第29章 三角初步（复习讲义）数学新教材沪教版九年级上册

该初中数学“三角初步”单元复习讲义通过表格系统梳理了复习要点与重难点，将锐角三角比定义、特殊角值、解直角三角形及实际应用等知识按逻辑递进构建脉络，清晰呈现概念辨析、计算应用等内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与实际问题建模指导，如“构造直角三角形测量小山高度”题型，培养几何直观与模型意识。基础达标夯实概念，能力进阶深化综合应用，助力不同学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

第29章 三角初步 复习要点 1. 理解锐角三角比（正切、余切、正弦、余弦）的定义，分清直角三角形中锐角的对边、邻边、斜边，明确三角比数值只和角的大小有关. 2. 熟练记忆 30°、45°、60° 特殊锐角的三角比，能够完成求值、由三角比反求角度两类计算. 3. 掌握互余两角三角比的关系，会借助关系进行简单化简与转换计算。 4. 掌握解直角三角形，能结合勾股定理、两锐角互余、三角比，在已知边或角条件下求出直角三角形其余边与角. 5. 理解仰角、俯角、坡度、坡角实际模型，会通过作辅助线构造直角三角形，解决实际应用问题. 复习重难点 重点：锐角三角比概念辨析；特殊角三角比计算；解直角三角形基本方法. 难点：复杂图形中构造直角三角形；实际问题转化几何模型；区分对边邻边，互余角三角比灵活转换；三角比与相似、勾股综合计算. 知识点 锐角的正弦、余弦与正切的概念 1.锐角的正弦 直角三角形中一个锐角的 之比叫作这个锐角的正弦. 2.锐角的余弦 直角三角形中一个锐角的 之比叫作这个锐角的余弦. 3.锐角的正切 直角三角形中一个锐角的 之比叫作这个锐角的正切. 4.同一锐角的正弦值、余弦值、正切值之间的关系 5.同角的正弦值、余弦值之间的关系 . 6.互余两角的正弦值、余弦值之间的关系 在中，，那么 ， .即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. 要点速测 1．如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，且与x轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图所示，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度可用三角函数表示为______米． 4．如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，若，，则的值为________． 5．如图，在中，，D是的中点，过点B作直线的垂线，垂足为点E． (1)计算线段的长； (2)求的值． 6．如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 知识点 特殊锐角的正弦、余弦与正切值 1. 要点速测 1．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，的边长分别为1，，2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画，使得，其相似比．嘉嘉说：“k的值有3个．”佳佳对嘉嘉说：“k不能取．” 对他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，佳佳不正确 B．嘉嘉不正确，佳佳正确 C．他俩都正确 D．他俩都不正确 3．在中，，则为________三角形． 4．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是：_____． 5．在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 6．计算： 7．计算：． 8．计算： 9．计算： (1)； (2)； (3)． 10．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 知识点 根据三角函数值判断锐角的取值范围 1.当角在到的范围内增大时,的值随着的 ,的值随着的 . 2.当时，，. 3.当角在到的范围内增大时,的值随着的 . 要点速测 1．已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知在中，，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 3．三边分别为，且满足，则下面说法正确的是（     ） A． B． C． D． 4．三角形的三个内角分别为α，β，γ，且，，则β的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点 解直角三角形 1.解直角三角形的概念 对于直角三角形，除了已知其中一个直角以外共有五个元素，即三条边和两个锐角. 在直角三角形中，根据已知元素求出所有未知元素的过程，称为解直角三角形. 在直角三角形中，只要已知两条边长或者一条边长与一个锐角，就可以求得其他所有角和边. 2.解非直角三角形 在解非直角三角形时，往往通过作三角形的高，构造直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏、、角和已知长度的边为原则. 3.仰角：在水平线上方的 所成的夹角. 俯角：在水平线下方的 所成的夹角. 4.坡角:斜坡与水平面的夹角.坡度：斜坡上升的垂直距离 和水平距离 的比 5.方向角：指北或指南的方向线与目标线所成的小于 90°的角. 如图，目标线 、 、 的方向角分别可以表示为北偏东 、南偏东 、北偏西 ，其中南偏东 习惯上又叫作东南方向,北偏西 习惯上又叫作西北方向 要点速测 1．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 2．如图，在中，，，．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算时，延长使，连接，得，所以．类比这种方法，计算的值为___________． 3．如图，在中，D，E分别为，的中点，于点，，交的延长线于点．若，，，则的长为__________． 4．已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． (1)求线段的长； (2)计算的值． 5．在中，，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的度数； (2)如图2，当时，试判断和的数量关系，并说明理由； (3)当，时，若，，求点到的距离． 6．为了保护视力，小萌购买了可调节书架，将书架放置在水平桌面上如图1，这种书架的侧面结构如图2，、可分别绕点B、C转动，经测量知C是的中点，且．当、转动到，时，求点D到的距离．（结果精确到；参考数据：，） 题型1 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 ▌例1 （如图所示，已知是水平面，、、是斜坡．的坡角为，坡长为米，的坡角为，坡长为米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据： ，） 解题要点 构造合适的直角三角形. ▌迁移练1-1如图所示，已知是水平面，、、是斜坡，、、、在同一个平面内．在坡顶处测得点的俯角为，米，在坡顶处测得点的俯角为，米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据：，） ▌迁移练1-2某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面A处出发，沿坡角为53°的山坡AB直线上行一段距离到达B处，再沿着坡角为22°的山坡BC直线上行600米到达C处，通过测量数据计算出小山高CD＝612m，求该数学小组行进的水平距离AD（结果精确到1m）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） 题型2 仰角和俯角 ▌例2 陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 解题要点仰角俯角 1.构造直角三角形，将实际问题转化成三角形问题. ▌迁移练2-1位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． ▌迁移练2-2如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 难点一 解三角形的应用 难点1：文字情境转化几何图形 难点表现：读长段应用题，无法提取几何要素；不会根据题意画出示意图；漏看条件（障碍物、楼高、观测点高度）；图画错导致整题计算错误。 应对措施： 1.读题分步标记：圈出观测点高度、角度、水平距离、竖直高度； 2.强制画图流程：先画水平线、竖直线，再标记角度和已知线段； 3.特别注意：人眼、仪器有高度，不能直接把地面当作观测点。 难点2：仰角、俯角概念理解易错 难点表现：把仰角 / 俯角当成视线与竖直方向夹角；不会处理 “从楼顶往下看”“地面往上看”；忽略水平线基准。 应对措施： 1.牢记定义：仰角、俯角都是视线与水平线的夹角，不是和竖直线夹角； 2.画图必画出水平辅助线；向下看为俯角，向上看为仰角； 3.平行线性质：不同高度的水平线互相平行，可以进行角度等量代换。 难点 3：坡度、坡角混淆 难点表现：把坡度i当成角度；错把坡度写成竖直高度比斜边；分不清坡角和坡度i，不会互相转化. 应对措施 1.牢记：坡度；坡度是比值，坡角才是角度. 2.看到坡度，立刻写出，再求角度或者边长。 3.堤坝题型，把坡面、高、水平底三边分开标注。 难点4：方位角问题（北偏东、南偏西） 难点表现：方位角从东 / 西开始算；不会画南北东西十字坐标；不会把方位角转化为直角三角形内角；多个观测点方位混乱。 应对措施： 1.方位角规则：以正北或正南为起始边，向东、向西偏转；“北偏东 30°” 不是东偏北 60°（题目给什么用什么）。 2.解题第一步画出十字方位坐标系；过观测点作水平、竖直辅助线，构造直角三角形. 难点精练 1．某校园门口的通道闸机挡板打开时的截面图如上图所示，扇形和是闸机成轴对称的挡板，已知半径，打开时，闸机装好后，要求挡板打开时两点之间的距离满足：，则安装时两个闸机机身之间的安装距离应满足（     ） A． B． C． D． 2．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形．已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形，加固后背水坡面的坡度为，则的长为________米． 3．已知：如图，在中，，，，则的长为________． 4．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 5．某数学兴趣小组开展实践活动，测量某公园一座亭子的高度，在亭子的正前方有一斜坡，坡角，斜坡的顶端与亭子底端的距离米，小组成员在斜坡的点处测得亭子顶端的仰角，米，已知，，所有点在同一平面内，求亭子的高度．（结果保留根号） 6．由平方非负，，可知时，，当且仅当时取等号，这就是基本不等式． (1)请仿照题干中的方法，试证：对，有当且仅当时取等号． (2)如图，已知一次函数的图象过点，且交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，． ①试用表示的长度； ②求长度的最小值．（可利用第一问结论） 基础达标 1．如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 2．由于保管不慎，小南正在解的一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在中，，，，求的长”．小南查找了书本提供的答案：，通过计算得知污渍部分的内容是（    ） A． B．1 C． D． 3．如图，是的高．若，，则边的长为（   ） A． B．10 C． D．12 4．无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离约为______m．（结果精确到，参考数据：，，）． 5．在中，，O是的中点，连接．若，则的值为_______． 6．在中，，延长到点，使，连接．若，则___________（结果保留根号）． 7．三角函数：如图，在中，，，， (1)请用尺规作图作边上的高，不写作法，但要保留作图痕迹． (2)请用含的式子表示的面积． 8．图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得． (1)如图2，___________度； (2)如图2，求点到靠背的距离；（精确到） (3)如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知杯托凹陷深度为，求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度． 9．如图①，郑州之眼摩天轮位于郑州海昌旅游度假区，是中原地区最高的摩天轮建筑，也是中牟网红打卡地之一．如图②，某校数学社团利用周末测量摩天轮的高度，他们在点处测得摩天轮的最高点的仰角为，再往摩天轮方向前进至点处，测得最高点的仰角为，已知点在一条直线上，求摩天轮的高度(结果精确到，参考数据)． 10．如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． 能力进阶 1．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和2，∠B＝120°，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．2 C．4 D．3 2．如图，在中，，延长到点，使，连结，如果，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，，，，，，点G在上，点D在上，，则最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．如图，在菱形中，是上一点，将沿翻折至处，延长交于．若四边形是平行四边形，则___________． 5．如图，将一副学生常用三角板放在平面直角坐标系中，点D在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，在x轴上，在上，量得，则k的值为______． 6．如图，在三角形纸片中，，点P为边上任意一点（不与A、B重合），连结．将边沿折叠，得到点B的对应点，连接、，当为锐角三角形时，其面积S的取值范围为___________． 7．材料阅读： 光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射． 我们把入射角的正弦值和折射光线与法线夹角的正弦值之比称为折射率（），即 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点，测得，．若，，三点在同一条直线上，已知光线从空气进入水中时的折射率为．请依据相关材料解决下列问题： (1) ； (2)求的长．（结果精确到；参考数据：，，） 8．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)若为直线上方的抛物线上一动点，过点作于点，当的面积最大时，求线段的值． (3)抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．一个二次函数的图象上任一点的坐标满足方程． (1)求此二次函数的解析式； (2)若此二次函数与x轴的交点分别为A，B(A在B的左边)，与y轴的交点为C，在此二次函数的图象上与x轴上分别找一点D，E(点D不同于点C)，使得以A，D，E为顶点的三角形与相似．求出所有满足条件的点E的坐标． 10．如图1，在四边形中，，，，E是线段上的动点，过E作分别交边，于G，F，于H，设， (1)直接写出t的取值范围； (2)当为等腰三角形时，求t的值； (3)如图2，N是中点，当射线经过B点时，求长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29章 三角初步 复习要点 1. 理解锐角三角比（正切、余切、正弦、余弦）的定义，分清直角三角形中锐角的对边、邻边、斜边，明确三角比数值只和角的大小有关. 2. 熟练记忆 30°、45°、60° 特殊锐角的三角比，能够完成求值、由三角比反求角度两类计算. 3. 掌握互余两角三角比的关系，会借助关系进行简单化简与转换计算。 4. 掌握解直角三角形，能结合勾股定理、两锐角互余、三角比，在已知边或角条件下求出直角三角形其余边与角. 5. 理解仰角、俯角、坡度、坡角实际模型，会通过作辅助线构造直角三角形，解决实际应用问题. 复习重难点 重点：锐角三角比概念辨析；特殊角三角比计算；解直角三角形基本方法. 难点：复杂图形中构造直角三角形；实际问题转化几何模型；区分对边邻边，互余角三角比灵活转换；三角比与相似、勾股综合计算. 知识点 锐角的正弦、余弦与正切的概念 1.锐角的正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边之比叫作这个锐角的正弦. 2.锐角的余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边之比叫作这个锐角的余弦. 3.锐角的正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边之比叫作这个锐角的正切. 4.同一锐角的正弦值、余弦值、正切值之间的关系 5.同角的正弦值、余弦值之间的关系. 6.互余两角的正弦值、余弦值之间的关系 在中，，那么，.即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. 要点速测 1．如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，且与x轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴构造直角三角形，根据点坐标结合正切定义求出，利用勾股定理求出，最后根据正弦定义求出即可． 【详解】解：过点作轴于点，则， 在中，，即， ∴， ∴， ∴． 2．如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意． 3．如图所示，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度可用三角函数表示为______米． 【答案】 【详解】利用正弦的定义求解即可． 解：如图，过点作，垂足为，则为栏杆A端升高的高度， 米， 米， ， 米． 4．如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，若，，则的值为________． 【答案】 【分析】设，则，由折叠可得，再结合矩形的性质和勾股定理计算得出，最后再由正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵是的中点， ∴， 四边形是矩形， ， ∴， ， 解得， ， ∴． 5．如图，在中，，D是的中点，过点B作直线的垂线，垂足为点E． (1)计算线段的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用余弦定义和勾股定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线性质求解即可； （2）先根据三角形的中线平分该三角形的面积求得，在中，利用余弦定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ． 设，则， ， ． ，解得， ，， ∵D是的中点， ； （2）解：∵D是的中点， ∴， ，即， ∴， ． ∴在中，． 6．如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （2）延长交的延长线于点，连接，先证出，再得出，进而可得，然后利用勾股定理求出的长，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴在中，． （2）解：如图，延长交的延长线于点，连接， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴． 知识点 特殊锐角的正弦、余弦与正切值 1. 1 要点速测 1．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义可得的度数，进而可得的度数，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 2．如图，的边长分别为1，，2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画，使得，其相似比．嘉嘉说：“k的值有3个．”佳佳对嘉嘉说：“k不能取．” 对他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，佳佳不正确 B．嘉嘉不正确，佳佳正确 C．他俩都正确 D．他俩都不正确 【答案】A 【分析】根据题意可得，在正六边形网格找与相似的三角形，即找三边的比值为的直角三角形，分析图形可得共三种情况，即可解答． 【详解】解：∵的边长分别为1，，2，即，，， ∴，即 ∴为直角三角形， ∵ ∴，． 在正六边形网格中作出三边比为的直角三角形，如图所示： 在中，，故相似比； 在中，，故相似比； 在中，，故相似比； ∴k可取，，． 综上所述，嘉嘉正确，佳佳不正确． 3．在中，，则为________三角形． 【答案】直角 【分析】根据两个非负数的和为0，则它们都为0，可得，，因而可求得∠A、∠B的度数，由此可判断△ABC的形状． 【详解】∵，，且 ∴， ∴， ∴∠A=60゜，∠B=30゜ ∵∠A+∠B=90゜ ∴△ABC是直角三角形 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了几个非负数的和为0则它们都为0的性质，已知三角函数值求角，直角三角形的判定等知识，关键是根据非负数和为0的性质求得∠A、∠B的三角函数值． 4．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是：_____． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据非负数的意义和特殊锐角的三角函数值求出角A和角B，进而确定三角形的形状． 【详解】解：因为（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0， 所以2cosA﹣＝0，且1﹣tanB＝0， 即cosA＝，tanB＝1， 所以∠A＝45°，∠B＝45°， 所以 所以△ABC是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值以及三角形的判定，掌握特殊锐角的三角函数值是正确判断的前提． 5．在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 【答案】直角三角形 【分析】由非负数的性质求出和的值，再根据三角函数值确定角和的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴，， ，， ，为锐角， ，， ， 是直角三角形． 6．计算： 【答案】 【详解】解：原式 7．计算：． 【答案】1 【详解】解：原式 ． 8．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 9．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 10．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先代入特殊三角函数值，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 知识点 根据三角函数值判断锐角的取值范围 1.当角在到的范围内增大时,的值随着的增大而增大,的值随着的增大而减小. 2.当时，，. 3.当角在到的范围内增大时,的值随着的增大而增大. 要点速测 1．已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用锐角正弦值随角度增大而增大的性质，结合已知特殊角的正弦值求解范围． 【详解】解：∵是锐角，且，又∵当为锐角时，随角度的增大而增大， ∴由可得， ∵锐角满足， ∴． 2．已知在中，，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意解得、、的度数，进而根据余弦定理判断、选项，根据三角形的边和角的关系判断选项，根据正弦定理和三角函数的三倍角公式解得，进而判断选项． 【详解】解：由题意可得，， 设，则，， ，解得， ，， ， 由余弦定理可得，， 即， ， 选项错误，选项正确； 大角对大边，可知， 选项错误； ， ， 由三角函数的三倍角公式可得，， 由正弦定理可得，， 当时，， ， 解得， ，与矛盾，故选项错误． 3．三边分别为，且满足，则下面说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过设比例系数k，将三边用含k的代数式表示，化简第三个分式的分子为完全平方形式，求出三边关系判断三角形形状，再逐一验证选项． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， 代入得， 又∵， ∴． 化简第三个分式的分子： ， ∵，， ∴， 则． ∴． 即是直角三角形，． 逐一验证选项： A、，k不一定为1， 故A错误； B、在中， 若y为的对边， 则， ∵， ∴， 故选项B为最佳答案； C、， 故C错误； D、， 仅当时等于， k不一定为该值， 故D错误． 【点睛】本题考查了三角形综合．熟练掌握勾股定理及其逆定理，三角形周长概念，完全平方式，是解题的关键． 4．三角形的三个内角分别为α，β，γ，且，，则β的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和先根据三角形的内角和定理表示出，然后根据及可确定的范围，从而可确定的范围． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 知识点 解直角三角形 1.解直角三角形的概念 对于直角三角形，除了已知其中一个直角以外共有五个元素，即三条边和两个锐角. 在直角三角形中，根据已知元素求出所有未知元素的过程，称为解直角三角形. 在直角三角形中，只要已知两条边长或者一条边长与一个锐角，就可以求得其他所有角和边. 2.解非直角三角形 在解非直角三角形时，往往通过作三角形的高，构造直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏、、角和已知长度的边为原则. 3.仰角：在水平线上方的视线与水平线所成的夹角. 俯角：在水平线下方的视线与水平线所成的夹角. 4.坡角:斜坡与水平面的夹角.坡度：斜坡上升的垂直距离 和水平距离 的比 5.方向角：指北或指南的方向线与目标线所成的小于 90°的角. 如图，目标线 、 、 的方向角分别可以表示为北偏东 、南偏东 、北偏西 ，其中南偏东 习惯上又叫作东南方向,北偏西 习惯上又叫作西北方向 要点速测 1．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过B、C作于点E，于点F，证明四边形为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理求得，再利用坡比概念求得，进而利用正弦定义求解即可． 【详解】解：分别过B、C作于点E，于点F， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． ∴四边形为矩形，则， ∵斜坡的坡比， ∴设，则， 在中，根据勾股定理，得， ，解得或（不合题意，舍去）， 则， 又∵背水坡的坡比， ， ，则． 2．如图，在中，，，．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算时，延长使，连接，得，所以．类比这种方法，计算的值为___________． 【答案】 【分析】作，使，延长到，使，连接，根据等腰三角形的性质可得，再求出，设，则，然后利用正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，作，使，延长到，使，连接， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． 3．如图，在中，D，E分别为，的中点，于点，，交的延长线于点．若，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】过点A作于点H，根据三角形的中位线性质得出，，证明四边形是矩形，得出，解直角三角形得出，证明，得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点H，如图所示： ∵D，E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 4．已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． (1)求线段的长； (2)计算的值． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可得，从而求出的正切值即求出了的值． 【详解】（1）解：是边上的高， 和是直角三角形， 在中，，， ， ． 又， ； （2）解：在中，为斜边的中点， ， ， ． 5．在中，，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的度数； (2)如图2，当时，试判断和的数量关系，并说明理由； (3)当，时，若，，求点到的距离． 【答案】(1) ①证明：∵将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，， ∴， ∵，，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴（）， ∴． ② (2) ．理由如下： 如图，过点 作于 ∵，，， ∴，， ∴，， 同理：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）①根据旋转的性质可得，根据可得，是等边三角形，利用得出即可得结论；②根据全等三角形及等边三角形的性质可得，根据邻补角的定义及角的和差关系即可得答案； （2）过点作于，根据等腰三角形的性质求出，利用的三角函数得出，进而得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得出； （3）过点D作DM⊥PC于M，过点B作BN⊥CP交CP的延长线于N，利用的三角函数及勾股定理可求出的长，利用（2）的结论可得的长，利用三角形内角和定理得出，利用含角的直角三角形的性质求出的长即可得答案． 【详解】（1）①略 ②∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． （2）（2）略 （3）解：∵， ∴是锐角三角形， 过点作于，过点作于N． 在中，∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故点到的距离为． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形及含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质及判定定理并熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 6．为了保护视力，小萌购买了可调节书架，将书架放置在水平桌面上如图1，这种书架的侧面结构如图2，、可分别绕点B、C转动，经测量知C是的中点，且．当、转动到，时，求点D到的距离．（结果精确到；参考数据：，） 【答案】 【分析】过C作于F，过D作于G，于H，根据矩形的判定与性质得出，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，然后根据线段的和差关系求出的长度，即可求解． 【详解】解：过C作于F，过D作于G，于H， 则四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵C是的中点，， ∴， 在中，， ∴， 即点D到的距离为． 题型1 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 ▌例1 （如图所示，已知是水平面，、、是斜坡．的坡角为，坡长为米，的坡角为，坡长为米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据： ，） 解题要点 构造合适的直角三角形. 【详解】（1）解：（1）过点A作于E，  在中，米，  则（米），  答：坡顶A到水平面的距离约为210米； （2）解：过点D作于F，于G，  则四边形为矩形，  ，  在中，米，  则（米），  （米），  的坡比，  ，  ，  （米），  答：斜坡的长度约为240米． ▌迁移练1-1如图所示，已知是水平面，、、是斜坡，、、、在同一个平面内．在坡顶处测得点的俯角为，米，在坡顶处测得点的俯角为，米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据：，） 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】本题考查了解直角三角形，解决本题的关键是理解坡比，根据坡比的定义找到线段之间的比例． 过点作构造直角三角形，根据的正弦求出的长度即可； 过点作，，可得四边形是矩形，是直角三角形，利用直角三角形的性质可以求出的长度，根据矩形的性质可以求出的长度，再根据坡比的定义求出的长度． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， 坡顶处测得点的俯角为， ， ， ， 解得：米， 坡顶到水平面的距离为米； （2）解：如下图所示，过点作，， 四边形是矩形， 在坡顶处测得点的俯角为， ， ， ， 米， 在中米， 米， ， 的坡比， 设，则， ， 米， 斜坡的长度大约是米． ▌迁移练1-2某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面A处出发，沿坡角为53°的山坡AB直线上行一段距离到达B处，再沿着坡角为22°的山坡BC直线上行600米到达C处，通过测量数据计算出小山高CD＝612m，求该数学小组行进的水平距离AD（结果精确到1m）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） 【答案】852m 【分析】过B作BE⊥CD于点E，过B作BH⊥AD于点H，通过证明四边形BEDH是矩形，得到DE＝BH，BE＝DH，再根据三角函数的性质，分别计算得BE、AH的长，即可完成求解． 【详解】如图，过B作BE⊥CD于点E，过B作BH⊥AD于点H 又∵ ∴，，   ∴四边形BEDH是矩形， ∴DE＝BH，BE＝DH， 在Rt△BCE中， ∵BC＝600，∠CBE＝22° ∴CE＝BC•sin22°＝600×0.37＝222m，BE＝BC•cos22°＝600×0.92＝552m ∴DH＝BE＝552m ∵CD＝612m， ∴BH＝DE＝CD-CE＝612-222＝390m 在Rt△ABH中， ∵∠BAH＝53° ∴tan53°＝ ∴AH＝300m ∴AD＝AH+DH＝300+552＝852m ∴该数学小组行进的水平距离AD为852m． 【点睛】本题考查了矩形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、三角函数的性质，从而完成求解． 题型2 仰角和俯角 ▌例2 陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 解题要点仰角俯角 1.构造直角三角形，将实际问题转化成三角形问题. 【答案】C 【分析】在中，，在中，，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴米． ▌迁移练2-1位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【分析】设，，证明四边形、四边形为矩形，根据、列方程求解即可． 【详解】解：设，，由题意知， ∵，，， ∴， 又∵， 即且， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为矩形， 同理可得四边形、四边形也为矩形， ∴，，， ∴， ， ∴， 解得， ∴， ∴． ▌迁移练2-2如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过作于，过作于，根据斜坡的坡度，得出，设，，由勾股定理可求得，值即可求解，从而得到的长；由题意得，在中，即可求解的长，再根据三个角是直角的四边形是矩形，得到四边形为矩形，从而有，由此可以得到的长． 【详解】解：如图，过作，垂足为,延长交于点． 斜坡的坡度， ． 设，， ， 又， ， ． 由题意得，， ，解得． ，， ， ， , 又， ， 四边形为矩形， , ． 建筑物顶部到的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角、矩形的判定及性质，解题的关键在于根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解． 难点一 解三角形的应用 难点1：文字情境转化几何图形 难点表现：读长段应用题，无法提取几何要素；不会根据题意画出示意图；漏看条件（障碍物、楼高、观测点高度）；图画错导致整题计算错误。 应对措施： 1.读题分步标记：圈出观测点高度、角度、水平距离、竖直高度； 2.强制画图流程：先画水平线、竖直线，再标记角度和已知线段； 3.特别注意：人眼、仪器有高度，不能直接把地面当作观测点。 难点2：仰角、俯角概念理解易错 难点表现：把仰角 / 俯角当成视线与竖直方向夹角；不会处理 “从楼顶往下看”“地面往上看”；忽略水平线基准。 应对措施： 1.牢记定义：仰角、俯角都是视线与水平线的夹角，不是和竖直线夹角； 2.画图必画出水平辅助线；向下看为俯角，向上看为仰角； 3.平行线性质：不同高度的水平线互相平行，可以进行角度等量代换。 难点 3：坡度、坡角混淆 难点表现：把坡度i当成角度；错把坡度写成竖直高度比斜边；分不清坡角和坡度i，不会互相转化. 应对措施 1.牢记：坡度；坡度是比值，坡角才是角度. 2.看到坡度，立刻写出，再求角度或者边长。 3.堤坝题型，把坡面、高、水平底三边分开标注。 难点4：方位角问题（北偏东、南偏西） 难点表现：方位角从东 / 西开始算；不会画南北东西十字坐标；不会把方位角转化为直角三角形内角；多个观测点方位混乱。 应对措施： 1.方位角规则：以正北或正南为起始边，向东、向西偏转；“北偏东 30°” 不是东偏北 60°（题目给什么用什么）。 2.解题第一步画出十字方位坐标系；过观测点作水平、竖直辅助线，构造直角三角形. 难点精练 1．某校园门口的通道闸机挡板打开时的截面图如上图所示，扇形和是闸机成轴对称的挡板，已知半径，打开时，闸机装好后，要求挡板打开时两点之间的距离满足：，则安装时两个闸机机身之间的安装距离应满足（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先构造直角三角形，运用三角函数计算出单侧挡板打开时的水平投影长度，然后结合轴对称图形的性质可得出两个挡板的总水平投影长度，最后结合的长度范围推导出安装距离的范围． 【详解】解：过点B作于点G，过点D作于点H． 在中，，，根据正弦的定义：． 由于扇形和成轴对称关系，因此同理可得． 两个挡板的总水平投影长度为：． 题目要求，而的长度等于“两个挡板的总水平投影”加上“的长度”． 当时，的最小值为总水平投影：； 当时，的最大值为总水平投影加10：． 因此，安装距离应满足：． 2．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形．已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形，加固后背水坡面的坡度为，则的长为________米． 【答案】8 【分析】过作交于点，过作交于点，分别进行解直角三角形，求得的长度即可． 【详解】解：如图，过作交于点，过作交于点， 在中，（米）， ∵四边形是梯形， ∴四边形为矩形， （米）， 在中，由勾股定理得， （米）， 在中，（米）， ∴（米）， 3．已知：如图，在中，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】过点作于点，在中利用三角函数求出，在中利用三角函数求出． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴． 4．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 【答案】(1)，C的距离约为30海里 (2)缉私艇所用时间是2小时 【分析】（1）先求出，再根据三角函数计算即可； （2）延长交于点M，由题意得，根据三角函数求出海里，海里，可知海里，进而可知缉私艇拦截走私船所用时间． 【详解】（1）解：在中，，， ， 在中，， （海里）， ，C的距离约为30海里； （2）解：延长交于点M，由题意得， 在中，（海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， （小时）， 答：缉私艇所用时间是2小时． 5．某数学兴趣小组开展实践活动，测量某公园一座亭子的高度，在亭子的正前方有一斜坡，坡角，斜坡的顶端与亭子底端的距离米，小组成员在斜坡的点处测得亭子顶端的仰角，米，已知，，所有点在同一平面内，求亭子的高度．（结果保留根号） 【答案】亭子的高度是米． 【分析】延长交的延长线于点，过点作于点，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值，求出，，，即可求出． 【详解】解：延长交的延长线于点，过点作于点， 由题可知，四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， ，， ，， 在中，， ， ， 亭子的高度是米． 6．由平方非负，，可知时，，当且仅当时取等号，这就是基本不等式． (1)请仿照题干中的方法，试证：对，有当且仅当时取等号． (2)如图，已知一次函数的图象过点，且交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，． ①试用表示的长度； ②求长度的最小值．（可利用第一问结论） 【答案】(1)证明： ， 当时，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即，当且仅当时取等号； (2)①；② 【分析】（1）求出，再证明当时，，即可； （2）①设点的横坐标为，点的纵坐标为，根据待定系数法可求出，则，把代入得，而，则，，再代入计算即可； ②由，可得，当时，，当时，，两式相加变形可得，则，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①设点的横坐标为，点的纵坐标为， 把代入得：， 解得， ∴， ∴， 把代入得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴； ②∵， ∴， 当时，， 当时，， 两式相加得：， ∴， ∴， ∴ ，等号成立的条件为， ∴长度的最小值为． 基础达标 1．如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，得到，利用正切函数的定义，求解即可． 【详解】解：，，得， ， ， 中，， 点D为中点， 故． 2．由于保管不慎，小南正在解的一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在中，，，，求的长”．小南查找了书本提供的答案：，通过计算得知污渍部分的内容是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于H．利用正弦求得，利用余弦求得，求出，然后求得的值． 【详解】解：如图，过点C作于H． ∵， ∴，， ∴， ∴． ∴污渍部分内容为． 3．如图，是的高．若，，则边的长为（   ） A． B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】先利用已知条件求出的长度，再根据的值求出高的长度，最后在中用勾股定理计算的长． 【详解】解：是的高， ． ， ． ， ． 在中， ，， ． 4．无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离约为______m．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】49 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴A处到B处的距离为． 故答案为：49． 5．在中，，O是的中点，连接．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据题意，画出图形，根据正弦和余弦的定义，以及勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 设， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴． 6．在中，，延长到点，使，连接．若，则___________（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形． 设，在中，利用锐角三角函数可得，再结合，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．三角函数：如图，在中，，，， (1)请用尺规作图作边上的高，不写作法，但要保留作图痕迹． (2)请用含的式子表示的面积． 【答案】(1) 高即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图，解直角三角形，勾股定理． （1）根据过已知点作已知直线的垂线方法画出图形，即可； （2）在和中，求出的长，即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的面积． 8．图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得． (1)如图2，___________度； (2)如图2，求点到靠背的距离；（精确到） (3)如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知杯托凹陷深度为，求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度． 【答案】(1)； (2)点到靠背的距离约为； (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义以及将实际问题转化为直角三角形模型的方法是解题的关键． （1）根据垂直于地面，平行于地面，可知平行于，再利用平行线的性质求出的度数． （2）过点作于点，在中，利用正弦函数的定义求出的长度，即为点到靠背的距离． （3）过点作于点，先求出的度数，再利用正切函数的定义求出的长度，最后结合杯托凹陷深度计算水杯的最大高度． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得，，， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：延长交于点， ∵，， ∴， ，， ， 答：点到靠背的距离约为； （3）解：过点作，则， ， ， ， ， 水杯的高为：， 乘客水杯的最大高度为． 9．如图①，郑州之眼摩天轮位于郑州海昌旅游度假区，是中原地区最高的摩天轮建筑，也是中牟网红打卡地之一．如图②，某校数学社团利用周末测量摩天轮的高度，他们在点处测得摩天轮的最高点的仰角为，再往摩天轮方向前进至点处，测得最高点的仰角为，已知点在一条直线上，求摩天轮的高度(结果精确到，参考数据)． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用——仰角问题，核心是利用等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的定义建立方程求解．首先设摩天轮高度为米，在等腰直角三角形中得出，进而表示出的长度；再在中，根据的定义列出关于的方程，通过解方程并代入近似值计算得到最终结果． 【详解】解：设摩天轮的高度为． 在中，，， ， ； ，且点、、共线， ； 在中，，， ， ， 解得． 检验：当时，，且符合题意． 答：摩天轮的高度约为． 10．如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． 又∵， ∴． (2)． 【分析】本题考查了利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用三边对应成比例判定相似求解； （2）先由，可得，再证明，接着利用勾股定理求得，从而可求得，再利用相似三角形的性质列出比例式求得，然后正切的定义求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵在中，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在中，． ∴． 能力进阶 1．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和2，∠B＝120°，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．2 C．4 D．3 【答案】D 【分析】设AG交CE于点H，通过得出，即可得出EH的长，将阴影部分的面积分为和的和，分别求出两个菱形的高即可． 【详解】如图，设AG交CE于点H， ∵菱形ABCD的边AB∥CD， ∴， ∴CH：AB＝GC：GB， 即， 解得， 所以，EH＝CE﹣CH＝ ∵∠B＝120°， ∴∠BCD＝∠FEC＝180°﹣120°＝60°， ∴点B到CD的距离为， 点F到CE的距离为， ∴阴影部分的面积＝S△AEH+S△GEH ＝ 故选：D． 【点睛】本题考查菱形与相似三角形的性质，将阴影部分的面积拆分成两部分来解是解题的关键，属于中考常考题型． 2．如图，在中，，延长到点，使，连结，如果，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取线段的中点，连接，根据三角形的中位线的性质得到，再利用勾股定理求解． 【详解】解：取线段的中点，连接， ， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 3．如图，，，，，，点G在上，点D在上，，则最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，根据等边对等角得到，证明，求出，可知当最小时有最小值，由“垂线段最短”可知当时最小，证明，得到，求出，根据勾股定理得到，求出，进而得到，求出，即可求出最小值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时有最小值， 由“垂线段最短”可知当时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在菱形中，是上一点，将沿翻折至处，延长交于．若四边形是平行四边形，则___________． 【答案】 【分析】连接交于点，设交于点，过点作交的延长线于点，设交于点，设，由，可证明，求出，则，，而，可求，则，再由，可得，即可求解． 【详解】解：连接交于点，设交于点，过点作交的延长线于点，设交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴ 设， 则， 由折叠可得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 由折叠可得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 即． 5．如图，将一副学生常用三角板放在平面直角坐标系中，点D在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，在x轴上，在上，量得，则k的值为______． 【答案】 【分析】设，则，推导出，求出，得到，，再根据三角函数求出，过点作轴于点，推导出，得到，，则，推导出，继而将点代入到中，求出k的值即可． 【详解】解：设，则． 在中， ，， ， 即， 解得， ， ． ，，， ， 过点作轴于点，如图 ， ，， ， ． 将点代入到中得 ， 解得． 6．如图，在三角形纸片中，，点P为边上任意一点（不与A、B重合），连结．将边沿折叠，得到点B的对应点，连接、，当为锐角三角形时，其面积S的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据折叠，判断出点的运动轨迹，再加上锐角三角形的特殊条件可进一步限制出点的运动范围，分别计算运动过程中三角形面积的最大最小值即可． 【详解】由折叠，则必有， 又∵C为定点，为定长， 则点的轨迹为以C为圆心，为半径的圆， 当P与B重合时与B重合，当P与A重合时在B以为对称轴的对称点的位置， ∴点的轨迹为一个半圆，如图 又∵为锐角三角形， 过A作的垂线，交圆弧于点M，连接， 因为圆弧关于对称，仅讨论右边部分即可， 如图，若要保持为锐角三角形，则点的运动轨迹为且不包含端点， 由图可得当点在M时面积最小， 此时，∵为直角三角形有， ∴， 由图可得当点在B处时面积最大， 此时， ∵点运动轨迹不包含端点， ∴，即． 7．材料阅读： 光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射． 我们把入射角的正弦值和折射光线与法线夹角的正弦值之比称为折射率（），即 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点，测得，．若，，三点在同一条直线上，已知光线从空气进入水中时的折射率为．请依据相关材料解决下列问题： (1) ； (2)求的长．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义可得，即可求解； （2）直接解即可． 【详解】（1）解：∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为，． ∴， ； （2）解：∵ ∴在中，， ∵ 答：的长约为． 8．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)若为直线上方的抛物线上一动点，过点作于点，当的面积最大时，求线段的值． (3)抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）对于抛物线，令，求得．运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴，交于点M，设（），则，，通过解直角三角形得到，则，根据二次函数的性质即可求解； （3）分点Q在x轴上方和下方两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：对于抛物线，令，则， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点M， 设（），则， ∴． ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴ ∴当时，有最大值，此时． （3）解：存在，点Q的坐标为或．理由如下： 分两种情况讨论： ①若点Q在x轴的上方，如图， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴点Q的坐标为． ②若点Q在x轴的下方，如图， 由（2）有是等腰直角三角形， ∴， ∴， 延长交y轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 解方程组得，， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或． 9．一个二次函数的图象上任一点的坐标满足方程． (1)求此二次函数的解析式； (2)若此二次函数与x轴的交点分别为A，B(A在B的左边)，与y轴的交点为C，在此二次函数的图象上与x轴上分别找一点D，E(点D不同于点C)，使得以A，D，E为顶点的三角形与相似．求出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)或或或或 【分析】（1）将两边平方，即可得出结果； （2）先证明是以为直角的直角三角形，进而得到是直角三角形，分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：两边平方得， ， 整理得， ∴． （2）解：当时，解得，当时，， ∴，． ∴，，， ∴，， ∴． ∴是以为直角的直角三角形． ∵以A，D，E为顶点的三角形与相似， ∴是直角三角形， ∵点在抛物线上，点在轴上， ∴①当时，即轴， 设，则， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或或， ∴ ∴或． 当时，则， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或（舍去）或， ∴； ②， 当，如图1，则， ∴， 由①可知，此时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 当时，如图2， 同法可得：， ∴，即， 综上：或或或或. 10．如图1，在四边形中，，，，E是线段上的动点，过E作分别交边，于G，F，于H，设， (1)直接写出t的取值范围； (2)当为等腰三角形时，求t的值； (3)如图2，N是中点，当射线经过B点时，求长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，连接，交于，进而证明是的垂直平分线，即和重合时，最大，根据三角函数的定义即可求出的值； （2）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别求解即可； （3）过点F作于Q，交于K，根据，求得，进而求得， ，，，证明，得，即，进而即可求解． 【详解】（1）解：， 都是直角三角形， ， ， ， 连接，交于， ， 是的垂直平分线，即和重合时，最大， 在中，， ， ，即， ， ， ， ； （2）解：， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 于H， ， ， ， ， ， ， 中，， 中，， ， ， ，， ； 分三种情况讨论： ①当时：   解得：； ②当时，过F作于K，则有，    解得：； ③当时，过点H作于P， ， ， ， ， ，同理可得，即 ， ，   ， 解得：； 综上：时为等腰三角形． （3）解：过点F作于Q，交于K， ， ， ， ， 由（2）可知，， ， ，， ， ，，， N是中点， ， ， ， ， ， 即， 解得， ． 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