专题01 因式分解的应用（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦因式分解七大应用场景，以题型为载体系统提炼解题方法，构建“概念-技巧-应用”逻辑链条，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用因式分解整体代入求值|4题|构造整体代入，避免单独求字母值|从代数式变形到整体思想应用| |因式分解简化实数运算|4题|平方差/完全平方公式变形，连乘约分|基于公式法的运算优化| |解决整数整除问题|4题|分解为整式乘积，判断整除性|数论性质与因式分解结合| |判断三角形形状|4题|分解三边关系式得边长等式|几何性质与代数推理融合| |推理证明类问题|4题|结合整数性质、平方非负性证明|逻辑推理与因式分解综合| |结合几何图形面积问题|4题|面积两种表达建立恒等式|数形结合与模型思想应用| |阅读理解与新定义创新题|4题|转化新问题为提取公因式/公式分解|创新意识与方法迁移能力|

专题01 因式分解的应用 题型一：利用因式分解整体代入求值 题型二：因式分解简化实数运算（简算） 题型三：因式分解解决整数整除问题 题型四：因式分解判断三角形形状 题型五：因式分解推理证明类问题 题型六：因式分解结合几何图形面积问题 题型七：因式分解阅读理解与新定义创新题 题型一：利用因式分解整体代入求值 方法技巧：对已知或者所求代数式因式分解，构造整体（、等），整体代入计算，避免单独求字母的值。 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知，，则代数式的值为____________． 【答案】 【分析】根据题意可求出，利用提公因式法把所求式子因式分解为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴ ． 2．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先利用平方差公式将因式分解，再将代入求值即可． 【详解】解：． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知当和，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于______． 【答案】3 【分析】本题考查了因式分解的应用，求代数式的值，由题意可得，利用因式分解得出，结合，得出的值，再代入求函数值，熟练掌握因式分解是解此题的关键． 【详解】解：∵当和，多项式的值相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入可得， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若实数满足，，则的值是______． （2）若，则的值为______． 【答案】 3 【分析】本题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，灵活利用整体思想是解决问题的关键． （1）先利用提公因式法把多项式进行因式分解，提取公因式，再将已知代数式的值整体代入计算，即可求解． （2）先把前两项提取公因式得，整体代入后，再提取公因式，最后整体代入，即可求解． 【详解】解：（1），， ， ． 故答案为：． （2）， ． 故答案为：． 题型二：因式分解简化实数运算（简算） 方法技巧：优先使用平方差、完全平方公式变形算式；连乘类算式分解后约分，实现大数快速计算。 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）利用因式分解进行计算：． 【答案】 【详解】解： ． 2．（25-26八年级下·江西吉安·期末）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式因式分解后计算； （2）先对式子变形，再用完全平方公式因式分解后计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确利用平方差公式进行因式分解． 利用平方差公式进行因式分解，再进行有理数的混合运算． 【详解】解： ． 4．（25-26六年级下·山东泰安·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是________；（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）中选出的等式，解答下列各题： ①已知，，则________ ②计算： ③某同学在计算时，把写成后，发现可以连续运用两数和乘以两数差公式计算： 请借鉴该同学的经验，计算： 【答案】(1) (2)①②1③ 【分析】（1）分别计算图和图中阴影部分的面积，根据面积相等即可得出答案； （2）①逆用（1）中等式得出，然后把整体代入求解即可； ②把变形为，然后根据（1）中等式计算即可； ③仿照例子，把写成，根据（1）中等式依次计算即可. 【详解】（1）解：第一个图形中阴影部分的面积是， 第二个图形的面积是， 则， 故D选项符合要求； （2）解：①∵，， ∴， ∴； ②原式 ； ③原式 . 题型三：因式分解解决整数整除问题 方法技巧：把多项式因式分解为整式乘积形式，根据乘积因式，判断可被哪些整数或整式整除。 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）若m为任意正整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】B 【分析】将原式因式分解得到整式乘积形式，即可判断其整除性． 【详解】解： ， ∵为任意正整数， ∴是4的整数倍， 故原式总能被4整除． 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）数学课上王老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“鹿鸣美好式”． 小亮写出如下算式：； 发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”． (1)验证：__________“鹿鸣美好式”（填“是”或“不是”）； (2)证明：任意两个连续偶数和（为整数）的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”； (3)如图，将10个同心圆从小到大套在一起，并由内向外相间画阴影．若最外面的圆的半径为，其余圆的半径由外向内依次为．请结合（2）中的结论，求图中所有阴影部分面积的和．（结果保留） 【答案】(1)是 (2) 证明：设任意两个连续偶数和（为整数），则 ∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”； (3) 【分析】（1）直接根据“鹿鸣美好式”的定义，即可求解； （2）设这两个连续偶数分别为和，再根据平方差公式，以及“鹿鸣美好式”的定义，即可求解； （3）根据题意得，再根据“鹿鸣美好式”的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是“鹿鸣美好式”； （2）略； （3）解：由题意得 ． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、(为自然数) ① ② 且能被2整除， 能被2整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被2整除． 【答案】(1)因式分解 (2)见解析 【分析】（1）根据因式分解的定义解答； （2）设（为自然数）再展开，然后提出公因式判断即可． 【详解】（1）解：因式分解； （2）证明：设（为自然数） ∵ 且能被整除 ∴能被整除. 4．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）阅读并完成相应问题的解答． 因为，所以． 即能被整除．同理，能被整除． 我们知道，若，则或． 若，即，则或，所以或． 请根据以上的阅读材料，完成以下问题： (1)若，求的值； (2)已知多项式能被整除，求的值； (3)在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）对于，将等式左边展开，并根据“等式两边多项式相等，对应项系数相等”求解即可； （2）设（a为常数），展开等式右边得，根据对应项系数相等，解得的值，进而计算的值； （3）结合（2）可知，将其代入，并将等号左侧部分因式分解，结合“若，则或”求解即可． 【详解】（1）解：对于， 将等式左边展开得， ∵等式两边多项式相等，对应项系数相等， ∴，解得； （2）解：∵多项式能被整除， 则设（a为常数）， 展开等式右边得， 根据对应项系数相等，可得， 解，得， ∴； （3）解：结合（2）可知，将其代入，得， 因式分解得， ∵若，则或， ∴或， 解得或． 题型四：因式分解判断三角形形状 方法技巧：对三边关系式因式分解，得到边长等式；结合三角形三边关系，判定等腰、等边三角形。 1．（2026八年级下·全国·专题练习）已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，则此三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确地进行因式分解． 根据，，，得出，整理得出，求出，，，再判断三角形形状． 【详解】解：∵，，， ∴， 整理得：， 即， ∴，，， ∴此三角形为等腰三角形． 故选：A． 2．（2026八年级下·江苏·专题练习）已知 ，且满足，试判定能否构成三角形，如果能，请判定形状，并说明理由． 【答案】 无法构成， 理由：， ， ， ， 且， 即且， ， 无法构成． 【分析】将已知等式移项后变形为，即，据此可得且，继而知，即可作出判断． 【详解】略 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，构成三角形的条件，解题的关键是运用完全平方公式和非负数的性质得出三边的关系． 3．（25-26八年级下·全国·单元复习）已知：a，b，c是三角形的三边，且满足．求证：这个三角形是等边三角形． 【答案】 解：∵ = = ∴原式可变形为：= ∵， ∴ ∴ ∴ 即这个三角形是等边三角形． 【分析】根据完全平方式将原式变形为，结合平方的非负性即可计算得到正确答案． 【详解】略 【点睛】本题考查完全平方式的应用，平方非负性的应用，根据相关知识点灵活应用是解题关键． 4．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）有些多项式不能直接运用提公因式法或公式法分解因式，但它可以通过适当的调整分组后，再利用提公因式法或公式法分组进行分解，这种对多项式先分组后分解因式的方法称为分组分解法，如．请利用分组分解法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)已知，，分别是的三边长，若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 为等腰三角形，理由如下 ∵， 即， ∴， ∴， ∵，，分别是的三边长， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法． （1）把分成一组，然后利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）把和分为一组，进行解答即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）略 题型五：因式分解推理证明类问题 方法技巧：对条件式因式分解，依据整数性质、平方非负等，完成等式、定值、完全平方数等证明。 1．（25-26八年级下·福建漳州·期末）若为任意实数． (1)因式分解：； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明： ， ， ， 即， ． 【分析】（1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）略 2．（25-26八年级下·河北保定·期末）【发现】 两个连续奇数的平方差是8的整数倍． (1)【验证】 的结果是8的_________倍； (2)【证明】 证明两个连续奇数与（为整数）的平方差是8的整数倍； (3)【延伸】 两个连续偶数与（为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明：，为整数， 两个连续奇数，的平方差是8的整数倍； (3)两个连续偶数的平方差不是的整数倍，正整数的最小值为． 【分析】（1）利用平方差公式计算的结果，并判断它是的多少倍即可． （2）计算两个连续奇数，的平方差，利用平方差公式展开，即可证明． （3）计算两个连续偶数，的平方差，利用平方差公式展开，可知不是的倍数，再根据平方差的结果加上正整数，最后让是的倍数即可得出的最小值． 【详解】（1）解：， 的结果是的倍． （2）略． （3）解：因为两个连续的偶数分别为，(为整数)， ， 所以两个连续偶数的平方差不是的整数倍． 因为上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是的整数倍， 即是的整数倍， 所以加上的正整数的最小值是． 3．（25-26八年级下·河南开封·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： ____________； (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 【答案】(1) (2)证明：将“”看成整体，令，则： 原式． 再将“”还原，得原式． ， 无论取何值时，的值一定是非负数． 【分析】（1）根据阅读材料中的方法类比求解即可； （2）根据阅读材料中的方法类比求解，将因式分解为，最后由平方非负性即可得证． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令，则： 原式． 再将“”还原，得原式． （2）略． 4．（2026·宁夏银川·二模）数论是数学中最古老的分支之一，早在十七世纪，数学家费马便开始研究整数的平方拆分规律，他发现部分正整数能够拆解为两个整数的平方之和，这类数字具备独特的数学性质．为方便研究，我们给出定义：若一个正整数可以表示为两个整数的平方和，则称这个数为平方和数． 例如：，，所以、都是平方和数． 根据上述定义，完成下列问题： (1)判断、是否为平方和数，并说明理由； (2)若正整数是平方和数，且，直接写出所有符合条件的； (3)求证：两个平方和数的乘积仍是平方和数． 【答案】(1)解：13是平方和数，14不是平方和数，理由如下： ∵， ∴13是平方和数， ∵， ∴14不是平方和数； (2)解： (3)证明：设这两个平方和数分别为， ∴ ，为平方和数， 即两个平方和数的乘积仍是平方和数； 【分析】（1）根据平方和数的定义解答即可； （2）根据平方和数的定义解答即可； （3）设这两个平方和数分别为，可得，即可求证． 【详解】（1）略 （2）解：当时，，此时不满足题意； 当时，，此时不满足题意； 当时，，此时满足题意； 当时，，此时不满足题意； 当时，，此时不满足题意； 当时，，此时满足题意； 当时，，此时满足题意； 当时，，此时满足题意； 当时，，此时不满足题意； 所以所有符合条件的k的值为； （3）略 题型六：因式分解结合几何图形面积问题 方法技巧：利用图形面积的两种表达形式，建立代数恒等式；借助因式分解求解边长、阴影面积。 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积． (1)用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________． (2)图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (3)若满足，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)图中阴影部分面积为； (3)代数式的值为． 【分析】（）根据图示面积的表示方法即可求解； （）连接，设正方形的边长为，正方形的边长为，则有，，故，然后通过即可求解； （）设，，则，，故，通过变形，所以，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：图中大正方形的面积为，个小方块的面积和为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，连接，设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中通过矩形面积的分割与重组，从几何角度说明了平方差关系． (1)如图，在边长为的正方形的一角割去边长为的正方形，则图中阴影部分的面积可表示为___________，再将这阴影部分拼成如图的大长方形，图中大长方形的面积可以表示为___________，由阴影部分的面积相同，可以得到等式___________； (2)如图，在棱长为的正方体的一个角上挖去棱长为的正方体（），然后将其分成三个长方体，请按照以上思路利用体积关系分解因式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（）根据题意解答即可求解； （）根据体积关系解答即可求解； 本题考查了因式分解的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，阴影部分的面积可表示为，图中大长方形的面积可以表示为，由阴影部分的面积相同，可以得到等式， 故答案为：，，； （2）解：由体积关系得： ， ∴． 3．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为，的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为__________，小正方形的面积可表示为__________________； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：__________________________； （用含，的代数式表示出来） (2)若满足，求的值； (3)【拓展提升】 如图4，在正方形中，，分别是边，上的点，已知，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形，正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)①；；② (2) (3) 【分析】（1）①结合图形直接写出答案即可；②用两种不同的方法表示大正方形面积即可； （2）利用完全平方公式计算即可；设，，则，，再利用完全平方公式计算即可； （3）设，，求得，，利用完全平方公式求得，再利用计算即可． 【详解】（1）解：①观察图3，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积可表示为，小正方形的面积可表示为； ②大正方形是由个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成， 则与之间的关系：； （2）解：设，，则，， ， ． （3）解：设，， 由题意得，，， 正方形， ， ，即， ，， ， 正方形，正方形， ． 4．（25-26八年级下·江西九江·期中）现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式． (1)请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）_____________； (2)请利用图1的卡片，若想得到面积为的图形，需要卡片A____张，卡片B____张，卡片C____张． 【答案】(1) (2)2，5，3 【分析】（1）仿照题意把图3的面积用两种方法表示出来，然后根据两种表示方法表示的面积相等即可得到答案； （2）仿照题意画出对应的图形即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， 图3的面积为， 又图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ． （2）解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的 同理可得； 题型七：因式分解阅读理解与新定义创新题 方法技巧：读懂题目定义、阅读材料，把新问题转化为提取公因式、公式分解；试根法、换元法综合运用解题。 1．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，则，，都是“和谐数”． (1)特例感知：________“和谐数”（填“是”或“不是”）________________． (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为，直接写出阴影部分的面积． 【答案】(1)是，11，9 (2)“和谐数”能被8整除． 理由： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； (3) 【分析】（1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）先表示出阴影部分的面积，再结合（2）的计算即可． 【详解】（1）解：∵，40是正整数，11和9为连续的正奇数， ∴是“和谐数”； （2）略 （3）解：由题意，阴影部分的面积为 ， 阴影部分的面积为． 2．（2026·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是小敏同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． k阶和倍数定义：对于一个两位自然数，若它的个位数字，十位数字均不为0，且这个自然数等于其各位数字之和的k倍，则称这个两位数为“k阶和倍数”． 例如：两位数18，各位数字和，，则18为“2阶和倍数”． 若一个“k阶和倍数”的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）由定义可得：， 我们可以利用这个式子解决相关问题…… 任务： (1)45是“k阶和倍数”，则______； (2)若一个两位数是“k阶和倍数”，交换十位数字和个位数字得到的两位数是“m阶和倍数”，求的值； (3)若一个两位自然数p是“7阶和倍数”，求证：一定是42的倍数． 【答案】(1)5 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“k阶和倍数”的定义求解即可； （2）设原数为，则新数是，根据“k阶和倍数”的定义得到，据此化简即可求解； （3）设两位自然数的十位数字为，个位数字为，根据“7阶和倍数”的定义可得 ，化简得，故；要证明 是42的倍数，即证明 是42的倍数，只需证明 是2的倍数即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴45是“k阶和倍数”，则； （2）解：设原两位数的十位为a，个位为b（，且a，b为整数），则 原数：①． 交换十位数字和个位数字得到的新数是：②， 将：， ∴， ∵， ∴． 两边同时除以，得： ； （3）解：设两位自然数p的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）， 由p是“7阶和倍数”，得：， 整理得： ，化简得， 因此 ， 对因式分解：代入 ，得：， 可知 是21的倍数， 又∵和 是两个连续整数， ∴它们的乘积一定是偶数，即 也是2的倍数， ∵2和21互质， ∴ 一定是的倍数， ∴一定能被42整除．即一定是42的倍数． 3．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）认真阅读下列材料，然后利用乘法公式尝试解答问题． 【阅读材料】 材料一 分解因式：． 解： ． 材料二 无论取何值，代数式的值都大于等于0， 当代数式减去4时，代数式的值大于等于， 代数式有最小值，最小值为． 【问题解决】 (1)分解因式：①；②． (2)①说明：代数式的最大值为5． ②求代数式的最小值． 【答案】(1)①② (2)① ， ∵， ∴， ∴，即代数式的最大值为5． ② 【分析】本题考查因式分解的应用．结合例题把含字母的项配成完全平方式是解决本题的关键．用到的知识点为：和． （1）①②把所给代数式的前两项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，再用平方差公式进行因式分解； （2）①②把所给代数式的前两项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，根据完全平方式的取值范围可得所求代数式的最大（小）值． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：①略 ② ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 4．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． ； 又例如：求代数式的最小值． ， ，当即时，的最小值为， 即的最小值为． 根据阅读材料，利用“配方法”解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)多项式有最小值为1，求出k值； (3)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求出边长c的最大值． 【答案】(1) (2) (3)边长的最大值为4 【分析】（1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）首先利用“配方法”将变形为，然后得到最小值为，根据题意得到，进而求解即可； （3）首先利用“配方法”将变形为，得到，，求出，，然后根据三角形三边关系得到，进而求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∵多项式有最小值为1， ∴ ∴； （3）解：∵， ， ， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∵的三边长a、b、c都是正整数， ∴边长c的最大值为4． 【点睛】本题考查了配方法分解因式和配方法求最值，三角形三边关系，通过例题和材料，明确配方法的步骤是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解的应用 题型一：利用因式分解整体代入求值 题型二：因式分解简化实数运算（简算） 题型三：因式分解解决整数整除问题 题型四：因式分解判断三角形形状 题型五：因式分解推理证明类问题 题型六：因式分解结合几何图形面积问题 题型七：因式分解阅读理解与新定义创新题 题型一：利用因式分解整体代入求值 方法技巧：对已知或者所求代数式因式分解，构造整体（、等），整体代入计算，避免单独求字母的值。 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知，，则代数式的值为____________． 2．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）已知，则代数式的值为________． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知当和，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于______． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若实数满足，，则的值是______． （2）若，则的值为______． 题型二：因式分解简化实数运算（简算） 方法技巧：优先使用平方差、完全平方公式变形算式；连乘类算式分解后约分，实现大数快速计算。 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）利用因式分解进行计算：． 2．（25-26八年级下·江西吉安·期末）利用因式分解计算： (1)； (2)． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）计算：． 4．（25-26六年级下·山东泰安·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是________；（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）中选出的等式，解答下列各题： ①已知，，则________ ②计算： ③某同学在计算时，把写成后，发现可以连续运用两数和乘以两数差公式计算： 请借鉴该同学的经验，计算： 题型三：因式分解解决整数整除问题 方法技巧：把多项式因式分解为整式乘积形式，根据乘积因式，判断可被哪些整数或整式整除。 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）若m为任意正整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）数学课上王老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“鹿鸣美好式”． 小亮写出如下算式：； 发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”． (1)验证：__________“鹿鸣美好式”（填“是”或“不是”）； (2)证明：任意两个连续偶数和（为整数）的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”； (3)如图，将10个同心圆从小到大套在一起，并由内向外相间画阴影．若最外面的圆的半径为，其余圆的半径由外向内依次为．请结合（2）中的结论，求图中所有阴影部分面积的和．（结果保留） 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、(为自然数) ① ② 且能被2整除， 能被2整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被2整除． 4．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）阅读并完成相应问题的解答． 因为，所以． 即能被整除．同理，能被整除． 我们知道，若，则或． 若，即，则或，所以或． 请根据以上的阅读材料，完成以下问题： (1)若，求的值； (2)已知多项式能被整除，求的值； (3)在（2）的条件下，当时，求的值． 题型四：因式分解判断三角形形状 方法技巧：对三边关系式因式分解，得到边长等式；结合三角形三边关系，判定等腰、等边三角形。 1．（2026八年级下·全国·专题练习）已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，则此三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 2．（2026八年级下·江苏·专题练习）已知 ，且满足，试判定能否构成三角形，如果能，请判定形状，并说明理由． 3．（25-26八年级下·全国·单元复习）已知：a，b，c是三角形的三边，且满足．求证：这个三角形是等边三角形． 4．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）有些多项式不能直接运用提公因式法或公式法分解因式，但它可以通过适当的调整分组后，再利用提公因式法或公式法分组进行分解，这种对多项式先分组后分解因式的方法称为分组分解法，如．请利用分组分解法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)已知，，分别是的三边长，若，试判断的形状，并说明理由． 题型五：因式分解推理证明类问题 方法技巧：对条件式因式分解，依据整数性质、平方非负等，完成等式、定值、完全平方数等证明。 1．（25-26八年级下·福建漳州·期末）若为任意实数． (1)因式分解：； (2)求证：． 2．（25-26八年级下·河北保定·期末）【发现】 两个连续奇数的平方差是8的整数倍． (1)【验证】 的结果是8的_________倍； (2)【证明】 证明两个连续奇数与（为整数）的平方差是8的整数倍； (3)【延伸】 两个连续偶数与（为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出的最小值． 3．（25-26八年级下·河南开封·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： ____________； (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 4．（2026·宁夏银川·二模）数论是数学中最古老的分支之一，早在十七世纪，数学家费马便开始研究整数的平方拆分规律，他发现部分正整数能够拆解为两个整数的平方之和，这类数字具备独特的数学性质．为方便研究，我们给出定义：若一个正整数可以表示为两个整数的平方和，则称这个数为平方和数． 例如：，，所以、都是平方和数． 根据上述定义，完成下列问题： (1)判断、是否为平方和数，并说明理由； (2)若正整数是平方和数，且，直接写出所有符合条件的； (3)求证：两个平方和数的乘积仍是平方和数． 题型六：因式分解结合几何图形面积问题 方法技巧：利用图形面积的两种表达形式，建立代数恒等式；借助因式分解求解边长、阴影面积。 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积． (1)用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________． (2)图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (3)若满足，求代数式的值． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中通过矩形面积的分割与重组，从几何角度说明了平方差关系． (1)如图，在边长为的正方形的一角割去边长为的正方形，则图中阴影部分的面积可表示为___________，再将这阴影部分拼成如图的大长方形，图中大长方形的面积可以表示为___________，由阴影部分的面积相同，可以得到等式___________； (2)如图，在棱长为的正方体的一个角上挖去棱长为的正方体（），然后将其分成三个长方体，请按照以上思路利用体积关系分解因式． 3．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为，的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为__________，小正方形的面积可表示为__________________； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：__________________________； （用含，的代数式表示出来） (2)若满足，求的值； (3)【拓展提升】 如图4，在正方形中，，分别是边，上的点，已知，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形，正方形，求阴影部分的面积． 4．（25-26八年级下·江西九江·期中）现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式． (1)请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）_____________； (2)请利用图1的卡片，若想得到面积为的图形，需要卡片A____张，卡片B____张，卡片C____张． 题型七：因式分解阅读理解与新定义创新题 方法技巧：读懂题目定义、阅读材料，把新问题转化为提取公因式、公式分解；试根法、换元法综合运用解题。 1．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，则，，都是“和谐数”． (1)特例感知：________“和谐数”（填“是”或“不是”）________________． (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为，直接写出阴影部分的面积． 2．（2026·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是小敏同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． k阶和倍数定义：对于一个两位自然数，若它的个位数字，十位数字均不为0，且这个自然数等于其各位数字之和的k倍，则称这个两位数为“k阶和倍数”． 例如：两位数18，各位数字和，，则18为“2阶和倍数”． 若一个“k阶和倍数”的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）由定义可得：， 我们可以利用这个式子解决相关问题…… 任务： (1)45是“k阶和倍数”，则______； (2)若一个两位数是“k阶和倍数”，交换十位数字和个位数字得到的两位数是“m阶和倍数”，求的值； (3)若一个两位自然数p是“7阶和倍数”，求证：一定是42的倍数． 3．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）认真阅读下列材料，然后利用乘法公式尝试解答问题． 【阅读材料】 材料一 分解因式：． 解： ． 材料二 无论取何值，代数式的值都大于等于0， 当代数式减去4时，代数式的值大于等于， 代数式有最小值，最小值为． 【问题解决】 (1)分解因式：①；②． (2)①说明：代数式的最大值为5． ②求代数式的最小值． 4．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． ； 又例如：求代数式的最小值． ， ，当即时，的最小值为， 即的最小值为． 根据阅读材料，利用“配方法”解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)多项式有最小值为1，求出k值； (3)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求出边长c的最大值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $