5.7三角函数的应用 课时练习 -2026-2027学年 高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦三角函数模型应用，分层设计基础巩固与综合应用梯度，通过实际情境问题链培养数学建模与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角函数模型参数（A,ω,φ,B）计算|以仰角俯角、温度曲线等简单情境为主，如单选题1、填空题10| |中档|模型综合应用与性质分析|结合周期性、单调性，如单选题4、填空题13| |提升|实际问题完整建模|水轮高度函数构建与最值求解，如解答题16|

5.7 三角函数的应用 课时练习 一、单选题 1.在一幢20m高的楼顶，测得对面一塔吊顶的仰角为， 塔基的俯角为， 那么塔吊的高是（  ） A.              B.           C.              D.  2.如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（  ） A. ω= ，A=5             B. ω= ，A=5              C. ω= ，A=3             D. ω= ，A=3 3.如图，某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数： ，则中午 12 点时最接近的温度为（   ） A.                                 B.                                 C.                                 D.  4.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A（3 ，﹣3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y=f（t）=Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜ ）．则下列叙述错误的是（   ） A.                                    B. 当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6 C. 当t∈[10，25]时，函数y=f（t）单调递减          D. 当t=20时， 5.动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为A0（ ， ），12秒旋转一周，则动点A的纵坐标y关于时间t（单位：秒）的函数解析式为（   ） A.             B.               C.             D.  6.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为， 秒针从P0（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（　　） A.       B.      C.       D.  7.如图，某大风车的半径为2m，每6s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m），则函数h=f（t）的关系式（　　） A. y=﹣2cos+2.5           B. y=﹣2sin+2.5           C. y=﹣2cos+2.5           D. y=﹣2sin+2.5 8.夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（　　） A. 25°C                                   B. 26°C                                    C. 27°C                                   D. 28°C 9.设y=f（x）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ）的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（t∈[0，24]）（　　） A.  B.  C.  D. y=12+3sin 二、填空题 10.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[ （x﹣6）]（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温值为________℃． 11.某地一天6时至20时的温度变化近似满足函数y=10sin（）+20，（x∈[6，20]），其中x表示时间，y表示温度，设温度不低于20，某人可以进行室外活动，则此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为________ 小时． 12.已知某人的血压满足函数关系式f（t）=24sin160πt+110，其中f（t）为血压（mmHg），t为时间（min），则此人每分钟心跳次数为________  13.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω=________． 14.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 （x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃ 三、解答题 15.某实验室白天的温度 （单位： ）随时间 （单位： ）的变化近似满足函数关系： ， . （1）求实验室白天的最大温差； （2）若要求实验室温差不高于 ，则在哪段时间实验室需要降温？ 16.如图，一个水轮的半径为 ,水轮圆心 距离水面 ，已知水轮每分钟转动 圈，如果当水轮上点 从水中浮现时(图中点 )开始计算时间。 （1）将点 距离水面的高度 表示为时间 的函数； （2）点 第一次到达最高点大约需要多少时间？ 答案解析部分 一、单选题 1.答案： B 解：由题意，AB=20米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可知ABCD是正方形，有此易得CD=AD=20米,再由，∠DAE=60°，在直角三角形ADE中可求得DE=， AD=20∴塔高为DE+CD="20+20" =20（+1)故选B 【分析】本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等)解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角 2.答案： D 解：已知水轮每分钟旋转4圈， ∴ω= 又∵半径为3m，水轮中心O距水面2m， ∴最高点为5，即A=3， 故选D． 【分析】根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T= 求解；A为最大振幅，由图象知到最高点时即为A值． 3.答案：B 解：不妨令A＞0，B＞0， 则由  得：A=10，B=20°C； 又 =14﹣6=8，∴T=16= ， ∴|ω|= ，不妨取ω= ． 由图可知，6× +φ=2kπ﹣ （k∈Z）， ∴φ=2kπ﹣ ，不妨取φ= ． ∴曲线的近似解析式为：y=10sin（ x+ ）+20， ∴中午12点时最接近的温度为： y=10sin（ ×12+ ）+20°C=10sin +20°C =20+10sin =5 +20°C≈27°C． 故答案为：B． 【分析】根据三角函数的图象求得函数的解析式，令，即可求解答案。 4.答案：C 解：由题意，R= =6，T=60= ，∴ω= ， 点A（3 ，﹣3）代入可得﹣3=6sinφ，∵|φ|＜ ），∴φ=﹣ ．故A正确； f（t）=6sin（ t﹣ ），当t∈[35，55]时， t﹣ ∈[π， ]， ∴点P到x轴的距离的最大值为6，正确； 当t∈[10，25]时， t﹣ ∈[ π， ]，函数y=f（t）单调递减，不正确； 当t=20时， t﹣ = ，P的纵坐标为6，|PA|= =6 ，正确， 故选C． 【分析】求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论． 5.答案：C 解：设y关于t的函数：y=sin（ωt+θ） ∵12秒旋转一周， ∴T= =12，∴ω= ， ∵当t=0时，点A0（ ， ），将该点代入，得到θ= ， ∴y=sin（ t+ ）， 故选：C 【分析】首先，设y关于t的函数：y=sin（ωt+θ），根据周期求出ω，再根据过点A求出φ，问题得以解决 6.答案： C 解：∵秒针是顺时针旋转， ∴角速度ω＜0．又由每60秒转一周， ∴ω=﹣=﹣（弧度/秒）， 由P0（， ），得cosφ=， sinφ=，解得φ=. 故选：C． 【分析】由秒针是顺时针旋转，每60秒转一周，求出ω，由cosφ=， sinφ=． 求出φ，由此能求出点P的纵坐标y与时间t的函数关系． 7.答案： C 解：设h=f（t）=Asinωt+k或Acosωt+k， ∵大风车每6s旋转一周， ∴周期T=6，即T==6，解得ω==， 排除A，B． 则f（t）=Asint+k或Acost+k， ∵大风车的半径为2m，它的最低点O离地面0.5 m， ∴函数的最小值为0.5，最大值为4.5， 则A+k=4.5，﹣A+k=0.5， 解得A=2，k=2.5， 当t=0时，f（0）=0.5为最小值， 若y=﹣2cos+2.5，则当t=0时，y=﹣2cos0+2.5=2.5﹣2=0.5满足条件． 若y=﹣2sin+2.5，则当t=0时，y=﹣2sin0+2.5=2.5﹣0=2.5不满足条件．排除D， 故选：C 【分析】根据实际问题建立三角函数模型，求出函数的周期和最值分别进行判断即可． 8.答案： C 解：由题意以及函数的图象可知，A+B=30，﹣A+B=10，所以A=10，B=20 ∵， ∴T=16 ∵T=， ∴，∴y=10sin（x+φ）+20 ∵图象经过点（14，30） ∴30=10sin（×14+φ）+20 ∴sin（×14+φ）=1，∴φ可以取， ∴y=10sin（x+）+20 当x=12时，y=10sin（×12+）+20=10×+20≈27.07 故选C． 【分析】通过函数的图象，求出A，B，求出函数的周期，推出ω，利用函数经过（14，30）求出φ，得到函数的解析式，从而可求中午12时天气的温度． 9.答案：C 解：由于y=f（t）可以近似看成y=k+Asin（ωx+φ）的图象， 根据港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系， 可得函数的周期T=12可排除A、D， 将（3，15）代入B，C，可排除B，则C满足． 故选C 【分析】通过排除法进行求解，由y=f（t）可以近似看成y=k+Asin（ωx+φ）的图象，故可以把已知数据代入y=k+Asin（ωx+φ）中，根据周期和函数值排除，即可求出答案． 二、填空题 10.答案：20.5 解：据题意得28=a+A，  =a﹣A 解得a=23，A=5 所以 令x=10得y=  =20.5 故答案为：20.5 【分析】根据题意列出方程组，求出a，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数；将x=10代入求出10月份的平均气温值． 11.答案：8 解：由题意，10sin（）+20≥20 ∴sin（）≥0 ∴2kπ≤≤2kπ+π，∴16k﹣6≤x≤16k+2， ∵x∈[6，20]，∴10≤x≤18 ∴此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为18﹣10=8小时 故答案为：8 【分析】利用温度不低于20，建立不等式，结合x的范围，即可得到此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间． 12.答案：80 解：∵f（t）=24sin160πt+110， ∴T=， ∴此人每分钟心跳次数为=80 故答案为：80． 【分析】频率就是每分钟心跳的次数． 13.答案： 解：因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律： P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元， 所以80=Asin（ωπt+ ）+60， 因为sin（ωπt+ ）≤1，所以A=20， 当t=150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+ ）=﹣1， 此时150ωπ+ =2kπ﹣ ，k∈Z， 因为ω＞0，所以令k=1，150ωπ+ =2π﹣ ，解得ω= ． 故答案为： ． 【分析】通过三角函数的最大值，利用最高油价80美元，求出A，通过当t=150（天）时达到最低油价，求出ω． 14.答案：16 解：据题意得28=a+A， =a﹣A 解得a=20，A=8 所以 令x=10得y= =16 故答案为：16 【分析】根据题意列出方程组，求出a，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数；将x=10代入求出10月份的平均气温值． 三、解答题 15.答案：（1）解:已知 ， 因为 ，所以 ， ， 所以 在 上取得最大值为12，取得最小值为9， 故实验室这一天最高温度为 ，最低温度为 ，最大温差为 （2）解:依题意当 时，实验室需要降温，即 ， ，∴ ， ， ∴ ， ，又∵ ， ∴ ，即在10时到18时实验室需要降温 【分析】（1）求出f(t) 在 t∈[6,18] 上取得的最大值最大值和最小值，即可求出温差； （2）依据题意求出 f(t)>11 时，t的范围，从而得出需要降温的时间段. 16.答案：（1）解：依题意可知 的最大值为 ，最小为 ， ∴ ； ∵ 每秒钟内所转过的角为 ，得 ， 当 时， ，得 ，即 ，故所求的函数关系式为 ； （2）解：令 ，得 ， 取 ，得 ， 故点 第一次到达最高点大约需要 【分析】（1）先根据z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时，z=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得； （2）令最大值为6，得方程求出t，可得点 P 第一次到达最高点的时间。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $