5.3一次函数的图像与性质（第二课时）讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦一次函数y=kx+b的图像与性质核心知识点，系统梳理图像画法（两点法优先坐标轴交点）、k和b对图像象限及增减性的影响、两直线位置关系（平行、相交、重合）的规律。通过课前预习衔接正比例函数平移，课中探究活动深化理解，课后作业巩固应用，构建完整学习支架。 以探究活动为特色，通过例2让学生画图并填表讨论k、b与图像关系，培养几何直观与抽象能力（数学眼光）。课堂检测与课后作业含参数、面积等综合题，提升推理意识与运算能力（数学思维）。贯穿数形结合思想，课中辅助教师引导探究，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

2025-2026学年苏科版版八年级数学 《第五章一次函数第三节一次函数的图像与性质（第二课时）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.掌握一次函数y=kx+b（k、b为常数，k ≠ 0 ）的图像形状，能熟练选取两个恰当点画出一次函数图像。 2.理解k和b的取值对一次函数图像位置、增减性的影响，能根据k 、b判断函数图像经过的象限。 3.掌握两条一次函数直线的位置关系（平行、相交、重合）与系数k 、b 的关联，能运用性质解决简单问题。 4.体会数形结合思想，提升从函数图像中获取信息、解决实际问题的能力。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.一次函数y=kx+b 的图像画法及k 、b对函数图像和性质的影响。 2.两条一次函数直线位置关系与系数的对应关系。 （二）难点 1.理解k 、 b的取值与一次函数图像经过象限的内在联系。 2.运用一次函数图像与性质解决含参数、位置关系等综合问题。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1.一次函数y= kx + b （k ≠ 0）的图像是一条__________，画该图像时只需确定__________个关键点即可。 2.正比例函数y=kx（k ≠ 0）是特殊的一次函数，其图像经过原点，一次函数y= kx + b的图像可由y=kx的图像沿y轴__________平移__________个单位长度得到（b> 0向上，b<0 向下）。 3.当k>0时，一次函 数 y= kx+b中 y 随x的增大而__________；当k<0时 ， y随x的增大而__________。 4.若一次函数y=2x+b的图像经过y轴上的点(0, 3) ，b = __________，该函数图像经过第__________象限。 5.两条一次函数直线l 1 : y = k 1 x+b 1 和l 2 :y=k 2 x+b 2， 当k 1 =k 2， b 1 ≠ b 2 时，l 1 与 l 2 ______ ；当k 1 ≠ k 2 时，l 1 与l 2____________ 。 【 答案 】 1.直线；两 2.上下； |b| 3.增大；减小 4.3；一、二、三 5.平行；相交 ) 四．课堂探秘 探究一：一次函数的图像画法 【忆一忆】作函数图象的步骤 ( 列表 ) ( 描点 ) ( 连线 ) 1.一次函数的图象画法 例1.画出一次函数y=－2x+1的图象. x … －2 －1 0 1 2 … y … 5 3 1 －1 －3 … 解：列表： 描点连线 2.一次函数y=kx＋b的图象是一条直线,因此画一次函数图象时,只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了.优先选取与坐标轴的交点（x=0或y =0），当交点坐标为分数时，可选取横坐标为整数的点（如x=1、x=-1 ）简化操作。 3.一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b. 探究二： k 、 b 对一次函数图像的影响 例2.在同一坐标系中用两点法画出函数y=x+1，y=-x+1，y=2x-1，y=-2x-1的图象 解：利用两点法分别画出上述函数图象（令x=0求出相对应的y的值，令y=0，求出相对应的x的值），作经过两点的直线即可得到函数图象.一次函数y=x+1经过点（0,1）和（-1,0）;一次函数y=-x+1经过点（0,1）和（1,0）；一次函数y=2x-1经过点（0,-1）和（0.5,0）； 一次函数y=-2x-1经过点（0,-1）和（-0.5,0）.图象如图所示. 讨论：观察画出的这几个一次函数的图象，小组互相讨论填下表，并说说你得到的规律. 经过的象限 k的值 b的值 直线从左往右的变化 y=x+1 一、二、三 1 1 上升 y=-x+1 一、二、四 -1 1 下降 y=2x-1 一、三、四 2 -1 上升 y=-2x-1 二、三、四 -2 -1 下降 【归纳】一次函数y=kx+b的图象与k、b的符号关系如下表： k、b的符号 草图 k的影响 b的影响 k＞0，b＞0 ( y x O ) ( y x O ) 当k＞0时， y随着x的增大而增大， 直线为上坡 当b＞0时， 直线与y轴交点在y轴正半轴上； 当b＜0时， 直线与y轴交点在y轴负半轴上． k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 ( y x O ) 当k＜0时， y随x的增大而减小， 直线为下坡 k＜0，b＜0 ( x O y ) 【结论】： k 决定一次函数图像的“升降”（增减性）， b 决定图像与 y 轴的交点位置，两者共同确定图像经过的象限。 探究三：两条一次函数直线的位置关系 例3.在同一个直角坐标系上画出下列函数的图像： （1）y=-2x； （2）y=-2x+2. 解：（1）y=-2x的图像经过（0,0）和（1，-2）两点； （2）y=-2x+2的图像经过（0,2）和（1,0）两点. 一次函数y=kx+b(k≠0)的图像可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）. 【归纳】 两条一次函数直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2， 当k1 = k2 且b1≠b2 时，l1与l2平行； 当k1 ≠ k2 时， l1与l2相交。 当k1 = k2 且b1=b2 时，l1与l2重合 五．课堂检测 （一）选择题 1．一次函数不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】∵一次函数y=-3x-5中k=-3＜0，b=-5＜0，∴该函数的图象经过二、三、四象限， ∴该函数的图象不经过第一象限.故答案为：A. 2．直线经过一、三、四象限，那么点在第几象限．（　　） A．四 B．三 C．二 D．一 【答案】C 【解析】∵直线经过一、三、四象限，∴k>0，b<0，∴点在第二象限， 故答案为：C. 3．已知函数的图象如图所示，函数的图象大致是（　　） A． B．C． D． 【答案】C 【解析】∵函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴函数y=bx+k的图象经过一、二、四象限，故C选项符合题意.故答案为：C. 4．下列有关一次函数y=-3x+2的说法中，错误的是(　　) A．y的值随着x值的增大而减小 B．函数图象与y轴的交点坐标为(0，2) C．当x>0时，y>2 D．函数图象经过第一、二、四象限 【答案】C 【解析】 一次函数y=-3x+2 A：y的值随着x值的增大而减小，描述正确，因为k0；B：函数图象与y轴的交点坐标为(0，2)，描述正确，因为x=0时y=2 ； C：当x>0时，y>2，描述不正确，当x>0时，y2；D：函数图象经过第一、二、四象限 ，描述正确，因为k0且b0故选：C 5．在平面直角坐标系中，若将一次函数y=2x+m-1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为 (　　) A．-5　　　　B．5　　　C．-6　　　　D．6 【答案】A 【解析】 一次函数y=2x+m-1的图象向左平移3个单位后，解析式为y=2(x+3)+m-1=2x+m+5 此时函数是正比例函数，则m+5=0解得m=-5故选：A 6.若一次函数y＝kx+b的图象经过点（4，2）、（2，﹣2），则该一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【解析】将（4，2），（2，﹣2）代入y＝kx+b，得：，解得：， ∴一次函数的解析式为y＝2x﹣6．当x＝0时，y＝2×0﹣6＝﹣6，∴一次函数y＝2x﹣6与y轴的交点坐标为（0，﹣6）；当y＝0时，2x﹣6＝0，解得：x＝3，∴一次函数y＝2x﹣6与x轴的交点坐标为（3，0）．∴一次函数y＝2x﹣6与两坐标轴围成的三角形的面积＝×6×3＝9．故选：B． 7.已知（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣x+2上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（　　） A．y1＞y3＞y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y3 【答案】D 【解析】∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣x+2上，∴y1＝2+2＝4， y2＝1+1＝2，y3＝﹣1+2＝1，∵4＞2＞1，∴y1＞y2＞y3．故选：D． 8.若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣ B．m＜3 C．﹣＜m＜3 D．﹣＜m≤3 【答案】D 【解析】根据题意得，解得﹣＜m≤3．故选：D． 9.一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣3，0），B（0，2），当函数图象在第二象限时，自变量x的取值范围是（　　） A．﹣3＜x＜0 B．x＜0 C．﹣3＜x＜2 D．x＞﹣3 【答案】A 【解析】函数图象如图所示，函数图象在第二象限时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0． 故选：A． 10.一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②k＞0；③当x＜4时，kx+b＞x+a，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】①∵y2＝x+a的图象与y轴的交点在负半轴上，∴a＜0，故①错误；②∵y1＝kx+b的图象从左向右呈下降趋势，∴k＜0，故②错误；③两函数图象的交点横坐标为4，当x＜4时，y1＝kx+b在y2＝x+a的图象的上方，即y1＞y2，故③正确；故选：B． （二）填空题 11、写出一个一次函数的解析式：________，使它经过点A（2，4）且y随x的增大而减小． 【答案】y=﹣x+6 【解析】设一次函数的解析式为y=kx+b（k＜0）， 将A（2，4）代入y=kx+b，4=2k+b， ∴b=4﹣2k．当k=﹣1时，b=4﹣2×（﹣1）=6．故答案为：y=﹣x+6． 12、已知函数y= x﹣1，如果函数值y＞2，那么相应的自变量x的取值范围是________． 【答案】x＞4 【解析】∵在函数y= x﹣1中，函数值y＞2，∴ x﹣1＞2，∴x＞4．故答案为x＞4． 13.已知一次函数y＝2x+m的图象是由一次函数y＝2x﹣3的图象沿y轴向上平移7个单位得到的，则m＝　　． 【答案】4 【解析】∵一次函数y＝2x﹣3的图象沿y轴向上平移7个单位得到y＝2x﹣3+7，即y＝2x+4， ∴m＝4，故答案为：4． 14.如图，已知一条直线经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），将这条直线向右平移与x轴、y轴分别交于点C、D，若AB＝AD，则直线CD的函数表达式为　 　． 【答案】y＝﹣2x+2． 【解析】设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵点A（﹣1，0）点B（0，﹣2）在直线AB上，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2，∵AB＝AD，AO⊥BD， ∴OD＝OB，∴D（0，2），∴直线CD的函数解析式为：y＝﹣2x+2，故答案为：y＝﹣2x+2． 15．在平面直角坐标系中，直线的图象分别交轴、轴于点A和点B．若点C的坐标为（，），且△AOC是等腰三角形，则＝_____． 【答案】±1 【解析】∵直线y＝2x＋2的图象交x轴于点A，y＝0时，0＝2x＋2，∴x＝-1，∴点A的坐标为（-1，0），∵点C的坐标为（-1，m），∴AC⊥x轴，∠CAO＝90°，OA＝1，①点C在点A上方时，OA＝AC＝1，∴点C的坐标为（-1，1），∴m＝1，②点C在点A下方时，0A＝AC＝1，∴点C的坐标为（-1，-1），∴m＝-1，综上，m＝1或-1，故答案为：±1． 16.若一次函数在范围内有最大值17，则k=_______． 【答案】3或－12_ 【解析】分两种情况：①当时，有最大值17， ②当时，有最大值17，分别代入解析式，求解即可．分两种情况讨论：①当时，有最大值17，则 解得②当时，有最大值17，则解得在范围内，y有最大值17，的值为-12或3故答案为：3或－12 17.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(-1,2),则k2-b2=　-6　　　.  【答案】-6 【解析】将点(1,3)和(-1,2)代入y=kx+b得解∴k2-b2=-=-6. 18.如图,一次函数y=x+6的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,过点B的直线l平分△ABO的面积,则直线l的函数表达式为____________. 【答案】y=x+6 【解析】∵一次函数y=x+6的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,∴令y=0,则x=-8,令x=0,则y=6,∴A(-8,0),B(0,6),∵过点B的直线l平分△ABO的面积,∴AC=OC,∴C(-4,0),设直线l的函数表达式为y=kx+6(k≠0),把C(-4,0)代入得-4k+6=0,解得k=,∴直线l的函数表达式为y=x+6, 19.如图,一次函数y=x-4的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B,过点A作直线l将△ABO分成周长相等的两部分,则直线l的函数表达式为____________. 【答案】y=x-3 【解析】设直线l与y轴交于点C,∵直线l把△ABO分成周长相等的两部分,∴AO+OC=AB+BC,当x=0时,y=-4,∴B(0,-4),∴OB=4,当y=0时,x-4=0,解x=3,∴A(3,0),∴OA=3, ∴AB==5,∵AO+OC=AB+BC,∴3+OC=5+4-OC,解得OC=3,∴C(0,-3),设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),把A(3,0),C(0,-3)代入得解得∴直线l的解析式为y=x-3. 20.如图，点P，Q是直线y＝﹣上的两点，P在Q的左侧，且满足OP＝OQ，OP⊥OQ，则点P的坐标是　 　． 【答案】（﹣，） 【解答】分别过点P、Q作x轴的垂线交于点M、N，∵OP⊥OQ，∴∠POM+∠QON＝90°，而∠QON+∠OQN＝90°，∴∠OQN＝∠MOP，OP＝OQ，∠PMO＝∠ONQ＝90°，∴△PMO≌△ONQ（AAS）， ∴PM＝ON，OM＝QN，设点P（m，﹣m+2），则点Q（﹣m+2，﹣m），将点Q的坐标代入y＝﹣得：﹣m＝﹣（﹣m+2）+2，解得：m＝﹣，故点P（﹣，）， 故答案为：（﹣，）． （三）解答题 21.已知一次函数的图象经过点（3，5）和（﹣4，﹣9）． （1）求此一次函数的表达式． （2）若点（a，2）在函数图象上，求a的值． 解：（1）设一次数解析式为y＝kx+b，把点（3，5），（﹣4，﹣9）分别代入解析式得 ，解得，∴一次函数解析式为y＝2x﹣1； （2）把A（a，﹣2）在该函数的图象上，可得：2a﹣1＝﹣2，解得：a＝﹣0.5． 22.已知，如图，一次函数的图象经过了点P（3，2）和B（0，﹣2），与x轴交于点A． （1）求一次函数的解析式； （2）点M在y轴上，且△ABM的面积为，求点M的坐标． 解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，把点P（3，2）和B（0，﹣2）代入y＝kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y＝x﹣2； （2）当y＝0时，x﹣2＝0，解得x＝，则A（，0），∵点M在y轴上，且△ABM的面积为，∴S△ABM＝BM•xA＝，即BM×＝，∴BM＝5，∵B（0，﹣2），∴M（0，3）或（0，﹣7）． 23.如图，直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线AB上一点，另一直线l2：y＝kx+4经过点P． （1）求点A、B坐标； （2）求点P坐标和k的值； （3）若点C是直线l2与x轴的交点，点Q是x轴上一点，当△CPQ的面积等于3时，求出点Q的坐标． 解：（1）y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2， 故点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，2）； （2）点P（m，3）为直线AB上一点，则﹣m+2＝3，解得：m＝﹣1，故点P（﹣1，3）；将点P的坐标代入y＝kx+4得：3＝﹣k+4，解得k＝1；故点P的坐标为（﹣1，3），k＝1； （3）∵直线y＝x+4与x轴的交点为C，∴C（﹣4，0），∵P（﹣1，3），△CPQ的面积等于3，∴CQ•yP＝3，即CQ×3＝3，∴CQ＝2，∴Q点的坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）． 24．如图，直线l：y＝x+m交x轴于点A，交y轴于点B（0，1），点P（n，2）在直线l上． （1）求m，n的值； （2）已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，求点M的坐标． 解：（1）∵直线l：y＝x+m交y轴于点B（0，1），∴1＝×0+m，解得：m＝1， ∴直线l的解析式为y＝x+1．当y＝0时，x+1＝0，解得：x＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣2，0）；当y＝2时，n+1＝2，解得：n＝2，∴点P的坐标为（2，2），即m＝1，n＝2； （2）分两种情况考虑：①当∠AMP＝90°时，PM⊥x轴，∴点M的坐标为（2，0）； ②当∠APM＝90°时，设点M的坐标为（a，0），∴AP2＝[2﹣（﹣2）]2+（2﹣0）2＝20，AM2＝[a﹣（﹣2）]2＝a2+4a+4，PM2＝（2﹣a）2+（2﹣0）2＝a2﹣4a+8，∵AP2+PM2＝AM2，∴20+a2﹣4a+8＝a2+4a+4，解得：a＝3，∴点M的坐标为（3，0）．综上所述，点M的坐标为（2，0）或（3，0）． 25.如图,平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(-8,19),B(6,5). (1)求AB所在直线的解析式. (2)某同学设计了一个动画: 在函数y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分别输入m和n的值,便得到射线CD,其中C(c,0).当c=2时,会从C处弹出一个光点P,并沿CD飞行;当c≠2时,只发出射线而无光点弹出. ①若有光点P弹出,试推算m,n应满足的数量关系; ②当有光点P弹出,并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时,线段AB就会发光,求此时整数m的个数. 解：(1)设AB所在直线的解析式为y=kx+t(k≠0),将A(-8,19),B(6,5)代入, 得解得∴AB所在直线的解析式为y=-x+11. (2)①若有光点P弹出,则c=2,∴C(2,0),把x=2,y=0代入y=mx+n,得2m+n=0.②设光点P击中线段AB上的点为(a,b),则b=-a+11,∴a=11-b(5≤b≤19),当b是整数时,a也是整数.∵点P在y=mx+n的图象上,2m+n=0,∴b=ma-2m,∴m===-1.只有当b=6,8,10,12,18时,m为整数,∴整数m的个数是5. 26．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝－2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B. (1)求点A的坐标． (2)求出三角形OAB的面积． (3)直线AB上是否存在一点C(不与点B重合)，使三角形AOC的面积等于三角形OAB的面积？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)当y＝0时，有－2x＋6＝0，解得x＝3.所以点A的坐标为(3，0)． (2)当x＝0时，y＝－2x＋6＝6，所以点B的坐标为(0，6)．所以S三角形OAB＝OA·OB＝×3×6＝9. (3)存在．设点C的坐标为(m，－2m＋6)，因为三角形AOC的面积等于三角形OAB的面积， 所以OA·|－2m＋6|＝9，即|－2m＋6|＝6，解得m1＝6，m2＝0(舍去)，所以点C的坐标为(6，－6)． 27.已知点A（8，0）及在第一象限的动点B（x，y），且x+y＝10，设△OBA的面积为S． （1）求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求S＝12时B点坐标； （3）在（2）的基础上，设点Q为y轴上一动点，当BQ+AQ的值最小时，求Q点坐标． 解：（1）∵x+y＝10∴y＝10﹣x，∴S＝8（10﹣x）÷2＝40﹣4x，∵40﹣4x＞0，∴x＜10， ∴0＜x＜10； （2）∵s＝12，∴12＝40﹣4x，x＝7∴y＝10﹣7＝3，∴S＝12时，B点坐标（7，3）； （3）画出函数S的图形如图所示．作出A的对称点A′，连接BA′，此时BA′与y轴交于点Q，此时BQ+AQ的值最小，∵A点坐标为（8，0），∴A′（﹣8，0），∴将（﹣8，0），（7，3）代入y＝kx+b，∴，解得：，∴y＝x+，∴x＝0时，y＝，当BQ+AQ的值最小时，Q点坐标为：（0，）． 六．课后作业 （一）完成知识清单 一、一次函数的定义与表达式 1.形如______（k、b为常数，且______）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 2.当一次函数中______时，函数解析式变为y=kx（k为常数，k≠0），此时该函数叫做______函数，它是一次函数的特殊形式。 3.一次函数y=kx+b中，k叫做______，刻画了直线的倾斜程度；b叫做______，是直线与y轴交点的纵坐标。 二、一次函数的图像特征 1.一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条______，直线上所有点的坐标都满足该函数表达式。 2.画一次函数图像最简便的方法是______，通常选取直线与两坐标轴的交点：与y轴的交点坐标为______，与x轴的交点坐标为______。 3.正比例函数y=kx（k≠0）的图像是经过______的一条直线，除原点外，还可选取点（1，______）辅助画图。 4.一次函数y=kx+b的图像可由正比例函数y=kx的图像沿y轴______（b>0时）或______（b<0时）平移______个单位长度得到。 5.直线y=2x+3可由直线y=2x向______平移3个单位得到；直线y= -x -4可由直线y= -x向______平移4个单位得到。 三、一次函数的性质（与k、b的关系） 1.一次函数y=kx+b的增减性由______决定：当k______时，y的值随x的值的增大而增大；当k______时，y的值随x的值的增大而减小。 2.一次函数y=kx+b的图像与y轴的交点位置由______决定：当b______时，交点在x轴上方；当b______时，交点在x轴下方；当b=0时，交点为原点。 3.当k>0且b>0时，一次函数y=kx+b的图像经过第______象限；当k>0且b<0时，图像经过第______象限。 4.当k<0且b>0时，一次函数y=kx+b的图像经过第______象限；当k<0且b<0时，图像经过第______象限。 5.正比例函数y=kx（k≠0）中，当k>0时，图像经过第______象限；当k<0时，图像经过第______象限。 6.正比例函数y=kx（k≠0）的图像关于______对称，若点（x₁，y₁）在其图像上，则点（，）也在该图像上。 7.已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y= -3x+2图像上的两点，若x1<x2，则y1______y2（填“>”“<”或“=”）。 四、一次函数的综合应用 1.已知一次函数y=(m-2)x+5，当m______时，y随x的增大而增大；当m______时，y随x的增大而减小。 2.若一次函数y=kx+3的图像与y轴的交点在x轴上方，则b=，该交点坐标为。 3.若一次函数y=(2k-1)x+(k+2)的图像经过原点，则k的值为______，此时函数解析式为______。 4.已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图像经过第一、二、四象限，则k的符号为______，b的符号为______。 5.若一次函数y=(3m-1)x+m+1的图像与y轴的交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，则m的取值范围是______。 6.某商店购进一批商品，总成本为1000元，若每件商品的售价为x元，销售量为y件，且y与x的函数关系为y= -10x+300，则该函数中k=，b=，y随x的增大而______。 【答案】 一、一次函数的定义与表达式 1.y=kx+b；k≠0 2.b=0；正比例 3.斜率；截距 二、一次函数的图像特征 1.直线 2.两点法；（0，b）；（-b/k，0） 3.原点（0，0）；k 4.向上；向下；|b| 5.上；下 三、一次函数的性质（与k、b的关系） 1.k；>0；<0 2.b；>0；<0 3.一、二、三；一、三、四 4.一、二、四；二、三、四 5.一、三；二、四 6.原点；-x₁；-y₁ 四、一次函数的综合应用 1.2；<2 2.3；（0，3） 3.-2；y= -5x 4.负（<0）；正（>0） 5.-1<m<1/3 6.-10；300；减小 （二）强化训练 一．选择题 1．在平面直角坐标系中，若点在一次函数(k为任意实数)，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵一次函数y=2x+1中，k=2＞0，∴y随x的增大而增大，∵A（3，y1），B（4，y2），且3＜4，∴y1＜y2.故答案为：C. 2．一次函数的图象是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】令y=0，则2x-4=0，得x=2，令x=0，则y=-4，∴一次函数的图象经过点（2，0），（0，-4）.故答案为：A. 3．若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵一次函数y=（m-1）x+m-2的图象不经过第二象限，∴，解得：1＜m≤2，故答案为：D. 4．已知是一次函数图象上的不同的两个点，若，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵是一次函数图象上的不同的两个点， ∴b=ka-2a-1，d=kc-2c-1，∴d-b=（c-a）（k-2），∴，∵， ∴k-2＜0，∴k＜2，故答案为：C 5．如图，在平面直角坐标系中，直线上一点关于轴的对称点为，则的值为（　　） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】∵点B（2，m），∴点B关于x轴的对称点A（2，-m），∵A在直线y=-x+1上， ∴-m=-2+1=-1，解得：m=1．故答案为：B. 6.一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列说法：①kb＞0；②若点A（﹣2，m）与B（3，n）都在直线y＝kx+b上，则m＞n；③当x＞0时，y＞b．其中正确的说法是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解析】①∵图象过第一，第二，第三象限，∴k＞0，b＞0，∴kb＞0正确，符合题意；②由①知，y随x增大而增大，∵﹣2＜3，故m＜n，故②错误，不符合题意；③当x＝0时，y＝kx+b＝b，∴当x＞0时，从图象看，y＞b正确，符合题意；故选：B． 7.如图，点A的坐标为（﹣1，0），直线y＝x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线y＝x﹣2上运动．当线段AB最短时，求点B的坐标（　　） A． B．（1，﹣1） C． D．（0，﹣2） 【答案】A 【解析】当线段AB最短时，AB⊥BC，∵直线BC为y＝x﹣2，∴设直线AB的解析式为：y＝﹣x+b，∵点A的坐标为（﹣1，0），∴0＝1+b，∴b＝﹣1，∴直线AB的解析式为 y＝﹣x﹣1解 ，得，∴B（，）．故选：A． 8.直线l：y＝（m﹣3）x+n﹣2（m，n为常数）图象如图，化简|m﹣3|﹣的结果为（　　） A．5﹣m﹣n B．5 C．﹣1 D．m+n﹣5 【答案】A 【解析】∵直线l：y＝（m﹣3）x﹣2+n（m，n为常数）的图象过第一、二、四象限，∴m﹣3＜0，n﹣2＞0，∴|m﹣3|﹣＝3﹣m﹣|n﹣2|＝3﹣m﹣（n﹣2）＝3﹣m﹣n+2＝5﹣m﹣n．故选：A． 9.如图，在平面直角坐标系中，点A（2m，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（　　） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】∵点A（2m，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点为点B，∴B（2m，﹣m），∵点B在直线y＝﹣x+1上，∴﹣m＝﹣2m+1，∴m＝1，故选：C． 10.函数y＝|x﹣1|的图象是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】∵函数y＝|x﹣1|＝，∴当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小；故选：B． 二．填空题 11.已知一次函数y＝（k﹣3）x+4，若y随x的增大而减小，则k的值可以是　 　（写出一个答案即可）． 【答案】2（答案不唯一）． 【解析】∵一次函数y＝（k﹣3）x+4，若y随x的增大而减小，∴k﹣3＜0，解得k＜3，∴k可以取2．故答案为：2（答案不唯一）． 12.一次函数y＝﹣x+b的图象过A（﹣2，y1），B（1，y2），则y1　　y2（填“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】＞． 【解析】∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A（﹣2，y1），B（1，y2），∴k＜0，∵﹣2＜1，∴y1＞y2，故答案为：＞． 13.在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，在x轴的负半轴上存在点P，使△ABP是等腰三角形，则点P的坐标为 　 　．21* 【答案】18． 【解析】因为直线y=x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，所以A（﹣8，0），B（0，6）， 所以；当AB＝PA＝10时，OP＝PA+OA＝8+10＝18， 14.甲，乙两名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：甲：函数的图象经过点（0，-2）；乙：y随x的增大而减小；根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个一次函数的表达式为______． 【答案】 【解析】设一次函数解析式为y＝kx＋b，∵函数的图象经过点(0,-2)，∴ ，∵y随x的增大而减小，∴k＜0，当取k=−1时，一次函数表达式为：，∴满足上述性质的一个函数表达式为：（答案不唯一）．故答案为：． 15.已知一次函数，当时，，则k的值为_______． 【答案】 【解析】当k＞0时，y随x的增大而增大，∴x＝−4，y＝3，∴−4k−11k＝3，解得：（不合题意，舍去），当k＜0时，y随x的增大而减小，∴x＝−4时，y＝9；x＝6时，y＝3，∴−4k−11k＝9，∴．故答案为：． 16.一次函数y＝（2a﹣3）x+a+2（a为常数）的图象，在﹣1≤x≤1的一段都在x轴上方，则a的取值范围是 　． 【答案】＜a＜5或＜a＜． 【解析】因为y＝（2a﹣3）x+a+2是一次函数，所以2a﹣3≠0，a≠，当2a﹣3＞0时，y随x的增大而增大，由x＝﹣1得：y＝﹣2a+3+a+2，根据函数的图象在x轴的上方，则有﹣2a+3+a+2＞0，解得：＜a＜5．当2a﹣3＜0时，y随x的增大而减小，由x＝1得：y＝2a﹣3+a+2，根据函数的图象在x轴的上方，则有：2a﹣3+a+2＞0，解得：＜a＜， 17.下列对于一次函数y=﹣3x＋6的说法，正确的有________（填写序号）． ①图象经过一、二、四象限；②图象与两坐标轴围成的面积是6； ③y随x的增大而增大；④当x＞2时，﹣3x＋6＞0； ⑤对于直线y=﹣3x＋6上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2． 【答案】①②⑤ 【解析】①∵﹣3＜0，6＞0，∴一次函数y=﹣3x＋6的图象在一、二、四象限，故①正确，符合题意；②当y=0时，0=﹣3x＋6，解得x=2，当x=0时，y=6，∴一次函数y＝﹣3x＋6的图象与x轴交于点（2，0），与y轴的交点为（0，6），∴图象与两坐标轴围成的面积是=6，故②正确，符合题意；③∵﹣3＜0，∴一次函数y=﹣3x＋6的图象y随x的增大而减小，故③错误，不符合题意；④当x＞2时，﹣3x＋6＜0，故④错误，不符合题意；⑤∵﹣3＜0，∴一次函数y=﹣3x＋6的图象y随x的增大而减小，∴对于直线y=﹣3x＋6上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2．故⑤正确，符合题意．故答案为：①②⑤． 18.如图平面直角坐标系中放着5个边长均为1的小正方形，经过原点O的直线恰好将5个正方形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为_____． 【答案】y＝x.． 【解析】直线l和5个正方形的最上面交点为A，过点A作AB⊥y轴于点B，过点A作AC⊥x轴于点C.因为正方形的边长为1，所以OB＝2.因为经过原点的一条直线l将5个正方形分成面积相等的两部分，所以两部分的面积分别是2.5.所以三角形ABO的面积是3.5.所以OB·AB＝3.5.所以AB＝3.5.所以OC＝3.5.所以点A的坐标为(3.5，2)．设直线l的函数表达式为y＝kx，因为点A(3.5，2)在直线l上，所以2＝3.5k.解得k＝.所以直线l的函数表达式为y＝x. 19.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段AB上，PC⊥x轴于点C，则△PCO周长的最小值为　 　． 【答案】3+3． 【解析】设点P（m，m+3），则PC＝m+3，OC＝﹣m，△PCO周长＝OP+OC+PC＝OP+m+3﹣m+OP＝3+PO，即△PCO周长取得最小值时，只需要OP最小即可，故点O作OD⊥AP，当点D、P重合时，OP（OD）最小，△AOB为等腰直角三角形，则BOD也为等腰三角形，设：OD＝a，则DO＝BD＝a，由勾股定理得：2a2＝（3）2，解得：a＝3＝OD＝OP，故△PCO周长的最小值＝3+PO＝3+3，故答案为：3+3． 20.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，5）．将△BOA绕点A顺时针方向旋转得△B′O′A，若点B在B′O′的延长线上，则直线BB′的解析式为　 ．　． 【答案】y＝﹣x+5． 【解析】连接OO′交AB于M，∵△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△B′O′A，∴△BOA≌△B′O′A，∴AB＝AB′，OA＝AO′，∵点B在B′O′的延长线上，AO′⊥BC，∴BO′＝B′O′＝OB，∵OA＝AO′，BO＝B′O′＝BO′，∴OO′⊥AB，设直线AB解析式为y＝kx+b， 把A与B坐标代入得：，解得：，∴直线AB解析式为y＝﹣x+5，∴直线OO′解析式为y＝x，联立得：，解得：，即M（，）， ∵M为线段OO′的中点，∴O′（，），设直线B′O′解析式为y＝mx+n，把B与O′坐标代入得：，解得：m＝﹣，n＝4，则直线CD解析式为y＝﹣x+5． 故答案为：y＝﹣x+5． 三．解答题 21.已知一次函数y＝ax﹣（a﹣2）． （1）若图象经过点（0，3），则a的值是多少？． （2）若图象经过第一、二、四象限，则a的取值范围是多少？ （3）若直线不经过第四象限，则a的取值范围是多少？ 解：（1）∵一次函数y＝ax﹣（a﹣2）的图象过点（0，3），∴3＝﹣（a﹣2），解得a＝﹣1； （2）∵一次函数y＝ax﹣（a﹣2）的图象经过一、二、四象限，∴， 解得a＜0，即a的取值范围是a＜0； （3）∵一次函数y＝ax﹣（a﹣2）的图象不经过第四象限，∴， 解得0＜a≤2，即a的取值范围是0＜a≤2． 22.一次函数y＝ax﹣a+1（a为常数，且a＜0）． （1）若点（2，﹣3）在一次函数y＝ax﹣a+1的图象上，求a的值； （2）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值2，求a的值． 解：（1）把（2，﹣3）代入y＝ax﹣a+1得2a﹣a+1＝﹣3，解得a＝﹣4； （2）∵a＜0时，y随x的增大而减小， 则当x＝﹣1时，y有最大值2，把x＝﹣1代入函数关系式得 2＝﹣a﹣a+1，解得a＝﹣， 所以a＝﹣． 23.在平面直角坐标系xOy中已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(1，－1)，(－2，5). (1)求一次函数的解析式； (2)该一次函数图象与y轴交于点A，若点P为该一次函数图象上的一点，满足△OAP的面积为1，请直接写出点P的坐标． 解：(1)将点(1，－1)，(－2，5)代入y＝kx＋b，得，解得， ∴一次函数的解析式为y＝－2x＋1； (2)P(2，－3)或P(－2，5). 24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A(－2，0)与B(0，4)，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线l上． (1)求直线l的函数解析式； (2)求▱OCDE的面积． 解：(1)设直线l的函数解析式为y＝kx＋b，∴，解得， ∴直线l的函数解析式为y＝2x＋4； (2)∵点B(0，4)，点D为OB的中点，∴点D(0，2)，∵四边形OCDE是平行四边形， ∴DE∥x轴，DE＝OC，∴点E的纵坐标为2，当y＝2时，2＝2x＋4，解得x＝－1， ∴点E(－1，2)，∴DE＝OC＝1，∴▱OCDE的面积为1×2＝2. 25.若有两个一次函数y＝k1x＋b1(k1≠0)，y＝k2x＋b2(k2≠0)，则称函数y＝(k1＋k2)x＋b1b2为这两个函数的“和谐函数”． (1)求一次函数y＝2x＋3与y＝－4x＋4的“和谐函数”的表达式；若此“和谐函数”的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求三角形ABO的面积． (2)若一次函数y＝－ax＋1与y＝x－2b的“和谐函数”为y＝4x＋3，则a＝________，b＝________． (3)已知一次函数y＝x＋b与y＝－kx＋5的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限，则常数k，b满足的条件为k________且b________． 解： (1)一次函数y＝2x＋3与y＝－4x＋4的“和谐函数”是y＝(2－4)x＋3×4，即y＝－2x＋12.当x＝0时，y＝12，所以B(0，12)；当y＝0时，－2x＋12＝0，解得x＝6，所以A(6，0)．所以S三角形ABO＝×6×12＝36. (2)根据题意，得 解得 故答案是－3，－. (3)根据题意，得 解得 故答案是＞1，＞0. 26.如图，已知一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B． （1）求m的值与点B的坐标； （2）点P（﹣3，m）是平面直角坐标系内一动点，若△ABP面积为12，求P的坐标． （3）若点P在x轴上，且△ABP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 解：（1）把点A（﹣6，0）代入y=x+m，得m＝8，∴点B坐标为（0，8）． （2）存在，设点C坐标为（0，b），∴BC＝|8﹣b|，∴×6×|8﹣b|＝12，解得b＝4或12，∴点C坐标（0，12）或（0，4）． （3）如图1中①当AB＝AP时，AP＝AB10，可得P1（﹣16，0），P2（4，0）．②当BA＝BP时，OA＝OP，可得P3（6，0）．③当PA＝PB时，∵线段AB的垂直平分线为y=x＋，可得P4（，0），综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣16，0）或（4，0）或（6，0）或（，0）． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学 《第五章一次函数第三节一次函数的图像与性质（第二课时）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.掌握一次函数y=kx+b（k、b为常数，k ≠ 0 ）的图像形状，能熟练选取两个恰当点画出一次函数图像。 2.理解k和b的取值对一次函数图像位置、增减性的影响，能根据k 、b判断函数图像经过的象限。 3.掌握两条一次函数直线的位置关系（平行、相交、重合）与系数k 、b 的关联，能运用性质解决简单问题。 4.体会数形结合思想，提升从函数图像中获取信息、解决实际问题的能力。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.一次函数y=kx+b 的图像画法及k 、b对函数图像和性质的影响。 2.两条一次函数直线位置关系与系数的对应关系。 （二）难点 1.理解k 、 b的取值与一次函数图像经过象限的内在联系。 2.运用一次函数图像与性质解决含参数、位置关系等综合问题。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1.一次函数y= kx + b （k ≠ 0）的图像是一条__________，画该图像时只需确定__________个关键点即可。 2.正比例函数y=kx（k ≠ 0）是特殊的一次函数，其图像经过原点，一次函数y= kx + b的图像可由y=kx的图像沿y轴__________平移__________个单位长度得到（b> 0向上，b<0 向下）。 3.当k>0时，一次函 数 y= kx+b中 y 随x的增大而__________；当k<0时 ， y随x的增大而__________。 4.若一次函数y=2x+b的图像经过y轴上的点(0, 3) ，b = __________，该函数图像经过第__________象限。 5.两条一次函数直线l 1 : y = k 1 x+b 1 和l 2 :y=k 2 x+b 2， 当k 1 =k 2， b 1 ≠ b 2 时，l 1 与 l 2 ______ ；当k 1 ≠ k 2 时，l 1 与l 2____________ 。 ) 四．课堂探秘 探究一：一次函数的图像画法 【忆一忆】作函数图象的步骤 ( 列表 ) ( 描点 ) ( 连线 ) 1.一次函数的图象画法 例1.画出一次函数y=－2x+1的图象. 2.一次函数y=kx＋b的图象是一条直线,因此画一次函数图象时,只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了.优先选取与坐标轴的交点（x=0或y =0），当交点坐标为分数时，可选取横坐标为整数的点（如x=1、x=-1 ）简化操作。 3.一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b. 探究二： k 、 b 对一次函数图像的影响 例2.在同一坐标系中用两点法画出函数y=x+1，y=-x+1，y=2x-1，y=-2x-1的图象 讨论：观察画出的这几个一次函数的图象，小组互相讨论填下表，并说说你得到的规律. 经过的象限 k的值 b的值 直线从左往右的变化 y=x+1 y=-x+1 y=2x-1 y=-2x-1 【归纳】一次函数y=kx+b的图象与k、b的符号关系如下表： k、b的符号 草图 k的影响 b的影响 k＞0，b＞0 ( y x O ) ( y x O ) 当k＞0时， y随着x的增大而增大， 直线为上坡 当b＞0时， 直线与y轴交点在y轴正半轴上； 当b＜0时， 直线与y轴交点在y轴负半轴上． k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 ( y x O ) 当k＜0时， y随x的增大而减小， 直线为下坡 k＜0，b＜0 ( x O y ) 【结论】： k 决定一次函数图像的“升降”（增减性）， b 决定图像与 y 轴的交点位置，两者共同确定图像经过的象限。 探究三：两条一次函数直线的位置关系 例3.在同一个直角坐标系上画出下列函数的图像： （1）y=-2x； （2）y=-2x+2. 一次函数y=kx+b(k≠0)的图像可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）. 【归纳】 两条一次函数直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2， 当k1 = k2 且b1≠b2 时，l1与l2平行； 当k1 ≠ k2 时， l1与l2相交。 当k1 = k2 且b1=b2 时，l1与l2重合 五．课堂检测 （一）选择题 1．一次函数不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．直线经过一、三、四象限，那么点在第几象限．（　　） A．四 B．三 C．二 D．一 3．已知函数的图象如图所示，函数的图象大致是（　　） A． B．C． D． 4．下列有关一次函数y=-3x+2的说法中，错误的是(　　) A．y的值随着x值的增大而减小 B．函数图象与y轴的交点坐标为(0，2) C．当x>0时，y>2 D．函数图象经过第一、二、四象限 5．在平面直角坐标系中，若将一次函数y=2x+m-1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为 (　　) A．-5　　　　B．5　　　C．-6　　　　D．6 6.若一次函数y＝kx+b的图象经过点（4，2）、（2，﹣2），则该一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 7.已知（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣x+2上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（　　） A．y1＞y3＞y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y3 8.若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣ B．m＜3 C．﹣＜m＜3 D．﹣＜m≤3 9.一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣3，0），B（0，2），当函数图象在第二象限时，自变量x的取值范围是（　　） A．﹣3＜x＜0 B．x＜0 C．﹣3＜x＜2 D．x＞﹣3 10.一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②k＞0；③当x＜4时，kx+b＞x+a，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 （二）填空题 11、写出一个一次函数的解析式：________，使它经过点A（2，4）且y随x的增大而减小． 12、已知函数y= x﹣1，如果函数值y＞2，那么相应的自变量x的取值范围是________． 13.已知一次函数y＝2x+m的图象是由一次函数y＝2x﹣3的图象沿y轴向上平移7个单位得到的，则m＝　　． 14.如图，已知一条直线经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），将这条直线向右平移与x轴、y轴分别交于点C、D，若AB＝AD，则直线CD的函数表达式为　 　． 15．在平面直角坐标系中，直线的图象分别交轴、轴于点A和点B．若点C的坐标为（，），且△AOC是等腰三角形，则＝_____． 16.若一次函数在范围内有最大值17，则k=_______． 17.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(-1,2),则k2-b2=　　　　.  18.如图,一次函数y=x+6的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,过点B的直线l平分△ABO的面积,则直线l的函数表达式为____________. 19.如图,一次函数y=x-4的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B,过点A作直线l将△ABO分成周长相等的两部分,则直线l的函数表达式为____________. 20.如图，点P，Q是直线y＝﹣上的两点，P在Q的左侧，且满足OP＝OQ，OP⊥OQ，则点P的坐标是　 　． （三）解答题 21.已知一次函数的图象经过点（3，5）和（﹣4，﹣9）． （1）求此一次函数的表达式． （2）若点（a，2）在函数图象上，求a的值． 22.已知，如图，一次函数的图象经过了点P（3，2）和B（0，﹣2），与x轴交于点A． （1）求一次函数的解析式； （2）点M在y轴上，且△ABM的面积为，求点M的坐标． 23.如图，直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线AB上一点，另一直线l2：y＝kx+4经过点P． （1）求点A、B坐标； （2）求点P坐标和k的值； （3）若点C是直线l2与x轴的交点，点Q是x轴上一点，当△CPQ的面积等于3时，求出点Q的坐标． 24．如图，直线l：y＝x+m交x轴于点A，交y轴于点B（0，1），点P（n，2）在直线l上． （1）求m，n的值； （2）已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，求点M的坐标． 25.如图,平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(-8,19),B(6,5). (1)求AB所在直线的解析式. (2)某同学设计了一个动画: 在函数y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分别输入m和n的值,便得到射线CD,其中C(c,0).当c=2时,会从C处弹出一个光点P,并沿CD飞行;当c≠2时,只发出射线而无光点弹出. ①若有光点P弹出,试推算m,n应满足的数量关系; ②当有光点P弹出,并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时,线段AB就会发光,求此时整数m的个数. 26．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝－2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B. (1)求点A的坐标． (2)求出三角形OAB的面积． (3)直线AB上是否存在一点C(不与点B重合)，使三角形AOC的面积等于三角形OAB的面积？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 27.已知点A（8，0）及在第一象限的动点B（x，y），且x+y＝10，设△OBA的面积为S． （1）求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求S＝12时B点坐标； （3）在（2）的基础上，设点Q为y轴上一动点，当BQ+AQ的值最小时，求Q点坐标． 六．课后作业 （一）完成知识清单 一、一次函数的定义与表达式 1.形如______（k、b为常数，且______）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 2.当一次函数中______时，函数解析式变为y=kx（k为常数，k≠0），此时该函数叫做______函数，它是一次函数的特殊形式。 3.一次函数y=kx+b中，k叫做______，刻画了直线的倾斜程度；b叫做______，是直线与y轴交点的纵坐标。 二、一次函数的图像特征 1.一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条______，直线上所有点的坐标都满足该函数表达式。 2.画一次函数图像最简便的方法是______，通常选取直线与两坐标轴的交点：与y轴的交点坐标为______，与x轴的交点坐标为______。 3.正比例函数y=kx（k≠0）的图像是经过______的一条直线，除原点外，还可选取点（1，______）辅助画图。 4.一次函数y=kx+b的图像可由正比例函数y=kx的图像沿y轴______（b>0时）或______（b<0时）平移______个单位长度得到。 5.直线y=2x+3可由直线y=2x向______平移3个单位得到；直线y= -x -4可由直线y= -x向______平移4个单位得到。 三、一次函数的性质（与k、b的关系） 1.一次函数y=kx+b的增减性由______决定：当k______时，y的值随x的值的增大而增大；当k______时，y的值随x的值的增大而减小。 2.一次函数y=kx+b的图像与y轴的交点位置由______决定：当b______时，交点在x轴上方；当b______时，交点在x轴下方；当b=0时，交点为原点。 3.当k>0且b>0时，一次函数y=kx+b的图像经过第______象限；当k>0且b<0时，图像经过第______象限。 4.当k<0且b>0时，一次函数y=kx+b的图像经过第______象限；当k<0且b<0时，图像经过第______象限。 5.正比例函数y=kx（k≠0）中，当k>0时，图像经过第______象限；当k<0时，图像经过第______象限。 6.正比例函数y=kx（k≠0）的图像关于______对称，若点（x₁，y₁）在其图像上，则点（，）也在该图像上。 7.已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y= -3x+2图像上的两点，若x1<x2，则y1______y2（填“>”“<”或“=”）。 四、一次函数的综合应用 1.已知一次函数y=(m-2)x+5，当m______时，y随x的增大而增大；当m______时，y随x的增大而减小。 2.若一次函数y=kx+3的图像与y轴的交点在x轴上方，则b=，该交点坐标为。 3.若一次函数y=(2k-1)x+(k+2)的图像经过原点，则k的值为______，此时函数解析式为______。 4.已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图像经过第一、二、四象限，则k的符号为______，b的符号为______。 5.若一次函数y=(3m-1)x+m+1的图像与y轴的交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，则m的取值范围是______。 6.某商店购进一批商品，总成本为1000元，若每件商品的售价为x元，销售量为y件，且y与x的函数关系为y= -10x+300，则该函数中k=，b=，y随x的增大而______。 （二）强化训练 一．选择题 1．在平面直角坐标系中，若点在一次函数(k为任意实数)，则（　　） A． B． C． D． 2．一次函数的图象是（　　） A．B．C．D． 3．若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知是一次函数图象上的不同的两个点，若，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线上一点关于轴的对称点为，则的值为（　　） A． B．1 C．2 D．3 6.一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列说法：①kb＞0；②若点A（﹣2，m）与B（3，n）都在直线y＝kx+b上，则m＞n；③当x＞0时，y＞b．其中正确的说法是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7.如图，点A的坐标为（﹣1，0），直线y＝x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线y＝x﹣2上运动．当线段AB最短时，求点B的坐标（　　） A． B．（1，﹣1） C． D．（0，﹣2） 8.直线l：y＝（m﹣3）x+n﹣2（m，n为常数）图象如图，化简|m﹣3|﹣的结果为（　　） A．5﹣m﹣n B．5 C．﹣1 D．m+n﹣5 9.如图，在平面直角坐标系中，点A（2m，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（　　） A．4 B．2 C．1 D．0 10.函数y＝|x﹣1|的图象是（　　） A．B．C．D． 二．填空题 11.已知一次函数y＝（k﹣3）x+4，若y随x的增大而减小，则k的值可以是　 　（写出一个答案即可）． 12.一次函数y＝﹣x+b的图象过A（﹣2，y1），B（1，y2），则y1　　y2（填“＞”或“＜”或“＝”）． 13.在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，在x轴的负半轴上存在点P，使△ABP是等腰三角形，则点P的坐标为 　 　．21* 14.甲，乙两名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：甲：函数的图象经过点（0，-2）；乙：y随x的增大而减小；根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个一次函数的表达式为______． 15.已知一次函数，当时，，则k的值为_______． 16.一次函数y＝（2a﹣3）x+a+2（a为常数）的图象，在﹣1≤x≤1的一段都在x轴上方，则a的取值范围是 　． 17.下列对于一次函数y=﹣3x＋6的说法，正确的有________（填写序号）． ①图象经过一、二、四象限；②图象与两坐标轴围成的面积是6； ③y随x的增大而增大；④当x＞2时，﹣3x＋6＞0； ⑤对于直线y=﹣3x＋6上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2． 18.如图平面直角坐标系中放着5个边长均为1的小正方形，经过原点O的直线恰好将5个正方形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为_____． 19.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段AB上，PC⊥x轴于点C，则△PCO周长的最小值为　 　． 20.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，5）．将△BOA绕点A顺时针方向旋转得△B′O′A，若点B在B′O′的延长线上，则直线BB′的解析式为　 ．　． 三．解答题 21.已知一次函数y＝ax﹣（a﹣2）． （1）若图象经过点（0，3），则a的值是多少？． （2）若图象经过第一、二、四象限，则a的取值范围是多少？ （3）若直线不经过第四象限，则a的取值范围是多少？ 22.一次函数y＝ax﹣a+1（a为常数，且a＜0）． （1）若点（2，﹣3）在一次函数y＝ax﹣a+1的图象上，求a的值； （2）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值2，求a的值． 23.在平面直角坐标系xOy中已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(1，－1)，(－2，5). (1)求一次函数的解析式； (2)该一次函数图象与y轴交于点A，若点P为该一次函数图象上的一点，满足△OAP的面积为1，请直接写出点P的坐标． 24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A(－2，0)与B(0，4)，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线l上． (1)求直线l的函数解析式； (2)求▱OCDE的面积． 25.若有两个一次函数y＝k1x＋b1(k1≠0)，y＝k2x＋b2(k2≠0)，则称函数y＝(k1＋k2)x＋b1b2为这两个函数的“和谐函数”． (1)求一次函数y＝2x＋3与y＝－4x＋4的“和谐函数”的表达式；若此“和谐函数”的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求三角形ABO的面积． (2)若一次函数y＝－ax＋1与y＝x－2b的“和谐函数”为y＝4x＋3，则a＝________，b＝________． (3)已知一次函数y＝x＋b与y＝－kx＋5的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限，则常数k，b满足的条件为k________且b________． 26.如图，已知一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B． （1）求m的值与点B的坐标； （2）点P（﹣3，m）是平面直角坐标系内一动点，若△ABP面积为12，求P的坐标． （3）若点P在x轴上，且△ABP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $