专题30.1 投影 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）2026-2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

本讲义聚焦投影的核心知识点，从投影的概念入手，系统梳理中心投影（点光源特性、影长与距离关系）、平行投影（平行光线特性、物高影长比例）及正投影的定义与性质，构建从基础概念到实际应用的完整学习支架。 资料以思维导图总览课程，分模块精讲例题（如中心投影确定光源、平行投影影长计算），融入日晷、路灯影子等生活实例。通过抽象几何模型培养空间观念，利用相似三角形推理提升逻辑思维，课中辅助教师系统教学，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化应用意识。

30.1 投影 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）新沪教版（五四制）数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解投影的概念：知道中心投影与平行投影的区别与联系。 · 掌握中心投影的性质：光由一点向外散射，物体与投影面平行时投影放大（位似），影长随物体与光源距离变化。 · 掌握平行投影的性质：平行光线下的投影，同一时刻物高与影长成正比，影长方向一致。 · 能运用相似三角形解决投影问题：利用物高与影长的比例关系求解高度、距离等实际问题。 · 培养空间想象能力和几何建模能力：将实际问题抽象为几何图形，建立数学模型。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 知识点1：投影的概念 通常情况下，当光线照射到物体上时，物体在一些平面上会投下影子，我们称之为物体的投影.而照射到物体上的光线则称为投影线，投影所在的平面称为投影面. 提醒（1)投影的形状和大小与物体相对于投影面的位置有关，也与照射物体的光线有关. （2）物体处于光源与投影面之间 例1下列现象是物体的投影的是（ ） A.小明看到镜子里的自己 B.灯光下猫咪映在墙上的影子 C.自行车行驶过后车轮留下的痕迹 D.掉在地上的树叶 解析：由投影的定义可知，灯光下猫咪映在墙上的影子是投影 答案：B ☆知识点2：中心投影 1.定义 我们将由同一点光源（如灯泡；常见的点光源有路灯、台灯、手电筒、探照灯等。）发出的光线形成的投影叫作中心投影，点光源叫作投影中心.如图，物体在点光源发出的光照射下形成的影子就是中心投影。 温馨提示 （1）点光源是投影中心；（2）箭头的方向表示投影线的方向；（3）投影面一般用四边形表示；（4）中心投影的投影线交于一点. 2.线段、平面图形的中心投影 1. 线段的中心投影 如图1,当线段 平行于投影面时,线段 的中心投影是线段 ,此时 ,所以 ,线段 把线段 放大了. 如图2,当线段 不平行于投影面,且两个端点不在同一条投影线上时,点 的中心投影分别是点 ,此时线段 的中心投影是线段 ,它的长度可能等于 ,也可能不等于 如果改变线段 与投影面所成的角度,线段 的投影 的长度也会发生变化. 如图3,当线段 的两个端点在同一条投影线上时,点 的中心投影 重合,此时线段 的中心投影是一个点. （2）平面图形的中心投影 如图4, 当 与投影面平行时, 的中心投影也是一个三角形, 不妨记为 , 此时 是 放大后的图形, 与 是相似的. 一般地, 在中心投影下, 当一个平面图形与投影面平行时, 这个平面图形的中心投影与原平面图形是相似的. 提醒 在日常生活中, 我们可以利用中心投影的原理来实现图形的放大效果. 通过调整光源到被投影图形的距离, 或者调整图形到投影面的距离, 我们可以按照需求在投影面上得到放大后的图形, 这就是幻灯机和投影仪的工作原理. 通过调整距离, 光线经过适当的聚焦和扩散, 将原本较小的图形投影到屏幕上, 实现了图像的放大显示. 3. 中心投影的特征 1. 如图1, 等高的物体垂直于地面放置时, 在灯光下, 离点光源近的物体的影子短, 离点光源远的物体的影子长. 1. 如图2, 等长的物体平行于地面放置时, 一般情况下, 离点光源越近, 影子越长; 离点光源越远, 影子越短, 且都大于物体本身的长度. 1. 点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点, 这三点在同一条直线上, 根据其中两个点的位置, 就可以确定第三个点的位置. 1. 点光源与物体的相对位置改变, 该物体的影子的位置也发生变化, 但点光源和物体的影子始终在物体的两侧. 提醒 中心投影下, 不同物体的影长之比一般不等于物高之比. 例2 确定图中路灯灯泡的位置, 并在图中画出小赵在灯光下的影子. 解：如图. 方法： （1）在图上找点光源的方法：找到物体上的两个不同点（在投影面上的点除外）与其影子上的对应点，分别过物体上的点及其影子上的对应点画直线，直线相交于一点，这一点就是中心投影的光源。（2）作一物体在路灯下的影子；以点光源为端点过物体的顶端作射线，与地面相交于一点，则该交点和物体底端之间的线段即可表示该物体的影子。 ☆知识点3： 平行投影 1.定义 如图，由平行的投影线所形成的投影叫作平行投影 例如，物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影，生活中探照灯的光线形成的投影也是平行投影。 2.线段、平面图形的平行投影 （1）线段的平行投影 如图1，当线段 平行于投影面时，它的平行投影是一条线段 ，此时四边形 是一个平行四边形，所以 ②如图2,当线段 不平行于投影面且不平行于投影线时,它的平行投影是一条线段 ,此时线段 与 不平行,线段 的长度可能等于线段 ,也可能不等于线段 ,它们之间的大小关系和线段 与投影面、投影线之间的相对位置有关. 如图3,当线段 的两个端点在同一条投影线上时,它的平行投影是一个点 (2)平面图形的平行投影 如图4,当矩形ABCD平行于投影面时,它的平行投影是矩形 ,它们的形状相同、大小相等. 提醒平行投影中对应点的连线是互相平行的;反之,物体与其投影的对应点的连线是互相平行的就说明是平行投影. 3.平行投影的特征 (1)如图1,等高的物体垂直于地面放置时,同一时刻、同一地点,在太阳光下,它们的影子一样长. (2)如图2,等长的物体平行于地面放置时,同一时刻、同一地点,它们在太阳光下的影子一样长,且影长等于物体本身的长度. (3)如图3,在太阳光下,不同时刻的同一物体,不仅影子的大小在改变,而且影子的方向也在改变,就我们所在的北半球而言,从早晨到傍晚,物体的影子由西向东绕物体沿顺时针方向转动,其影长的变化规律是长一短一长,如图所示. (4)在太阳光下,不同时刻,同一物体的影子长度可能不同;同一时刻,不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例. 例3下列四幅图中,能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的是( ). 解析:A、B两项两棵树的影子的方向相反,不可能为同一时刻太阳光下的影子,所以A、B不符合题意;C.树高与影长成比例,所以两棵树在同一时刻的太阳光下,符合题意;D.图中树高与影长不成比例,不符合题意. 答案:C 【规律总结】(1)在平行投影中,物体上的点与影子上的对应点的连线互相平行.反之,如果物体上的点与影子上的对应点的连线是互相平行的,就说明是平行投影. (2)在太阳光线下,同一地点、同一时刻,不同物体的影子平行或在同一条直线上. ☆知识点4：正投影 1.定义 如图,投影线垂直于投影面产生的投影叫作正投影 温馨提示 (1)正投影是一种特殊的平行投影.(2)正投影只要求投影线与投影面之间是垂直的,与物体的位置无关. 线段、平面图形、立体图形的正投影 例4 如图，箭头表示投影线的方向，则图中圆柱体的正投影是（ ）。 A. 圆 B. 圆柱 C. 梯形 D. 矩形 解析：根据正投影的特点，得，该圆柱体的正投影是矩形。 答案：D 总结 正投影是一种特殊的平行投影，投影线从不同方向照射，得到的正投影可能不同。如本题的圆柱，从左到右照射得到的正投影是矩形，从上到下照射得到的正投影是圆。 例题精讲 ·3大模块精讲 【模块1】中心投影 （第1—18题） 📌 方法总结： · 识别中心投影：光线从一点出发，影子长短与距光源距离有关。 · 利用相似三角形：物高与影长之比等于物体到光源距离与影子端点到光源距离之比。 注意：中心投影下，同一物体在不同位置的影长不同，需找准对应关系。 1．（2026•安顺二模）如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心投影的概念进行判断即可． 【解答】解：由题意可知，路灯在小明与小亮之间，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查中心投影，熟练掌握中心投影是解题的关键． 2．（2026•鼓楼区二模）如图，夜晚冬冬从点A出发沿直线走向点B，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（　　） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 【分析】根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【解答】解：如图，夜晚冬冬从A点走向B点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 【点评】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键． 3．（2026•平顺县二模）如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次的拐角∠B＝135°，第二次拐角C处有一路灯，白天某一时刻，路灯CE的影子CF与BC的夹角∠BCF＝97°，则∠FCD的度数为（　　） A．38° B．45° C．46° D．49° 【分析】根据平行线的性质可得∠BCD＝∠B＝135°，再根据角的和差关系即可求解． 【解答】解：∵一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次的拐角∠B＝135°， ∴AB∥CD， ∴∠BCD＝∠B＝135°， ∵∠BCF＝97°， ∴∠FCD＝∠BCD﹣∠BCF＝135°﹣97°＝38°， 故选A． 【点评】本题考查的是中心投影，平行线的性质，熟知以上知识是解题的关键． 4．（2026春•历城区期末）济南依山傍水，夜幕降临，山体灯光秀以光影绘山色．不同颜色的光束投影在山体表面交错重叠，绘就泉城别样夜色．如图，点A为山顶的射灯装置，射出的绿色光线形成△ABC且AB＝AC，射出的红色光线形成Rt△ADE且∠DAE＝90°，点B，D，C，E在同一条直线上．若∠BAD+∠CAE＝∠E，BD＝CE＝2，则两片光束重叠部分即△ADC的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】在CD上取点F，使CF＝BD＝2，得△ABD≌△ACF（SAS），从而可得∠BAD+∠CAE＝∠FAE＝∠E，AF＝EF＝4，再利用三角形外角性质及已知条件推导出∠E＝30°，得出△ADF是等边三角形，过点A点作AH⊥CD，垂足为H，结合勾股定理求出 AH 的长，进而根据即可求解． 【解答】解：在CD上取点F，连接AF，使CF＝BD＝2，则EF＝CF+CE＝2+2＝4 ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴△ABD≌△ACF（SAS）， ∴∠BAD＝∠FAC，AD＝AF， ∴∠ADF＝∠AFD， 又∵∠BAD+∠CAE＝∠E， ∴∠FAC+∠CAE＝∠FAE＝∠E， ∴∠AFD＝∠E+∠EAF＝2∠E，AF＝EF＝4， ∴∠ADF＝∠AFD＝2∠E， ∵∠ADE+∠E+∠DAE＝180°，∠DAE＝90°， ∴2∠E+∠E+90°＝180°， ∴∠E＝30°，∠ADE＝60°， ∴△ADF是等边三角形，即DF＝AD＝AF＝4， 过点A作AH⊥CD，垂足为H， ∴DH＝FH＝2，， ∵CD＝DF+CF＝6， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5．（2025秋•郫都区期末）如图，一块三角形硬纸板△ABC平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△DEF，若△ABC与△DEF的周长之比为2：3，则OB：BE的值为（　　） A．4：9 B．3：1 C．2：1 D．2：3 【分析】根据中心投影性质得△ABC∽△DEF，△OBC∽△OEF，再根据周长比等于位似比即可求解． 【解答】解：由题意可得△ABC∽△DEF，△OBC∽△OEF， ∴，， ∴OB：BE的值为2：1． 故选：C． 【点评】本题主要考查中心投影，熟练掌握中心投影是解题的关键． 6．（2025秋•贵阳期末）小星夜晚在一盏路灯下行走时，他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长，则他相对这盏路灯的位置是（　　） A．逐渐远离路灯 B．在路灯正下方 C．逐渐走向路灯 D．无法确定 【分析】根据中心投影的定义判断即可． 【解答】解：小星观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长，则他相对这盏路灯的位置是逐渐远离路灯． 故选：A． 【点评】本题考查了中心投影的知识，解决本题的关键是根据小星的身高不变，利用投影的性质判断出头顶影子所经过的路径与地面的位置关系． 7．（2025秋•香河县期末）如图，小明家客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，BC的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标为（　　） A．（3.8，0） B．（3.9，0） C．（4.1，0） D．（4，0） 【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∵BC＝1.2m， ∴DE＝2m， ∴E（4，0）． 故选：D． 【点评】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 8．（2025秋•武侯区校级期末）小树AB高3m，在路灯M的照射下形成投影BC＝4m，树与路灯的距离BP＝5m．则路灯高MP为　6.75　 m． 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵MP⊥PC，AB⊥PC， ∴△MPC∽△ABC，∴， 即， 解得MP6.75（m）， 故答案为：6.75． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 9．（2026春•槐荫区期末）宋代诗人释惠明所作《手影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”如图，“手影戏”中的手影属于 　中心　 （填“中心”或“平行”）投影． 【分析】根据中心投影和平行投影的定义解决问题． 【解答】解：由图可知，“手影戏”中的投影是光由一点向外散射形成的投影，属于中心投影， 故答案为：中心． 【点评】本题考查中心投影和平行投影的识别，解题的关键是掌握两者的定义：中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影． 10．（2026•溧阳市校级模拟）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，若树高AB＝3m，树影BC＝4m，树与路灯的水平距离BP＝8m，则路灯的高度OP为 　9　 m． 【分析】先证明AB∥OP可得△ABC∽△OPC，再利用相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：如图： ∵OP⊥PC，AB⊥PC， ∴AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴， ∵AB＝3m，BC＝4m，BP＝8m， ∴PC＝BP+BC＝8+4＝12（m）， ∴， ∴OP9（m）， 故答案为：9． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相关知识是解题的关键． 11．（2026•沈河区校级开学）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD．已知AB＝0.5dm，点光源到胶片的距离OE长为4dm，CD长为1.75dm，则胶片与屏幕的距离EF为　10　 dm． 【分析】证明△OAB∽△OCD，推出，构建方程求出EF即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD， ∵OF⊥CD，AB∥CD， ∴OF⊥AB， ∴， ∴， 4×1.75＝0.5（4+EF）， ∴EF＝10． 则胶片与屏幕的距离EF为10dm． 【点评】本题考查中心投影，三角形的相似，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（2025秋•寿光市期末）如图，设点O为投影中心，长度为2的线段AB平行于它在面H内的投影A′B′．已知点O到直线AB的距离为3，直线AB与A′B′距离为5，则A′B′的长　　 ． 【分析】根据中心投影的定义可知线段AB与其投影A′B′的比等于投影中心到线段AB和A′B′的距离之比，列比例求解即可． 【解答】解：设记点O到直线AB的距离为h1，点O到直线A′B′的距离为h2， ∵长度为2的线段AB平行于它在面H内的投影A′B′．已知点O到直线AB的距离为3，直线AB与A′B′距离为5， ∴h1＝3，h2＝3+5＝8， ∵点O为投影中心， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了中心投影，点到直线的距离，平行线之间的距离，掌握中心投影的定义是解题的关键． 13．（2025秋•天府新区校级月考）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若这棵树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4.5m，则路灯的高度OP为　5m ． 【分析】先求解CP＝7.5m，再根据相似三角形的判定证出△ABC∽△OPC，然后利用相似三角形的性质求解即可得． 【解答】解：∵BC＝3m，BP＝4.5m， ∴CP＝BC+BP＝7.5m， 由题意得：AB⊥CP，OP⊥CP， ∴AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC，而AB＝2m， ∴， 即， 解得OP＝5， ∴路灯的高度OP为5m． 故答案为：5m． 【点评】本题考查了中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 14．（2024秋•揭西县期末）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知树高AB＝2m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则路灯的高度PO长是 　5　 米． 【分析】利用中心投影的性质得到AB∥OP，则可判断△CAB∽△CPO，然后利用相似三角形的性质求OP的长即可． 【解答】解：∵AB在路灯O的照射下形成投影AC， ∴AB∥OP， ∴△CAB∽△CPO， ∴， ∵AB＝2m，AC＝3m，AP＝4.5m， ∴， 解得OP＝5， 即路灯的高度PO长是5米． 故答案为：5． 【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． 15．（2025秋•周村区期末）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（5，5）处，木杆AB平行于x轴，木杆两端的坐标分别为A（0，2），B（6，2）． （1）画出木杆AB在x轴上的投影CD； （2）求出其投影CD的长． 【分析】（1）分别连接PA、PB并延长，交x轴于点C、D即可； （2）利用中心投影，作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，证明△PAB∽△CPD，然后利用相似比可求出CD的长． 【解答】解：（1）如图所示： （2）过P作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图， ∵P（5，5），A（0，2），B（6，2）． ∴PM＝3，PE＝5，AB＝6， ∵AB∥CD， ∴， ∴， ∴CD＝10． 【点评】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 16．（2025秋•渠县期末）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？ 【分析】通过相似三角形的性质可得，，可得，即可求解． 【解答】解：∵， 当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即， 当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即， ∴， ∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米， 设AB＝x，BC＝y， ∴，解得：y＝3，经检验y＝3是原方程的根． ∵，即， 解得x＝6米． 即路灯A的高度AB＝6米． 【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度． 17．（2025秋•贵阳校级月考）如图，广场上有一路灯，路灯下一墙墩AB的影子是BC，小明身高DE的影子是EF，在M处有一棵大树，它的影子是MN． （1）在图中确定路灯灯泡P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在图中画出表示大树的线段MG（不写作法，保留作图痕迹）． 【分析】（1）连接CA并延长与FD的延长线交于点P，点P即路灯的位置； （2）连接PN，作MG垂直于MN与PN交于点G，线段MG即为表示大树的线段． 【解答】解：（1）如图，连接CA并延长与FD的延长线交于点P，则点P即为所求， ； （2）如图，线段MG即为所求． 【点评】此题考查了中心投影，熟知由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影是解题的关键． 18．（2024秋•兰州期末）通常，路灯、台灯、手电筒…的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 画图操作：画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为 D ； 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4m．已知小明的身高为1.6m，求灯杆AB的高度． 【分析】画图操作：根据中心投影，直接画图即可； 数学思考：由等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长即可得到答案； 解决问题：根据相似三角形的性质即可解答． 【解答】解：画图操作： 解：光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长如图所示： 数学思考： ∵等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长， ∴小明的影长从A到B的变化是先越来越短，再越来越长， 故选：D； 解决问题： 如图所示， ∵CD∥EF∥AB， ∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG， ∴，， ∵CD＝EF， ∴， ∵DF＝3m，FG＝4m，BF＝BD+DF＝（BD+3）m，BG＝BD+DF+GF＝BD+3+4＝（BD+7）m， ∴， 解得：BD＝9m， ∴BF＝9+3＝12m， ∴， ∴AB＝6.4m， ∴灯杆AB的高度为6.4m． 【点评】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【模块2】平行投影 （第19—35题） 📌 方法总结： · 识别平行投影：光线平行（太阳光），影子方向一致。 · 核心比例：同一时刻，物高/影长 = 定值。 · 注意：不同时刻影子方向、长度变化规律（北半球：早晚长，中午短；方向从西到北到东）。 19．（2026•贵州模拟）如图所示的物体的影子，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据太阳光线是平行投影，而灯光是中心投影进行判断． 【解答】解：A．太阳光线是平行的，影长与物体高度成比例，故A正确； B．太阳光线画的不平行，故B不正确； C．物体在灯泡两侧，影子方向不同，故C正确； D．物体在灯泡同侧，影子方向相同，故D正确， 故选：B． 【点评】本题考查了平行投影与中心投影，正确理解平行投影与中心投影是解题的关键． 20．（2026•威海模拟）下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，树高与影长的比相等”对各选项进行判断． 【解答】解：两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，树高与影长的比相等，所以A选项满足条件． 故选：A． 【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． 21．（2026•金凤区校级三模）下列判断正确的是（　　） A．两点之间垂线段最短 B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．点P（﹣a2﹣1，|b2+1|）关于y轴的对称点在第一象限 D．同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等 【分析】分别根据平行投影，线段的性质，垂线段最短，轴对称图形，关于x轴、y轴对称的点的坐标，中心对称图形的定义解答即可． 【解答】解：A、两点之间线段最短，点到直线的距离中才是垂线段最短，概念混淆，原说法错误，不符合题意； B、平行四边形只是中心对称图形，不是轴对称图形，原说法错误，不符合题意； C、∵a2≥0， ∴﹣a2﹣1＝﹣（a2+1）＜0， ∵b2≥0， ∴|b2+1|＝b2+1＞0， ∴点P在第二象限， ∴点P关于y轴的对称点横纵坐标都为正，故对称点在第一象限，正确，符合题意； D、只有同一时刻同一地点，身高相同且直立的人在阳光下的影长才相等，选项缺少前提条件，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是平行投影，线段的性质，垂线段最短，轴对称图形，关于x轴、y轴对称的点的坐标，中心对称图形，熟知以上知识是解题的关键． 22．（2026•白银模拟）如图1是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》中的一种画法便是用直角坐标投影．某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为（﹣4，2），表示“开阳”的点坐标为（0，3），则表示“天权”的点的坐标为（　　） A．（5，﹣1） B．（5，1） C．（﹣1，5） D．（1，5） 【分析】根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定x轴，y轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可． 【解答】解：由表示“摇光”的点的坐标为（﹣4，2）与表示“开阳”的点的坐标为（0，3）得：平面直角坐标系，如图： 可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为（5，﹣1）； 故选：A． 【点评】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置． 23．（2026•赤坎区校级模拟）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC，D在AB上，AD＝0.6m，D、E、F三点共线，DF＝3DE＝3AE．当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH的长度为（　　） A． B． C． D． 【分析】作EM⊥AD于M，GN⊥FN于N，则∠MED+∠MDE＝90°，然后求出∠MED＝∠BDG＝90°﹣∠DGB＝30°，故DMAD＝0.3m，从而得到DE＝2DM＝0.6m，可得DF＝3DE＝1.8m，再证明四边形DGNF是矩形，得GN＝DF＝1.8m，最后在Rt△GNH中，根据GH求解即可． 【解答】解：作GN⊥FN于N，EM⊥AD于M， ∴∠MED+∠MDE＝90°． ∵∠EDG＝90°， ∴∠MDE+∠BDG＝90°． ∴∠MED＝∠BDG． ∵DG∥FH， ∴∠DGB＝∠FHG＝60°． ∴∠MED＝∠BDG＝90°﹣∠DGB＝30°． ∵DF＝3DE＝3AE． ∴AE＝DE， ∴DMAD＝0.3m， ∴DE＝2DM＝0.6m． ∴DF＝3DE＝1.8m． ∵∠FDG＝∠F＝∠GNF＝90°， ∴四边形DGNF是矩形． ∴GN＝DF＝1.8m． 在Rt△GNH中， ∵∠GHN＝60°， ∴GH（m）， 故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 24．（2026•市南区校级一模）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 【分析】点O为地心，OB所在平面为赤道所在平面，即∠AOB＝40°，延长OA至点C，GE⊥OA，即GE所在平面为A处的水平面，HD过点A且平行于OB，即HD为晷面，AF⊥HD，即AF为晷针，晷针与点A处的水平面所成的角即为∠GAF． 【解答】解：如图所示，点O为地心，OB所在平面为赤道所在平面，即∠AOB＝40°，延长OA至点C，GE⊥OA，即GE所在平面为A处的水平面，HD过点A且平行于OB，即HD为晷面，AF⊥HD，即AF为晷针，晷针与点A处的水平面所成的角即为∠GAF． 晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°， 因为OB∥HD， 所以∠CAD＝∠AOB＝40°． 因为AF⊥HD， 所以∠CAD+∠CAF＝90°． 因为GE⊥OA， 所以∠GAF+∠CAF＝90°． 所以∠GAF＝∠CAD＝40°． 故选：B． 【点评】本题主要考查平行线的性质，正确进行计算是解题关键． 25．（2025秋•南海区期末）一天下午小红先参加了校运动会女子200m比赛，过一段时间又参加了女子400m比赛，如图是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么下列说法正确的是（　　） A．乙照片是参加200m的 B．甲照片是参加200m的 C．乙照片是参加400m的 D．无法判断甲、乙两张照片 【分析】根据影子的位置和大小，可以判断，下午影子在身体的东边，随着时间的推移，影子会越来越长，因此乙的影子较短，故时间较早． 【解答】解：下午，影子在身体的东边，时间越早影子越短，故乙是参加200m的图片， 故选：A． 【点评】考查太阳光和影子，平行投影，根据影子的位置和长短，可以判断时间的先后． 26．（2026春•青羊区校级期中）如图，太阳光线AC与A'C'是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，在探究过程中判断△ABC≌△A'B'C'的依据是ASA ． 【分析】根据平行线的性质可得∠ACB＝∠A′C′B′，根据题意可得BC＝B′C′，∠ABC＝∠A′B′C′＝90°，然后利用ASA判定△ABC≌△A′B′C′． 【解答】解：∵AC∥A′C′， ∴∠ACB＝∠A′C′B′， ∵两根木杆的影子一样长， ∴BC＝B′C′， 在△ACB和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）． 故答案为：ASA． 【点评】此题主要考查平行投影，全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法． 27．（2026•科尔沁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点P（2，5）是一个光源，横杆MN两端的坐标分别为（﹣2，3），（3，3），则横杆MN在x轴上的投影长为　　 ． 【分析】如解图，横杆MN在x轴上的投影为AB，作PD⊥x轴，交MN于点C，证明△PMN∽△PAB，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比，进行求解即可． 【解答】解：如图，横杆MN在x轴上的投影为AB，作PD⊥x轴，交MN于点C， ∵点P（2，5），横杆MN两端的坐标分别为（﹣2，3），（3，3）， ∴PD＝5，MN∥x轴， ∴PC⊥MN，PC＝5﹣3＝2，MN＝3﹣（﹣2）＝5，△PMN∽△PAB， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查坐标确定位置，平行投影，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 28．（2025秋•山丹县校级期末）陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在太阳光下的影子属于　平行　 投影．（填“平行”或“中心”） 【分析】根据太阳光可视为平行光，因此影子属于平行投影解答即可． 【解答】解：太阳光线是平行的，陶渊明“采菊东篱下”时，所以菊花在太阳光下的影子是平行投影． 故答案为：平行． 【点评】本题考查了平行投影，熟知由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影是解题的关键． 29．（2025•分宜县模拟）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知∠MAD＝24°，∠FCN＝25°，则∠ABC的大小为　49°　 ． 【分析】根据某一时刻在阳光照射下的光线互相平行，可得∠MBE＝∠MAD＝24°，∠EBN＝∠FCN＝25°，再代入∠ABC＝∠MBE+∠EBN计算即可． 【解答】解：由题意得，AD∥BE∥FC， 又∵∠MAD＝24°，∠FCN＝25°， ∴∠MBE＝∠MAD＝24°，∠EBN＝∠FCN＝25°， ∴∠ABC＝∠MBE+∠EBN＝24°+25°＝49°， 故答案为：49°． 【点评】本题考查的是平行投影，．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 30．（2024秋•清水县期末）在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 　12　 m． 【分析】利用平行投影的性质，相似三角形的对应边成比例解答． 【解答】解：设旗杆的高度为xm， 根据题意，得：， 解得x＝12， 即旗杆的高度为12m， 故答案为：12． 【点评】本题只要是把平行投影的问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．此题的文字叙述比较多，解题时要认真分析题意． 31．（2025秋•沈北新区期末）如图，甲楼AB高16米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知两楼相距BD为12米，当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝　　 米．（结果保留根号） 【分析】作FE⊥AB于点F，那么在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，解直角三角形AEC可以求得AF的长，进而求得DE＝AB﹣AF即可解题． 【解答】解：如图， 作FE⊥AB于点F，那么在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，EF＝BD＝12米． ∵物高与影长的比是1：， ∴， 则AF（米）， 故DE＝FB米， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行投影，根据物高与影长的比是1：，得出AF的值是解题的关键． 32．（2026春•滕州市期末）“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”AB与“圭”BC垂直，冬至时节“表”AB的日影最长（BC的长），某一节气，光线AM平分∠BAC，D为AC上一点，连接MD，BD，MD⊥AC． （1）若“表”AB＝6，AC＝10，求CM的长； （2）若AM＝CM，判断△ABD的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的性质可得BM＝DM，再证明Rt△ABM≌Rt△ADM（HL），可得AB＝AD＝6，在Rt△ABC中利用勾股定理可得BC＝8，从而得到DC＝AC﹣AD＝4，DM＝BM＝BC﹣CM＝8﹣CM，在Rt△DCM中，根据勾股定理，即可求解； （2）根据角平分线的定义以及等腰三角形的性质可得∠BAM＝∠CAM＝∠C，从而得到∠BAD＝60°，由（1）知：AB＝AD，即可解答． 【解答】解：（1）∵MB⊥AB，AM平分∠BAC，MD⊥AC， ∴BM＝DM； 在Rt△ABM和Rt△ADM中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△ADM（HL）， ∴AB＝AD＝6， ∵在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10， ∴， ∴DC＝AC﹣AD＝10﹣6＝4，DM＝BM＝BC﹣CM＝8﹣CM， 在Rt△DCM中，根据勾股定理得：DC2+DM2＝CM2， ∴42+（8﹣CM）2＝CM2， ∴CM＝5； （2）△ABD是等边三角形，理由如下： ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAM＝∠CAM， ∵AM＝CM， ∴∠C＝∠CAM， ∴∠BAM＝∠CAM＝∠C， ∵∠BAM+∠CAM+∠C＝90°， ∴∠BAM＝∠CAM＝∠C＝30°， ∴∠BAD＝60°， 由（1）知：AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握其相关知识点是解题的关键． 33．（2025秋•沂源县期末）如图，正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，其中边AB、CD与投影面平行，AD，BC与投影面不平行．若正方形ABCD的边长为5厘米，∠BCC1＝45°，求其投影A1B1C1D1的面积． 【分析】过B点作BH⊥CC1于H，如图，利用∠BCC1＝45°得到BH，再利用平行投影的性质得到B1C1＝BH，C1D1＝CD＝5，然后根据矩形的面积公式计算四边形A1B1C1D1的面积． 【解答】解：过B点作BH⊥CC1于H，如图， ∵∠BCC1＝45°， ∴BHBC， ∵正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1， ∴B1C1＝BH，C1D1＝CD＝5， ∴四边形A1B1C1D1的面积5（cm2）． 【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．也考查了正方形的性质． 34．（2025秋•同步）如图，太阳光线AC与A'C'是平行的，同一时刻两根竖立的木杆在太阳光照射下的影子一样长．由此能判断这两根木杆一样长吗？为什么？ 【分析】根据平行线的性质可得∠ACB＝∠A′C′B′，根据题意可得BC＝B′C′，∠ABC＝∠A′B′C′＝90°，然后利用ASA判定△ABC≌△A′B′C′． 【解答】解：这两根木杆一样长， ∵AC∥A′C′， ∴∠ACB＝∠A′C′B′， ∵两根木杆的影子一样长， ∴BC＝B′C′， 在△ACB和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）， ∴AB＝A′B′． 【点评】此题主要考查平行投影，全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法． 35．（2025•太原开学）列综合算式或方程，不解答． （1）同学们去参观科技馆，四年级去了320人，比六年级的2倍少15人．六年级去了多少人？ （2）爸爸获得一笔3000元的奖金给小亮存了教育储蓄，教育储蓄定期三年，年利率为2.75%，到期时能获得利息多少元？ （3）如图，同一时刻，直立在地上6米高的树的影子长是4.5米，附近一座大楼的影子长15米．这座大楼高多少米？ 【分析】（1）由题意可得四年级人数加上15人等于六年级人数的2倍，即可列式； （2）根据利息＝本金×年利率×时间列式即可； （3）根据大楼高度与影子的比值等于树的高度与影子的比值列方程求解． 【解答】解：（1）由题意四年级去了320人，比六年级的2倍少15人得：（320+15）÷2； （2）由题意年利率为2.75%得：3000×3×2.75%； （3）设这座大楼高为x米， 由题意得：x：15＝6：4.5． 【点评】本题考查了列式计算，涉及整数四则运算的应用，百分数的应用，比的应用，正确理解题意是解题的关键． 【模块3】投影综合应用 （第36—39题） 📌 方法总结： · 综合运用中心投影与平行投影的性质，结合实际问题建立方程。 · 注意区分投影类型，选择正确的比例关系。 常与测量、日晷、影子变化等实际问题结合，需仔细审题。36．（2025春•哈尔滨期末）北京某中学开展了测量日影变化规律的实践活动．请结合实践过程，读图完成下列各题． 实践活动材料：1米长的竹竿1根、量尺1个、绘图工具1套． 【物影日变化】 活动1：如图1是同学们记录的一天中9点、12点、15点竹竿影子的方向和长度． （1）正午12点，竹竿影子的朝向是 　正北　 （填“正北”或“正南”）． （2）一天中竹竿影子长度的变化规律是 　先变短再变长　 （填“先变长再变短”或“先变短再变长”）；此现象与地球的 　自转　 有关（填“自转”或“公转”）． 【物影年变化】 活动2：9月8日至9月20日，每隔6天测一次，竹竿影长测量时间为正午．如图是太阳直射点一年当中的回归运动． 日期 影长/厘米 朝向 白昼时长 9.8 73 朝北 12小时28分钟 9.14 77 朝北 12小时17分钟 9.20 81 朝北 12小时11分钟 （3）根据记录可知，9月8日至20日，竹竿影子长度变 　长　 （填“长”或“短”），白昼时间变 　短　 （填“长”或“短”），测量期间太阳直射点最接近图2中的 　③　 （填序号），此过程太阳的直射点向 　南　 移动（填“北”或“南”）． （4）一年中，物体的影长会随着季节变化而变化，此现象与地球的 　公转　 有关（填“自转”或“公转”）． 【物影与生活】 （5）图3中A、B两图分别为某同学所绘夏至日、冬至日正午竹竿影子的方向和长度．B图测绘的时间可能是 　夏至日　 前后（填“夏至日”或“冬至日”），假如想在北京市买房，为了保证房屋采光，推荐看房的最佳季节是 　冬季　 （填“春季”，“夏季”，“秋季”或“冬季”）． 【分析】根据平行投影，即根据太阳光的照射下，杆高与影长的变化规律进行解答即可． 【解答】解：（1）正午12点，竹竿影子的朝向是正北， 故答案为：正北； （2）一天中竹竿影子长度的变化规律是先变短再变长，此现象与地球的自转有关， 故答案为：先变短再变长，自转； （3）根据记录可知，9月8日至20日，竹竿影子长度变长，白昼时间变短，测量期间太阳直射点最接近图2中的③，此过程太阳的直射点向南移动， 故答案为：长，短，③，南； （4）一年中，物体的影长会随着季节变化而变化，此现象与地球的公转有关， 故答案为：公转； （5）图3中A、B两图分别为某同学所绘夏至日、冬至日正午竹竿影子的方向和长度．B图测绘的时间可能是夏至日前后，假如想在北京市买房，为了保证房屋采光，推荐看房的最佳季节是冬季， 故答案为：夏至日，冬季． 【点评】本题考查平行投影，掌握在太阳光的照射下，杆高与影长的变化规律是正确解答的关键． 37．（2024秋•九江期中）太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图①是太阳能电板，图②是其截面示意图，其中GF为太阳能电板，AE、CD均为钢架且垂直于地面DE，AB为水平钢架且垂直于CD，测得AG＝CF＝0.4m，BC＝0.6m，AC＝0.75m．若某一时刻的太阳光线垂直照射GF． （1）求钢架AE的长； （2）求太阳能电板GF的影子EH的长（结果保留小数点后两位）． 【分析】（1）由题意，得AE⊥DE，CD⊥DE，AB⊥CD，GE⊥GF，FH⊥GF，易证四边形ABDE是矩形，由矩形的性质得出∠BAE＝90°，进而得出∠1+∠2＝90°．在Rt△AEG中，由∠AGE＝90°，进而得∠1+∠3＝90°，∠2＝∠3．根据相似三角形的判定可证△AEG∽△CAB，由相似三角形的性质得出，把数值代入即可得出结果； （2）过点E作EM⊥FH于M，易证四边形EGFM是矩形，由矩形的性质得出∠GEM＝90°，即∠4+∠3＝90°，再根据∠AED＝90°，得出∠4+∠5＝90°，进而得出∠3＝∠5，根据相似三角形的判定可证△AEG∽△HEM，由相似三角形的性质得出．在Rt△AEG中，由勾股定理可得EG的长，进而得出EH的值． 【解答】解：（1）如图，由题意，得AE⊥DE，CD⊥DE，AB⊥CD，GE⊥GF，FH⊥GF， ∴∠AED＝∠BDE＝∠ABD＝90°，∠AGE＝∠GFH＝90°， ∴四边形ABDE是矩形， ∴∠BAE＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 又∵在Rt△AEG中，∠AGE＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠2＝∠3． 又∵∠AGE＝∠ABC＝90°， ∴△AEG∽△CAB， ∴， ∵AG＝0.4m，BC＝0.6m，AC＝0.75m， ∴， ∴（m）． 答：钢架AE的长为0.5m． （2）如图，过点E作EM⊥FH于M， ∴∠EMF＝90°， ∴∠AGE＝∠GFH＝∠EMF＝90°， ∴四边形EGFM是矩形， ∴∠GEM＝90°， ∴∠3+∠4＝90°． 又∵∠AED＝90°， ∴∠4+∠5＝90°， ∴∠3＝∠5． 又∵∠AGE＝∠EMH＝90°， ∴△AEG∽△HEM， ∴． 在Rt△AEG中，由勾股定理，得AE2＝AG2+EG2， ∴（m）， ∴EM＝GF＝AG+AC+GF ＝0.4+0.75+0.4 ＝1.55（m）， ∴， ∴（m）． 答：太阳能电板GF的影子EH的长为2.58m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的判定和性质，平行投影，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行投影是解题的关键． 38．（2025•东城区校级一模）“夏至”是二十四节气的第十个节气，《恪遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至．至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日． 某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午（中午12时），在北半球不同纬度的地方，100cm高的物体的影长和纬度的相关数据．记纬度为x（单位：度），影长为y（单位：cm），x与y的部分数据如表： x 0 5 15 23.5 25 35 45 55 65 y 43.5 33.4 15.0 0 2.6 20.3 39.4 61.3 88.5 （1）通过分析如表数据，发现可以用函数刻画纬度x和影长y之间的关系．在平面直角坐标系xOy中，画出此函数的图象； （2）北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，100cm高的物体的影长约为 　30.0　 cm（精确到0.1）； （3）小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了100cm高的物体的影长均为40cm，那么他们生活的地区纬度差约是 　44　 度． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象； （2）利用图象法判断x＝40时，y的值即可； （3）利用图象法判断出y＝40时，x的两个值可得结论． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，100cm高的物体的影长约为30.0． 故答案为：30.0（不唯一）； （3）y＝40时，x≈3或47， 47﹣3＝44（度）． 故答案为：44． 【点评】本题考查平行投影，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 39．（2023秋•益阳期中）数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，有以下两种方案： 请你根据以下两种方案，选择其中一种方案，求出旗杆的高度． 方案一：如图1，小明在地面直立一根标杆EF，沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E、旗杆的顶点A在同一直线上．测量：人与标杆的距离DF＝1m，人与旗杆的距离DB＝16m，人的目高和标杆的高度差EG＝0.9m，人的目高CD＝1.6m． 方案二：如图2，小聪在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长BD＝21米，留在墙上的影高CD＝2米． 【分析】方案一：由题意得出CD∥EF∥AB，证出△ECG∽△ACH，得出对应边成比例，求出AH，即可得出结果； 方案二：延长AC，BD相交于点E，则CD：DE＝1：1.5，得DE＝1.5CD＝3米，由CD∥AB，得出△ABE∽△CDE，得出对应边成比例，即可得出结果． 【解答】解：方案一：如图1所示： 由已知得：CD∥EF∥AB， ∴△ECG∽△ACH， ∴，即， 解得：AH＝14.4米， ∴AB＝AH+BH＝14.4+1.6＝16（米）； 答：旗杆的高度是16米； 方案二：如图所示，延长AC，BD相交于点E， 则CD：DE＝1：1.5，得DE＝1.5CD＝3米， 由已知CD∥AB， ∴△ABE∽△CDE， ∴，即， 解得：AB＝16． 答：旗杆的高度是16米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用、相似三角形的判定与性质；由题意证出三角形相似得出对应边成比例是解决问题的关键． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026•广州校级模拟）小明家的客厅有一张直径为1.4m，高0.8m的圆桌BC，在距地面2.4m的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE．如图，根据题意，以1m为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是 　（4.1，0）　 ． 【分析】先根据圆桌与影子的平行关系，判定三角形相似；再利用相似三角形的对应边成比例，计算出影子的长度；最后结合已知点的坐标，确定目标点的坐标． 【解答】解：∵高0.8m的圆桌BC，在距地面2.4m的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE， ∴BC∥DE， ∴∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∵BC＝1.4m， ∴DE＝2.1m， ∵点 D的坐标为 （2，0）， ∴OD＝2m， ∴OE＝2+2.1＝4.1m， ∴E（4.1，0）． 故答案为：（4.1，0）． 【点评】本题考查了中心投影，坐标确定位置，正确的识别图形是解题的关键． 【练习2】（2026•武威校级模拟）如图，乐乐将高为1.8米的标杆CD竖立在地面上，某一时刻高为9米的小树AB在太阳光下的投影为BE，此时标杆CD在太阳光下的投影为CF，CF＝1.2米．已知AB⊥BF，CD⊥BF，点B、E、C、F在同一直线上，则投影BE的长为　6　 米． 【分析】根据平行光线照射下，垂直于地面的物体与其投影构成相似三角形，可得到△DCF∽△ABE，进而利用相似三角形对应边成比例的性质，求出小树AB的投影BE的长度． 【解答】解：∵AB⊥BF，CD⊥BF，点B、E、C、F在同一直线上， ∴CD∥AB， ∵AE∥DF， ∴△DCF∽△ABE， ∴， 即， BE＝6m． 故答案为：6． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，灵活运用“同一时刻物高与影长成比例”的原理是解题的关键． 【练习3】（2026•米脂县校级开学）比赛当天下午，小颖先参加了校运动会女子100米短跑比赛，一段时间后又参加了女子400米接力比赛，如图是小刚在同一位置为小颖拍摄的两张比赛照片，则小颖参加400米接力赛的照片是　甲　 （填“甲”或“乙”，小颖处于北半球）． 【分析】根据平行投影的规律：从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长，进行判断即可． 【解答】解：根据平行投影的规律：从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长；则乙照片是参加100m的，甲照片是参加400m的． 故答案为：甲． 【点评】本题考查平行投影．熟练掌握平行投影的规律，是解题的关键． 【练习4】（2025秋•南郑区期末）如图，一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一棵大树，它的影子是MN． （1）试判断是路灯还是太阳光产生的影子，如果是路灯产生的影子确定路灯的位置（用点P表示）．如果是太阳光请画出光线． （2）在图中画出表示大树高的线段． 【分析】（1）利用对应点连线相交于一点进而得出路灯位置； （2）利用路灯的位置得出大树高． 【解答】解：（1）如图所示：P点即为路灯的位置； （2）如图所示：GM即为所求． 【点评】此题主要考查了中心投影的性质，正确根据中心投影性质得出P点位置是解题关键． 【练习5】（2025秋•西安校级期中）如图，是一位同学设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图．小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，这位同学测得树高AB＝4m，树影BC＝5m，树与路灯的水平距离BP＝6m．求路灯OP的高度． 【分析】先证明AB∥OP可得△ABC∽△OPC，再利用相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，这位同学测得树高AB＝4m，树影BC＝5m， ∵OP⊥PC，AB⊥PC， ∴AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴， ∵AB＝4m，BC＝5m，BP＝6m． ∴PC＝BP+BC＝11， ∴： ∴， ∴路灯的高度OP为． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 课后巩固 · 针对性练习 ❤复习建议： ·分清投影类型：根据光源是点光源还是平行光，判断中心投影或平行投影。 ·牢记比例关系：平行投影下物高与影长成正比；中心投影下利用相似三角形对应边成比例。 ·注意方向变化：北半球太阳影子的方向随时间变化（西→西北→北→东北→东），影长先短后长。 ·画图辅助分析：遇到实际问题时，画出光路图和相似三角形，标出已知量，建立方程。 ·联系实际应用：多练习测量高度、日晷、影长变化等生活问题，提升建模能力。 【作业1】（2026•鹿城区二模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用“在同一时刻同一地点路灯下的影子的方向应不一致”对各选项进行判断． 【解答】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反． 故选：D． 【点评】本题考查中心投影的特点是： ①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长． ②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 【作业2】（2026•东河区二模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（2，2）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的影长CD为（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 【分析】利用中心投影，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，证明△ABP～△CDP，然后利用相似比可求出CD的长． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M， 根据题意得：AB∥CD， ∴△ABP～△CDP， ∵点光源位于P（2，2）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）， ∴PE＝2，AB＝3，ME＝1， ∴PM＝1， ∴，即， 解得：CD＝6． 故选：B． 【点评】本题考查的是中心投影，用坐标确定位置，熟知以上知识是解题的关键． 【作业3】（2026•隆安县二模）如图，木棒AB竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒P照射木棒AB（点P在AB的垂直平分线上且位于AB右侧），在墙面上形成投影CD，已知AB＝10cm，CD＝40cm，此时点P到AB的距离为20cm，若木棒AB不动，水平移动手机手电筒P使投影CD的长度缩短20cm，则点P相对于木棒AB的移动方式（　　） A．向左平移40cm B．向右平移40cm C．向左平移20cm D．向右平移20cm 【分析】过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，证明△PAB∽△PCD得，即可求出EF，移动后过点P′作P′F′⊥C′D′于点F′，交AB于点E′，C′D′＝40﹣20＝20cm，同理△P′AB∽△PC′D′，则，即，求出P′E′，即可求解． 【解答】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E， ∵AB∥CD， ∴PE⊥AB，△PAB∽△PCD， ∴， ∵PE＝20cm，AB＝10cm，CD＝40cm， ∴， ∴EF＝60cm， 移动后如图，过点P′作P′F′⊥C′D′于点F′，交AB于点E′， ∵投影CD的长度缩短了20cm， ∴C′D′＝40﹣20＝20cm， 同理△P′AB∽△PC′D′， ∴， 即， ∴P'E'＝60cm， 经检验，P'E'＝60cm是原分式方程的根， ∴点P相对于木棒AB向右平移了60﹣20＝40（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行投影，线段垂直平分线的性质，生活中的平移现象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业4】（2025秋•巴中期末）在一天中的四个不同时刻，小红观察了一个物体在阳光照射下投射在地面上的影子，其位置如图所示．按照时间先后顺序排列，正确的是（　　） A．①②③④ B．④①③② C．④③①② D．②①③④ 【分析】不同时刻物体在太阳光下的影子的大小、方向改变的规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长． 【解答】解：∵就北半球而言，从早晨到傍晚物体的影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长 ∴根据平行投影的特点和规律可知，④，③是上午，①，②是下午， 根据影子的长度可知先后为④③①②， 故选：C． 【点评】本题考查平行投影的特点和规律：在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变．注意图上方向与实际方向的联系． 【作业5】（2025秋•龙华区期末）如图，数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子．从早晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是（　　） A．一直变短 B．短﹣长﹣短 C．一直变长 D．长﹣短﹣长 【分析】根据太阳光照射角度随时间的变化而变化，得出影子的长短随时间的变化而变化，早晨和傍晚影子长，中午影子短据此即可求解． 【解答】解：∵早晨太阳逐渐升高，下午太阳逐渐变低， ∴投在木板上的影子长度的变化情况是：长﹣短﹣长． 故选：D． 【点评】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长． 【作业6】（2024秋•市南区期末）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上，刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，；夏至日影最短，．若圭面上冬至线与夏至线之间的距离为4m，则表高为（　　） A．2.1m B．2.4m C．5.6m D．5.8m 【分析】设表高为xm．根据冬至线与夏至线之间的距离为4m，构建方程求解． 【解答】解：设表高为xm． 由题意2xx＝4， 解得x＝2.4． ∴表高为2.4m． 故选：B． 【点评】本题考查平行投影，一元一次方程的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【作业7】（2026•上栗县模拟）如图，在直角坐标系中，点P（2，3）是一个点光源．木杆AB两端的坐标分别为（1，1），（4，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为　　 ． 【分析】连接PA并延长交x轴于C，连接PB并延长交x轴于D，待定系数法求出直线PA的解析式为y＝2x﹣1，求出，D（5，0）即可求解． 【解答】解：连接PA并延长交x轴于C，连接PB并延长交x轴于D， 设直线PA的解析式为y＝kx+b，则有 ， 解得， ∴直线PA的解析式为y＝2x﹣1， 当y＝0时，2x﹣1＝0， 解得， ∴， 同理可求D（5，0）， ∴， ∴木杆AB在x轴上的投影长为． 故答案为：． 【点评】本题考查坐标确定位置，中心投影，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业8】（2025秋•漳州校级期末）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，在一次手影游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应减少　　 米． 【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【解答】解：如图，点O为光源，AB表示小明的手，CD表示小狗手影，则AB∥CD，过点O作OE⊥AB，延长OE交CD于F，则OF⊥CD， ∵AB∥CD， ∴△AOB∽△COD，则， ∵EF＝1米，OE＝4米，则OF＝5米， ∴， 设AB＝4k，CD＝5k， ∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图， 即AB＝4k，C′D′＝10k，E′F′＝1米，△AO′B∽△C′O′D′， ∴， 则（米）， ∴米， ∴在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离变化为：（米）， 故答案为：． 【点评】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题． 【作业9】（2025秋•子洲县期末）榆林剪纸是陕西榆林珍贵的文化遗产，也是享誉中外的陕北剪纸的精华．榆林剪纸在手电筒下形成的影子属于　中心　 投影．（填“中心”或“平行”） 【分析】根据平行投影和中心投影的定义解答即可． 【解答】解：∵手电筒的光源为点光源， ∴榆林剪纸在手电筒下形成的影子属于中心投影． 故答案为：中心． 【点评】本题考查平行投影和中心投影，熟知中心投影是指把光由一点向外发散形成的投影；平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影是解题的关键． 【作业10】（2025秋•金凤区校级期末）下列各种现象： ①孙敬“悬梁”在灯下读书的影子； ②朱买臣“负薪”在日光下读书的影子； ③车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子； ④匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子． 其中属于平行投影的是　②　 （填序号）． 【分析】根据平行投影的定义判断即可． 【解答】解：①∵灯是点光源，光线发散， ∴孙敬“悬梁”在灯下读书的影子是中心投影，不符合题意； ②∵太阳光近似平行光线， ∴朱买臣“负薪”在日光下读书的影子是平行投影，符合题意； ③∵萤火虫为点光源，光线发散， ∴车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子是中心投影，不符合题意； ④∵灯光为点光源，光线发散， ∴匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子是中心投影，不符合题意． 故答案为：②． 【点评】本题考查了平行投影与中心投影，熟知平行投影的光源为平行光线（如日光），而中心投影的光源为点光源（如灯光、萤火虫光）是解题的关键． 【作业11】（2025秋•白银期末）如图，日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．但在史籍中却少有记载，现在史料中最早的记载是“汉书•律历志•制汉历”一节：太史令司马迁建议共议“乃定东西，主晷仪，下刻漏”．看来日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于 　平行　 投影． 【分析】根据太阳光是平行光线可以判定晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 【解答】解：因为太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻，所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 故答案为：平行． 【点评】本题考查的是平行投影的概念：如果把中心投影法的投射中心移至无穷远处，则各投射线成为相互平行的直线，这种投影法称为平行投影法． 【作业12】（2025秋•莲湖区月考）三根竖立的竹竿在同一光源O下的影子如图所示，其中竹竿AB的影子为AG，竹竿CD的影子为CH，已知AB⊥GF，CD⊥GF，点G、A、C、H、E、F在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源O的位置，并画出影子为EF的竹竿EK（用线段表示）． 【分析】连接GB，HD并延长，交点即为光源O的位置，连接OF，作KE⊥EF，交OF于点K，EK即为所求． 【解答】解：连接GB，HD并延长，交点即为光源O的位置，连接OF，作KE⊥EF，交OF于点K，EK即为所求． 【点评】本题考查中心投影，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业13】（2025秋•济南校级月考）如图，一棵树（AB）的高度为5米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长（BE）为3米，现在小明想要站这棵树下乘凉，已知他的身高为1.5米，那么小明最多可以离开树干多少米才可以不被阳光晒到？（不考虑其他情况） 【分析】在同一时刻时，树的高度与影长与人的高度与影长成正比列比例式，求出此时人的影长，计算出最多离树干的长度． 【解答】解：设小明在同一时刻在水平地面上形成的影长为x米，根据题意得： ， 解得x＝0.9， 经检验，x＝0.9是原方程的根，且符合题意， 3﹣0.9＝2.1（米）， 答：小明最多可以离开树干2.1米才可以不被阳光晒到． 【点评】本题考查了平行投影，一个不透明的物体由平行光线形成的投影是平行投影，在平行投影中，同一时刻，物高和影长成正比． 【作业14】（2025春•南明区校级月考）已知一纸板的形状为正方形MR49">ABCD（如图所示），其边长为10厘米，AD，BC与投影面β平行，AB，CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积． 【分析】作AH⊥BB1于H，由∠ABB1＝45°得AH＝sin45°AB，从而求出A1B1；因为AD、BC与投影面β平行，所以AD＝A1D1；将数据代入投影面A1B1C1D1的面积＝A1D1•A1B1，计算即可． 【解答】解： ∵正方形ABCD边长为10厘米，AD、BC与投影面β平行， ∴AD＝A1D1＝10厘米． 作AH⊥BB1于H． ∵∠ABB1＝45°， ∴AH＝sin45°AB厘米， ∴A1B1＝AH厘米， ∴投影面A1B1C1D1的面积＝A1D1•A1B1＝10cm2． 答：投影面A1B1C1D1的面积为cm2． 【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．也考查了正方形的性质． 【作业15】（2024秋•平远县期末）某班同学们上体育课．在阳光下，甲、乙两名同学分别直立站在点C、D的位置，此时，乙影子的顶端恰好与甲影子的顶端重合（如图）．甲的身高为1.8m，乙的身高为1.5m，甲的影长为6m，求甲、乙两名同学之间的距离． 【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB， ∴， 设CD＝xm， ∵BC＝1.8m，DE＝1.5m，AC＝6m， ∴， 解得x＝1， ∴CD＝1m， 答：甲、乙两名同学之间的距离为1m． 【点评】本题考查了平行投影，根据身高与影长的比例不变，得出三角形相似，运用相似比即可解答． 【作业16】（2025秋•抚州月考）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿AB、CD、EF，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（BD＝DF＝6米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿AB、CD的影子分别为BG、DH，如图1和图2的示意图． （1）反映平行投影的情形图是　图2　 ，反映中心投影的情形图是　图1　 ；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子BG、DH画出表示竹竿EF的影子FM及光源O；【数学思考】 （3）在（2）中，小明从点P向右沿地面走，经过光源O的正下方沿直线走到点M，小明的影长y随小明与点P之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为D ． A． B．．C． D． 【解决问题】 （4）在图2中，学习小组经测量：竹竿AB＝3.6米，竹竿CD＝2.25米，竹竿EF＝1.5米，竹竿AB、CD的影长BG＝DH＝4米，求竹竿EF的影长． 【分析】（1）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形； （3）利用相似三角形的性质构建方程组求解即可． 【解答】解：（1）反映平行投影的情形图是图2，反映中心投影的情形图是图1， 故答案为：图2，图1； （2）根据中心投影的定义画出图形，的影子BG、DH画出表示竹竿EF的影子FM及光源O如图所示： ； （3）∵在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长， ∴小明的影长变化是先越来越短，再越来越长， 故选：D； （4）如图，过点O作OR⊥BG于点R，设OR＝y米，BR＝x米， ∵AB⊥BG，OR⊥BG， ∴AB∥OR， ∴△ABG∽△ORG， ∴， 即①， 同理可得：， 即②， 联立①②，得， 整理得，， 解得， ∴OR＝9米，BR＝6米， 又同理可得：， 即， 解得FM＝3.6， 答：EF的影长为3.6米． 【点评】本题考查了平行投影、中心投影和相似三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1 投影 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）新沪教版（五四制）数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解投影的概念：知道中心投影与平行投影的区别与联系。 · 掌握中心投影的性质：光由一点向外散射，物体与投影面平行时投影放大（位似），影长随物体与光源距离变化。 · 掌握平行投影的性质：平行光线下的投影，同一时刻物高与影长成正比，影长方向一致。 · 能运用相似三角形解决投影问题：利用物高与影长的比例关系求解高度、距离等实际问题。 · 培养空间想象能力和几何建模能力：将实际问题抽象为几何图形，建立数学模型。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 知识点1：投影的概念 通常情况下，当光线照射到物体上时，物体在一些平面上会投下影子，我们称之为物体的投影.而照射到物体上的光线则称为投影线，投影所在的平面称为投影面. 提醒（1)投影的形状和大小与物体相对于投影面的位置有关，也与照射物体的光线有关. （2）物体处于光源与投影面之间 例1下列现象是物体的投影的是（ ） A.小明看到镜子里的自己 B.灯光下猫咪映在墙上的影子 C.自行车行驶过后车轮留下的痕迹 D.掉在地上的树叶 解析：由投影的定义可知，灯光下猫咪映在墙上的影子是投影 答案：B ☆知识点2：中心投影 1.定义 我们将由同一点光源（如灯泡；常见的点光源有路灯、台灯、手电筒、探照灯等。）发出的光线形成的投影叫作中心投影，点光源叫作投影中心.如图，物体在点光源发出的光照射下形成的影子就是中心投影。 温馨提示 （1）点光源是投影中心；（2）箭头的方向表示投影线的方向；（3）投影面一般用四边形表示；（4）中心投影的投影线交于一点. 2.线段、平面图形的中心投影 1. 线段的中心投影 如图1,当线段 平行于投影面时,线段 的中心投影是线段 ,此时 ,所以 ,线段 把线段 放大了. 如图2,当线段 不平行于投影面,且两个端点不在同一条投影线上时,点 的中心投影分别是点 ,此时线段 的中心投影是线段 ,它的长度可能等于 ,也可能不等于 如果改变线段 与投影面所成的角度,线段 的投影 的长度也会发生变化. 如图3,当线段 的两个端点在同一条投影线上时,点 的中心投影 重合,此时线段 的中心投影是一个点. （2）平面图形的中心投影 如图4, 当 与投影面平行时, 的中心投影也是一个三角形, 不妨记为 , 此时 是 放大后的图形, 与 是相似的. 一般地, 在中心投影下, 当一个平面图形与投影面平行时, 这个平面图形的中心投影与原平面图形是相似的. 提醒 在日常生活中, 我们可以利用中心投影的原理来实现图形的放大效果. 通过调整光源到被投影图形的距离, 或者调整图形到投影面的距离, 我们可以按照需求在投影面上得到放大后的图形, 这就是幻灯机和投影仪的工作原理. 通过调整距离, 光线经过适当的聚焦和扩散, 将原本较小的图形投影到屏幕上, 实现了图像的放大显示. 3. 中心投影的特征 1. 如图1, 等高的物体垂直于地面放置时, 在灯光下, 离点光源近的物体的影子短, 离点光源远的物体的影子长. 1. 如图2, 等长的物体平行于地面放置时, 一般情况下, 离点光源越近, 影子越长; 离点光源越远, 影子越短, 且都大于物体本身的长度. 1. 点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点, 这三点在同一条直线上, 根据其中两个点的位置, 就可以确定第三个点的位置. 1. 点光源与物体的相对位置改变, 该物体的影子的位置也发生变化, 但点光源和物体的影子始终在物体的两侧. 提醒 中心投影下, 不同物体的影长之比一般不等于物高之比. 例2 确定图中路灯灯泡的位置, 并在图中画出小赵在灯光下的影子. 解：如图. 方法： （1）在图上找点光源的方法：找到物体上的两个不同点（在投影面上的点除外）与其影子上的对应点，分别过物体上的点及其影子上的对应点画直线，直线相交于一点，这一点就是中心投影的光源。（2）作一物体在路灯下的影子；以点光源为端点过物体的顶端作射线，与地面相交于一点，则该交点和物体底端之间的线段即可表示该物体的影子。 ☆知识点3： 平行投影 1.定义 如图，由平行的投影线所形成的投影叫作平行投影 例如，物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影，生活中探照灯的光线形成的投影也是平行投影。 2.线段、平面图形的平行投影 （1）线段的平行投影 如图1，当线段 平行于投影面时，它的平行投影是一条线段 ，此时四边形 是一个平行四边形，所以 ②如图2,当线段 不平行于投影面且不平行于投影线时,它的平行投影是一条线段 ,此时线段 与 不平行,线段 的长度可能等于线段 ,也可能不等于线段 ,它们之间的大小关系和线段 与投影面、投影线之间的相对位置有关. 如图3,当线段 的两个端点在同一条投影线上时,它的平行投影是一个点 (2)平面图形的平行投影 如图4,当矩形ABCD平行于投影面时,它的平行投影是矩形 ,它们的形状相同、大小相等. 提醒平行投影中对应点的连线是互相平行的;反之,物体与其投影的对应点的连线是互相平行的就说明是平行投影. 3.平行投影的特征 (1)如图1,等高的物体垂直于地面放置时,同一时刻、同一地点,在太阳光下,它们的影子一样长. (2)如图2,等长的物体平行于地面放置时,同一时刻、同一地点,它们在太阳光下的影子一样长,且影长等于物体本身的长度. (3)如图3,在太阳光下,不同时刻的同一物体,不仅影子的大小在改变,而且影子的方向也在改变,就我们所在的北半球而言,从早晨到傍晚,物体的影子由西向东绕物体沿顺时针方向转动,其影长的变化规律是长一短一长,如图所示. (4)在太阳光下,不同时刻,同一物体的影子长度可能不同;同一时刻,不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例. 例3下列四幅图中,能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的是( ). 解析:A、B两项两棵树的影子的方向相反,不可能为同一时刻太阳光下的影子,所以A、B不符合题意;C.树高与影长成比例,所以两棵树在同一时刻的太阳光下,符合题意;D.图中树高与影长不成比例,不符合题意. 答案:C 【规律总结】(1)在平行投影中,物体上的点与影子上的对应点的连线互相平行.反之,如果物体上的点与影子上的对应点的连线是互相平行的,就说明是平行投影. (2)在太阳光线下,同一地点、同一时刻,不同物体的影子平行或在同一条直线上. ☆知识点4：正投影 1.定义 如图,投影线垂直于投影面产生的投影叫作正投影 温馨提示 (1)正投影是一种特殊的平行投影.(2)正投影只要求投影线与投影面之间是垂直的,与物体的位置无关. 线段、平面图形、立体图形的正投影 例4 如图，箭头表示投影线的方向，则图中圆柱体的正投影是（ ）。 A. 圆 B. 圆柱 C. 梯形 D. 矩形 解析：根据正投影的特点，得，该圆柱体的正投影是矩形。 答案：D 总结 正投影是一种特殊的平行投影，投影线从不同方向照射，得到的正投影可能不同。如本题的圆柱，从左到右照射得到的正投影是矩形，从上到下照射得到的正投影是圆。 例题精讲 ·3大模块精讲 【模块1】中心投影 （第1—18题） 📌 方法总结： · 识别中心投影：光线从一点出发，影子长短与距光源距离有关。 · 利用相似三角形：物高与影长之比等于物体到光源距离与影子端点到光源距离之比。 · 注意：中心投影下，同一物体在不同位置的影长不同，需找准对应关系。 1．（2026•安顺二模）如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•鼓楼区二模）如图，夜晚冬冬从点A出发沿直线走向点B，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（　　） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 3．（2026•平顺县二模）如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次的拐角∠B＝135°，第二次拐角C处有一路灯，白天某一时刻，路灯CE的影子CF与BC的夹角∠BCF＝97°，则∠FCD的度数为（　　） A．38° B．45° C．46° D．49° 4．（2026春•历城区期末）济南依山傍水，夜幕降临，山体灯光秀以光影绘山色．不同颜色的光束投影在山体表面交错重叠，绘就泉城别样夜色．如图，点A为山顶的射灯装置，射出的绿色光线形成△ABC且AB＝AC，射出的红色光线形成Rt△ADE且∠DAE＝90°，点B，D，C，E在同一条直线上．若∠BAD+∠CAE＝∠E，BD＝CE＝2，则两片光束重叠部分即△ADC的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（2025秋•郫都区期末）如图，一块三角形硬纸板△ABC平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△DEF，若△ABC与△DEF的周长之比为2：3，则OB：BE的值为（　　） A．4：9 B．3：1 C．2：1 D．2：3 6．（2025秋•贵阳期末）小星夜晚在一盏路灯下行走时，他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长，则他相对这盏路灯的位置是（　　） A．逐渐远离路灯 B．在路灯正下方 C．逐渐走向路灯 D．无法确定 7．（2025秋•香河县期末）如图，小明家客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，BC的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标为（　　） A．（3.8，0） B．（3.9，0） C．（4.1，0） D．（4，0） 8．（2025秋•武侯区校级期末）小树AB高3m，在路灯M的照射下形成投影BC＝4m，树与路灯的距离BP＝5m．则路灯高MP为　 　 m． 9．（2026春•槐荫区期末）宋代诗人释惠明所作《手影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”如图，“手影戏”中的手影属于 　 　 （填“中心”或“平行”）投影． 10．（2026•溧阳市校级模拟）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，若树高AB＝3m，树影BC＝4m，树与路灯的水平距离BP＝8m，则路灯的高度OP为 　 　 m． 11．（2026•沈河区校级开学）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD．已知AB＝0.5dm，点光源到胶片的距离OE长为4dm，CD长为1.75dm，则胶片与屏幕的距离EF为　 　 dm． 12．（2025秋•寿光市期末）如图，设点O为投影中心，长度为2的线段AB平行于它在面H内的投影A′B′．已知点O到直线AB的距离为3，直线AB与A′B′距离为5，则A′B′的长　 　 ． 13．（2025秋•天府新区校级月考）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若这棵树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4.5m，则路灯的高度OP为　 　 ． 14．（2024秋•揭西县期末）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知树高AB＝2m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则路灯的高度PO长是 　 　 米． 15．（2025秋•周村区期末）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（5，5）处，木杆AB平行于x轴，木杆两端的坐标分别为A（0，2），B（6，2）． （1）画出木杆AB在x轴上的投影CD； （2）求出其投影CD的长． 16．（2025秋•渠县期末）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？ 17．（2025秋•贵阳校级月考）如图，广场上有一路灯，路灯下一墙墩AB的影子是BC，小明身高DE的影子是EF，在M处有一棵大树，它的影子是MN． （1）在图中确定路灯灯泡P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在图中画出表示大树的线段MG（不写作法，保留作图痕迹）． 18．（2024秋•兰州期末）通常，路灯、台灯、手电筒…的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 画图操作：画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为 　 　 ； 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4m．已知小明的身高为1.6m，求灯杆AB的高度． 【模块2】平行投影 （第19—35题） 📌 方法总结： · 识别平行投影：光线平行（太阳光），影子方向一致。 · 核心比例：同一时刻，物高/影长 = 定值。 · 注意：不同时刻影子方向、长度变化规律（北半球：早晚长，中午短；方向从西到北到东）。 19．（2026•贵州模拟）如图所示的物体的影子，不正确的是（　　） A． B． C． D． 20．（2026•威海模拟）下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（　　） A． B． C． D． 21．（2026•金凤区校级三模）下列判断正确的是（　　） A．两点之间垂线段最短 B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．点P（﹣a2﹣1，|b2+1|）关于y轴的对称点在第一象限 D．同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等 22．（2026•白银模拟）如图1是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》中的一种画法便是用直角坐标投影．某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为（﹣4，2），表示“开阳”的点坐标为（0，3），则表示“天权”的点的坐标为（　　） A．（5，﹣1） B．（5，1） C．（﹣1，5） D．（1，5） 23．（2026•赤坎区校级模拟）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC，D在AB上，AD＝0.6m，D、E、F三点共线，DF＝3DE＝3AE．当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH的长度为（　　） A． B． C． D． 24．（2026•市南区校级一模）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 25．（2025秋•南海区期末）一天下午小红先参加了校运动会女子200m比赛，过一段时间又参加了女子400m比赛，如图是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么下列说法正确的是（　　） A．乙照片是参加200m的 B．甲照片是参加200m的 C．乙照片是参加400m的 D．无法判断甲、乙两张照片 26．（2026春•青羊区校级期中）如图，太阳光线AC与A'C'是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，在探究过程中判断△ABC≌△A'B'C'的依据是　 　 ． 27．（2026•科尔沁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点P（2，5）是一个光源，横杆MN两端的坐标分别为（﹣2，3），（3，3），则横杆MN在x轴上的投影长为　 　 ． 28．（2025秋•山丹县校级期末）陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在太阳光下的影子属于　 　 投影．（填“平行”或“中心”） 29．（2025•分宜县模拟）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知∠MAD＝24°，∠FCN＝25°，则∠ABC的大小为　 　 ． 30．（2024秋•清水县期末）在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 　 　 m． 31．（2025秋•沈北新区期末）如图，甲楼AB高16米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知两楼相距BD为12米，当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝　 　 米．（结果保留根号） 32．（2026春•滕州市期末）“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”AB与“圭”BC垂直，冬至时节“表”AB的日影最长（BC的长），某一节气，光线AM平分∠BAC，D为AC上一点，连接MD，BD，MD⊥AC． （1）若“表”AB＝6，AC＝10，求CM的长； （2）若AM＝CM，判断△ABD的形状，并说明理由． 33．（2025秋•沂源县期末）如图，正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，其中边AB、CD与投影面平行，AD，BC与投影面不平行．若正方形ABCD的边长为5厘米，∠BCC1＝45°，求其投影A1B1C1D1的面积． 34．（2025秋•同步）如图，太阳光线AC与A'C'是平行的，同一时刻两根竖立的木杆在太阳光照射下的影子一样长．由此能判断这两根木杆一样长吗？为什么？ 35．（2025•太原开学）列综合算式或方程，不解答． （1）同学们去参观科技馆，四年级去了320人，比六年级的2倍少15人．六年级去了多少人？ （2）爸爸获得一笔3000元的奖金给小亮存了教育储蓄，教育储蓄定期三年，年利率为2.75%，到期时能获得利息多少元？ （3）如图，同一时刻，直立在地上6米高的树的影子长是4.5米，附近一座大楼的影子长15米．这座大楼高多少米？ 【模块3】投影综合应用 （第36—39题） 📌 方法总结： · 综合运用中心投影与平行投影的性质，结合实际问题建立方程。 · 注意区分投影类型，选择正确的比例关系。 · 常与测量、日晷、影子变化等实际问题结合，需仔细审题。 36．（2025春•哈尔滨期末）北京某中学开展了测量日影变化规律的实践活动．请结合实践过程，读图完成下列各题． 实践活动材料：1米长的竹竿1根、量尺1个、绘图工具1套． 【物影日变化】 活动1：如图1是同学们记录的一天中9点、12点、15点竹竿影子的方向和长度． （1）正午12点，竹竿影子的朝向是 　 　 （填“正北”或“正南”）． （2）一天中竹竿影子长度的变化规律是 　 　 （填“先变长再变短”或“先变短再变长”）；此现象与地球的 　 　 有关（填“自转”或“公转”）． 【物影年变化】 活动2：9月8日至9月20日，每隔6天测一次，竹竿影长测量时间为正午．如图是太阳直射点一年当中的回归运动． 日期 影长/厘米 朝向 白昼时长 9.8 73 朝北 12小时28分钟 9.14 77 朝北 12小时17分钟 9.20 81 朝北 12小时11分钟 （3）根据记录可知，9月8日至20日，竹竿影子长度变 　 　 （填“长”或“短”），白昼时间变 　 　 （填“长”或“短”），测量期间太阳直射点最接近图2中的 　 　 （填序号），此过程太阳的直射点向 　 　 移动（填“北”或“南”）． （4）一年中，物体的影长会随着季节变化而变化，此现象与地球的 　 　 有关（填“自转”或“公转”）． 【物影与生活】 （5）图3中A、B两图分别为某同学所绘夏至日、冬至日正午竹竿影子的方向和长度．B图测绘的时间可能是 　 　 前后（填“夏至日”或“冬至日”），假如想在北京市买房，为了保证房屋采光，推荐看房的最佳季节是 　 　 （填“春季”，“夏季”，“秋季”或“冬季”）． 37．（2024秋•九江期中）太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图①是太阳能电板，图②是其截面示意图，其中GF为太阳能电板，AE、CD均为钢架且垂直于地面DE，AB为水平钢架且垂直于CD，测得AG＝CF＝0.4m，BC＝0.6m，AC＝0.75m．若某一时刻的太阳光线垂直照射GF． （1）求钢架AE的长； （2）求太阳能电板GF的影子EH的长（结果保留小数点后两位）． 38．（2025•东城区校级一模）“夏至”是二十四节气的第十个节气，《恪遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至．至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日． 某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午（中午12时），在北半球不同纬度的地方，100cm高的物体的影长和纬度的相关数据．记纬度为x（单位：度），影长为y（单位：cm），x与y的部分数据如表： x 0 5 15 23.5 25 35 45 55 65 y 43.5 33.4 15.0 0 2.6 20.3 39.4 61.3 88.5 （1）通过分析如表数据，发现可以用函数刻画纬度x和影长y之间的关系．在平面直角坐标系xOy中，画出此函数的图象； （2）北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，100cm高的物体的影长约为 　 　 cm（精确到0.1）； （3）小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了100cm高的物体的影长均为40cm，那么他们生活的地区纬度差约是 　 　 度． 39．（2023秋•益阳期中）数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，有以下两种方案： 请你根据以下两种方案，选择其中一种方案，求出旗杆的高度． 方案一：如图1，小明在地面直立一根标杆EF，沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E、旗杆的顶点A在同一直线上．测量：人与标杆的距离DF＝1m，人与旗杆的距离DB＝16m，人的目高和标杆的高度差EG＝0.9m，人的目高CD＝1.6m． 方案二：如图2，小聪在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长BD＝21米，留在墙上的影高CD＝2米． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026•广州校级模拟）小明家的客厅有一张直径为1.4m，高0.8m的圆桌BC，在距地面2.4m的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE．如图，根据题意，以1m为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是 　 　 ． 【练习2】（2026•武威校级模拟）如图，乐乐将高为1.8米的标杆CD竖立在地面上，某一时刻高为9米的小树AB在太阳光下的投影为BE，此时标杆CD在太阳光下的投影为CF，CF＝1.2米．已知AB⊥BF，CD⊥BF，点B、E、C、F在同一直线上，则投影BE的长为　 　 米． 【练习3】（2026•米脂县校级开学）比赛当天下午，小颖先参加了校运动会女子100米短跑比赛，一段时间后又参加了女子400米接力比赛，如图是小刚在同一位置为小颖拍摄的两张比赛照片，则小颖参加400米接力赛的照片是　 　 （填“甲”或“乙”，小颖处于北半球）． 【练习4】（2025秋•南郑区期末）如图，一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一棵大树，它的影子是MN． （1）试判断是路灯还是太阳光产生的影子，如果是路灯产生的影子确定路灯的位置（用点P表示）．如果是太阳光请画出光线． （2）在图中画出表示大树高的线段． 【练习5】（2025秋•西安校级期中）如图，是一位同学设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图．小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，这位同学测得树高AB＝4m，树影BC＝5m，树与路灯的水平距离BP＝6m．求路灯OP的高度． 课后巩固 · 针对性练习 ❤复习建议： ·分清投影类型：根据光源是点光源还是平行光，判断中心投影或平行投影。 ·牢记比例关系：平行投影下物高与影长成正比；中心投影下利用相似三角形对应边成比例。 ·注意方向变化：北半球太阳影子的方向随时间变化（西→西北→北→东北→东），影长先短后长。 ·画图辅助分析：遇到实际问题时，画出光路图和相似三角形，标出已知量，建立方程。 ·联系实际应用：多练习测量高度、日晷、影长变化等生活问题，提升建模能力。 【作业1】（2026•鹿城区二模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（　　） A． B． C． D． 【作业2】（2026•东河区二模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（2，2）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的影长CD为（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 【作业3】（2026•隆安县二模）如图，木棒AB竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒P照射木棒AB（点P在AB的垂直平分线上且位于AB右侧），在墙面上形成投影CD，已知AB＝10cm，CD＝40cm，此时点P到AB的距离为20cm，若木棒AB不动，水平移动手机手电筒P使投影CD的长度缩短20cm，则点P相对于木棒AB的移动方式（　　） A．向左平移40cm B．向右平移40cm C．向左平移20cm D．向右平移20cm 【作业4】（2025秋•巴中期末）在一天中的四个不同时刻，小红观察了一个物体在阳光照射下投射在地面上的影子，其位置如图所示．按照时间先后顺序排列，正确的是（　　） A．①②③④ B．④①③② C．④③①② D．②①③④ 【作业5】（2025秋•龙华区期末）如图，数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子．从早晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是（　　） A．一直变短 B．短﹣长﹣短 C．一直变长 D．长﹣短﹣长 【作业6】（2024秋•市南区期末）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上，刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，；夏至日影最短，．若圭面上冬至线与夏至线之间的距离为4m，则表高为（　　） A．2.1m B．2.4m C．5.6m D．5.8m 【作业7】（2026•上栗县模拟）如图，在直角坐标系中，点P（2，3）是一个点光源．木杆AB两端的坐标分别为（1，1），（4，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为　 　 ． 【作业8】（2025秋•漳州校级期末）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，在一次手影游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应减少　 　 米． 【作业9】（2025秋•子洲县期末）榆林剪纸是陕西榆林珍贵的文化遗产，也是享誉中外的陕北剪纸的精华．榆林剪纸在手电筒下形成的影子属于　 　 投影．（填“中心”或“平行”） 【作业10】（2025秋•金凤区校级期末）下列各种现象： ①孙敬“悬梁”在灯下读书的影子； ②朱买臣“负薪”在日光下读书的影子； ③车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子； ④匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子． 其中属于平行投影的是　 　 （填序号）． 【作业11】（2025秋•白银期末）如图，日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．但在史籍中却少有记载，现在史料中最早的记载是“汉书•律历志•制汉历”一节：太史令司马迁建议共议“乃定东西，主晷仪，下刻漏”．看来日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于 　 　 投影． 【作业12】（2025秋•莲湖区月考）三根竖立的竹竿在同一光源O下的影子如图所示，其中竹竿AB的影子为AG，竹竿CD的影子为CH，已知AB⊥GF，CD⊥GF，点G、A、C、H、E、F在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源O的位置，并画出影子为EF的竹竿EK（用线段表示）． 【作业13】（2025秋•济南校级月考）如图，一棵树（AB）的高度为5米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长（BE）为3米，现在小明想要站这棵树下乘凉，已知他的身高为1.5米，那么小明最多可以离开树干多少米才可以不被阳光晒到？（不考虑其他情况） 【作业14】（2025春•南明区校级月考）已知一纸板的形状为正方形ABCD（如图所示），其边长为10厘米，AD，BC与投影面β平行，AB，CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积． 【作业15】（2024秋•平远县期末）某班同学们上体育课．在阳光下，甲、乙两名同学分别直立站在点C、D的位置，此时，乙影子的顶端恰好与甲影子的顶端重合（如图）．甲的身高为1.8m，乙的身高为1.5m，甲的影长为6m，求甲、乙两名同学之间的距离． 【作业16】（2025秋•抚州月考）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿AB、CD、EF，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（BD＝DF＝6米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿AB、CD的影子分别为BG、DH，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是　 　 ，反映中心投影的情形图是　 　 ；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子BG、DH画出表示竹竿EF的影子FM及光源O；【数学思考】 （3）在（2）中，小明从点P向右沿地面走，经过光源O的正下方沿直线走到点M，小明的影长y随小明与点P之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为　 　 ． A． B．．C． D． 【解决问题】 （4）在图2中，学习小组经测量：竹竿AB＝3.6米，竹竿CD＝2.25米，竹竿EF＝1.5米，竹竿AB、CD的影长BG＝DH＝4米，求竹竿EF的影长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $