培优专练+三年真题24直线与圆-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

**基本信息** 以“直线与圆”核心考点为脉络，通过10大题型系统覆盖概念、位置关系及应用，融合近三年真题，实现知识逻辑与解题能力的递进式训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆的方程|9题（含多选）|基础概念辨析、定点与最值问题|从直线倾斜角、截距到圆的标准方程，构建坐标表示基础| |位置关系|12题|判断、参数范围及充要条件|直线与圆、圆与圆位置关系的代数（方程）与几何（距离）判定| |几何应用|19题（含解答）|切线、弦长、公共弦及公切线|从切线长公式、弦长公式到公共弦方程，实现几何性质的综合应用|

培优专练+三年真题24直线与圆 【考点一】直线的方程 【考点六】圆的弦长与中点弦 【考点二】圆的方程 【考点七】判断圆与圆的位置关系 【考点三】判断直线与圆的位置关系 【考点八】由圆的位置关系确定参数或范围 【考点四】由直线与圆的位置关系求参数 【考点九】圆的公共弦 【考点五】圆的切线方程 【考点十】圆的公切线 【题型一】直线的方程 1．（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 2．（2026·四川绵阳·二模）直线过定点，且以为其方向向量，则直线的方程为_____. 【答案】 【分析】根据直线的方向向量求斜率，再根据直线的点斜式方程得直线方程. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的点斜式方程为：， 化简得：. 故答案为： 3．（2025·陕西西安·二模）若点在直线上，且，则的最小值为______． 【答案】8 【分析】根据给定条件可得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由点在直线上，得，而，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故答案为：8 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若直线的截距之和为2，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】将直线方程化成截距式，依题得到，利用“1”的妙用结合基本不等式即可求得答案. 【详解】将直线转换为截距式，即，则， 由， 当且仅当，即时取等号， 故得的最小值为. 故答案为：. 5.（多选）（2026·陕西商洛·三模）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】ABC 【详解】对于A，直线的斜率为，则其倾斜角为，故A正确； 对于B，直线的斜率为2，在轴，轴上的截距分别为， 故直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，直线与直线，即间的距离为 ，故C正确； 对于D，当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 把点代入直线，得，所以直线方程为； 当截距为0时，设直线方程为，把点代入直线，得， 直线方程为，故D错误. 【题型二】圆的方程 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即， 化简得, 解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 故选：A. 2．（2026·广西·模拟预测）已知直线平分圆的面积，则（   ） A．0 B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】先依据圆的一般方程求出圆心坐标，进而代入直线方程求解即可. 【详解】由题意得圆的圆心为， 因为直线平分圆的面积， 所以直线必过圆心， 则，即，故A正确. 故选：A 3．（2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 【答案】 【详解】已知圆的圆心坐标为，且圆与轴相切， 由直线与圆相切的性质可知，圆的半径 等于圆心到切线 轴的距离， 圆心到 轴的距离为其横坐标的绝对值，即 . 根据圆的标准方程 （其中为圆心坐标， 为半径）. 将 代入，可得所求圆的方程为 . 4．（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 【答案】（或）（两种形式均正确） 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法求解. 【详解】设所求圆的方程为， 由已知三点在圆上，， 解得， 所以圆的方程为，即. 故答案为：（或）（两种形式均正确）. 5．（2025·安徽·模拟预测）已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为________. 【答案】 【分析】依题意，得直线过圆心，即可求解． 【详解】因为圆上存在两点关于直线对称， 所以直线过圆心， 从而，解得， 则圆的方程为， 故圆的半径为． 故答案为： 【题型三】判断直线与圆的位置关系 1．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 2．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【详解】圆C：的圆心为，半径为， 圆心到：的距离 ， 则圆C与相交，故A正确.. 3．（2025·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离与半径之间的大小关系，判断直线和圆的位置关系. 【详解】已知圆：，则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，即直线经过圆心. 故选：C. 4．（2025·浙江·模拟预测）已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先判断点在圆外的条件，然后判断直线与圆O相交的条件，最后对这两个条件进行对比，即可得到答案. 【详解】因为点在圆外，说明点与圆心距离大于半径， 即. 直线与圆O相交，说明圆心到直线的距离小于半径，即 ，化简得. 所以，但是后者不能推出前者. 也就是说，点在圆外，那么直线与圆O相交， 但是直线与圆O相交，点不一定在圆外. 所以“点在圆外”是“直线与圆O相交”的充分不必要条件. 故选：A. 【题型四】由直线与圆的位置关系求参数 1．（2026·海南海口·模拟预测）直线l：x+y+1＝0与圆C：相切，则实数m＝（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】对圆方程变形得，，即圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为 直线与圆相切，所以，即. 2．（2026·辽宁抚顺·一模）已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得圆M的圆心为，由题意得圆心M到直线的距离为， 又因为圆M与直线恰有2个交点，所以，所以， 解得，所以a的取值范围是． 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知圆：，若存在，使得直线与圆有公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】解法一：依题意，圆心到直线的距离， 即，即， 依题意，使得成立，故且，解得， 因此，实数的取值范围是. 解法二：当变化时，圆扫过的图形是以原点为圆心，为半径的圆盘， 故若存在，使得直线与圆有公共点，即直线与圆有交点，得，解得， 因此，实数的取值范围是. 4．（2026·四川广安·一模）直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则___________． 【答案】 【分析】根据题设可知为等腰直角三角形，结合点到直线的距离公式建立等式后即可求解. 【详解】 依题意，圆心为，半径为； 因为，所以为等腰直角三角形，所以，圆心到直线的距离为； 又圆心到直线的距离为； 所以，解得. 故答案为：. 【题型五】圆的切线方程 1．（2025·重庆·三模）过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据切线的意义知，由勾股定理可求. 【详解】由题意有，即. 故选：B. 2．（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】直线，斜率，且点在直线上. 直线顺时针旋转后与原直线垂直，故旋转后直线斜率. 由点斜式得旋转后直线方程，整理得. 圆的圆心为，半径. 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，由点到直线距离公式 化简得，解得或. 3．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）过点与圆：相切的直线方程为______. 【答案】 【分析】易知点在圆上，根据圆的切线性质进行求解即可. 【详解】易知点在圆上，故所求切线与直线垂直， 又，所以所求切线斜率， 故所求切线方程为，即. 故答案为：. 5.（多选）（2025·河北邯郸·一模）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出圆的圆心和半径，再按直线的斜率是否存在分类，结合圆的切线性质求解. 【详解】圆的圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，点到直线的距离为1，不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切得：，解得或， 所以直线的方程为：或. 故选：AC 【题型六】圆的弦长与中点弦 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】求出直线所过定点，确定曲线的形状，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】直线过定点， 曲线，即表示以原点为圆心，2为半径的上半圆， 点在半圆内，当且仅当时，线段的长最短， 所以. 2．（2026·山东威海·二模）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式、圆的标准方程、弦心距公式求解即可. 【详解】圆可化为， 圆心坐标为，半径为. 圆心到直线的距离为. 由弦心距公式可知，，即，解得. 3.（2026·四川眉山·模拟预测）直线与曲线相交于，两点，则弦长______． 【答案】 【详解】曲线的方程可化为，是一个圆， 其圆心为，半径， 直线即到圆心的距离， 则弦长. 4.（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 【答案】(1)圆心，半径 (2) 【分析】（1）将圆的方程化为圆的标准方程，即可求解； （2）首先求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理计算即可求解. 【详解】（1）圆：的标准方程为：， ∴圆的圆心为，半径为. （2）由（1）可知：圆的圆心为，半径为. 取弦中点，连接，，如图所示. 由圆的性质可知，. ∴圆心到直线：的距离.    在中，，∴， 即直线被圆截得的弦的长度为. 【题型七】判断圆与圆的位置关系 1．（2025·安徽·一模）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【分析】先写出圆的圆心及半径，再根据圆心间距离和半径的关系判断圆与圆的位置关系. 【详解】圆O与圆M的半径分别为1，4，圆心坐标分别为， 则，故圆O与圆M的位置关系是内切. 故选：A. 2．（2025·河南·模拟预测）圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【答案】B 【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即可. 【详解】圆即，圆心为，半径为； 圆即，圆心为，半径为； 圆心距为，因为，所以两个圆外离. 故选：B 3．（2025·全国·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．无数个 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】判断两圆的位置关系可求解. 【详解】集合表示以点为圆心，半径的圆上的点，集合表示以点为圆心，半径的圆上的点， 两圆的圆心距，而，所以两圆相交，即中有2个元素. 故选：B. 4．（2025·山东临沂·一模）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出圆心距即可判断. 【详解】圆的圆心，半径， 圆，即，圆心，半径， 则，所以两圆外切. 故选：C. 【题型八】由圆的位置关系确定参数或范围 1.（2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得点在以为直径的圆上，再利用圆与圆的位置关系求出的范围. 【详解】由点及，得点在以为直径的圆上， 其圆心，半径，而圆的圆心，半径， 又点在圆上，因此，即，则， 又点与点都不重合，即，则，即， 所以实数m的取值范围是. 2．（2026·陕西商洛·模拟预测）若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，将问题转化成圆与圆有两个交点，再由圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 由题意可知，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或． 所以实数b的取值范围是． 3．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知圆和圆有一个公共点，则的值为________． 【答案】或 【分析】由两圆位置关系构造方程求解即可. 【详解】圆和圆有一个公共点，则两圆内切或外切， 由题可得，解得或． 故答案为：或 4．（2026·贵州安顺·一模）已知直线与圆，若存在以直线l上一点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据给定条件可得点到直线的距离不大于2，再利用点到直线距离公式列式求解. 【详解】圆的圆心，半径，令直线上为圆心的点为， 以点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则，即， 依题意，存在以点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则点到直线的距离不大于2， 因此，即，解得， 所以k的取值范围是. 【题型九】圆的公共弦 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 2．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 3．（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【答案】 【分析】根据切线的性质易判断，，，四点共圆，且圆心为中点，半径为，进而可以求出新的圆的方程，直线即为公共弦所在的直线，方程即为两个圆方程的差，代入计算即可. 【详解】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. 4.（多选）（2025·贵州毕节·二模）已知圆，圆，则（    ） A．当时，圆与圆相切 B．当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆相交于两点，且 【答案】AB 【分析】利用距离和半径的关系判断两圆的位置关系. 【详解】圆，则， 圆的圆心，半径为；圆的圆心，半径为， 则，，， 对于A，当时， ，，则，故两圆内切，故A正确； 对于B， 当时，，，则，故两圆相交，又圆，故直线的方程为，故B正确； 对于D，由选项B可知，此时圆心到直线的距离为，则，故D错误； 对于C，两圆相交，则，即，解得，故C错误. 故选：AB. 【题型十】圆的公切线 1.（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 2．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 3.（2025·江苏·模拟预测）写出与圆和都相切的一条直线的方程______． 【答案】（或，） 【分析】由题知两圆位置关系为外切，有三条公切线，进而作出图象，结合图象可设公切线方程为，再根据相切关系建立方程，，两式作比得，再分类求解即可. 【详解】由题知的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 所以，故两圆位置关系为外切，有三条公切线. 如图，由图可知，公切线方程斜率存在，故设方程为， 则由直线与相切得：，即， 由直线与相切得：，即， 所以，即， 所以， 当时，，代入整理得，解得或， 此时公切线方程为（）或， 当时，，代入整理得，解得，此时公切线方程为（）， 综上，所求的公切线方程为，或 故答案为：（或，） 4.（多选）（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 一、单选题 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 二、多选题 5．（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 6．（2026·全国一卷·高考真题）已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为，，，则（     ） A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条 C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为 【答案】BCD 【分析】已知三个圆均为半径的等圆，圆心分别为、、，利用弦长公式（为对应圆心到直线的距离，且以保证直线与圆有两个交点），逐个分析选项即可. 【详解】记到直线的距离分别为，则，，. ∵ 直线与三个圆均有两个交点， ∴ ，，，对应弦长为. A：∵ 解，得， 解，得， 不妨取， ∵， ∴，记， 解，得，记， 当，即时，， 此时不存在这样的直线与三个圆都相交. ∴ 不能取任意实数，A错误. B：∵ ， ∴ . 由得，平方得，即或. ①当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. ②当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. 综上，共条直线满足条件，B正确. C：令， ∴ ，， 令，则， ∴ . 令，即， 平方整理可得，解得或，即或， 经验证，此时均小于，满足题目要求，此时已有条直线，多于条，C正确. D：当时，，， ∴ ，， 令，则， ∴ . 设，求导得， 令得，此时取最大值， ∴ 的最大值为，D正确.    【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦长关系转化为圆心到直线的距离关系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合特殊情形快速判断正误. 三、填空题 7．（2026·北京·高考真题）若直线与圆相切，则________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 8．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 9．（2024·上海·高考真题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到）    【答案】 【分析】利用给定条件求解圆的半径，再求周长即可. 【详解】如图，以为原点建系，易知，连接，    不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为， 化简得，所以圆心为，半径为，且经过点 即，化简得， 解得， 结合题意可得，故圆的周长为. 故答案为： 10．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 【答案】 【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设 ， ， ， ， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当 时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点，采用一定一动的处理策略，从而求解最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专练+三年真题24直线与圆 【考点一】直线的方程 【考点六】圆的弦长与中点弦 【考点二】圆的方程 【考点七】判断圆与圆的位置关系 【考点三】判断直线与圆的位置关系 【考点八】由圆的位置关系确定参数或范围 【考点四】由直线与圆的位置关系求参数 【考点九】圆的公共弦 【考点五】圆的切线方程 【考点十】圆的公切线 【题型一】直线的方程 1．（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川绵阳·二模）直线过定点，且以为其方向向量，则直线的方程为_____. 3．（2025·陕西西安·二模）若点在直线上，且，则的最小值为______． 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若直线的截距之和为2，且，则的最小值为______. 5.（多选）（2026·陕西商洛·三模）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【题型二】圆的方程 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广西·模拟预测）已知直线平分圆的面积，则（   ） A．0 B． C．2 D．1 3．（2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 4．（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 5．（2025·安徽·模拟预测）已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为________. 【题型三】判断直线与圆的位置关系 1．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 2．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 3．（2025·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 4．（2025·浙江·模拟预测）已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型四】由直线与圆的位置关系求参数 1．（2026·海南海口·模拟预测）直线l：x+y+1＝0与圆C：相切，则实数m＝（   ） A．1 B． C． D．2 2．（2026·辽宁抚顺·一模）已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知圆：，若存在，使得直线与圆有公共点，则实数的取值范围是______． 4．（2026·四川广安·一模）直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则___________． 【题型五】圆的切线方程 1．（2025·重庆·三模）过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 2．（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）过点与圆：相切的直线方程为______. 5.（多选）（2025·河北邯郸·一模）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【题型六】圆的弦长与中点弦 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 2．（2026·山东威海·二模）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．1 3.（2026·四川眉山·模拟预测）直线与曲线相交于，两点，则弦长______． 4.（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 【题型七】判断圆与圆的位置关系 1．（2025·安徽·一模）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外离 C．外切 D．内含 2．（2025·河南·模拟预测）圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 3．（2025·全国·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．无数个 B．2 C．1 D．0 4．（2025·山东临沂·一模）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【题型八】由圆的位置关系确定参数或范围 1.（2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西商洛·模拟预测）若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知圆和圆有一个公共点，则的值为________． 4．（2026·贵州安顺·一模）已知直线与圆，若存在以直线l上一点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则k的取值范围是______． 【题型九】圆的公共弦 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 3．（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 4.（多选）（2025·贵州毕节·二模）已知圆，圆，则（    ） A．当时，圆与圆相切 B．当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆相交于两点，且 【题型十】圆的公切线 1.（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 2．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 3.（2025·江苏·模拟预测）写出与圆和都相切的一条直线的方程______． 4.（多选）（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 二、多选题 5．（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 6．（2026·全国一卷·高考真题）已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为，，，则（     ） A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条 C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为 三、填空题 7．（2026·北京·高考真题）若直线与圆相切，则________． 8．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 9．（2024·上海·高考真题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到）    10．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $