25.2.1配方法解一元二次方程 同步讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦配方法解一元二次方程核心知识点，以直接开方法为基础，通过完全平方公式将方程转化为(x+m)²=n形式，系统梳理移项、化1、配方、开方、求解步骤，构建从原理理解到实际应用的学习支架。 资料特色为分层设计与题型多元，含基础巩固、拔高提升及中考链接，通过具体例题（如x²+6x-7=0）分析易错点，培养运算能力与推理意识，代数式最值等题型提升应用意识，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

25.2.1配方法解一元二次方程 学习目标与重难点 1、理解配方法的原理（利用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2将方程转化为可直接开平方的形式），掌握用配方法解一元二次方程的步骤（移项、二次项系数化为1、配方、开方、求解）。 2、通过具体例题（如x2+6x−7=0）的练习，熟练运用配方法求解一元二次方程，体会“降次”转化的数学思想。 3、分析配方法中“配方”操作的关键（加上一次项系数一半的平方），总结配方过程中的易错点（如符号错误、漏乘系数等）。 教学重点：配方法的步骤及“配方”操作的实施；用配方法解二次项系数为1或易化为1的一元二次方程。 教学难点：理解配方时“加上一次项系数一半的平方”的依据；二次项系数不为1时，先化简再配方的逻辑推导及运算准确性。 资料目录导航 核心知识梳理 题型解析归纳 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 链接中考 教材核心知识解读 知识点1：直接配平方法 1.降次——解一元二次方程 解一元二次方程也是把它逐步转化为“x=m”的形式。与一元一次方程不同，一元二次方程是二次的，因此解一元二次方程需要“降次”，即把二次方程转化为一次方程。 2.直接开方法求的一元二次方程 由平方根的意义可知： ①时，一元二次方程有 2 个 不相等 的实数根，分别是或。他们互为 相反数 。 ②当时，一元二次方程有 2 个 相等 的实数根，即 。 ③当时，一元二次方程 没有 实数根。 3.直接开方法解的一元二次方程 同样由平方根的意义可知： ①当时，一元二次方程有 2 个 不相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程或。所以它的两个实数根分别是 或 。 ②当时，一元二次方程有 2 个 相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程，所以一元二次方程的两个实数根为 。 ③当时，一元二次方程 没有 实数根。 知识点2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 步骤 示例 解释 1、移 移项得： 将常数项移到等号的右侧 2、化 二次项系数化为1： 利用等式的性质，等式两边同乘以二次项系数 3、配 配方得： 利用等式的性质，在等式两边同时加上 一次项系数一半的平方 4、开 开方得： 根据开平方的定义，进行开方 5、解 或 即 两个平方根一个取正，一个取负，解出方程 题型解析◆精准备考 【题型1】用直接开方法解方程 1．用直接开方法解方程． （1） （2） （3） （4）． 2．用直接开平方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型2】直接开平方法的应用 3．关于的方程，下列说法正确的是　　 A．有两个解 B．当 时，有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 4．若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是　　 A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【题型3】 配方 5．将一元二次方程配方后可化为　　 A． B． C． D． 6．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是　　 A． B． C． D． 【题型4】 配方法解方程 7．解方程：． 8．利用配方法解方程：． 【题型5】用配方的非负性求代数式的值 9．已知，求的值为　　 A．3 B．6 C．9 D．27 10．已知，，满足，，，则的值为　　 A． B．5 C．6 D． 【题型6】 用配方法求代数式的最值 11．探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： （1）当 　　 时，有最小值是 　　 ； （2）多项式有最 　　 （填“大”或“小” 值，该值为 　　 ； （3）已知，求的最小值． 12．上数学课时，胡老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答问题：求代数式的最小值． 同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以， 所以有最小值，最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： （1）知识再现：求代数式的最小值； （2）知识运用：代数式有最 　　 （填“大”或“小” 值，这个最值是 　　 ； （3）知识拓展：若，求的立方根． 【题型7】 用配方法求三角形的周长 13．已知，，为△的三条边． （1）若，，△的周长是小于17的奇数，求的长． （2）若△为等腰三角形，且，满足，求△的周长． 14．阅读材料：若，求，的值． 解：， ， ． ，． ． 阅读上面的材料，解决以下两个问题： （1）已知，求的值； （2）已知等腰三角形的三条边分别为，，，其中，满足，求这个等腰三角形的周长． 【题型8】 用配方法判断三角形的形状 15．已知，，为三边长． （1）求证：． （2）当，试判断的形状． 【题型9】 用配方法求特殊方程的解 16．若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解． 17．已知关于的方程，，为常数，的解是，，那么方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 【题型10】一元二次方程的求根公式 18．以为根的一元二次方程可能是　　 A． B． C． D． 19．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是　　 A． B． C． D． 1．方程的解是（    ） A． B．， C． D． 2．将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 3．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 4．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 5．若，该方程的解为______． 6．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 7．将一元二次方程化成的形式，则___________． 8．解方程：． 9．用配方法解方程：． 10．方程的根是（   ） A． B． C． D． 11．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 12．若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A．26 B． C．6 D． 13．方程的解是__________． 14．用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 15．利用配方法可求出二次三项式的最小值为______． 16．用配方法解方程． 17．用配方法求证：代数式的值恒为正数． 18．若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 19．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 20．关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 21．将方程化成（为常数）的形式，则___________． 22．若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 23．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 24．配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ①；    ②；     ③． 【探究问题】 (2)若可配方成，为正整数），则的值为 ； (3)已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【拓展应用】 (4)已知实数，均满足，求代数式 的最小值． 链接中考 1．（2026·甘肃嘉峪关·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 2．（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.1配方法解一元二次方程 学习目标与重难点 1、理解配方法的原理（利用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2将方程转化为可直接开平方的形式），掌握用配方法解一元二次方程的步骤（移项、二次项系数化为1、配方、开方、求解）。 2、通过具体例题（如x2+6x−7=0）的练习，熟练运用配方法求解一元二次方程，体会“降次”转化的数学思想。 3、分析配方法中“配方”操作的关键（加上一次项系数一半的平方），总结配方过程中的易错点（如符号错误、漏乘系数等）。 教学重点：配方法的步骤及“配方”操作的实施；用配方法解二次项系数为1或易化为1的一元二次方程。 教学难点：理解配方时“加上一次项系数一半的平方”的依据；二次项系数不为1时，先化简再配方的逻辑推导及运算准确性。 资料目录导航 核心知识梳理 题型解析归纳 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 链接中考 教材核心知识解读 教材核心知识解读 知识点1：直接配平方法 1.降次——解一元二次方程 解一元二次方程也是把它逐步转化为“x=m”的形式。与一元一次方程不同，一元二次方程是二次的，因此解一元二次方程需要“降次”，即把二次方程转化为一次方程。 2.直接开方法求的一元二次方程 由平方根的意义可知： ①时，一元二次方程有 2 个 不相等 的实数根，分别是或。他们互为 相反数 。 ②当时，一元二次方程有 2 个 相等 的实数根，即 。 ③当时，一元二次方程 没有 实数根。 3.直接开方法解的一元二次方程 同样由平方根的意义可知： ①当时，一元二次方程有 2 个 不相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程或。所以它的两个实数根分别是 或 。 ②当时，一元二次方程有 2 个 相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程，所以一元二次方程的两个实数根为 。 ③当时，一元二次方程 没有 实数根。 知识点2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 步骤 示例 解释 1、移 移项得： 将常数项移到等号的右侧 2、化 二次项系数化为1： 利用等式的性质，等式两边同乘以二次项系数 3、配 配方得： 利用等式的性质，在等式两边同时加上 一次项系数一半的平方 4、开 开方得： 根据开平方的定义，进行开方 5、解 或 即 两个平方根一个取正，一个取负，解出方程 题型解析◆精准备考 【题型1】用直接开方法解方程 1．用直接开方法解方程． （1） （2） （3） （4）． 【分析】方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：（1）开方得：或， 解得：，； （2）方程变形得：， 开方得：，； （3）方程开方得：， 解得：； （4）方程变形得：， 开方得：， 解得：，． 2．用直接开平方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】各方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解． 【详解】解：（1），即， 开方得：； （2），即， 开方得：； （3），即， 开方得：， 解得：，； （4），即， 开方得：， 解得：，． 【题型2】直接开配方法的应用 3．关于的方程，下列说法正确的是　　 A．有两个解 B．当 时，有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 【答案】 【分析】由于，左边是一个完全平方式，所以必须大于等于0才会有意义，然后用直接开平方法进行解答． 【详解】解：在方程中，因为，所以当时，方程才有意义．即有两个解． 故选：． 4．若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是　　 A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【答案】 【分析】方程的两根互为相反数，据此可得，求得的值，继而可得答案． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ， 解得， ，， 故选：． 【题型3】 配方 5．将一元二次方程配方后可化为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先把常数项移到等式的另一边，方程两边都加一次项系数一半的平方，按公式整理即可． 【详解】解： 把一元二次方程变形， 两边都加9，， ． 故选：． 6．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 【题型4】 配方法解方程 7．解方程：． 【分析】根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，． 8．利用配方法解方程：． 【答案】，． 【分析】先移项，二次项的系数化成1，再根据完全平方公式配方，开方，即可得出两个一元一次方程，最后求出方程的解即可． 【详解】解：， ， ． 配方得：， ， 开方得：， 解得：，． 【题型5】用配方的非负性求代数式的值 9．已知，求的值为　　 A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】 【分析】依据题意，由，可得，从而，，则，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，， ． ． ，． ． ． 故选：． 10．已知，，满足，，，则的值为　　 A． B．5 C．6 D． 【答案】 【分析】题目中的式子相加，然后利用配方法变形为完全平方的形式，再利用非负数的性质即可求得所求式子的值． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ，，， 解得，，，， ． 故选：． 【题型6】 用配方法求代数式的最值 11．探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： （1）当 　　 时，有最小值是 　　 ； （2）多项式有最 　　 （填“大”或“小” 值，该值为 　　 ； （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）；； （2）大；17； （3）． 【分析】（1）（2）利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答； （3）根据题意得到，利用配方法把变形，再根据偶次方的非负性解答． 【详解】解：（1）， ， 当时，的值最小，最小值是0． ． 当时，有最小值是， 故答案为：；； （2）， ， ， 有最大值0， 有最大值，最大值为17， 故答案为：大；17； （3）， ， ， 则的最小值为． 12．上数学课时，胡老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答问题：求代数式的最小值． 同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以， 所以有最小值，最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： （1）知识再现：求代数式的最小值； （2）知识运用：代数式有最 　大　 （填“大”或“小” 值，这个最值是 　　 ； （3）知识拓展：若，求的立方根． 【答案】（1）3； （2）大；； （3）的立方根是． 【分析】（1）利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答； （2）同（1）的作法解答； （3）把配方后：，再利用平方的非负性即可解答． 【详解】解：（1）， ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的最小值是3； （2） ， 则当时，有最大值，最大值是， 故答案为：大；； （3）， ， ，， ，， ， 的立方根是． 【题型7】 用配方法求三角形的周长 13．已知，，为△的三条边． （1）若，，△的周长是小于17的奇数，求的长． （2）若△为等腰三角形，且，满足，求△的周长． 【答案】（1）或； （2）7或8． 【分析】（1）三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出的范围，再根据周长是小于17的奇数进一步确定的范围以及是偶数，据此可得答案； （2）利用完全平方公式得到，则由非负数的性质可求出、的值，再分腰长为何腰长为两种情况，结合构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：（1）已知，，为△的三条边，则， ，， ， 由题意可得：， ， ， 且是偶数， 或； （2）若△为等腰三角形，且，满足， ， ， ，， ， ，， ，， 当腰长为2时，则该等腰三角形的三边长为2，2，3， ， 此时能构成三角形， 该三角形的周长为； 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为2，3，3， ， 此时能构成三角形， 该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为7或8． 14．阅读材料：若，求，的值． 解：， ， ． ，． ． 阅读上面的材料，解决以下两个问题： （1）已知，求的值； （2）已知等腰三角形的三条边分别为，，，其中，满足，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1）； （2）15． 【分析】（1）根据题意，可以将代数式化为两个完全平方和等于0的形式，可以求得、的值，从而得到答案； （2）根据题意，可以将代数式化为两个完全平方和等于0的形式，可以求得，值，根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系分别讨论求解即可得到答案． 【详解】解：（1）由条件可知， ， ，， ，， ； （2）由条件可知， ， ，， 解得，， 当为腰长时，三边分别为3，3，6，因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能构成三角形， 当为腰长时，三边分别为3，6，6，因为，，满足三角形三边关系， 此时三角形周长为． 综上所述，这个等腰三角形的周长为15． 【题型8】 用配方法判断三角形的形状 15．已知，，为三边长． （1）求证：． （2）当，试判断的形状． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）是等边三角形． 【分析】（1）先依据完全平方公式将原式变形为，然后再利用平方差公式进行分解，然后结合三角形的三边关系进行判断即可； （2）先利用完全平方公式将原式变形为，然后，依据非负数的性质可得到、、之间的关系，从而可对的形状作出判断． 【解答】（1）证明：， ，，为三边长， ，， ，， ； （2）解：是等边三角形． 理由：， ， ， ， 是等边三角形． 【题型9】 用配方法求特殊方程的解 16．若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解． 【答案】，． 【分析】利用直接开平方法得方程的解，则，，再解方程得，所以，． 【详解】解：解方程，，均为常数，得， 而关于的方程，，均为常数，的解是，， 所以，， 方程的解为， 所以，． 17．已知关于的方程，，为常数，的解是，，那么方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】先把方程可变形为：，然后根据题意可得：或，从而进行计算即可解答． 【详解】解：方程可变形为：， 由题意得：或， 解得：，， 故选：． 【题型10】一元二次方程的求根公式 18．以为根的一元二次方程可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：、，故该选项不正确，不符合题意； 、，故该选项不正确，不符合题意； 、，故该选项不正确，不符合题意； 、，故该选项正确，符合题意； 故选：． 19．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】判断出，，，可得结论． 【详解】解：由题意，，． 故选：． 1．方程的解是（    ） A． B．， C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解： ∴， 即，． 故选：B． 2．将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】先将常数项移到等号右侧，再对左侧配方得到要求的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，． 3．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 4．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【知识点】配方法的应用 【分析】利用完全平方公式对二次代数式配方，再根据平方数的非负性即可求出最小值． 【详解】解：∵ ， 又∵ 对任意实数都有， ∴ 当 时，代数式取得最小值，最小值为． 5．若，该方程的解为______． 【答案】 ， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【详解】解： 或 ∴，． 6．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 7．将一元二次方程化成的形式，则___________． 【答案】7 【知识点】配方法的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键． 直接根据配方法的步骤解题即可． 【详解】解：方程移项得， 配方得， 即， ，， ． 故答案为：7． 8．解方程：． 【答案】 ， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【详解】解：， ， ， 解得， ． 9．用配方法解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 10．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 11．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 则，即， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 12．若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A．26 B． C．6 D． 【答案】A 【知识点】配方法的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查配方法的应用与代数式求值，掌握配方法转化一元二次方程的步骤是解题关键．先配方得出，从而得出，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵配方时需加上一次项系数一半的平方，即， ∴方程两边同时加25，得， ∴， 对比的形式，得，， ∴， 故选：A． 13．方程的解是__________． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，解这类问题要先把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式求解． 先把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，再利用直接开平方求解即可． 【详解】解：， 移项得， 两边除以3得， 开平方得， 解得或． 故答案为：． 14．用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 【答案】 12 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题关键，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行计算即可. 【详解】解：方程，两边加上，得 ， 即. 15．利用配方法可求出二次三项式的最小值为______． 【答案】6 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理得，对于任意实数，则，故当时，，即可作答． 【详解】解： ， 对于任意实数，则， 当时，，即二次三项式的最小值为， 故答案为：6． 16．用配方法解方程． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】先将二次项系数化成，然后两边同时加上变形后，开方即可求出解． 【详解】解：方程两边同时除以，得， 方程两边同时加上，得， ， ， ，． 17．用配方法求证：代数式的值恒为正数． 【答案】 证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到，再根据偶次方的非负性得到，据此可证明结论． 【详解】略 18．若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 19．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】根据配方法解一元二次方程逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【详解】解：王老师：， 甲：两边同除以2，移项得，正确， 乙：配方，两边加4，得，即，但乙写成了，错误， 丙：开平方，得，正确， 丁：，则，正确， ∴错误的是乙． 20．关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查一元二次方程，配方法的应用，根据新定义，得到，可以写成，展开对应相等求出的值，利用配方法求出的最大值即可．熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程” ∴第二个方程可以写成的形式， ∴展开得： ∴，，， 解得：，， ∴， ∵ ∴ ∴能取的最大值是2026． 故选D． 21．将方程化成（为常数）的形式，则___________． 【答案】1 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】利用配方法将原方程变形为的形式，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即 ，整理为 的形式得， ，， 则， 因此． 22．若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【知识点】配方法的应用 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 23．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【知识点】配方法的应用、一元二次方程的定义 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 24．配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ①；    ②；     ③． 【探究问题】 (2)若可配方成，为正整数），则的值为 ； (3)已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【拓展应用】 (4)已知实数，均满足，求代数式 的最小值． 【答案】（1）②； （2）9； （3）解:，理由如下： ， 要使为“完美数”， 则需为完全平方式， 故， 此时，符合“完美数”定义， ； （4） 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可； （4），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ； 所以,不能表示成 (a，b是整数)的形式，不是完美数 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3）略 （4）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 链接中考 1．（2026·甘肃嘉峪关·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 2．（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 3．（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 4．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $