1.5等腰三角形(3)—等边三角形教学设计2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦等边三角形的性质定理、判定定理及直角三角形中30°角性质，通过复习等腰三角形定义、性质与判定导入，从一般到特殊构建知识支架，引导学生探索特殊三角形的特性。 以“操作—观察—猜想—证明”为主线，通过探索活动发展合情与演绎推理能力，例题变式与综合练习强化应用，契合数学思维与推理能力培养，助力学生构建知识体系，提升教师教学效率。

1.5 等腰三角形(3)---等边三角形 【教学目标】 1. 从一般到特殊、探索等边三角形的性质定理及判定定理，感悟特殊与一般的思想，发展推理能力. 2. 通过操作、观察、证明，探索直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，发展合情推理与演绎推理能力 【教学重点】等边三角形的性质定理及判定定理. 【教学难点】证明直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半. 【教学过程】 一、情境创设 1. 什么叫作等腰三角形？它有什么性质？ 2. 等腰三角形的判定定理是什么？ 3. 什么是等边三角形?你打算怎样研究等边三角形? 二、新课讲解 探索活动一、等边三角形的性质 1、小学中知道：三边都相等的三角形叫作等边三角形. 如图，∵AB=BC=CA, ∴△ABC是等边三角形. 反之，∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=CA. 问题1：等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性质，还具有什么性质？ (1)探索等边三角形的角的相关性质.引导学生从定量角度思考，直接利用“三角形内角和为180°” 得到等边三角形的各角都等于60°。 于是，我们得到等边三角形的性质定理： 等边三角形的各角都等于60°. 符号语言：如图，△ABC中，∵AB=BC=CA， ∴∠A=∠B=∠C=60°. 问题2：等边三角形与等腰三角形的性质有什么区别和联系？ 尝试练习1： （1）（2026春•南山区校级同步）如图，△ABC是等边三角形点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（　　）A．105° B．100° C．95° D．85°第2题 第1题 ⑵(书本第47页练习第1题)如图，BD，CE是等边三角形ABC的中线， 则∠1= °，∠2= °，∠3= °，∠4= °. 探索活动二、等边三角形的判定 1、讨论：等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°；反过来，当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？ (1)如果一个三角形的三个角相等，那么它是等边三角形吗？为什么？ (2)如果一个等腰三角形有一个角是60°，那么它是等边三角形吗？为什么？ 2、通过讨论，我们得到等边三角形的判定定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 尝试练习2： ⑴如图，在一个房间内，有一个长为1.6米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为45°，那么MN的长是　 　米．第2题 第1题 ⑵(书本第47页练习第2题)如图，在等边三角形ABC中，D,E,F分别是三边的中点，写出图中所有的等边三角形，并说明理由. 三、例题讲解 例1. 如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC.求证：△ADE是等边三角形. 变式：（2025秋•亭湖区期末）课本再现：（1）如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝①　 　 ， ∴②　 　 ＝③　 　 ， ∴AD＝AE．（④　 　 ） ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A＝60°，∴△ADE是等边三角形． （2）如图2，等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D，延长BD至点E，使得AE＝AD，求证：△ADE是等边三角形． D 探索活动三、如图，由两个全等的且含30°角的直角三角板拼成的等边三角形△ABC，在Rt△ABD中，30°角所对的直角边和斜边有什么关系？如何证明？ 通过探究，我们可以得到： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半. 符号语言：如图，△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30° ∴ 例2. （2025秋•沭阳县期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 4、 小结思考 本节课你是如何研究等边三角形的?你能说说研究几何图形的方法吗?(研究内容:边与角，性质与判定；研究思路：一般与特殊；研究方法：操作、猜想、证明) 五、当堂练习： 1．（2025秋•新疆期末）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 2．（2025秋•襄城县期末）如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，则∠PED的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 第2题 第4题 第1题 3.（2025春•太原月考）在△ABC中，AB=AC．若添加一个条件可判定△ABC为等边三角形，则添加的条件可以是 。 4．（2026春•榕城区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE，GF分别是AB，AC的垂直平分线，BC＝12cm，则EG＝　 　 cm． 5．（2025秋•莒南县期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝60°，点E为AD上一点，连接BD、CE交于点F，CE∥AB． （1）证明：△DEF是等边三角形； （2）连接AC交BD于点O，若AD＝13，CE＝9．求DE的长． 1.5 等腰三角形(3)---等边三角形答案 【教学目标】 1.从一般到特殊、探索等边三角形的性质定理及判定定理，感悟特殊与一般的思想，发展推理能力. 2.通过操作、观察、证明，探索直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，发展合情推理与演绎推理能力 【教学重点】等边三角形的性质定理及判定定理. 【教学难点】证明直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半. 【教学过程】 一、情境创设 1. 什么叫作等腰三角形？它有什么性质？ 2. 等腰三角形的判定定理是什么？ 3. 什么是等边三角形?你打算怎样研究等边三角形? 二、新课讲解 探索活动一、等边三角形的性质 1、小学中知道：三边都相等的三角形叫作等边三角形. 如图，∵AB=BC=CA, ∴△ABC是等边三角形. 反之，∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=CA. 问题1：等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性质，还具有什么性质？ (1)探索等边三角形的角的相关性质.引导学生从定量角度思考，直接利用“三角形内角和为180°” 得到等边三角形的各角都等于于60°. 符号语言：如图，△ABC中，∵AB=BC=CA， ∴∠A=∠B=∠C=60°. 问题2：等边三角形与等腰三角形的性质有什么区别和联系？ 尝试练习1： ⑴（2026春•南山区校级同步60°。 于是，我们得到等边三角形的性质定理： 等边三角形的各角都等）如图，△ABC是等边三角形点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（　C　）A．105° B．100° C．95° D．85°第2题 第1题 ⑵(书本第47页练习第1题)如图，BD，CE是等边三角形ABC的中线， 则∠1= 60 °，∠2= 60 °，∠3= 120 °，∠4= 120 °. 探索活动二、等边三角形的判定 1、讨论：等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°；反过来，当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？ (1)如果一个三角形的三个角相等，那么它是等边三角形吗？为什么？ (2)如果一个等腰三角形有一个角是60°，那么它是等边三角形吗？为什么？ 2、通过讨论，我们得到等边三角形的判定定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 尝试练习2： ⑴如图，在一个房间内，有一个长为1.6米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为45°，那么MN的长是　1.6 米．第2题 第1题 ⑵(书本第47页练习第2题)如图，在等边三角形ABC中，D,E,F分别是三边的中点，写出图中所有的等边三角形，并说明理由. 答：△ADF、△BDE、△CEF、△DEF都是等边三角形。理由：略。 三、例题讲解 例1. 如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC.求证：△ADE是等边三角形. 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝， ∵DE∥BC， ∴， ∴． ∴△ADE是等边三角形. 变式：（2025秋•亭湖区期末）课本再现：（1）如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝①　∠AED ， ∴②　∠ADE ＝③　∠AED ， ∴AD＝AE．（④　等角对等边　 ） ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A＝60°，∴△ADE是等边三角形． （2）如图2，等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D，延长BD至点E，使得AE＝AD，求证：△ADE是等边三角形． 解：（2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝60°， ∵BE和AD分别为∠ABC和∠BAC的平分线， ∴，． ∵∠ADE为△ABD的外角， ∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，D ∵AE＝AD， ∴△ADE是等边三角形． 探索活动三、如图，由两个全等的且含30°角的直角三角板拼成的等边三角形△ABC中，在Rt△ABD中，30°角所对的直角边和斜边有什么关系？如何证明？ 通过探究，我们可以得到： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半. 符号语言：如图，△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30° ∴ 例2. （2025秋•沭阳县期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． （1）证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴∠ACB＝60°，， ∵CE＝CD， ∴， ∴∠CBD＝∠E＝30°． ∴DB＝DE； （2）解：∵DF⊥BE， ∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°， ∵CF＝4， ∴DC＝2CF＝8． ∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3×16＝48． 四、小结思考 本节课你是如何研究等边三角形的?你能说说研究几何图形的方法吗?(研究内容:边与角，性质与判定；研究思路：一般与特殊；研究方法：操作、猜想、证明) 五、当堂练习： 1．（2025秋•新疆期末）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　B　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 2．（2025秋•襄城县期末）如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，则∠PED的度数是（　B　） A．40° B．45° C．50° D．55°第1题 第2题 第4题 3.（2025春•太原月考）在△ABC中，AB=AC．若添加一个条件可判定△ABC为等边三角形，则添加的条件可以是 AC=BC（答案不唯一） 。 4．（2026春•榕城区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE，GF分别是AB，AC的垂直平分线，BC＝12cm，则EG＝　4 cm． 5．（2025秋•莒南县期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝60°，点E为AD上一点，连接BD、CE交于点F，CE∥AB． （1）证明：△DEF是等边三角形； （2）连接AC交BD于点O，若AD＝13，CE＝9．求DE的长． （1）证明：∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形． ∴∠ABD＝∠ADB＝60°． ∵CE∥AB， ∴∠FED＝∠BAD＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠FED＝∠EDF＝∠DFE（等量代换）， ∴△DEF是等边三角形； （2）解：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD． ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°． ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°（两直线平行，内错角相等）， ∴AE＝CE＝9， ∴DE＝AD﹣AE＝13﹣9＝4， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $