1.5 等腰三角形(4)---直角三角形的性质 教学设计 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦直角三角形斜边上的中线性质定理，通过折纸操作引导学生观察折痕线段CD，衔接等腰三角形知识，为几何证明与应用构建学习支架。 以操作探究培养几何直观与创新意识，逻辑推理过程发展推理能力，分层练习如木棍滑动中点距离不变问题提升应用意识，助力学生发展推理能力，为教师提供完整教学链条，提升课堂效率。

1.5 等腰三角形(4)---直角三角形的性质 【教学目标】 1.经历操作、观察、猜想、证明的完整过程，探索直角三角形的性质定理，发展合情推理与演绎推理能力 2.掌握直角三角形的性质定理的证明及应用，发展有条理的思考与表达能力. 【教学重点】理解直角三角形的性质定理， 【教学难点】证明直角三角形的性质定理 【教学过程】 一、情境创设 展教材中的“活动" (1)操作 任何一个直角三角形纸片都可以折成一个长方形;两条折痕所在的直线分别是两条直角边的垂直平分线， (2)观察 观察所得线段CD，你有什么发现？ 二、新知探究 1.猜想 线段BC与AB之间存在一个什么等量关系？ 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作BC的中垂线DE，垂足为E，DE与AB交于点D ∵DE垂直平分BC， ∴DB=DC， ∴∠DBC=∠DCB， 又∵∠DBC+∠A=90°，∠DCB+∠ACD=90° ∴∠DCB=∠A ∴DA=DC ∴DA=DB=DC 即CD是斜边AB上的中线，且CD=AB=BD=AD 2.归纳 于是，我们得到直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 尝试练习2：(书本第49页第1题)1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， DE⊥BC，垂足为E. (1)如果CD=2.4，那么AB= . (2)图中相等的线段有： ； 相等的角有: . 2．（2026春•英山县期末）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　） A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断 三、例题讲解 例1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点，∠B=25°，求∠ACD的度数. 尝试练习2： 1．（2025秋•永年区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， D是边BC上一点，P是AD的中点．若AC的垂直平分线经过点D， DC＝8cm，则BP为　 　 ． 2.(书本第49页第2题)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，D是AC的中点. 求证：△ABD是等边三角形. 例2．如图，在△ABC中，CE⊥BA的延长线于E，BF⊥CA的延长线于F，M为BC的中点，分别连接ME、MF、EF． （1）若EF＝3，BC＝8，求△EFM的周长； （2）若∠ABC＝28°，∠ACB＝48°，求∠EMF的度数． 变式1：（2025秋•江都区月考）如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是边AB，AC上的高，M、N分别是线段BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）连接DM，ME，若∠A＝50°，求∠DME． 变式2： （2025秋•宿城区校级月考）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点． （1）求证：△BED是等腰三角形； （2）当∠BCD=150°时，△BED是等边三角形； （3）当∠ADE+∠ABE=45°时，若BD=8，取BD中点F，求EF的长． 四、思考： 我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 思考：上述定理的逆命题成立吗？若成立，请写出其逆命题，并证明；若不成立，试说明理由． (1)逆命题是：　 　 ； (2)已知：　 　 ；求证：　 　 ． 证明： 五、小结思考 本节课展开了直角三角形性质定理的操作、观察、猜想、证明的全过程，使我们再一次感受到操作、观察、猜想能帮助我们发现和创新，证明能帮助我们确认猜想的正确性 六、当堂练习 1．（2026春•安陆市期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3km，则M，C两点间的距离是（　　） A．0.5km B．1km C．1.5km D．2km 2．（2026春•通州区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点F，点E是AC中点，∠EBF＝19°，则∠BAD的度数是（　　） A．69° B．71° C．73° D．75° 3．（2026春•天台县期末）如图，在△ABC中，E是AC的中点，AD⊥BC于点D，连结BE．若AE＝BD，∠DAC＝20°，则∠EBC＝　 　 °． 4．（2025秋•南京校级月考）如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于点F，点M为BC边的中点． （1）求证：MF＝ME； （2）若∠A＝70°，求∠FME的度数． 5．（2025秋•浦东新区校级期末）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 1.5 等腰三角形(4)---直角三角形的性质 【教学目标】 1.经历操作、观察、猜想、证明的完整过程，探索直角三角形的性质定理，发展合情推理与演绎推理能力 2.掌握直角三角形的性质定理的证明及应用，发展有条理的思考与表达能力. 【教学重点】理解直角三角形的性质定理， 【教学难点】证明直角三角形的性质定理 【教学过程】 一、情境创设 展教材中的“活动" (1)操作 任何一个直角三角形纸片都可以折成一个长方形;两条折痕所在的直线分别是两条直角边的垂直平分线， (2)观察 观察所得线段CD，你有什么发现？ 二、新知探究 1.猜想 线段BC与AB之间存在一个什么等量关系？ 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作BC的中垂线DE，垂足为E，DE与AB交于点D ∵DE垂直平分BC， ∴DB=DC， ∴∠DBC=∠DCB， 又∵∠DBC+∠A=90°，∠DCB+∠ACD=90° ∴∠DCB=∠A v ∴DA=DC ∴DA=DB=DC 即CD是斜边AB上的中线，且CD=AB=BD=AD 2.归纳 于是，我们得到直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 尝试练习2：(书本第49页第1题)1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， DE⊥BC，垂足为E. (1)如果CD=2.4，那么AB= 4.8 . (2)图中相等的线段有： DA=DB=DC ； 相等的角有: ∠B=∠DCB, ∠BDE=∠CDE=∠A=∠DCA, ∠DEB=∠EDC=∠ACB . 2．（2026春•英山县期末）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　B　） A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断 三、例题讲解 例1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点，∠B=25°，求∠ACD的度数. 解：（1）∵D为AB的中点，∠ACB＝90° ∴CDAB＝AD=DB(直角三角形的性质定理 )， ∴∠DCB＝∠B＝25°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠ACB-∠DCB＝65°. 尝试练习2： 1．（2025秋•永年区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， D是边BC上一点，P是AD的中点．若AC的垂直平分线经过点D， DC＝8cm，则BP为　4cm　 ． 2.(书本第49页第2题)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，D是AC的中点. 求证：△ABD是等边三角形. 证明：∵∠ABC＝90°，D是AC的中点， ∴BD＝CD＝ADAC， ∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形． 例 2．如图，在△ABC中，CE⊥BA的延长线于E，BF⊥CA的延长线于F，M为BC的中点，分别连接ME、MF、EF． （1）若EF＝3，BC＝8，求△EFM的周长； （2）若∠ABC＝28°，∠ACB＝48°，求∠EMF的度数． 解：（1）∵CE⊥BA，BF⊥CA， ∴∠BFC＝∠BEC＝90°， ∵M为BC的中点，BC＝8， ∴FMBC＝4，EMBC＝4， ∵EF＝3， ∴△EFM的周长＝EF+FM+EM＝3+4+4＝11， ∴△EFM的周长为11； （2）∵∠BEC＝90°，M为BC的中点， ∴BM＝EMBC， ∴∠ABC＝∠BEM＝28°， ∴∠EMC＝∠ABC+∠BEM＝56°， ∵∠BFC＝90°，M为BC的中点， ∴FM＝CMBC， ∴∠ACB＝∠CFM＝48°， ∴∠BMF＝∠ACB+∠CFM＝96°， ∴∠∠EMF＝180°﹣∠EMC﹣∠BMF＝28°， ∴∠EMF的度数为28°． 变式1：（2025秋•江都区月考）如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是边AB，AC上的高，M、N分别是线段BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）连接DM，ME，若∠A＝50°，求∠DME． （1）证明：连接DM、ME， ∵在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是边AB，AC上的高， ∴CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°， ∵M是线段BC的中点， ∴DMBC，MEBC， ∴DM＝ME， ∵N是线段DE的中点， ∴MN⊥DE． （2）解：∵∠BDC＝∠BEC＝90°，M是线段BC的中点， ∴DM＝BMBC，ME＝MCBC， ∴∠MDB＝∠ABC，∠MEC＝∠ACB， ∴∠BMD＝180°﹣∠MDB﹣∠ABC＝180°﹣2∠ABC，∠CME＝180°﹣∠MEC﹣∠ACB＝180°﹣2∠ACB， ∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°， ∴∠DME＝180°﹣∠BMD﹣∠CME＝180°﹣（180°﹣2∠ABC）﹣（180°﹣2∠ACB）＝2（∠ABC+∠ACB）﹣180°＝80°， ∴∠DME的度数是80°． 变式2： （2025秋•宿城区校级月考）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点． （1）求证：△BED是等腰三角形； （2）当∠BCD=150°时，△BED是等边三角形； （3）当∠ADE+∠ABE=45°时，若BD=8，取BD中点F，求EF的长． （1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴，， ∴BE＝DE， ∴△BED是等腰三角形； （2）解：当∠BCD＝150°时，△BED是等边三角形， ∵∠BCD＝150°，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴∠DAB＝360°﹣90°﹣90°﹣150＝30° ∴∠DAE+∠EAB＝∠DAB＝30°， ∵AE＝ED， ∴∠DAE＝∠EDA， ∵AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA， ∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC， ∠EAB+∠EBA＝∠BEC， ∴∠DEB＝2∠DAB＝60°， ∵ED＝EB， ∴△BED是等边三角形， 故答案为：150； （3）解：如图： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2+∠4＝45°， ∴∠1+∠3＝45°， 由上可知∠DEB＝2（∠1+∠3）＝90°， ∴． 四、思考： 我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 思考：上述定理的逆命题成立吗？若成立，请写出其逆命题，并证明；若不成立，试说明理由． （1）逆命题是：　如果三角形的一边中线等于该边长的一半，那么三角形为直角三角形．　 ； （2）已知：　在△ABC中，D是AB中点，CDAB ； 求证：　△ABC是直角三角形（∠ACB＝90°）　 ． 证明：∵D是AB中点， ∴BD＝ADAB， ∵CDAB， ∴BD＝AD＝CD， ∴∠DCB＝∠B，∠DCA＝∠A， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∵∠ACB＝∠DCB+∠DCA， ∴∠A+∠B+∠DCB+∠DCA＝180°， ∴2（∠DCB+∠DCA）＝180°，即∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 五、小结思考 本节课展开了直角三角形性质定理的操作、观察、猜想、证明的全过程，使我们再一次感受到操作、观察、猜想能帮助我们发现和创新，证明能帮助我们确认猜想的正确性 六、当堂练习 1．（2026春•安陆市期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3km，则M，C两点间的距离是（　C　） A．0.5km B．1km C．1.5km D．2km 2．（2026春•通州区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点F，点E是AC中点，∠EBF＝19°，则∠BAD的度数是（　B　） A．69° B．71° C．73° D．75° 3．（2026春•天台县期末）如图，在△ABC中，E是AC的中点，AD⊥BC于点D，连结BE．若AE＝BD，∠DAC＝20°，则∠EBC＝　35 　 °． 4（2025秋•南京校级月考）如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于点F，点M为BC边的中点． （1）求证：MF＝ME； （2）若∠A＝70°，求∠FME的度数． （1）证明：∵CF⊥AB于点F，BE⊥AC于E， ∴∠BFC＝∠BEC＝90°， ∴△BFC和△BEC都是直角三角形， ∵M为BC的中点， ∴MF是Rt△BFC的斜边BC上的中线，ME是Rt△BEC斜边BC上的中线， ∴MF＝MB＝MCBC，ME＝MB＝MCBC， ∴MF＝ME； （2）解：在△ABC中，∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°， ∵MF＝MB，ME＝MC， ∴∠ABC＝∠MFB，∠ACB＝∠MEC， 在△MBF中，∠BMF＝180°﹣（∠ABC+∠MFB）＝180°﹣2∠ABC， 在△MCE中，∠EMC＝180°﹣（∠ACB+∠MEC）＝180°﹣2∠ACB， ∴∠BMF+∠EMC＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝140°， ∴∠FME＝180°﹣（∠BMF+∠CME）＝40°． 5．（2025秋•浦东新区校级期末）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． （1）证明：连接BE、DE， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点， ∴， ∵F是BD的中点， ∴EF⊥BD； （2）解：由（1）可知，， ∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA， ∴2∠EAB＝∠CEB，2∠EAD＝∠CED， ∵∠BAD＝30°， ∴∠BED＝60°， ∵BE＝DE， ∴△BED是等边三角形， ∴BD＝BE＝4． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $