5.7 三角函数的应用课时分层作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 练习以三角函数应用为核心，通过基础应用、综合辨析、建模实践三层设计，实现从公式应用到实际问题解决的进阶，培养数学建模与数据分析能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三角函数模型参数确定、周期计算|单选1（潮汐水位）、填空3（单摆周期），直接应用公式，巩固概念| |提升层|图像分析、多选项辨析|多选2（简谐运动图像）、6（潮汐规律），结合图像与性质，培养推理能力| |综合层|数据拟合、实际问题建模|解答题4（体温数据）、8（摩天轮高度），处理真实数据，构建模型，发展应用意识|

课时分层作业(六十一)　三角函数的应用 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共60分 一、选择题 1．由于潮汐，某港口一天24 h的海水水位H(单位：m)随时间t(单位：h，0≤t<24)的变化近似满足关系式H(t)＝A＋Bsin(B>0)，若一天中最高水位为14 m，最低水位为6 m，则该港口一天内水位不小于8 m的时长为(　　) A．12 h　 B．14 h C．16 h　 D．18 h 2．(多选)如图是某质点做简谐运动的部分图象，位移y(单位：cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，φ∈(0，π))，则(　　) A．该简谐运动的初相为 B．该简谐运动的周期为3 C．第4秒该质点的位移为－2 cm D．当t∈时，位移y随着时间t的增大而减小 二、填空题 3．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为s＝3cos，t∈[0，＋∞)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm． 三、解答题 4．(13分)生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型．下表给出了在24小时期间人的体温的典型变化(从夜间零点开始计时)． 时间/时 0 2 4 6 8 10 12 温度/℃ 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37.0 37.2 时间/时 14 16 18 20 22 24 温度/℃ 37.3 37.4 37.3 37.2 37.0 36.8 (1)作出这些数据的散点图； (2)选用一个三角函数来近似描述这些数据； (3)作出(2)中所选函数的图象． 5．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温/℃ －5.9 －3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温/℃ 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 －2.4 则适合这组数据的函数模型是 (　　) A．y＝acos B．y＝acos＋k(a>0，k>0) C．y＝－acos＋k(a>0，k>0) D．y＝acos－3 6．(多选)潮汐现象，是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为y＝Acos＋6(ω>0)，其中y(单位：m)为港口水深，x(单位：h)为时间，0≤x≤24，观察到水位达到最高点和最低点的平均时间间隔为6 h，且中午12点时的水位为8 m，为保证安全，当水深不小于8 m时，应开放船只出入，则下列说法正确的是(　　) A．ω＝ B．最高水位为12 m C．该港口从上午8点开始首次开放船只出入 D．一天内开放出入时长为4 h 7．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价为80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________． 8．(15分)如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y(单位：m)关于时间t(单位：min)的函数表达式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b，(A>0，ω>0，|φ|≤π)．已知摩天轮的半径为30 m，其中心点O距地面40 m，摩天轮以每12 min转一圈的方式做匀速转动，而点P的起始位置在摩天轮的最低点处． (1)根据条件具体写出y关于t的函数表达式； (2)在摩天轮转动的一圈内，点P有多长时间距离地面超过55 m? 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 课时分层作业(六十一) 1．C　[由题意，得解得 所以H(t)＝10＋4sin， 令H(t)≥8，即sin≥－， 因为0≤t<24， 所以－≤t－<， 由正弦函数的图象与性质可知－≤t－≤，解得6≤t≤22， 所以该港口一天内水位不小于8 m的时长为22－6＝16(h)．故选C．] 2．BD　[由题图可知，t＝1时，y＝－4，t＝0时，y＝2，所以A＝4，sin φ＝． 因为φ∈(0，π)，所以φ＝或φ＝． 因为t＝1时，y＝－4，所以ω＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 所以ω＝2kπ＋或ω＝2kπ＋，k∈Z． 由题图可知周期T满足2<T<4，即2<<4， 解得<ω<π，所以ω＝，此时φ＝， 关系式为y＝4sint＋，该简谐运动的初相为，周期为T＝＝3，A不正确，B正确； 当t＝4时，y＝4sin×4＋＝－4，位移是－4 cm，C不正确； 令x＝t＋， 当t∈，时，x＝t＋∈，， 结合y＝sin x的图象(图略)可得，y＝sin x在区间，上单调递减，D正确．故选BD．] 3．　[由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝．] 4．解：(1)散点图如下： (2)设t时的体温y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)，则b＝＝37，A＝37.4－37＝0.4，ω＝＝＝． 由0.4sin＋37＝37.4， 得sin＝1，取φ＝－． 故可用函数y＝0.4sin＋37来近似描述这些数据． (3)图象如下： 5．C　[当x＝1时图象处于最低点，当x＝7时图象处于最高点．又当x∈[1，7]时，函数是单调递增的，当x∈[7，12]时，函数是单调递减的，结合选项知，C正确．故选C．] 6．AC　[依题意＝＝6，所以ω＝，A选项正确； 当x＝12时，y＝Acos×12＋＋6＝8，解得A＝4，所以最高水位为10 m，B选项错误； 由上可知y＝4cosx＋＋6，令y≥8，解得8≤x≤12或20≤x≤24， 所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8 h，C选项正确，D选项错误．故选AC．] 7．　[因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60，最高油价为80美元，所以A＝20． 当t＝150(天)时达到最低油价， 则sin＝－1， 此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z， 因为ω>0，所以令k＝1，解得ω＝． 故ω的最小值为．] 8．解：(1)根据中心点O距地面40 m，可得b＝40， 由摩天轮的半径为30 m，即A＝30，周期T＝12，可得＝12，解得ω＝， 因为摩天轮最低点到地面的距离为10 m，所以30sin φ＋40＝10， 解得sin φ＝－1，结合φ∈[－π，π]，可得φ＝－， 所以y关于t的函数表达式为 y＝30sin＋40，t>0． (2)令y>55，则30sin＋40>55，即sin>， 结合正弦函数的图象与性质，可得＋2kπ<t－<＋2kπ(k∈Z)， 解得4＋12k<t<8＋12k(k∈Z)，取k＝0，可得4<t<8， 根据8－4＝4，可知在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过55 m的时间为4 min． $