重难点专题3.1 函数单调性与最值九种题型（高效培优专项训练）数学湘教版2019必修第一册

重难点专题3.1 函数单调性与最值九种题型 题型一 函数单调性判断与证明 题型二 确定函数的单调区间 题型三 利用单调性比较函数值大小 题型四 应用单调性解不等式 题型五 求函数的最值、值域 题型六 根据函数的单调性求参数（范围） 题型七 根据函数的最值、值域求参数（范围） 题型八 抽象函数的单调性及应用 题型九 不等式恒成立及有解问题 题型一 函数单调性判断与证明 1．（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数、对勾函数、二次函数单调性依次判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递减，在上单调递增，B不是； 对于C，函数在上单调递增，C是； 对于D，函数在上单调递减，在上单调递增，D不是. 故选：C． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 题型二 确定函数的单调区间 3．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】利用函数单调性的定义判断在上的单调减区间，即可求解. 【详解】任取，且， 则， 当时，，，所以即， 当时，，，所以即， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故答案为：. 5．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知函数. (1)作出函数的图象； (2)由图指出的增区间. 【答案】(1)作图见解析； (2)，. 【分析】（1）函数，再作出图象即可得. （2）结合函数图象可得增区间. 【详解】（1）函数， 则函数的图象如图实线部分所示： （2）由（1）知，观察函数的图象，得的增区间为、． 题型三 利用单调性比较函数值大小 6．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 7．（23-24高一·上海·课堂例题）已知二次函数，其中.比较和的大小. 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性判断即可. 【详解】因为的对称轴为， 所以， 因为，所以的图象开口向上，所以在上单调递减， 所以，则 8．（2023高一·全国·课后作业）已知函数是区间上的减函数，比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】先判断与的大小关系，再利用函数的单调性判断和的大小关系即可． 【详解】由， 又函数是区间上的减函数， 所以． 故答案为：． 题型四 应用单调性解不等式 9．（多选）（24-25高一上·广东江门·期中）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （      ） A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 【答案】BC 【分析】根据题意作出的函数图像，利用图像即可判断ABD，先求，再利用图像即可解，进而判断C. 【详解】作出函数的图象， 如图： 对于A：由图象可得无最大值，无最小值，故A错误； 对于B：由图象可得，当时，的最大值为，故B正确; 对于C：由， 解得， 由图象可得，不等式的解集为， 故C正确; 对于D： 由图象可得，的单调递增区间为， 故D错误. 故选：BC. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）定义在上的函数满足，函数在上单调递 ；若，则满足的解集是 ． 【答案】 减 【详解】因为函数满足，所以在上单调递减，且，所以当时，，当时，，所以由，得或解得． 11．（25-26高一上·全国·期末）已知函数的定义域为R，对任意的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】先由题设结合赋值法求出和，接着求出函数是单调递减函数，再利用函数单调性得，解该不等式即可得解. 【详解】因为对任意的a，，都有，，且， 所以，且． 设任意，则，则，又， 所以，若，则当时，， 则，矛盾，所以，所以，所以函数单调递减， 所以不等式等价于，所以， 故，即，解得． 所以不等式的解集是． 故答案为： 题型五 求函数的最值、值域 12．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 【答案】B 【分析】先将函数进行分离常数的变形，然后根据反比例函数的性质分析其单调性，再结合函数在给定区间上的最大值列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】．因为，所以函数在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，解得． 故选：B. 13．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】化简可得：， 设,则. 由对勾函数的性值可知： 函数是奇函数，在上单调递减，上单调递增， 当时，在处取得最小值，当或时，， 所以的值域为， 所以函数值域为， 故选：C. 14．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数的图象过点，则在区间上的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用函数性质求参数，再利用函数单调性求最值. 【详解】由题意得，解得，则， 因为在上恒为正值且单调递增， 所以在上单调递增，故． 故答案为： 15．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数满足，则在区间内的最小值是 ． 【答案】 【分析】解方程组法求出的解析式，然后利用定义法判断其单调性，由单调性可得最值. 【详解】因为①，所以②， 由得，即． 设2，则，故在内单调递增，所以． 故答案为： 16．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数存在最小值，则m的最大值为 ． 【答案】4 【分析】首先得出函数单调性，画出函数图象，进一步根据题意列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以在R上的最小值为0． 因为函数，图象开口向上且对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在R上的最小值为． 综上，对于，当时，在上单调递减，在，上单调递增，且， 则的大致图象如图所示． 由图可知，若存在最小值，则，解得，故m的最大值为4． 故答案为：4. 17．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 题型六 根据函数的单调性求参数（范围） 18．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数化成分段函数的形式，判断单调性即可得解. 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上不单调，所以， 故的取值范围是． 故答案为：. 19．（19-20高一上·河南安阳·阶段练习）已知在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】考虑每段范围上函数为减函数，再考虑分段处的高低，从而可得的取值范围. 【详解】因为在上是减函数， 所以，即， 解得. 故答案为：. 20．（24-25高一上·重庆·期中）若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 【答案】 【分析】令即可求解，再根据已知可得函数是单调递增函数，利用分段函数的单调性的求法即可求解． 【详解】由已知可得：，又由已知可得函数是单调递增函数， 所以有：，解得， 故答案为：；． 21．（2025高一·全国·专题练习）设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据可构造出是单调递减函数，然后根据分段函数的单调性求解参数范围即可. 【详解】不妨设，则对任意，， 都有，即成立， 从而函数在上是减函数， 故实数应满足解得， 故答案为：． 题型七 根据函数的最值、值域求参数（范围） 22．（2025高二下·湖南·学业考试）已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性建立方程，再利用对勾函数单调性求解. 【详解】函数在上单调递增，依题意，，而， 因此在上有两个不等的实根，即有两个不等的正根， 函数在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值集合为，由方程有两个不等的正根， 得直线与函数在上的图象有两个交点，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 23．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在区间上的值域为，则 ． 【答案】1 【分析】根据值域判断函数单调性，然后可列方程求解. 【详解】由题意得，且在上的值域为， 所以，在上单调递减，即，故． 故答案为：1 24．（24-25高一上·北京·期中）已知函数． (1)若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； (2)若函数在上的最大值为1，求实数的值． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得函数的对称轴，然后分，以及讨论，结合二次函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）方程有两个实根，， 由韦达定理可得， 又， 即， 化简可得，解得或， 当时，原方程为，有两实根，满足题意； 当时，原方程为，即， 其中，即方程无实根，故舍去； 所以. （2）因为， 其图像开口向下，对称轴为， 当时，即时， 函数在上单调递减，则， 即，满足； 当时，即时， 函数在上单调递增，则，即，不满足，故舍去； 当时，即时， 函数在处取得最大值， 即， 即，解得， 且，则； 综上所述，或. 题型八 抽象函数的单调性及应用 25．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）对于给定的函数关系式赋值代入计算即得； （2）根据函数的单调性的定义，作差比较与的大小，此时需构造，利用题设性质证得即可． 【详解】（1）由题意，对任意的实数，都有， 令，则，所以． （2）在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 因，则，故， 所以，即， 所以在上单调递增． 26．（2025高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）令代入关系式，结合已知求值，即可证； （2）令得到，再由已知得，则，结合（1）结论，即可证； （3）法一：应用作商法，法二：应用作差法，结合函数单调性定义判断证明. 【详解】（1）令，则，又，故； （2）令，则，即， 由题意，当时，则，有， 所以，又， 所以； （3）法一：，且，令， 则，则， 因为，所以，， 所以，是增函数； 法二：，且， 所以， 由，得，又， 所以，即， 所以是增函数. 27．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）求出的函数单调性解不等式． 【详解】（1）设，且，则，即， ∴， ∴，∴是上的增函数； （2）任意的，都有， 在上式中取，则有， ∵，∴， 于是不等式等价于， 又由（1）知是上的增函数， ∴，解得， ∴原不等式的解集为． 28．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立． (1)求的值； (2)求证：当时，； (3)若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3)在上为减函数，理由见解析. 【分析】（1）令并代入关系式，即可得； （2）利用关系式并结合（1）的结论，即可证； （3）应用单调性定义，设，则，即可得结论. 【详解】（1）令，则，故； （2）； （3）在上为减函数，理由如下： 设，则， 又，故， 所以，即在上为减函数. 29．（2025高一上·黑龙江·专题练习）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由已知条件，结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）所得函数单调性解不等式. 【详解】（1）设，且，则，即， ∴， ∴， ∴是上的增函数； （2）∵， 取，则， 于是等价于，即， 由（1）知是上的增函数， ∴，解得， ∴原不等式的解集为. 题型九：不等式恒成立及有解问题 30．（25-26高一上·贵州黔东南·阶段练习）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 31．（多选）（24-25高一上·四川巴中·期中）若不等式对于一切恒成立，则的值可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将不等式转化为,求的最大值即可. 【详解】将不等式转化为, 令， 则在取最小值，在单调递减，所以在时，单调递减， 即单调递增，所以最大值为，所以. 故选：ABC 32．（多选）（25-26高一上·河南·阶段练习）已知，（为常数，且），则的值可能为（　　） A． B．2 C．4 D．36 【答案】CD 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】根据题意分、两种情况讨论，结合恒成立问题可得，结合选项分析求解即可. 【详解】因为，， 当时，则，可得对任意恒成立， 若，可得，不合题意，故A错误； 当时，设函数，， 令，得，令，得（正根已舍去）， 作出这两个函数的图象，如图所示． 由题意可得，因为，则为正整数， 结合选项可知或，故B错误，CD正确； 故选：CD. 33．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解法一、令，转化为，再分，，讨论即可；解法二、根据题意，参变分离得，再分，求函数最值即可. 【详解】解法一 、令， ①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件． ②当时，的图象的对称轴方程为， 若，则在上单调递减，则只需满足，得； 若，则，且时已满足条件． 综上，实数的取值范围为． 解法二、时，，由得， 则在上有解． 令，则当时，； 当时，， 又在单调递增，所以，即， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 34．（25-26高一上·全国·期中）已知函数，若，则在上的最小值为 ；若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】当，利用作差法求出函数的单调性，即可求出在上的最小值；若对任意，恒成立，将问题转化为大于函数在上的最大值，利用二次函数的最值即可求解. 【详解】当时，，设任意、，且，所以， 因为，所以，，，所以， 即，于是有，所以函数在上单调递增， 所以函数在上的最小值为. 若对任意，恒成立，则，即， 所以问题转化为大于函数在上的最大值，，，易知在上单调递减， 所以在上的最大值为，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：， 35．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】法1，分类讨论求出二次函数在上的最小值，进而求出的范围；法2，按分段，分离参数求出最值即可求出的范围. 【详解】解法1：设，，则， （ⅰ）当，即时，，解得，无解； （ⅱ）当，即时，，解得2，则； （ⅲ）当，即时，，解得，则， 所以实数的取值范围为． 解法2：若对任意，恒成立， 当时，恒成立，则； 当时，恒成立，则； 当时，恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 36．（2025高一·全国·专题练习）若存在实数，使得对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】去掉绝对值，先把不等式转化成，根据的存在性和的任意性，进一步将问题转化成，结合对勾函数的单调性求解. 【详解】由题意知存在实数，使得对任意的，都有， 即， 即成立． 设，，则题意等价于存在实数， 使得，所以， 即． 当时，显然在上单调递增， 则，解得，所以． 当时，根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增. （ⅰ）当时，在上单调递增， ，． 由，解得，所以． （ⅱ）当时，在上单调递减，在上单调递增， ，． 因为，所以， 解得，所以． （ⅲ）当时，在上单调递减， ，． 由，解得，与矛盾． 综上所述，实数的取值范围为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题3.1 函数单调性与最值九种题型 题型一 函数单调性判断与证明 题型二 确定函数的单调区间 题型三 利用单调性比较函数值大小 题型四 应用单调性解不等式 题型五 求函数的最值、值域 题型六 根据函数的单调性求参数（范围） 题型七 根据函数的最值、值域求参数（范围） 题型八 抽象函数的单调性及应用 题型九 不等式恒成立及有解问题 题型一 函数单调性判断与证明 1．（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 题型二 确定函数的单调区间 3．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间是 . 5．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知函数. (1)作出函数的图象； (2)由图指出的增区间. 题型三 利用单调性比较函数值大小 6．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一·上海·课堂例题）已知二次函数，其中.比较和的大小. 8．（2023高一·全国·课后作业）已知函数是区间上的减函数，比较大小： （填“”或“”）． 题型四 应用单调性解不等式 9．（多选）（24-25高一上·广东江门·期中）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （      ） A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 10．（25-26高一上·全国·课后作业）定义在上的函数满足，函数在上单调递 ；若，则满足的解集是 ． 11．（25-26高一上·全国·期末）已知函数的定义域为R，对任意的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ． 题型五 求函数的最值、值域 12．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 13．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数的图象过点，则在区间上的最大值为 ． 15．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数满足，则在区间内的最小值是 ． 16．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数存在最小值，则m的最大值为 ． 17．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 题型六 根据函数的单调性求参数（范围） 18．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 19．（19-20高一上·河南安阳·阶段练习）已知在上是减函数，则的取值范围是 . 20．（24-25高一上·重庆·期中）若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 21．（2025高一·全国·专题练习）设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 题型七 根据函数的最值、值域求参数（范围） 22．（2025高二下·湖南·学业考试）已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在区间上的值域为，则 ． 24．（24-25高一上·北京·期中）已知函数． (1)若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； (2)若函数在上的最大值为1，求实数的值． 题型八 抽象函数的单调性及应用 25．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 26．（2025高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 27．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 28．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立． (1)求的值； (2)求证：当时，； (3)若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由． 29．（2025高一上·黑龙江·专题练习）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 题型九：不等式恒成立及有解问题 30．（25-26高一上·贵州黔东南·阶段练习）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（多选）（24-25高一上·四川巴中·期中）若不等式对于一切恒成立，则的值可能是（    ） A．1 B． C． D． 32．（多选）（25-26高一上·河南·阶段练习）已知，（为常数，且），则的值可能为（　　） A． B．2 C．4 D．36 33．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 34．（25-26高一上·全国·期中）已知函数，若，则在上的最小值为 ；若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 . 35．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 36．（2025高一·全国·专题练习）若存在实数，使得对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $