重难点专题05 一元二次方程根的分布（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以根的分布位置为逻辑主线，构建“原理-分类-解法”三级方法体系，通过判别式、韦达定理与函数图象的综合应用，系统突破参数范围问题，培养数学思维的推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根在R上的分布|4+3变式|二次项系数分类讨论+判别式|从方程定义出发，建立根的存在性与判别式的关联| |“0”分布|8+5变式|韦达定理+补集思想|通过根与0的大小关系，延伸出正根、负根等分类及参数限定| |“k”分布|3+2变式|图象四要素（开口/判别式/对称轴/端点值）|以参数k为分界，构建根与常数比较的代数表征| |区间上/外分布|8+4变式|区间端点函数值符号+特殊根验证|将根的分布从单点扩展到区间，深化函数性质的应用|

画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点专题05一元二次方程根的分布 题型概览 在R上的分布 元二次方程根的分布 重难点一一元二次方程根的“0”分布 “0”分布、“k"分布 重难点二一元二次方程根的“k"分布 重难点一一元二次方程根在区间上的分布 在区间上、外的分布 重难点二一元二次方程根在区间外的分布 重点强化 【一元二次方程根在R上的分布】 方法 一元二次方程根在R上的分布 1.原理：一元二次方程在实数范围上的根情况，由根的判别式△=b2-4ac决定 有2个不相等的实数根，则△>0 一元二次方程Qx2+bx+c=0 有2个相等的实数根，则△=0 没有实数根，则△<0 【注意】 ①一元二次方程有实数根（至少有一个根），则△≥0 ②算△前应先确定是一元二次方程，若不一定，则要进行讨论 2.解题思路： ①先判断二次项系数是否为0，区分一次/二次方程： ②确定是二次方程的前提下，根据根的个数算判别式，列不等式求参数范围； 1,关于x的一元二次方程x-2x+a=0有实根，则a的取值范围是() A.ala>1 B.{ala≤1l c.{ala≥1l D.(ala<1) 第1页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式】已知命题p:关于x的方程x+2x+a=0有两个不相等的实根，若一p为真命题，则a的 取值范围是() A.-1,+0 B.-1,+0l C.1,+o D.1,+o 2.设命题p:方程X+2mx+1=0有两个不相等的正根：命题g:方程X+2m-2x-3m+10=0 Γq 无实根.若p与q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围. 【变式】若关于x的方程kx2-6X+9=0的解集为☑，则实数k的取值范围是 第2页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.已知函数fx=m+1x-mx+m-1若fX=0有实数根，求实数m的范围 m 4.若关于x的一元二次方程k-2X2-216+k=6有实数根，则k的取值范围为（） A.k≥0 B.k≥0且k≠2 c.k22 D.k≥ 且k*2 【变式】己知关于x的方程ax+2x+1=0至少有一个实根，则实数a的取值范围是 第3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重点强化 【一元二次方程根的“0”分布、“k”分布】 【重难点一一元二次方程根的“0”分布】 ©妹方法一元二次方程根的“0”分布 1.原理：涉及一元二次方程两根，从判别式和两根关系（韦达定理）两方面进行限定 ①-元二次方程aX2+bx+c=0有两根，则△≥0 a≠0 ②一元二次方根与系数的关系一一韦达定理 两根之和为+X2=- b 0 两根之积x1x2=9 a 2.具体情况分类： △>0（两根不等）】 ①有2个不等的正根X1>0,水2>0 X1+x2>0(和为正) x1x,>0(积为正，同号) △>0（两根不等） ②有2个不等的负根水1<0，x2<0一 x1+x2<0(和为负) x1x2>0(积为正，同号)】 ③有一正根一负根一X1X2<0 ④至少一个负根/正根 方法一：分类讨论： 次方程（α=0）：直接解看根正负： 二次方程：分“两负/正根”，“一负一正根”两种情况，再取并集。 方法二：补集思想，即先求方程没有负/正根，再取补集。 方程没有负/正根等价于“方程无实根”，和“所有实根非负/正”两种情况. 5.若方程X2+m-3)x+m=0有两个正根，则实数m的取值范围是 m 第4页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【练习】已知二次函数y=X2-1-tx+2+t (1)若关于x的方程y=0有两个不等实数根，求实数t的取值范围： (2)若关于x的方程y=0有两个不等正实数根，求实数t的取值范围： 6.关于x的方程2ax+2X-3-a=0有且只有正根，求实数a的取值范围： 第5页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式】已知X1,X2是一元二次方程4kx2-4心+k+1=0的两个不等实数根.若X1,X2均为正根， 求实数k的取值范围」 7.已知关于x的方程x2-2X+m-1=0的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 8.已知方程4X+m-2x+m-6=0有一正根一负根，则实数m的取值范国是 m 第6页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式】已知函数fx=X-m+1x+m+1若关于x的方程fx=0一个根大于0，一个根小于0， 求实数m的取值范围 9.方程ax2-2ax+4=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是() A.a<0 B.a>4 C.a<-1 D.a<1 【变式】方程2m+1X-2mx+m-1=0有一正根和一负根的充分不必要条件是（） A.-1<m<1 Rms-方 C.0<m<1 D.-2<m<1 第7页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.已知关于x方程X+2m-1x+2m+6=0:若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围 m 【变式】关于x的方程X-4x+2m+6=0至少有一个负根的充要条件是（） 3 A.m22 3 B.m≤-1 c.m≥2或m≤-1 D.m≤-3 11.若方程ax2-4x+1=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是() 第8页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a≤0 B.a<0 C.a≤4 D.0≤a≤4 【变式】已知p:关于x的方程ax+2x+1=0至少有一个负根，q:a≤1，则一p是q的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.不充分也不必要条件 12.已知关于x的方程，-2alx-a-2ax+2=0有4个互不相同的实数根.则实数。的取值范围是 ()· A.1,+oo B.(-0,-1 C.-1,0u0,1 D.1,2 第9页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.已知函数y=aX+1-aX+a(a∈R),若存在m≤-寻使关于x的方程aX+1-ax=m 有四个不同的实根，求实数a的取值范围. 【变式】已知函数fx=ax-a+2x+2,Q∈R,若存在m>0使关于x的方程fx=m+上+1 m 有四个不同的实根，求实数a的取值范围. 第10页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【重难点二一元二次方程根的“k”分布】 ©啸方法一元二次方程根的“k”分布 1.解题思路：涉及一元二次方程两根与k比，结合图象，从开口、判别式、对称轴、端点值4个方 面进行圈定 2.具体情况分类： 设常数k,一元二次方 ax2+bx+c0对应的二次函数fx=aX2+bx+c(a>0)（开口向上，开日 向下同理变号) △>0（两不等根) ①两根都大于kX1>k,X2>k b>k(对称轴在k右侧 2 f(k)>0(x=k处函数值在x轴上方 △>0（两不等根） ②两根都小于kX1<k,X2<k b<k(对称轴在k左侧) 2 f(k)>0(x=k处函数值在x轴上方)】 ③一根大于飞，一根小于kfk)<0 14.“m>2”是“关于x的方程x-mx+m+3=0的两根都大于1的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 第11页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式】已知方程x2-2ax+a2-4=0的两不相等实根小于2，求实数a的取值范围 15.关于x的方程X+a2-1x+a-2=0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 【变式】已知函数fx=aX-2a-1x-21a∈R若关于x的方程fx=0有两个不等实根x X2,且X1<1<X2,求a的取值范围 第12页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.已知关于x的方程X+aX2+bX+ox+1=0a,b∈R的四个实根均为正数，则6的取值范围为 100 重点强化 【一元二次方程根在区间上、区间外的分布】 【重难点一一元二次方程根在区间上（内）的分布】 爆方法 一元二次方程根在区间上（内）的分布 1.解题思路：一元二次方程根在某区间上的分布情况，根本是结合图象，从开口、判别式、对称 轴、端点值4个方面进行圈定 2.具体情况分类： 设-元二次方程aX+bx+e0对应的二次函数f(x)=aX+bx+c(a>0)(开口向上，开口向下同 理变号) △>0（两个不等实根） ①两根都在区间内m<x1<x2<n n、 b<n(对称轴卡在区间中间) 2 f(m)>0(左端点函数值在上 f(n)>0（右端点函数值在上) ②只有一根在区间内~f(m)小：f(n)<0 【注意】单独验证，根刚好等于区间端点的特殊情况。 17.已知方程x2-2mx+m+2=0的两根都在区间(1,4)内，则m的取值范围为() 第13页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.[2,3) u.,9) D.2,9 【变式】关于x的方程X+m-3)x+m=0满足下列条件，一个根在(-2,0)内，另一个根在(0,4)内： 求m的取值范围_ 18.已知a,b∈R,则2+，9a 4-2+m=0在(1，+∞)上有两个不相等 。+2a+b的最小值为m,方程文-飞+4 的实根，则t的范围是 第14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.关于x的方程aX-a+1x-2a+3=0有两个不相等的实数根x1,X,:若-2<X,<X,<3:则实 数a的取值范围是() A.{aa>1} B.(aa>1或a<-}c.aa>或a<号 D.{a|a>1 或a<- 5 20.若命题“关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0在-1,3上至多有一个解”是假命题，则m的 取值范围是() B.-3,1-2 e别1-2 【变式】若方程3X+3a+1x+b=0ab∈R)在-2≤x≤2上有实根，则b-a2的最大值为 第15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.已知命题p:关于x的方程ax2-ax-2=0在[-1,1]上有解；命题q:仅有一个实数满足关于x 的不等式x2+ax+a≤0.若p,q都是假命题，求实数a的取值范围. 【重难点二一元二次方程根在区间外的分布】 ©啸方法 一元二次方程根在区间外的分布 1.原理：一元二次方程两根均分布在区间外，结合图象可知，两端点处的函数值同正/同负 2.具体情况： 设一元二次方程aX+bx+c0的两根x,≤X'其对应的二次函数fx)=aX+bx+ca>0)(开口 向上，开口向下同理变号) 两根都在区间外水1<m,X2>n台 f(m)<0 f(n)<0 2.关于x的方程x+m-3x+m=0一个根小于2一个根大于4：求m的取值范围 第16页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【练习】已知关于x的一元二次方程x+a-1x+a-2=0的一根小于0：另一根大于3求实数。的 取值范围 23.已知关于x的方程gX-2a+1x+a-1=0方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数。 的取值范围」 第17页 重难点专题05 一元二次方程根的分布 【一元二次方程根在R上的分布】 一元二次方程根在R上的分布 1.原理：一元二次方程在实数范围上的根情况，由根的判别式决定 一元二次方程 【注意】 ①一元二次方程有实数根（至少有一个根），则△≥0 ②算△前应先确定是一元二次方程，若不一定，则要进行讨论 2.解题思路： ① 先判断二次项系数是否为0，区分一次/二次方程； ② 确定是二次方程的前提下，根据根的个数算判别式，列不等式求参数范围； 1．关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到不等式，解得即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有实根， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：B 【变式】已知命题：关于的方程有两个不相等的实根，若为真命题，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若为真命题，则命题为假命题，所以关于的方程没有两个不相等的实根， 即：有两个相等的实根或者没有实根，则， 解得：，所以的取值范围是. 2．设命题：方程有两个不相等的正根；命题：方程无实根．若与中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】分别求得命题p，q为真时m的范围，根据题意可得命题p，q一真一假，分p真q假和p假q真两种情况，分别求解，综合即可得答案． 【详解】当命题p为真时，有，解得． 当命题q为真时，有，即，解得． 由题意，p与q中有且只有一个是真命题，分两种情况： 若p真q假，则，解得； 若p假q真，则，解得． 所以，实数m的取值范围是． 【变式】若关于x的方程的解集为，则实数k的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解与判别式的关系求解. 【详解】当时，方程的解为，不满足题意； 当时，因为关于x的方程的解集为， 所以，解得； 综上，实数k的取值范围是， 故答案为：. 3．已知函数.若有实数根，求实数的范围 ； 【答案 【分析】按照和分类讨论，利用判别式法列不等式求解即可； 【详解】有实数根，即方程有解， 当即时，方程，得，符合题意； 当即时，由题意，即， 解得 ，且； 综上，实数的范围； 4．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】（k-2）x2-2kx+k-6=0， ∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根， ∴， 解得：且k≠2． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 【变式】已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】分与时讨论，当时，令判别式大于等于零即可； 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程至少有一个实根，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 【一元二次方程根的“0”分布、“k”分布】 【重难点一 一元二次方程根的“0”分布】 一元二次方程根的“0”分布 1.原理：涉及一元二次方程两根，从判别式和两根关系（韦达定理）两方面进行限定 ①一元二次方程有两根，则 ②一元二次方根与系数的关系——韦达定理 两根之和 两根之积 2.具体情况分类： ① 有2个不等的正根 ② 有2个不等的负根 ③有一正根一负根 ④至少一个负根/正根 方法一：分类讨论： 方法二：补集思想，即先求方程没有负/正根，再取补集。 方程没有负/正根等价于“方程无实根”，和“所有实根非负/正”两种情况. 5．若方程有两个正根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】由方程有两个正根，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【练习】已知二次函数． (1)若关于的方程有两个不等实数根，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不等正实数根，求实数的取值范围； 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）利用二次方程判别式即可求解； （2）利用（1）结合韦达定理即可求解； 【详解】（1）由方程有两个不等实数根， 可得：，化简得：， 解得或. 故实数的取值范围为或. （2）由方程有两个不等实数根， 可得：，化简得：， 解得或， 且满足，解得， 故实数的取值范围为. 6．关于的方程有且只有正根，求实数的取值范围 ； 【答案】. 【分析】分和两种情况讨论，时，由判别式和韦达定理得到不等式组，解出的取值范围. 【详解】当时，由得，符合题意； 当时，设方程的根为， 由得，解得， 所以或， 综上，的取值范围是. 【变式】已知是一元二次方程的两个不等实数根．若均为正根，求实数的取值范围 ； 【答案】； 【来源】福建省厦门沧江高级中学2025-2026学年高一上学期10月质量检测数学试题 【分析】根据已知有，再由两根为正，应用韦达定理列不等式求参数范围； 【详解】由题设知，可得， 由均为正根，则，可得或， 综上，； 7．已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【分析】运用解题即可. 【详解】根据题意得到，即，解得. 故答案为：. 8．已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】令，根据条件得，即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得， 故答案为：. 【练习】已知函数.若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围 ； 【答案】 【分析】由题意得函数图象与轴交点的纵坐标即可. 【详解】因为方程一个根大于0，一个根小于0， 所以， 所以， 故 9．方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据韦达定理以及二次方程判别式求出充要条件，再结合选项逐一判断. 【详解】若方程有一个正根和一个负根， 则，，，得， 则是方程有一个正根和一个负根的充要条件，A错误； 是方程有一个正根和一个负根的既不充分也不必要条件，B错误； 是方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件，C正确； 是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件，D错误. 故选：C 【变式】方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合韦达定理和研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出的范围，最后结合充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． 10．已知关于方程，若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】 【分析】先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 【变式】关于的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据题意可先求得关于的方程没有一个负根时，的取值范围，即可得出满足题意的的范围. 【详解】当方程没有根时，，即， 解得； 当方程有根，且根都不为负根时，可得，解得， 综上可知， 即关于的方程没有一个负根时，， 所以至少有一个负根的充要条件是. 故选：B 11．若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对的符号分类讨论，结合图象特点求解. 【详解】若，则方程为，解得，满足条件； 设， 若，因为， 所以函数与轴在原点两侧各有一个交点， 所以方程恰有一个正根和一个负根，满足条件； 若，因为， 所以若方程至少有一个正根， 则函数的图象与轴相交，且对称轴在原点右侧， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是， 故选：C. 【变式】已知关于的方程至少有一个负根，，则是的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】试题分析：对于关于的方程至少有一个负根，可分两种情况：（1）当时，方程是一个直线，可知有一个负实数根；（2）当时，当关于的方程有实根，，解的；①当关于的方程有一个负实根，有，解得；②当关于的方程有两个负实根，则有，解得；即关于的方程至少有一个负根，则，则，，所以是的充要条件，故选A． 考点：充要条件的判定与证明． 【方法点晴】本题主要考查了充要条件的判定问题，其中解答中涉及到一元二次方程根的分布、命题的否定、充要条件的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了分类讨论思想的应用，属于中档试题，做题时应该注意对字母系数的分类讨论，避免当成二次直接用根的判别式而知错． 12．已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令（），原方程转化为，根据一元二次不等式有两个不等的实根求解即可. 【详解】令（），原方程转化为． 关于的方程有4个互不相同的实数根，即有2个不同的正根， 因此有。解得． 故选：D． 13．已知函数（），若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围． 【答案】. 【分析】将问题转化为存在，使得方程有两个不同正根，再利用判别式及韦达定理列式求解. 【详解】关于的方程有四个不等实根， 即方程有两个不同正根，则， 由，得，且存在，不等式成立， 而是关于的一次函数，因此， 即，又，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式】已知函数，，若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】先令，由，则可得，再将有四个不同的实根，转化为有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出的取值范围． 【详解】当时，令，当且仅当时，等号成立； 则关于的方程可化为， 关于的方程有四个不等实根， 即有两个不同正根， 则， 由②③式可得， 由①知：存在使不等式成立， 故， 即，解得或. 故实数的取值范围是． 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 【重难点二 一元二次方程根的“k”分布】 一元二次方程根的“k”分布 1.解题思路：涉及一元二次方程两根与k比，结合图象，从开口、判别式、对称轴、端点值4个方面进行圈定 2.具体情况分类： 设常数k，一元二次方程=0对应的二次函数（开口向上，开口向下同理变号） ① 两根都大于k ② 两根都小于k ③一根大于k，一根小于k 14．“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】判别式： ，解得或， 对称轴在右侧： 对称轴，解得， 再由：恒成立， 所以两根都大于1的充要条件是， ，推不出，因此充分性不成立， ，可推出，因此必要性成立， 因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件. 【变式】已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. 15．关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 【答案】 【分析】令，则即可求得的范围 【详解】要使关于的方程的一根比大且另一根比小， 令，则，即， 解得，所以的取值范围为 【变式】已知函数．若关于的方程有两个不等实根、，且，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】求出方程的两根，根据已知条件可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为关于的方程有两个不等实根、，则，且， 由，可得，， 所以，即，等价于，解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 16．已知关于的方程的四个实根均为正数，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】关于的方程的四有正实根，两边同除以，等价变形为，然后利用分离变量法转化成值域问题即可解决. 【详解】由题意知：， 关于的方程有正实根，， 等价变形为，（1） 设，则，（1）可变形为：有根， 分离变量得： ， 原方程有四个正根，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等， 所以， 【一元二次方程根在区间上、区间外的分布】 【重难点一 一元二次方程根在区间上（内）的分布】 一元二次方程根在区间上（内）的分布 1.解题思路：一元二次方程根在某区间上的分布情况，根本是结合图象，从开口、判别式、对称轴、端点值4个方面进行圈定 2.具体情况分类： 设一元二次方程=0对应的二次函数（开口向上，开口向下同理变号） ① 两根都在区间内 ② 只有一根在区间内 【注意】单独验证，根刚好等于区间端点的特殊情况。 17．已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 【变式】关于的方程满足下列条件，一个根在内，另一个根在内；求的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据方程的所在的区间，得到不等式组，解出即可. 【详解】若方程一个根在内，另一个根在内， 令，则，解得 18．已知，，则的最小值为m，方程在上有两个不相等的实根，则t的范围是________. 【答案】 【分析】利用基本不等式求出，再利用一元二次方程实根分布列式求出取值范围. 【详解】由，得， 当且仅当，即时取等号，则， 方程，由，得， 依题意，关于的一元二次方程在上有两个不相等的实根， 因此，解得， 所以t的值范围是. 故答案为： 19．关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 20．若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题，即在上有两个不同的零点，结合二次函数图象与性质列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题， 令，则在上有两个不同的零点， 即，即，解得：．故的范围为． 故选：D． 【变式】若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 【答案】 【分析】通过不断构造函数利用一元二次函数性质求解最值. 【详解】设实根，则， ，所以. 由二次函数特性可知，时取得最大值. ， 又当时取得最大值，且. 所以. 21．已知命题：关于的方程在上有解；命题：仅有一个实数满足关于的不等式.若p，q都是假命题，求实数的取值范围. 【答案】. 【分析】（1）求出不等式的解集，再利用必要不充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解. （2）化简命题，命题，再由已知列出不等式组求解. 【详解】解方程，得或，依题意，或， 解得或，解得或， 于是命题：或； 由仅有一个实数满足关于的不等式，得， 解得或，于是命题：或， 由p，q都是假命题，得，且且，因此或， 所以实数的取值范围是. 【重难点二 一元二次方程根在区间外的分布】 一元二次方程根在区间外的分布 1.原理：一元二次方程两根均分布在区间外，结合图象可知，两端点处的函数值同正/同负 2.具体情况： 设一元二次方程=0的两根，其对应的二次函数（开口向上，开口向下同理变号） 两根都在区间外 22．关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】直接构造二次函数，由三个二次的关系及数形结合可得. 【详解】设，函数是开口向上的一个二次函数， 由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象： 则满足，即，解得， 再验证当时，，方程一定有两个不同的根. 所以实数的取值范围为． 【练习】已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，求实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】通过对二次方程进行因式分解，求得方程的根，根据题意即可求解. 【详解】由，因式分解得， 故方程两根为和， 则由题意得， ∴． 23．已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $