专题25.2.1 配方法解一元二次方程（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦配方法解一元二次方程核心知识点，先以直接开方法为基础，梳理方程根的三种情况及降次思想，再系统讲解配方法的五步步骤（移项、化1、配方、开方、求解），最后延伸至配方法求最值和比较大小的应用，构建从基础到拓展的学习支架。 资料通过“知识点解析+即学即练+典例变式+中考链接”的分层设计，强化数学思维（如配方变形中的推理能力）和数学语言（如用配方法表达二次三项式的最值）。课中教师可依托题型示例引导学生掌握方法，课后学生通过基础到拓展的练习巩固知识，查漏补缺，提升解决问题的能力。

专题25.2.1 配方法解一元二次方程 教学目标 1.掌握直接开方法解一元二次方程，并能够根据直接开方法解一元二次方程的式子特点进行相应的求值。 2.掌握配方法解一元二次方程，能熟练对方程进行配方变形及进行求值，也能熟练的对配方法进行其他实际应用。 教学重难点 1.重点 （1）直接开方法解一元二次方程的方法掌握及其式子特点的理解； （2）配方法解一元二次方程的方法掌握及其配方法的一些应用。 2.难点 （1）利用配方法求二次三项式的最值； （2）利用配方法比较式子的大小关系。 知识点01 直接开方法解一元二次方程 1.降次——解一元二次方程 解一元二次方程也是把它逐步转化为“x=m”的形式。与一元一次方程不同，一元二次方程是二次的，因此解一元二次方程需要 ，即把二次方程转化为一次方程。 2.直接开方法求的一元二次方程 由平方根的意义可知： ①时，一元二次方程有 的实数根，分别是 或 。他们互为 。 ②当时，一元二次方程有 的实数根，即 。 ③当时，一元二次方程 实数根。 3.直接开方法解的一元二次方程 同样由平方根的意义可知： ①当时，一元二次方程有 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程或。所以它的两个实数根分别是 或 。 ②当时，一元二次方程有 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程，所以一元二次方程的两个实数根为 。 ③当时，一元二次方程 实数根。 【即学即练】 1．方程的根是________． 2．若方程有解，则的取值范围是_______． 3．若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则________． 知识点02 配方法解一元二次方程 1.配方法的定义 通过配成 来解一元二次方程的方法，叫作配方法。即将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法解一元二次方程的方法。 2.配方法解一元二次方程的具体步骤 ①移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数。 ②化1:方程的两边同除以 ,把二次项系数化为1。 ③配方:在方程的两边同时加上 ,化成的形式。 ④开方:若≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程,若<0,则原方程 。 ⑤求解:解所得到的一元一次方程，得出原方程的解。 步骤 示例 解释 1、移 移项得： 将常数项移到等号的右侧 2、化 二次项系数化为1： 利用等式的性质，等式两边同乘以二次项系数 3、配 配方得： 利用等式的性质，在等式两边同时加上 4、开 开方得： 根据开平方的定义，进行开方 5、解 或 即 两个平方根一个取正，一个取负，解出方程 【即学即练】 4．一元二次方程配方后可化为（ ） A． B． C． D． 5．解方程：（用配方法） 知识点03 配方法的应用 1.求二次三项式的最值 （1）利用配方法将二次三项式化成 的形式判断二次三项式的最值为。若，则为二次三项式的 ；若，则为二次三项式的 。 （2）具体步骤 ①提公因式：即提 。 ②配方：在一次项后面加上 ，为了式子的值不发生变化，再减去 。 ③将式子写成 的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以再拿出来。 2.判断代数式的取值范围 利用的特性，可证： ①代数式的值恒大于等于（或恒小于等于）某数； ②判断二次三项式的符号（如证明恒成立）。 【即学即练】 6．对于代数式，当__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________． 7．已知，（为任意实数），则P，Q的大小关系为（ ） A． B． C． D．不能确定 题型01 直接开方法与平方型方程 【典例1】方程的根是（ ） A． B． C．， D．， （1）考查方向：用直接开方法解方程；平方型方程的结构特点，比如方程是否有实数解、两个根是否互为相反数、整体替换求变化后的根等。 （2）核心方法：利用平方根的意义；平方项孤立、整体开方、正负两解。 【变式1】解方程：4（x﹣3）2﹣25＝0． 【变式2】如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么满足的条件是（ ） A． B． C． D． 【变式3】下列一元二次方程的两个根互为相反数的是（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ） A． B． C． D． 【中考链接1】下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A． B． C． D． 【中考链接2】解方程： 题型02 配方变形与配方法解一元二次方程 【典例1】方程经过配方可变形为（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：配方变形；配方形式求参数；用配方法完整解方程。 （2）核心方法：配方法的本质是把一般一元二次方程转化为可以直接开方的平方型方程；若二次项系数不为1，先化为1，再配方。 【变式1】用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（ ） A． B． C． D． 【变式3】解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【中考链接】设方程的正根介于整数m与之间，则________． 题型03 配方法的应用 【典例1】代数式的值（ ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．可能为零 D．不能确定取值范围 （1）考查方向：二次三项式最值、取值范围、作差比较大小、不等式证明等。 （2）核心方法：围绕“平方的非负性”展开。求最值时，把二次式配成；比较大小时，先作差，再把差式配方并与0比较。 【变式1】多项式的最小值为（ ） A． B．1 C．3 D．2 【变式2】已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 【变式3】若，，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【中考链接】用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ） A． B．2024 C． D．1 A组·基础过关 1．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（ ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（ ） A． B． C． D． 3．方程配方后得，则的值是（ ） A． B． C． D． 4．若一元二次方程的两个根分别是与，则 ____． 5．用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值___________． 6．已知代数式的最小值是_________． 7．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（ ） A． B． C．或 D．或 8．解方程：． 9．解方程： 10．试证明无论取何实数时，代数式的值一定是正数． B组·能力提升 11．若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 12．已知a、b满足，则代数式的值为（ ） A． B．4 C．或4 D．2 13．已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，在平面直角坐标系中，点，均在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 15．一元二次方程配方，得，则是________． 16．若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 17．用配方法解方程： (1)． (2)． 18．数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． C组·拓展延伸 19．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（ ） A． B．或 C． D．或 20．我们可以用几何的方法求一元二次方程的解．例如求方程的解时，如图，先画，使，，，在斜边上截取，则下列线段可以表示方程的一个解的是（） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 21．已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 22．关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，则方程的解是___________． 23．若（x、y为实数），则W的最小值为________． 24．我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法，用“拼”的方法完成了配方，例如：，可以变形为，用四个长为、宽为x、面积为24的矩形，拼成如图所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到． 【模仿实践】（1）用“拼”的方法解方程，先变形为________，每个小长方形的长为________，宽为________，小正方形的面积为________； 【深入探究】（2）用“拼”的方法解方程，写出解题过程． 25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以 cm/s的速度向点D运动，过P点作矩形PDFE(E点在AC上)，设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒(0＜t＜8)． (1)经过几秒钟后，S1＝S2? (2)经过几秒钟后，S1＋S2最大？并求出这个最大值． 第8页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.2.1 配方法解一元二次方程 教学目标 1.掌握直接开方法解一元二次方程，并能够根据直接开方法解一元二次方程的式子特点进行相应的求值。 2.掌握配方法解一元二次方程，能熟练对方程进行配方变形及进行求值，也能熟练的对配方法进行其他实际应用。 教学重难点 1.重点 （1）直接开方法解一元二次方程的方法掌握及其式子特点的理解； （2）配方法解一元二次方程的方法掌握及其配方法的一些应用。 2.难点 （1）利用配方法求二次三项式的最值； （2）利用配方法比较式子的大小关系。 知识点01 直接开方法解一元二次方程 1.降次——解一元二次方程 解一元二次方程也是把它逐步转化为“x=m”的形式。与一元一次方程不同，一元二次方程是二次的，因此解一元二次方程需要“降次”，即把二次方程转化为一次方程。 2.直接开方法求的一元二次方程 由平方根的意义可知： ①时，一元二次方程有 2 个 不相等 的实数根，分别是或。他们互为 相反数 。 ②当时，一元二次方程有 2 个 相等 的实数根，即 。 ③当时，一元二次方程 没有 实数根。 3.直接开方法解的一元二次方程 同样由平方根的意义可知： ①当时，一元二次方程有 2 个 不相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程或。所以它的两个实数根分别是 或 。 ②当时，一元二次方程有 2 个 相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程，所以一元二次方程的两个实数根为 。 ③当时，一元二次方程 没有 实数根。 【即学即练】 1．方程的根是________． 【答案】， 【分析】利用一元二次方程的解法——直接开方法解方程即可 【详解】 解： 或 ∴ 2．若方程有解，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据完全平方数是非负数得到关于的不等式，解不等式即可求解，掌握完全平方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：∵方程有解， ∴， ∴， 故答案为：． 3．若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则________． 【答案】/0.25 【分析】根据直接开平方法解方程的两个根互为相反数，得到，求得方程的根，利用根的定义，确定a，b的关系，计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴， ∴， ∴方程的两个根互为相反数， ∵一元二次方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴一元二次方程的两个根分别是与， ∴ ∴， 故答案为：． 知识点02 配方法解一元二次方程 1.配方法的定义 通过配成 完全平方式 来解一元二次方程的方法，叫作配方法。即将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法解一元二次方程的方法。 2.配方法解一元二次方程的具体步骤 ①移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数。 ②化1:方程的两边同除以 二次项系数 ,把二次项系数化为1。 ③配方:在方程的两边同时加上 一次项系数一半的平方 ,化成的形式。 ④开方:若≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程,若<0,则原方程 无解 。 ⑤求解:解所得到的一元一次方程，得出原方程的解。 步骤 示例 解释 1、移 移项得： 将常数项移到等号的右侧 2、化 二次项系数化为1： 利用等式的性质，等式两边同乘以二次项系数 3、配 配方得： 利用等式的性质，在等式两边同时加上 一次项系数一半的平方 4、开 开方得： 根据开平方的定义，进行开方 5、解 或 即 两个平方根一个取正，一个取负，解出方程 【即学即练】 4．一元二次方程配方后可化为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查配方法，熟悉配方法是解题的关键． 根据题意配方即可求解． 【详解】， ， ． 故选：B． 5．解方程：（用配方法） 【答案】， 【分析】本题主要考查利用配方法解一元二次方程的方法步骤，熟练掌握配方法解一元二次方程是解决问题的关键．根据配方法解一元二次方程的方法步骤求解即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， ，． 知识点03 配方法的应用 1.求二次三项式的最值 （1）利用配方法将二次三项式化成的形式判断二次三项式的最值为。若，则为二次三项式的 最小值 ；若，则为二次三项式的 最大值 。 （2）具体步骤 ①提公因式：即提 二次项系数 。 ②配方：在一次项后面加上 一次项系数一半的平方 ，为了式子的值不发生变化，再减去 一次项系数一半的平方 。 ③将式子写成 的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以再拿出来。 2.判断代数式的取值范围 利用的特性，可证： ①代数式的值恒大于等于（或恒小于等于）某数； ②判断二次三项式的符号（如证明恒成立）。 【即学即练】 6．对于代数式，当__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________． 【答案】 大 4 【分析】本题考查代数式的运算，配方法的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键．把化为 ，由平方的非负性得，，从而，由不等式性质，不等式两边同时加或减一个数，不等号不变，即，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 当时，有最大值为4． 故答案为：；大；4． 7．已知，（为任意实数），则P，Q的大小关系为（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握配方法、偶次方的非负性是解题的关键． 先求出的值，然后根据偶次方的非负性，判断出值的正负，进而判断出两者的大小关系． 【详解】解： ． ，， ，．故答案为：C． 题型01 直接开方法与平方型方程 【典例1】方程的根是（ ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得，． （1）考查方向：用直接开方法解方程；平方型方程的结构特点，比如方程是否有实数解、两个根是否互为相反数、整体替换求变化后的根等。 （2）核心方法：利用平方根的意义；平方项孤立、整体开方、正负两解。 【变式1】解方程：4（x﹣3）2﹣25＝0． 【答案】x1，x2． 【解答】解：4（x﹣3）2﹣25＝0， 4（x﹣3）2＝25， （x﹣3）2， ∴x﹣3＝±， ∴x1，x2． 【变式2】如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么满足的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，根据完全平方是非负数列出关于的不等式即可求解，掌握直接开平方法是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：． 【变式3】下列一元二次方程的两个根互为相反数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解法解题即可． 【详解】解：A：， ， ∴，；故该选项符合题意； B：， ， ∴，；故该选项不合题意； C：， ∴，；故该选项不合题意； D：， ， ∴；故该选项不合题意． 【变式4】已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 【中考链接1】下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 【中考链接2】解方程： 【答案】， 【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴或 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 题型02 配方变形与配方法解一元二次方程 【典例1】方程经过配方可变形为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可完成配方． 【详解】解：∵， 移项得， 方程两边同时加，得，整理得． （1）考查方向：配方变形；配方形式求参数；用配方法完整解方程。 （2）核心方法：配方法的本质是把一般一元二次方程转化为可以直接开方的平方型方程；若二次项系数不为1，先化为1，再配方。 【变式1】用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤将方程整理为的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得 ， 对比，可得，， 故选：D． 【变式2】一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 方程配方后得到． 【变式3】解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）先化系数为，再根据配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， 解得． 【中考链接】设方程的正根介于整数m与之间，则________． 【答案】3 【分析】先求出方程的正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：得，， 可知方程的正根为． ， ， ， 则． 题型03 配方法的应用 【典例1】代数式的值（ ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．可能为零 D．不能确定取值范围 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，通过完成平方将代数式变形，利用平方的非负性判断其值恒为正数． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的值一定为正数， 故选：A． （1）考查方向：二次三项式最值、取值范围、作差比较大小、不等式证明等。 （2）核心方法：围绕“平方的非负性”展开。求最值时，把二次式配成；比较大小时，先作差，再把差式配方并与0比较。 【变式1】多项式的最小值为（ ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 【变式2】已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查配方法的应用，乘法公式；由已知条件变形得到，再通过配方法求出的取值范围，进而得到u的最值，计算即可． 【详解】解：， 由①得，，代入②中，得 ， 把①的两边同时加，得， 解得， 把①的两边同时减，得 解得， ∴， ， 即， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：C． 【变式3】若，，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，关键是作差法和配方法的应用．利用作差法和配方法计算即可． 【详解】解：：， ， ， ， 故选：C 【中考链接】用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． A组·基础过关 1．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 2．用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，即可得到结果． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即． 3．方程配方后得，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程，核心是掌握配方法的步骤．通过在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，进而确定和的值，最终计算． 【详解】解：， ， ， ， 与比较，得，， ． 故选：． 4．若一元二次方程的两个根分别是与，则 ____． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有． 【详解】解：∵， ∴ ， 解得， ∴两根互为相反数， ∵一元二次方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴一元二次方程的两个根分别是和， ∴， 故答案为：． 5．用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值___________． 【答案】 【详解】解：， 方程两边同除以3，得， 移项，得， 配方，得，， ∴． 6．已知代数式的最小值是_________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法可把所求式子变形为，再根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原代数式的最小值为5， 故答案为：5． 7．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的解、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程． 由已知根代入原方程得与的关系，再代入新方程求解即可． 【详解】解： 方程 的一个根为， ， ， 对于方程， 代入，得 ， ，两边除以，得 ， 即， 或， 或， 即方程根为或． 故选：． 8．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是正确选择合适的方法求解． 根据直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， 移项得， 直接开平方得， ，． 9．解方程： 【答案】， 【分析】等式左边提取公因式4，再利用完全平方公式进行二次分解，最后利用配方法解答即可． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， ∴，． 10．试证明无论取何实数时，代数式的值一定是正数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了配方法和非负数的性质（平方的非负性），熟练掌握配方法的技巧是解题的关键． 通过完成平方将代数式配方变形，利用平方的非负性证明其值恒为正． 【详解】证明： 又 对于所有实数， ， ， 因此，无论取何实数，代数式的值一定是正数． B组·能力提升 11．若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程 的两个根互为相反数，因此两根之和为零，据此求出 a 的值，再代入求根，进而求出 m． 【详解】解：∵方程的两个根互为相反数， ∴ 即 ∴， 则两根分别为和， ∴ ． 故选：B． 12．已知a、b满足，则代数式的值为（ ） A． B．4 C．或4 D．2 【答案】A 【分析】设，将等式变形为，解方程即可． 【详解】设， 由，得， 化简得， 解得， 即． 13．已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知求出，再代入，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴s的值最大为3． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，均在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 【答案】 【分析】根据点，在反比例函数图象上，用含的代数式表示，，再根据结合勾股定理列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， ， ， ∴ 解得， 反比例函数图象在第一象限， ， ． 15．一元二次方程配方，得，则是________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了配方法，掌握配方步骤正确计算是本题的解题关键．将原方程进行配方，然后求解即可． 【详解】解： ， ，，即， ． 故答案为：9． 16．若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式 ， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 17．用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1，当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数；②加上一次项系数一半的平方，使其成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】（1）解： ∴， ∴，； （2）解： ∴， ∴，． 18．数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）通过计算并判断的正负性，即可比较的大小； （2）利用整式的加减运算法则表示出，再利用配方法整理得，最后利用非负数的性质即可证明． 【详解】（1）解：， ∴ ， ∴； （2）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴不可能小于0． C组·拓展延伸 19．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义． 根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得，， 综上所述，x的值是或． 故选：D． 20．我们可以用几何的方法求一元二次方程的解．例如求方程的解时，如图，先画，使，，，在斜边上截取，则下列线段可以表示方程的一个解的是（） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】先利用配方法解一元二次方程求出正数解，再在中利用勾股定理求出的长，结合求出的长，对比即可得出结论． 【详解】解：配方得， 解得，， 线段长度必须为正数， 该方程符合几何意义的解为， 在中，， ，， 由勾股定理得， 在斜边上截取， ． 线段的长表示方程的一个解． 21．已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． 22．关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，则方程的解是___________． 【答案】， 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，解一元二次方程——直接开平方法等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过已知方程的解求出参数m的值及a与b的关系，然后代入新方程求解． 【详解】解：由方程的解为，， 代入得和． 两式相减可得， 开方，得：或(不成立)， 即， 整理得， 所以． 将代入，得， 即． 将和代入方程， 得， 即， 整理得． 由于， 两边除以得， 即， 解得∶，． 故答案为：，． 23．若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． 24．我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法，用“拼”的方法完成了配方，例如：，可以变形为，用四个长为、宽为x、面积为24的矩形，拼成如图所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到． 【模仿实践】（1）用“拼”的方法解方程，先变形为________，每个小长方形的长为________，宽为________，小正方形的面积为________； 【深入探究】（2）用“拼”的方法解方程，写出解题过程． 【答案】（1）；；；25；（2）见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，解一元二次方程，图形面积的计算方法，理解图示面积，材料提示的计算方法，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）仿照用“拼”的方法，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再用“拼”的方法，根据面积关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：仿照方法2配方解，先变形为，如图2， 每个小长方形的长为，宽为，小正方形的面积为， 利用图形的面积关系得配方后的方程为，即， 解为， 故答案为：，，，； （2）解：先变形为，如图， 每个小长方形的长为，宽为， 利用图形的面积关系得配方后的方程为，即， ∴； 解为． 25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以 cm/s的速度向点D运动，过P点作矩形PDFE(E点在AC上)，设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒(0＜t＜8)． (1)经过几秒钟后，S1＝S2? (2)经过几秒钟后，S1＋S2最大？并求出这个最大值． 【答案】(1) t＝4 (2) t＝6 【分析】分别根据运动方式列出面积S1,S2关于t的函数关系，第一问令面积相等，第二问配方求最值. 【详解】解：S1＝×8×t＝8t，S2＝t(8－t)＝－2t2＋16t，(1)由8t＝－2t2＋16t，解得t1＝4，t2＝0(舍去)，∴当t＝4秒时，S1＝S2　 (2)∵S1＋S2＝8t＋(－2t2＋16t)＝－2(t－6)2＋72，∴当t＝6时，S1＋S2最大，最大为72 【点睛】关于x的两次三项式，可以配方化为只含一个变量的式子，再利用平方的非负性求最值,必要是需要引入二次函数的内容求最值. 第1页 共25页 学科网（北京）股份有限公司 $