29.2.3 圆周角（第1课时） 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦圆周角概念、定理及推论，通过复习引入环节梳理弦、弧、圆心角等旧知，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 其亮点是以合作探究为主线，借助测量、分类讨论圆心与圆周角的三种位置关系并证明，培养数学思维（推理能力）和几何直观（数学眼光）。结合中考真题和分层作业设计，强化应用意识（数学语言），助力学生构建知识体系，也为教师提供完整教学流程与实用资源。

null 人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.2 圆的有关性质 29.2.3 圆周角（第1课时） 学习目标 1 2 理解圆周角的概念，探索并证明圆周角定理及其推论. 经历探究同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之间的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化的思想方法． 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 圆的轴对称性 垂径定理 垂径定理的推论 圆 弦—直径 弧 角 圆的旋转对称性 类比 圆心角 等圆心角 等(优/劣) 弧 等弦 等弦心距 在同圆或等圆中 2 合作探究 像这样，顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. 对于与圆有关的角，除了圆心角，还有一种特殊位置的情形：如图，在⊙O中，∠A的顶点在圆上，点B，C是∠A的两边与圆的交点. 如图，连接BO，CO，得到圆心角∠BOC.可以发现，圆周角∠BAC与圆心角∠BOC对着同一条弧，它们之 间是否存在一定的关系? 2 合作探究 探究 分别测量图中所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系? 经测量发现： . ∠BOC=2∠BAC 2 合作探究 探究 利用信息技术工具，改变，测量∠BAC，∠BOC的大小，上述关系是否仍然成立?由此你能发现什么结论?能证明你发现的结论吗? 猜想：一条弧所对圆周角的度数等于这条弧所对圆心角的度数的一半. 2 合作探究 小组活动 1.请同学们在纸上画出⊙O，并画出所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC. 2.组内分享画图结果并对其进行分类. （提示：观察圆心O与圆周角∠BAC的位置关系.） 2 合作探究 探究 在⊙O上任取一个圆周角∠BAC，可以发现，圆心O与圆周角∠BAC的位置关系有三种: (1)圆心在圆周角的一条边上 (2)圆心在圆周角的内部 (3)圆心在圆周角的外部 (1)圆心在圆周角的一条边上 2 合作探究 OA=OC ⟹ ∠A=∠C ∠BOC=∠A+∠C ∠A=∠BOC. ⟹ 符号“⟹ ”读作“推出”,“A⟹ B”表示 由条件A推出结论B. (2)圆心在圆周角的内部 2 合作探究 OA=OB ⟹ ∠1=∠B ∠2=∠1+∠B ∠1=∠2. ⟹ OA=OC ⟹ ∠3=∠C ∠4=∠3+∠C ∠3=∠4. ⟹ ⟹ ∠BAC=∠BOC. ∠1+∠3=∠BAC，∠2+∠4=∠BOC (3)圆心在圆周角的外部 2 合作探究 OA=OB ⟹ ∠OAB=∠B ∠DOB=∠OAB+∠B ∠OAB= ∠DOB. ⟹ OA=OC ⟹ ∠OAC=∠C ∠DOC=∠OAC+∠C ∠OAC= ∠DOC. ⟹ ⟹ ∠BAC=∠BOC. ∠OAC-∠OAB=∠BAC，∠DOC-∠DOB=∠BOC 2 合作探究 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 证明：（1）连接OA、OB. 由圆周角定理得： ∠AEB=∠AOB，∠AFB=∠AOB， ∴∠AEB=∠AFB. 2 合作探究 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 如图，点A、B、C、D、E、F在⊙O上. （1）求证：∠AEB=∠AFB. （2）若=，求证：∠AEB=∠CFD. 2 合作探究 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 如图，点A、B、C、D、E、F在⊙O上. （1）求证：∠AEB=∠AFB. （2）若=，求证：∠AEB=∠CFD. 证明：（2）连接OC、OD. 由圆周角定理得： ∠AEB=∠AOB，∠CFD=∠COD， ∵， ∴∠AOB=∠COD， ∴∠AEB=∠CFD. 2 合作探究 如图，点A、B、C在⊙O上. （1）若AB为直径，求证：∠C=90°. （2）若∠C=90°，求证：AB为直径. 证明：（1）∵AB为直径， ∴∠AOB=180°. 由圆周角定理得： ∠C=∠AOB=90°. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 2 合作探究 证明：（2）∵∠C=90°， 由圆周角定理得：∠AOB=2∠C=180°， ∴AB为直径. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 如图，点A、B、C在⊙O上. （1）若AB为直径，求证：∠C=90°. （2）若∠C=90°，求证：AB为直径. 分析：解决与圆有关的问题，关键在于分析圆心角、圆周角、直径和弦之间的关系.由AB是直径，可知圆周角∠ACB=∠ADB=90°； 由圆周角∠ACD=∠BCD，可知它们相应的圆心角相等， 进而得到弦AD=BD. 例3 如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长. 3 典例分析 3 典例分析 解：如图，连接OD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°. ∵在Rt△ABC中，AB=10，AC=6， ∴BC==8. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD. ∵在⊙O中，∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD， ∴∠AOD=∠BOD.∴AD=BD. 又 在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²， ∴AD=BD=AB=5. 中考演练（2026云南） 如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上．若∠ACB=26°，则∠AOB=（     ） A．10° B．26° C．40° D．52° 3 典例分析 D 中考演练（2026甘肃武威） 如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点P．若∠ABC=60°，∠ACB=50°，则∠BPC=（     ） A．95° B．100° C．105° D．110° 3 典例分析 B 4 巩固练习 1. 判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由. （1） （2） （3） （4） （5） 不是 不是 是 不是 不是 2. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D=28°，则∠OAB的度数为（ 　） A．28° B．34° C．56° D．62° B 4 巩固练习 证明：由圆周角定理得：∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC， ∵∠AOB=2∠BOC， ∴2∠ACB=2×2∠BAC， ∴∠ACB=2∠BAC. 4 巩固练习 3. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证∠ACB=2∠BAC. 解：∵， ∴AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠A=180°−∠ABC+∠ACB=40°， ∴∠BOC=2∠A=80°． 5 当堂检测 1.(2026黑龙江绥化)如图，在⊙O中，=，∠ABC=70°，则∠BOC=______． 80° 5 当堂检测 2.(2026河南)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，∠ADC=40°，则∠CAB的度数为_________． 50° 解：∵=， ∴∠ABC=∠ADC=40°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°−∠ABC=50°． 5 当堂检测 3.(2024山东潍坊·多选题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO∥BC，连接CO并延长 交⊙O于点D．分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，并使两弧交于 圆外一点M．直线OM交BC于点E，连接AE，下列结论一定正确的是（     ） A． B．AB=OE C．∠AOD=∠BAC D．四边形AOCE为菱形 ABD 6 课堂小结 圆的轴对称性 垂径定理 垂径定理的推论 圆 弦—直径 弧 角 圆的旋转对称性 类比 弧、弦、圆心角之间的关系 圆周角 圆周角定理 及其推论 6 课堂小结 圆 圆的有关概念 点与圆的位置关系 过三点的圆 圆的有关性质 圆的对称性 圆的轴对称性 垂径定理及其推论 圆的旋转对称性 弧、弦、圆心角之间的关系 同弧所对圆周角和圆心角的关系 7 布置作业 A 习题29.2：第3，4，10题. B 习题29.2：第14题. 附加题：如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗?有几种方法?与同学交流一下. $