专题01 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

该初中数学讲义以相似三角形核心模型为线索，通过知识框架图系统梳理（双）A字型、（双）8字型及AX字模型，清晰呈现各模型的生成条件、比例关系与证明过程，构建“基础模型-叠加演变-综合应用”的知识脉络。 讲义亮点在于“模型-例题-变式”的递进式练习设计，如通过内接矩形模型求面积最值，引导学生用几何直观分析问题，培养模型意识与推理能力。A、B、C组分层题目满足不同学生需求，易错点总结（如顶点对应关系）助力精准突破，为教师实施分层教学和学生自主复习提供有力支持。

专题01 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型 相似三角形是初中阶段最重要的几何知识，同时也是会经常作为压轴题出现；而相似三角形的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将相似三角形的问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决相似三角形的题型；相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形考查经常与其他知识点一起，如全等三角形、勾股定理、圆、二次函数和三角函数等，以综合题型为主，而且变化莫测。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“A”字模型 2 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 5 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 8 易错点与方法总结 13 模型运用 14 A组（基础题） 14 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 28 A 字型、8 字型（也叫 X 型）是相似三角形最基础的模型，来源于平行线分线段成比例定理。当一条直线平行于三角形的一边，与另外两边（或两边延长线）相交，就会截出和原三角形相似的新三角形，由此诞生基础 A 字型与 8 字型。 基础 A 字型：DE∥BC，DE 在△ABC 内部，得到△ADE∽△ABC。把平行线向三角形外延伸，交点落在边的延长线上，就演化出反 A 字型。两个 A 字型叠加，公共顶角、共用平行线条件，形成双 A 字型，可得到多组成比例线段。 将 A 字型图形旋转，两组对边相交，构成对顶的 “X” 结构，即为基础 8 字型。由 AB∥CD，可得△AOB∽△DOC。两组 8 字型嵌套共用交点，便得到双 8 字型。 两类模型本质都是利用平行线构造相等同位角、内错角，用 AA 判定相似。双 A、双 8 是在单模型基础上叠加，实现多次相似转化，常用于线段比例推导，是中考几何计算与证明的高频原型。 模型生成条件：核心依靠平行线，平行产生同位角、内错角相等，用 AA 判定三角形相似。无平行时，若存在一组公共角或对顶角再加一组等角，也可构成斜 A、斜 8 相似模型。 单A 字型比例关系：DE∥BC，△ADE∽△ABC，满足注意对应边找准，不要混淆被截线段与三角形完整边长。 单 8 字型（X 型）比例关系：AB∥CD，△AOB∽DOC，。利用对顶角作为一组等角，平行线提供另一组角，严格分清对顶对应顶点。 双 A 字型核心用法：共用同一个顶角，两套 A 字型嵌套，可得到多组比例等式。常借助中间比做桥梁，实现线段比例转化，重点梳理多层线段之间的对应关系。 双 8 字型核心用法：共用中间交点，两组 8 字型叠加相似。解题善于提取其中单个 8 字型，多次列比例式，通过等量代换推导求证，谨防顶点对应出错造成比例写错。 模型1.“A”字模型 【模型提炼与证明】 “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，，，则的长是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【典例2】（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【典例3】（2025·浙江台州·模拟预测）如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F．若，则的长是______． 【典例4】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． (1)求的长； (2)若交于点，求的长． 【典例5】（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）阅读材料，解决问题：配方法是一种重要的数学方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用，例如我们可以用配方法求函数的最值以及取得最值的条件，见下面的例子： 例：求函数的最大值以及取得最大值的条件．解答过程如下： 解： ∵， ∴， ∴，即． ∴当，即时，有最大值，且最大值为． 仿照上面的方法，请你解决下面的问题： (1)已知函数，当________时，函数有最________值（填“大”或“小”），其最值为________． (2)如图，在中，，高，内接矩形的顶点、在上，、分别在、上，设，矩形的面积为，求： ①关于的函数关系式； ②矩形的面积的最大值． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 【模型提炼与证明】 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 【模型运用】 的平分线交于点，交的延长线于点．若，则和的面积比是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·安徽蚌埠·三模）如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3】（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，在四边形中，．的平分线交于点，且，若，则的长是__________． 【典例4】（2025·浙江温州·三模）如图，在中，D为边一点，E为边中点，过C作交的延长线于点F，延长与延长线交于点G． (1)求证：． (2)若，求的长． 【典例5】（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，已知相交于点 E，， 且，连接． (1)求线段的长； (2)如果，求线段的长． 模型3“AX”字模型（“A8”字模型） 【模型提炼与证明】 ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连接并延长，交于点G，交的延长线于点F，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【典例4】（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，，连接，交于点F，交于点G，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，求证：． 【典例5】（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【教材呈现】如图是华师版九年级上册教材78页的部分内容： 如图，23．4．4，在中，D、E分别是边的中点，相交于点G． 求证： 证明：连接ED． 请根据教材提示； (1)结合图①，写出完整的证明过程． 【方法应用】：如图②，在中，D、E为边BC的三等分点，连结，F为边的中点，连接，分别交于点H、G． (2)若，则的长为_______； (3)若，则________． 模型常见易错点 顶点对应关系出错：写相似和比例式时顶点乱序，A 字型、8 字型必须按相等角一一对应顶点。顶点错位会直接导致线段比例写反，计算结果全部错误，书写前先标记相等角。 混淆部分线段与整条边长：A 字型容易把误当作相似比，相似比是。分清被截出的小段和三角形完整边，不要直接拿分割后的两段作比。 无视平行直接套用模型：A、8 字型相似前提大多为平行线，无平行不能直接用模型。斜 A、斜 8 需要主动寻找第二组等角证明 AA 相似，不可看见图形像就直接默认相似。 1．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，是的平分线，且交于E，与相交于O，已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·山东德州·开学考试）如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．3 3．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，平行四边形中，点E是的中点，连结并延长交的延长线于点F，点G是线段上一点，满足，交于点H，若，，则的长为（     ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）在中，分别为边上的点，与相交于点D．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，于点D，的延长线交于点E，F是中点，连接，若，则四边形与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 9．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，中线，相交于点、，交于点．．则的长为______． 10．（25-26九年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，点在平行四边形的边上，延长交的延长线于点，交于点，若，则________． 11．（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）如图，中，D为的中点，点E在上，且，要使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则_____． 12．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，点、分别是、的中点，连接、交于点，交于点，那么________． 13．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________． 14．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，菱形的边长为6，，过点B作，交的延长线于点E，连接分别交，于点F，G，则的长为__________． 15．（2026·山西阳泉·三模）如图，在中，，，D是边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交边于点E，则的长为______． 16．（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）如图在锐角中，，，两动点，分别在，上滑动，且，以为边长向下作正方形，设，正方形与公共部分的面积为． (1)求出的边上的高． (2)如图1，当正方形的边恰好落在边上时，求的值． (3)如图2，当落在外部时，求出与的函数关系式． 17．（25-26九年级上·江苏无锡·开学考试）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3) 的值等于 ．（直接写出结果，无需解答过程） 18．（2025·河南信阳·模拟预测）【探索发现】 如图，将沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将和分别沿、折叠，使点、均落在点处，折痕形成一个四边形 小刚在探索这个问题时发现四边形是矩形． 小刚是这样想的： (1)请参考小刚的思路写出证明过程； (2)连接，当时，直接写出线段、、的数量关系； 【理解运用】 (3)如图，在四边形中，，，，，，点为的中点，把四边形折叠成如图所示的正方形，顶点、落在点处，顶点、落在点处，求的长． 19．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）如图所示，在中，，是边上一点，，为线段中点，连结并延长交于点． (1)求证：． (2)若，求证：． 20. （25-26八年级下·吉林长春·期末）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材中的部分内容． 如图，在中，D，E分别是边，的中点，，相交于点G，求证：， 证明：连接． 1. 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 结论应用：在中，对角线、交于点O，E为边的中点，、交于点F． 2. 如图②，若为正方形，且，则的长为______． 3. 如图③，连接交于点G，若四边形的面积为2，则的面积为______． 21．（25-26八年级下·吉林长春·期末）综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 22．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 23．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，小丽为了在中作一个内接正方形（点、、、在三角形的边上），进行了如下操作． 第一步：如图2，在边上任取一点，作，为垂足，以为边作正方形． 第二步：如图3，作射线交于点． 第三步：如图3，过点作，交于点，作，，垂足为，． (1)请证明小丽所作的四边形是正方形； (2)如图1，边长为的正方形内接于（点、、、在三角形的边上），知，边上的高为． ①求证：； ②连接，若边上的高，的面积为，的面积为．设，则与的关系式__________（直接写答案）． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型 相似三角形是初中阶段最重要的几何知识，同时也是会经常作为压轴题出现；而相似三角形的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将相似三角形的问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决相似三角形的题型；相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形考查经常与其他知识点一起，如全等三角形、勾股定理、圆、二次函数和三角函数等，以综合题型为主，而且变化莫测。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“A”字模型 2 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 5 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 8 易错点与方法总结 13 模型运用 14 A组（基础题） 14 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 28 A 字型、8 字型（也叫 X 型）是相似三角形最基础的模型，来源于平行线分线段成比例定理。当一条直线平行于三角形的一边，与另外两边（或两边延长线）相交，就会截出和原三角形相似的新三角形，由此诞生基础 A 字型与 8 字型。 基础 A 字型：DE∥BC，DE 在△ABC 内部，得到△ADE∽△ABC。把平行线向三角形外延伸，交点落在边的延长线上，就演化出反 A 字型。两个 A 字型叠加，公共顶角、共用平行线条件，形成双 A 字型，可得到多组成比例线段。 将 A 字型图形旋转，两组对边相交，构成对顶的 “X” 结构，即为基础 8 字型。由 AB∥CD，可得△AOB∽△DOC。两组 8 字型嵌套共用交点，便得到双 8 字型。 两类模型本质都是利用平行线构造相等同位角、内错角，用 AA 判定相似。双 A、双 8 是在单模型基础上叠加，实现多次相似转化，常用于线段比例推导，是中考几何计算与证明的高频原型。 模型生成条件：核心依靠平行线，平行产生同位角、内错角相等，用 AA 判定三角形相似。无平行时，若存在一组公共角或对顶角再加一组等角，也可构成斜 A、斜 8 相似模型。 单A 字型比例关系：DE∥BC，△ADE∽△ABC，满足注意对应边找准，不要混淆被截线段与三角形完整边长。 单 8 字型（X 型）比例关系：AB∥CD，△AOB∽DOC，。利用对顶角作为一组等角，平行线提供另一组角，严格分清对顶对应顶点。 双 A 字型核心用法：共用同一个顶角，两套 A 字型嵌套，可得到多组比例等式。常借助中间比做桥梁，实现线段比例转化，重点梳理多层线段之间的对应关系。 双 8 字型核心用法：共用中间交点，两组 8 字型叠加相似。解题善于提取其中单个 8 字型，多次列比例式，通过等量代换推导求证，谨防顶点对应出错造成比例写错。 模型1.“A”字模型 【模型提炼与证明】 “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，，，则的长是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据可得，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 【典例2】（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得出相似比，进而求出与的面积比，利用面积差求出四边形的面积，最后计算比值即可； 【详解】解：，且， ， ， ， ， ， ． 【典例3】（2025·浙江台州·模拟预测）如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F．若，则的长是______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理可得且，进而证得，利用相似比求解即可． 【详解】解：点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【典例4】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． (1)求的长； (2)若交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平分得，由等腰三角形的性质得，可得，即可证明，得到，求解即可； （2）由平行线的性质得到，有代入求得，结合即可． 【详解】（1）解：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ∴； （2）， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． 【典例5】（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）阅读材料，解决问题：配方法是一种重要的数学方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用，例如我们可以用配方法求函数的最值以及取得最值的条件，见下面的例子： 例：求函数的最大值以及取得最大值的条件．解答过程如下： 解： ∵， ∴， ∴，即． ∴当，即时，有最大值，且最大值为． 仿照上面的方法，请你解决下面的问题： (1)已知函数，当________时，函数有最________值（填“大”或“小”），其最值为________． (2)如图，在中，，高，内接矩形的顶点、在上，、分别在、上，设，矩形的面积为，求： ①关于的函数关系式； ②矩形的面积的最大值． 【答案】(1)；小； (2)①；② 【分析】（1）根据所给的例题，应用配方法即可求出的最值； （2）①证明，根据相似三角形的相比等于高的比，可得，分别求出，，即可求矩形的面积的函数表达式； ②根据所给的例题，应用配方法即可求出矩形的面积的最大值． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 即， ∴当，即时，有最小值，其最小值为， 故答案为：；小；； （2）解：①设交于， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，，即， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴关于的函数关系式为； ②由①知：， ∵， ∴， ∴， 即， ∴当，即时，有最大值，其最大值为， ∴矩形的面积的最大值为． 【点睛】本题考查配方法，非负数的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 【模型提炼与证明】 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 【模型运用】 的平分线交于点，交的延长线于点．若，则和的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线与平行线得到等腰三角形，求出线段的长度；再根据判定与相似，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出两个三角形的面积比． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【典例2】（2026·安徽蚌埠·三模）如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理得出，，根据平行四边形的性质得出，，，进而得出，，证明可得出，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例3】（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，在四边形中，．的平分线交于点，且，若，则的长是__________． 【答案】 【分析】先求出，再证明四边形为平行四边形，得到，，证明得到，，据此即可求出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， ∴， ， ， ． 【典例4】（2025·浙江温州·三模）如图，在中，D为边一点，E为边中点，过C作交的延长线于点F，延长与延长线交于点G． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵E为边中点， ∴， ∵在和中， ， ∴； (2)10 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再由中点的定义可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典例5】（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，已知相交于点 E，， 且，连接． (1)求线段的长； (2)如果，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】解题的关键在于熟练掌握相似三角形的性质和判定． （1）结合题意推出，进而证明，再利用相似三角形性质建立等式求解，即可解题； （2）根据题意求出，结合相似三角形性质证明，再利用相似三角形性质建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 模型3“AX”字模型（“A8”字模型） 【模型提炼与证明】 ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握该性质． 根据平行线分线段成比例逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项正确； B. ∵，， ∴， ∴； 该选项正确； C. ∵，， ∴， ∴， 该选项正确； D.根据给出条件无法得出， 该选项不一定正确； 故选：D． 【典例2】（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形性质和角平分线性质证得为等腰三角形，求出其面积；再利用相似三角形性质得出与的关系，从而建立平行四边形面积与面积的联系求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 如图，连接， 可知， 在中，， ， ， ， ， 为中点，即， 设平行四边形中边上的高为， 则， 又， ． 【典例3】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连接并延长，交于点G，交的延长线于点F，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】 【分析】先证，可证，故正确；由和，则，故正确；证明，得出，即可得出，故正确；证明，得．证，得．由，得．可得，故错误． 【详解】解：四边形是正方形， ，，． 在和中， ． ，，故正确； ， ． ， ． ，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 四边形是正方形， ，． ，． ． ． ， ，，． ． ． ． ，， ． 在和中 ． ． ，故错误； 综上，正确的结论为①②③． 【典例4】（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，，连接，交于点F，交于点G，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴． (2) (3)证明：如图，在线段上取点P，使得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明，进而利用相似三角形的性质解答即可； （3）在线段上取点P，使得，证明，得出，证得为等腰直角三角形，可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∴，即． 由（1）知， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得，（舍去）． ∴． （3）略 【典例5】（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【教材呈现】如图是华师版九年级上册教材78页的部分内容： 如图，23．4．4，在中，D、E分别是边的中点，相交于点G． 求证： 证明：连接ED． 请根据教材提示； (1)结合图①，写出完整的证明过程． 【方法应用】：如图②，在中，D、E为边BC的三等分点，连结，F为边的中点，连接，分别交于点H、G． (2)若，则的长为_______； (3)若，则________． 【答案】(1)证明：∵ D、E分别是边的中点， ，， ，， ，， ，即， ． (2) (3)40 【分析】（1）由三角形中位线的性质可得，易证、可得、，进而得到，最后代入计算即可； （2）如图：过点A作且连接、，则四边形为平行四边形，再证明可得，利用三等分点和线段的和差可得，再利用线段的和差即可解答； （3）由(1)知 ，即，易得；证明可得，进而得到，，即，则；再利用三角形中线可知，即，再结合已知条件即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图：过点A作且连接、， 四边形为平行四边形， 为中点， 共线，且为对角线． 为中点． 即， ， ， ， ， 又∵D、E分别为的三等分点， ，即， ， 又， ，解得：， ． （3）解：由(1)知∶ ， ∴，即， ， ， ， ， ，， 又 B、H、G、F共线， ，即， 又 F为中点， ， ∴． 模型常见易错点 顶点对应关系出错：写相似和比例式时顶点乱序，A 字型、8 字型必须按相等角一一对应顶点。顶点错位会直接导致线段比例写反，计算结果全部错误，书写前先标记相等角。 混淆部分线段与整条边长：A 字型容易把误当作相似比，相似比是。分清被截出的小段和三角形完整边，不要直接拿分割后的两段作比。 无视平行直接套用模型：A、8 字型相似前提大多为平行线，无平行不能直接用模型。斜 A、斜 8 需要主动寻找第二组等角证明 AA 相似，不可看见图形像就直接默认相似。 1．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，是的平分线，且交于E，与相交于O，已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义，证得为等腰三角形，从而求出的长；再利用得出对应边成比例，进而求得的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 2．（25-26九年级下·山东德州·开学考试）如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．3 【答案】A 【分析】证明，求出的长，再证明，求出的长即可. 【详解】解：∵D、E为边的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，平行四边形中，点E是的中点，连结并延长交的延长线于点F，点G是线段上一点，满足，交于点H，若，，则的长为（     ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，，证明，推出．求出，，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ． ， ， ∴， ， ， ， ，． ， ， ． ， ， ． 设，则， ∴， 解得， 即的长为． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移，位似比的意义，解答即可； 【详解】解：点为位似中心，将按相似比缩小，得到， 将点向下平移１个单位长度，得到位似中心为，点的对应点为，按相似比缩小，得到对应点， 再将点向上平移１个单位长度就得到点的对应点D的坐标为； 5．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据平行线分线段成比例定理得出，解分式方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴线段的长为． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设，则，利用相似三角形得出线段比例关系，结合勾股定理和面积公式逐一判断结论. 【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即，故②错误； ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ，解得， ， ， 在中，， ，故③正确； 在中，， ， ，， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①③，共2个. 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）在中，分别为边上的点，与相交于点D．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图：连接，先证得到相似比为，，即，再证可得，求得，则，进而求得． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ， ； ∵， ∴的面积为20， ∵， ∴，即， ∴的值为． 8．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，于点D，的延长线交于点E，F是中点，连接，若，则四边形与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，进而得出，根据三角形的中线性质得到，根据三角形中位线定理得到，，证明得到，进而可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵F是中点， ∴，又， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即四边形与的面积之比为． 9．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，中线，相交于点、，交于点．．则的长为______． 【答案】 【分析】连接，由中位线定理可得，，再证明，所以，则，然后证明，则有，故，所以，最后通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵中线，相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵，是中线， ∴，即的长为． 10．（25-26九年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，点在平行四边形的边上，延长交的延长线于点，交于点，若，则________． 【答案】 【分析】根据中，可得，，再根据，得出，从而得出，再利用，求出的值． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ， ， ， ． 11．（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）如图，中，D为的中点，点E在上，且，要使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则_____． 【答案】 或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质. 根据题意可知为公共角，要使以、、为顶点的三角形与相似，需分两种情况进行讨论：一是，二是. 利用线段中点的定义求出的长，再根据相似三角形对应边成比例列出方程求解即可． 【详解】解：点为的中点，， ， ， 要使以、、为顶点的三角形与相似， 分两种情况讨论： 当时， ， 即， 解得； 当时， ， 即， 解得， 综上所述，的长为或 ． 12．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，点、分别是、的中点，连接、交于点，交于点，那么________． 【答案】 【分析】根据中位线的性质，可知，进而可知，根据线段关系可知相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，进而可转化出答案． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 则． 13．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________． 【答案】6 【分析】证明，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 14．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，菱形的边长为6，，过点B作，交的延长线于点E，连接分别交，于点F，G，则的长为__________． 【答案】 【分析】由可得，由菱形的性质可得，，即得，进而得到，则，，，由勾股定理求出，再证明和，分别求出和，最后根据计算即可求解． 【详解】解：∵，交的延长线于点E， ∴， ∵四边形是边长为6的菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（2026·山西阳泉·三模）如图，在中，，，D是边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交边于点E，则的长为______． 【答案】/ 【分析】过点D作，交于点G，根据相似三角形的判定和性质得出是的中位线，，再由勾股定理得出，确定，结合相似三角形的判定和性质得出，再由中位线的性质即可求解 【详解】解：如图，过点D作，交于点G， ∴， ∴， ∵D是边的中点，， ∴， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴ 16．（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）如图在锐角中，，，两动点，分别在，上滑动，且，以为边长向下作正方形，设，正方形与公共部分的面积为． (1)求出的边上的高． (2)如图1，当正方形的边恰好落在边上时，求的值． (3)如图2，当落在外部时，求出与的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算可求出； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； （3）根据相似三角形的性质列出比例式，用含的代数式表示，再根据公共部分的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， 是边上的高， ∴， ∴； （2）解：如图，设交于点， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，，即， ∴，是中边上的高， ∴，即， 解得：， ∴当正方形的边恰好落在边上时，的值为； （3）如图，设交于点，交于点， 由（2）知：恰好落在边上时，， 又∵四边形是正方形，，，两动点，分别在，上滑动， ∴当落在外部时，， ，， 由（2）知：，是中边上的高， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴当落在外部时，求出与的函数关系式为． 17．（25-26九年级上·江苏无锡·开学考试）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3) 的值等于 ．（直接写出结果，无需解答过程） 【答案】(1)证明：垂直平分， ， ， ， ， ； (2)证明：垂直平分， ， ， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）由垂直平分线的性质得出，进而得出，由等腰三角形的性质得出即可证明； （2）由DE垂直平分BC，得出，由相似三角形的性质得出，进而得出，由，即可得出； （3）过点作，交的延长线于点，证明，由，即可得出，由平行再证明，根据对应线段成比例得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作，交的延长线于点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 18．（2025·河南信阳·模拟预测）【探索发现】 如图，将沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将和分别沿、折叠，使点、均落在点处，折痕形成一个四边形 小刚在探索这个问题时发现四边形是矩形． 小刚是这样想的： (1)请参考小刚的思路写出证明过程； (2)连接，当时，直接写出线段、、的数量关系； 【理解运用】 (3)如图，在四边形中，，，，，，点为的中点，把四边形折叠成如图所示的正方形，顶点、落在点处，顶点、落在点处，求的长． 【答案】(1)证明：是的中位线， ， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， 四边形是矩形． (2)解：结论： ． 理由：如图中，连接． 由折叠的性质可知：，， ， ，， ∴是的中位线， ， ， ． (3) 【分析】（1）根据四个角是直角的四边形是矩形即可证明． （2）由三角形的中位线定理可知：，由折叠的性质可知： ，由此即可证明． （3）首先求出正方形的边长，由勾股定理求出，再证明，可得，求出即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图中， 由折叠的性质可知：， ∴ ， 四边形是正方形， ， ， ∵点为的中点， ∴ ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）如图所示，在中，，是边上一点，，为线段中点，连结并延长交于点． (1)求证：． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：，， ， 又， ， ， ； (2)证明：过点作交于点， 为的中点， ， ， ， ， ． 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）过点作交于点，证明得出，进而证明，根据相似三角形的性质得，即可得证 【详解】（1）略 （2）略 20. （25-26八年级下·吉林长春·期末）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材中的部分内容． 如图，在中，D，E分别是边，的中点，，相交于点G，求证：， 证明：连接． 1. 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 结论应用：在中，对角线、交于点O，E为边的中点，、交于点F． 2. 如图②，若为正方形，且，则的长为______． 3. 如图③，连接交于点G，若四边形的面积为2，则的面积为______． 【答案】35．证明：连接，如图①， ∵在中，D，E分别是边，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 36． 37． 【分析】（1）证明为的中位线，得出，，从而可得，由相似三角形的性质即可得出结果 （2）由正方形的性质可得，，，证明，由相似三角形的性质得出，从而得出，求出的长即可得出结果； （3）连接，由平行四边形的性质可得，由中位线的性质可得，，证明，得出，同理可得，由和的高相同，和的高相同，得出，，结合图形求出，即可得出结果 【详解】1. 略； 2. 解：∵四边形为正方形，对角线、交于点O，E为边的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴； 3. 解：如图，连接， ∵在中，对角线、交于点O，E为边的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， 同理可得为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵和的高相同，和的高相同， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 21．（25-26八年级下·吉林长春·期末）综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 【答案】(1)1； (2)3 (3)60 【分析】（1）因为，，所以用平行线分线段成比例定理可得是中点，得到与的比值；再结合与的比例关系，用平行线分线段成比例定理可求与的比值； （2）可利用（1）中得到的线段比例关系，结合，推导与的比值； （3）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合是中点、的条件，用全等三角形，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理得到线段与，与的比例，再根据同高三角形面积比等于底边长的比，逐步推导各部分面积与面积的关系，最终求出平行四边形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：∵D是的中点，是的中点， 是的中位线， ∴． 又是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ， ， 因此． （3）解：延长交延长线于， ∵平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 取的中点N，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点P，使， 则， ∴， 在上取点T，Q，使，，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴    ， ∵E是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相同， ∴， ∵， ∴． 22．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， (2)证明：四边形是正方形， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， 【分析】（1）由四边形是正方形，得，，然后通过“”证明 即可； （2）由四边形是正方形，得，所以，由全等三角形性质可得，，故有，然后证明，得，即，所以． 【详解】（1）略 （2）略 23．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，小丽为了在中作一个内接正方形（点、、、在三角形的边上），进行了如下操作． 第一步：如图2，在边上任取一点，作，为垂足，以为边作正方形． 第二步：如图3，作射线交于点． 第三步：如图3，过点作，交于点，作，，垂足为，． (1)请证明小丽所作的四边形是正方形； (2)如图1，边长为的正方形内接于（点、、、在三角形的边上），知，边上的高为． ①求证：； ②连接，若边上的高，的面积为，的面积为．设，则与的关系式__________（直接写答案）． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 又∵正方形中，， ∴． ∴四边形为正方形． (2)①过点作，是垂足，与相交于点，如图所示： ∵， ∴， ∴, 正方形边长为，则, ∴， 即． ∴． 即． ② 【分析】（1）先证明四边形为矩形，再证明四边形为正方形即可； （2）①过点作，是垂足，与相交于点，根据相似三角形的判定和性质解答即可； ②根据三角形面积公式得出，，再根据①的结论可知，，求出，代入得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：与正方形同底等高， ∴，． 由①的结论可知，， 则， 解得：． ∴． 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $