物业为本次修建休闲娱乐区筹集了26万刚好用完， ∴，解得， ∴， ∴（负值已舍去）， 即米． 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$