29.2.3 圆周角 第1课时（课件）2026-2027学年人教九年级数学上册

该初中数学课件围绕圆周角概念、圆周角定理及其推论展开，通过复习圆心角定义，对比顶点位置差异引出圆周角，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生逐步理解核心知识。 其亮点在于通过图形判断深化概念理解，结合测量和信息技术工具引导探究圆周角与圆心角关系，分三种位置关系证明定理培养推理能力。例题与练习结合直径应用，体现几何直观和模型意识，助力学生提升推理与应用能力，也为教师提供清晰的教学逻辑。

第二十九章 圆 29.2 圆的有关性质 29.2.3 圆周角 课时1 1.理解圆周角的概念. 2.了解圆周角定理及其推论. 3.能利用圆周角定理进行相关证明和计算，增强推理能力. 学习目标 2 O O 圆心角 问题1： 上节课我们学习了圆心角，圆心角的定义是什么？ 顶点在圆心的角叫作圆心角. 问题2： 观察下图，它和圆心角有什么区别？ 顶点位置不同，一个在圆心、一个在圆上. 课堂导入 O A B C 如图，在⊙O中，∠A的顶点在圆上，点B，C是∠A的两边与圆的交点. 像这样，顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. 新知讲解 判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由. 角的两边不与圆相交. 角的其中一边不与圆相交. 角的顶点不在圆上. 角的顶点不在圆上. 例1 新知讲解 思考：如图，连接BO，CO，得到圆心角∠BOC. 可以发现，圆周角 ∠BAC 与圆心角 ∠BOC 对着同一条弧 ， 它们之间是否存在一定的关系？ O A B C 新知讲解 探究 分别测量图中 所对的圆周角 ∠BAC 和圆心角 ∠BOC 的度数，它们之间有什么关系？ O A B C 115° 57.5° ∠BAC = ∠BOC. 是不是在同一个圆中，同弧所对的圆周角与圆心角都具有这样的关系呢？ 新知讲解 探究 利用信息技术工具，改变 ，测量 ∠BAC，∠BOC 的大小，上述关系是否仍然成立？ ∠BAC = ∠BOC. 你能证明你发现的结论吗？ 新知讲解 可以发现，圆心 O 与圆周角 ∠BAC 的位置关系有三种： 思考：圆心 O 与圆周角 ∠BAC 的位置关系有几种？ (3)圆心在圆周角的外部. (2)圆心在圆周角的内部； (1)圆心在圆周角的一条边上； 逐个完成证明吧！ 新知讲解 (1)圆心在圆周角的一条边上； ∵ OA=OC， ∴∠A=∠C. 又∵ ∠BOC=∠A+∠C， ∴ ABOC. 思考：如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ 新知讲解 (2)圆心在圆周角的内部； 连接 AO 并延长交 ⊙O 于点 D，由第一种情况的结果，得 ∠BAD∠BOD， ∠CAD∠COD， ∴  (∠BOD+∠COD) 即 ∠BAC∠BOC. 思考：如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ 新知讲解 思考：如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ (3)圆心在圆周角的外部. 连接 AO 并延长交 ⊙O 于点 D，由第一种情况的结果，得 ∠BAD=∠BOD, ∠CAD=∠COD, ∴ ∠CAD-∠BAD=(∠COD-∠BOD)， 即 ∠BAC=∠BOC. 新知讲解 这样，就得到圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 新知讲解 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°，则∠A等于（ ） A.40° B.50° C.60° D.70° 解析：∵⊙O是△ABC的外接圆，OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB=50°，∴∠BOC=80°， ∴∠A= ∠BOC= ×80°=40°. A 例2 新知讲解 思考：圆周角与弧、弦也有这样的关系吗？ 前面我们学习了圆心角、弧、弦三个量之间关系的结论，即： 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等（知一推二）. 新知讲解 图(1) (1) 如图，连接 OA，OB. ∴ ∴∠C=∠D. ∵ 点 C，D 的位置具有任意性， ∴ 同弧所对的圆周角相等. 探究 (1) 如图(1)，在优弧上任取两点 C,D，同弧所对的圆周角∠C与∠D有什么关系？ 新知讲解 图(2) 探究 (2) 如图(2)，在  上任取 ，它们所对的圆周角 ∠E与∠F 有什么关系？ (2) 如图，连接 OA，OB，OC，OD. ∵ ，∴ ∠AOB=∠COD. 又 ∴∠E=∠F. ∵  和  的位置具有任意性， ∴ 等弧所对的圆周角相等. 新知讲解 进一步，可以得到下面的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等. 新知讲解 探究 如图 ，在以点 O 为圆心的圆中，AB 为直径，在圆上任取一点 C，你能尝试求出圆周角∠ACB 的度数吗？ 在与 ∠ACB 相对的另一半圆上任取一点 D，连接 DC，DO，DA. ∵∠BCD=​∠BOD，∠ACD=​∠AOD，∠BOD+∠AOD=180°， ∴∠BCD+∠ACD=(∠BOD+∠AOD)=90°, ∴ ∠ACB=90°. ∵ 点 C，D 的位置具有任意性， ∴ 半圆（或直径）所对的圆周角是直角. 反过来，圆周角是90°的角，所对的弦会是直径吗？ 新知讲解 探究 如图 ，在以点 O 为圆心的圆中，∠ACB=90°，AB 为 ∠ACB 所对的弦，AB是直径吗？ 如图，连接 CD 与 ⊙O 交于点 D，连接 BO，AO. ∵∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°, ∠BCD∠BOD，∠ACD∠AOD, ∴∠ACB(∠BOD+∠AOD)=90°, ∴∠BOD+∠AOD=180°. ∵ ∠BOD 和 ∠AOD 具有共同的顶点和一条共同的边， ∴ ∠AOB=180°，∴ A,O,B 三点共线， ∴ AB 是圆的直径. ∵ ∠ACB 的位置具有任意性， ∴ 90°的圆周角所对的弦是直径. 新知讲解 进一步，可以得到下面的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 新知讲解 如图，BC 是 ⊙O 的直径，A 是 ⊙O 上一点，∠OAC=32°，则 ∠B 的度数是（ ） A. 58° B. 60° C. 64° D. 68° 例3 解析：方法一 ∵ BC 是直径， ∴ ∠BAC=90°，依据“直径所对的圆周角是直角” ∴ ∠OAB=∠BAC-∠OAC=90°-32°=58°. ∵ OA=OB，∴ ∠B=∠OAB=58°. 方法二 ∵ OA=OC，∴ ∠C=∠OAC=32°， ∴ ∠AOC=180°-32°-32°=116°， ∴ ∠B=∠AOC=58°. 将求圆周角的度数转化为求对应的圆心角的度数 A 新知讲解 如图，⊙O 的直径 AB 的长为10，弦 AC 的长为6，∠ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长. 例4 分析：解决与圆有关的问题，关键在于分析圆心角、圆周角、直径和弦之间的关系. 由 AB 是直径，可知圆周角 ∠ACB=∠ADB=90°； 由圆周角 ∠ACD=∠BCD，可知它们相应的圆心角相等，进而得到弦 AD=BD. 新知讲解 如图，⊙O 的直径 AB 的长为10，弦 AC 的长为6，∠ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长. 例4 解：如图，连接 OD. ∵ AB 是 ⊙O 的直径，∴ ∠ACB=∠ADB=90°. ∵在 Rt△ABC 中，AB=10，AC=6,∴ BC8. ∵ CD 平分 ∠ACB,∴ ∠ACD=∠BCD. 在 ⊙O 中，∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD, ∴ ∠AOD=∠BOD.∴ AD=BD. 又在 Rt△ABD 中，, ∴ AD=BD. 新知讲解 A C B O 1.如图，，， 都是  的半径，∠AOB=2∠BOC， 求证∠ACB=2∠BAC. 证明：由圆周角定理知，∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC. ∵∠AOB=2∠BOC, ∴∠BOC=∠ACB, ∴∠ACB=2∠BAC. 随堂练习 2. 如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？ 解：能.方法有多种. 如利用三角尺的直角可以找出两条直径(90°的圆周角所对的弦是直径)，两直径交点就是圆心. 随堂练习 D 3.如图,在⊙O中,弦AB,CD相交于点E,且∠A=40°,∠AED=75°,则∠B=( ) A.15° B.40° C.45° D.35° 随堂练习 4. 如图，在 ⊙O 中，，∠ACB=60°. (1) 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. (2) 若 D 是  的中点，求证：四边形 OADB 是菱形. 证明：(1) ∵ ，∴ . 又 ，∴  是等边三角形， ∴ ，∴ . (2) 连接 ，如图 . ∵  是  的中点，∴ , ∴ . 又 , ∴  和  都是等边三角形, ∴ ，, ∴ ，∴ 四边形  是菱形. 随堂练习 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 半圆（或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 圆周角定理 课堂小结 Lavf57.25.100 $