2.3 二次函数与一元二次方程、不等式同步练- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，基础落实与素能提升梯度合理，从单一知识点应用到综合问题解决，培养运算能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础落实|解不等式、参数求解、集合运算等单一知识点|以选择（含多选）、填空、解答题为主，直接巩固概念与运算，如解一元二次不等式、根据解集求参数| |素能提升|逆向思维、新定义运算、实际应用等综合能力|通过多选题深化逻辑推理，结合旅馆收入问题培养模型意识，如新定义运算转化为不等式求解|

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 一、基础落实 1.不等式1+5x-6x2>0的解集为(　　) A.{x|x<-,或x>1} B.{x|-<x<1} C.{x|x<-3,或x>1} D.{x|-3<x<2} 2.不等式(x-2)(1-2x)≥0的解集为(　　) A. B. C. D. 3.若关于x的不等式ax2+bx+6>0的解集为{x|x<-3,或x>-2},则(　　) A.a=1,b=-5 B.a=-1,b=5 C.a=-1,b=-5 D.a=1,b=5 4.已知集合M={x|x2-3x-28≤0},N={x|x2-x-6>0},则M∩N=(　　) A.{x|-4≤x<-2,或3<x≤7} B.{x|-4<x≤-2,或3≤x<7} C.{x|x≤-2,或x>3} D.{x|x<-2,或x≥3} 5.(多选题)下列不等式的解集是R的是(　　) A.-x2+x-1<0 B.4x2+4x+1≥0 C.x2-5x+6>0 D.(a2+1)x2+ax-1>0 6.(多选题)设a,b,c为实数,关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<1,或x>3},则下列说法正确的是(　　) A.a<0 B.ab<0 C.ac>0 D.a∶b∶c=1∶(-4)∶3 7.不等式3x2-2x+1<0的解集为　　　　.  8.解下列不等式: (1)2x2-x-6>0; (2)-2x2+x+3≥0; (3)x2-3x-2<0. 9.已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为{x}. (1)求a,c的值; (2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0. 二、素能提升 10.若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|-1<x<6},则不等式cx2+bx-a>0的解集为(　　) A.{x|-<x<-} B.{x|x<-,或x>-} C.{x|-3<x<-2} D.{x|x<-3,或x>-2} 11.在R上定义运算“a☉b”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为(　　) A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1} C.{x|x<-2,或x>1} D.{x|-1<x<2} 12.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则能使不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax成立的x的集合为(　　) A.{x|0<x<3} B.{x|x<0} C.{x|x>3} D.{x|-2<x<1} 13.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|<x<1},则下列结论正确的是(　　) A.a>0 B.c<0 C.a+b>0 D.关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|-3<x<-1} 14.某景区旅馆共有200张床位,若每张床位每晚的定价为50元,则所有床位均有人入住;若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍,则入住的床位数会减少10的相应倍数.要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元,则每张床位的定价应为　　　　　元.  参考答案 一、基础落实 1.B 解析:原不等式可化为6x2-5x-1<0,解得-<x<1,故原不等式的解集为{x|-<x<1}.故选B. 2.B 解析:由(x-2)(1-2x)≥0得(x-2)(2x-1)≤0,解得≤x≤2. 故不等式(x-2)(1-2x)≥0的解集为.故选B. 3.D 解析:因为关于x的不等式ax2+bx+6>0的解集为{x|x<-3,或x>-2},所以a>0,且-3,-2是关于x的方程ax2+bx+6=0的两根,所以9a-3b+6=0,4a-2b+6=0,解得a=1,b=5.故选D. 4.A 解析:∵M={x|x2-3x-28≤0}={x|-4≤x≤7},N={x|x2-x-6>0}={x|x<-2,或x>3},∴M∩N={x|-4≤x<-2,或3<x≤7}. 5.AB 解析:-x2+x-1<0⇔x2-x+1>0⇔(x-)2+>0,故A中不等式的解集为R.4x2+4x+1≥0⇔(2x+1)2≥0,故B中不等式的解集为R.不等式x2-5x+6>0对应的方程的Δ=25-4×6=1>0,故C中不等式的解集不是R.不等式(a2+1)x2+ax-1>0对应的方程的Δ=a2-4(a2+1)×(-1)=5a2+4>0,故D中不等式的解集不是R.故选AB. 6.BCD 解析:因为a,b,c为实数,关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<1,或x>3},所以a>0,1和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,所以 所以b=-4a<0,c=3a>0,所以ab<0,ac>0,a∶b∶c=1∶(-4)∶3.故选BCD. 7.⌀ 解析:因为Δ=(-2)2-4×3×1=-8<0,所以不等式3x2-2x+1<0的解集为⌀. 8.解:(1)∵2x2-x-6>0,∴(2x+3)(x-2)>0, ∴x<-或x>2, 故不等式的解集为{x|x<-,或x>2}. (2)∵-2x2+x+3≥0, ∴2x2-x-3≤0, 即(2x-3)(x+1)≤0,∴-1≤x≤, 故不等式的解集为{x|-1≤x≤}. (3)令x2-3x-2=0,则x=或x=, ∵x2-3x-2<0, ∴<x<, 故不等式的解集为{x<x<}. 9.解:(1)由题意,知关于x的方程ax2+5x+c=0的两个实数根为,且a<0.由根与系数的关系,得解得 (2)由a=-6,c=-1,知关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0为-6x2+8x-2≥0,即3x2-4x+1≤0,解得≤x≤1.所以不等式的解集为. 二、素能提升 10.A 解析:因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|-1<x<6},所以a>0,且-1,6是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实数根,所以-=-1+6=5,=-1×6=-6,所以b=-5a,c=-6a,所以关于x的不等式cx2+bx-a>0可化为-6ax2-5ax-a>0,即6x2+5x+1<0,解得-<x<-.所以不等式的解集为{x|-<x<-}.故选A. 11.B 解析:由已知得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1),又x☉(x-2)<0,所以(x+2)(x-1)<0,所以-2<x<1.故实数x的取值范围为{x|-2<x<1}. 12.BC 解析:因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},所以-1和2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根且a<0,所以-=-1+2=1,=-2,所以b=-a,c=-2a.所以a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax可化为a(x2+1)-a(x-1)-2a<2ax,即ax2-3ax<0.因为a<0,所以x2-3x>0,所以x<0或x>3.所以关于x的不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为{x|x<0,或x>3}.结合选项,可知选BC. 13.BC 解析:因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|<x<1},所以和1是方程ax2+bx+c=0的两根,a<0.由根与系数的关系得-+1,×1,所以b=-a>0,c=a<0,故A错误,B正确.a+b=-a>0,故C正确.关于x的不等式cx2+bx+a>0可化为ax2-ax+a>0,即x2-4x+3<0,解得1<x<3,故D错误.故选BC. 14.120或130 解析:设每张床位的定价应为x元,则每晚有200-(x-50)=250-x张床位有人入住,所以该旅馆每晚的收入为(250-x)x=-x2+250x元.因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元,所以-x2+250x>15 400,即x2-250x+15 400<0,解得110<x<140.因为x是10的整数倍,所以x=120或x=130.所以每张床位的定价应为120元或130元. 学科网（北京）股份有限公司 $