25.2.2 公式法解一元二次方程 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦公式法解一元二次方程，通过回顾配方法解具体方程，梳理移项、化1、配方、开方步骤，搭建从特殊方程到一般形式ax²+bx+c=0配方的学习支架，衔接旧知与求根公式推导。 亮点在于以“公式推导—例题示范—分层练习”为主线，推导过程引导学生参与含字母系数的配方，发展推理能力，例题规范“一化二定三算四代”步骤培养运算能力，判别式应用结合含参数方程实例提升抽象能力，助力学生理解公式本质，教师教学逻辑清晰易操作。

课题 25.2.2 公式法解一元二次方程 班级 课时 上课时间 教 学 目 标 1.理解用配方法从一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)推导求根公式的过程，能从一元二次方程中找出公式中每个符号. 2.能运用公式法正确求解一元二次方程. 3.理解根的判别式的意义，能根据判别式的值判断方程根的情况. 重点：能运用公式法正确求解一元二次方程，能根据判别式的值判断方程根的情况. 难点：理解求根公式的推导过程；理解根的判别式Δ=b²-4ac与方程根的情况之间的本质联系. 教 材 分 析 教材地位与作用：本节课是人教版2024版九年级上册第二十五章“一元二次方程”第25.2.2节“公式法”，承接了上一课时配方法，通过将一般式配方变形推导出求根公式，实现配方法从特殊方程到全部一元二次方程的升华．本节课提炼根的判别式，实现不解方程预判根的情况，完善方程研究逻辑；公式法作为一元二次方程求解的通法，可求解任意一元二次方程，简化配方繁琐步骤，是后续学习根与系数关系、二次函数与一元二次方程的联系、二次函数图象与直线的交点问题的基础． 教材内容结构：首先本课时直接以一元二次方程的一般式：能否用配方法求解问题出发，归纳总结方程根的判别式，与此同时得到求根公式、然后设置一道例题、应用公式法求解一元二次方程，规范公式化求解方程的步骤：①找方程中的②求的值；③将的代入公式求解；最后配套分层练习题，由基础型到稍复杂变式，巩固整体开方、分类判断有无实数根的知识点，完整形成“公式推导——例题示范——习题巩固”的教学逻辑. 学 情 分 析 学生已学过直接开平方法、配方法解一元二次方程，能完成简单的配方操作，但对含字母系数的配方缺乏经验，易在系数变形（如二次项系数化为 1 时漏乘常数项、配方时常数项计算错误）环节出错；学生已具备一定的逻辑推理能力和运算能力，能理解 “特殊到一般” 的数学思想，但抽象思维仍需依托具体实例，对求根公式中字母的取值对应（尤其是原方程非一般形式时，需先整理再确定系数）易混淆，可能对判别式的有意义与根情况的联系本质理解不透彻；学生在推导求根公式过程中，易因步骤繁琐（如移项、化 1、配方、开方等多环节连贯操作）产生畏难情绪，且在运用公式时，常忽略 “先判断△的符号再代入求根” 的流程，导致出现无实数根却强行计算的错误；学生渴望通过 “通用解法” 简化解题过程，对公式的便捷性有期待. 教学过程（内容及步骤） 二次备课 一、回顾旧知： 1.用配方法解方程：4x28x＝0 解：4x28x= 2.用配方法解方程的步骤有哪些呢？ (1)移：把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边； (2)化：把二次项系数化为1； (3)配：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)开：利用直接开平方法求出方程的解. 二、探索新知 尝试用配方法解一元二次方程： () 分析：方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a，得. 解：移项，得：ax2+bx=c 二次项系数化1，得 配方得 思考：该方程一定有解吗？如何判断？有几个解？ ∵a≠0 ∴4a2≠0 (1) 当=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根． 即 (2) 当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根． (3) 当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根． 归纳：△=b2-4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式． (1) 当 △>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根． (2) 当 △=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根． (3) 当△<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根． 当△≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根 . 当△≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根是：（求根公式） 三、例题精讲 例：用公式法解下列方程: (1)； (2)； (3)； (4). 解:(1)，所以 ∴方程有两个不相等的实数根 ∴ (2)，所以 ∴方程有两个相等的实数根 (3) 方程化为， ∴ 方程有两个不相等的实数根 ∴ (4) 方程化为， ∴ 方程无实数根. 归纳：公式法解一元二次方程的一般步骤：（一化、二定、三算、四代） 第1步：将方程化为一般形式； 第2步：确定a，b，c的值； 第3步：计算△的值，判断根的情况； 第4步：当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根. 四、巩固练习 1.已知一元二次方程：①②.下列说法正确的是（ B ） A.①②都有实数解 B.①无实数解，②有实数解 C.①有实数解，②无实数解 D.①②都无实数解 2.如果关于x的一元二次方程kx²-2x-1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ B ） A. k>-1 B. k>-1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 3.若关于x的方程kx²-2x-1=0有实数根，则k的取值范围是k≥-1. 4.用公式法解下列方程： (1) (2) 3 (3) 2 解：（1）a=1，b=1，c=-6 Δ=1²-4×1×(-6)=1+24=25>0， （2） a=3，b=-6，c=4， Δ=(-6)²-4×3×4=36-48=-12<0，方程无实数根. (1) a=2，b=-3，c=0， Δ=(-3)²-4×2×0=9>0 拓展提升 5.(1) (2) 解：(1)方程化为： a=1，b=0，c=-3， Δ=0²-4×1×(-3)=12>0 （2）方程化为：2x²+4x-5=0 a=2，b=4，c=-5 Δ=4²-4×2×(-5)=16+40=56>0， 五、课堂小结 在本节课学到了什么？还有什么困惑吗？ （1） 根的判别式：△=b2-4ac △=b2-4ac>0，方程有两个不等的实数根; △=b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根 △=b2-4ac<0，方程无实数根. （2）用求根公式解方程的一般步骤：一化、二定、三算、四代 六、作业 必做题:教材17页第4、5题 选做题：不解方程，判断方程的根的情况（m为常数）若关于的一元二次方程有实数根. (1) 求的取值范围.（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根. 板书 左侧 中间 右侧 复习区 用配方法解： 4x28x＝0 课题：公式法解一元二次方程 总结：公式法解一元二次方程的步骤： 第1步：将方程化为一般形式； 第2步：确定a，b，c的值； 第3步：计算△的值，判断根的情况； 第4步：当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根. 例题区 例：用公式法解下列方程: (1)；(2) (3)；(4). 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $