浙江A9协作体2027届高三上学期暑假返校学情诊断数学试卷

浙江省A9协作体暑假返校学情诊断 高三数学试题卷 命题：桐乡凤鸣高级中学沈金兴审题：马寅初中学陈志远定海一中张翰琼校稿：童金菊 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效， 4.考试结束后，只需上交答题卷。 第1卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.设A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,则A∩B= A.{3} B.{3,4} C.{1,2,3,4,5,6} D. 【答案】B 【解析】交集取两集合的公共元素，A∩B={3,4}。 2已知i为虚数单位，则复数}= A.1 B.-1 C.i D.-i 【答案】D 【解析1分子分母同乘：=-=。 i2--1 3.向量a=(-1,2),=(1,4),若aL,则1= A.2 B.-2 C.8 D.-8 【答案】C 【解析】垂直等价于数量积为零：a·=(-1)×1+2×4=0,解得1=8。 4.在160和-5之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为 C.-2 D.2 【答案】A 【解析】设首项为160.则第6项为160=-5，故=一立解得q=-宁 5.设x,y∈R+,若lgx与lgy互为相反数，则 A.xy=1 B.X=1 C.x+=0 D.x-=0 【答案】A 【解析】由lgx+lgy=0得lg(xy)=0,所以xy=1。 6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着 一个有趣的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮 马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(一1， 一4)，若将军从点A(1,-1)处出发，河岸线所在直线方程为x-y=0。则将军饮马”的最短总路程 为 A.V17 B.√13 C.5 D.4 【答案】C 【解析】作点A(1,-1)关于直线y=x的对称点A(-1,1),则“饮马点”处总路程的最小值即为线段 AB的长： |AB=√/(-1+1)2+(1+4)2=5。 7.sin40°(tanl0°-√3)= A.1 B.-1 c. D.1 4 【答案】B 【解析】sim40(tan10°-√3)=sin40°.sinl10°-√3cos10° cos10° 由sin10°-√3cos10°=2sin(10°-60)=-2sin50°，得 原式=-2sin40'sin50 cos10° 又sin40sin50°=si血40cos40=号n80°=2cos103,故原式=-1。 8.已知三个数a=ln10,b=√10，c=log210,则 A.a<c<b B.b<a<c C.a<b<c D.c<a<b 【答案】C 【解析】估算：a=n10≈2.303，b=√10≈3.162，c=1og,10=110≈3.322。故a<b<c。 In2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.7个样本数据：5,6,3,1,9,6,12，则下列说法正确的是 A.极差是10 B.平均数是6 C.众数是6 D.中位数是6 【答案】BCD 【解析】将数据从小到大排列：1,3,5,6,6,9,12。 极差为12-1=11，故A错： 平均数为1+3+5+6+6+9+12=42=6，故B对： 7 6出现2次，次数最多，众数为6，故C对： 共7个数据，中位数为第4个数6，故D对。 10.已知抛物线C:x2=2y(p>0),其焦点F到准线的距离为2，且B为C上的动点，则 A.C的方程为：y=4x2 B.己知点A(2,3),则|BA+BF的最小值为4 C.直线y=x+1被抛物线截得的弦长最小值为4 D.若抛物线准线与y轴交于点N,设BN斜率为k,则的最小值是1 【答案】BCD 2 【解析】焦点到准线的距离即p,故p=2,抛物线为二，即y=聋，A错。 B.F0,1),准线y=-1。由抛物线定义，BF等于B到准线的距离，于是BA+BF的最小值 为点A(2,3)到准线的距离3+1=4（当B为过A的准线垂线与抛物线的交点(2,1）时取到)，B对。 C.直线y=x+1恒过焦点F。联立x2=4(+1)得x2-4-4=0,弦长 √1+k2√4k2+16=41+k2)≥4，最小值为4，C对。 D.N0,-1,设Bx,￥)则剧= +4 当x=士2时取等，D对。 11.正方体ABCD-A1BC1D1棱长为1，E、F分别为AB、BD1中点，点M在正方体的表面上运 动，且满足FMLDE。记点M的轨迹为T,则下列命题正确的是 A.T是矩形 B「所围图形的面积为5 2 C.点B与T所围成的空间几何的体积是3 DP点H∈线段B8,T所在平面与ACH平面的夹角余孩值范围为[0，S] 【答案】ABD 【解析】以A为原点建立空间直角坐标系：A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0, 0,10,0011则号0.0以F为20中点即r号号》DE-(号1,0） 设M(x,y,z),由FM°DE得 成成=3(x-)-(-3)=0, 即x-2y+号=0，亦即x=2y-分 该平面与正方体表面的交线为矩形，四项点为(0，，0小、（1，子，0小、（1，子，1小、(0}，1，A 对。 矩形底边长V+(住一-5，高为1，面积S=?,B对。 C.【巧解降维】注意到平面r的方程x=2-子中不含云，这说明T平行于侧棱44。于是"点 B与下所围成的几何体”是一个直棱柱：它的底面就是底面正方形ABCD内被厂截出的那块平面图 形，高就是侧棱长AA1=1。空间体积问题由此降维成一道平面面积题。 在底面正方形ABCD中，T与底面的交线是一条线段，它连接AD边上的点乃与BC边上的点乃。 由x=2y-子：令x=0得y=子，即4A=子：令x=1得y=子，即BB=子。 含点B的一侧是四边形ABPB。因为ARCAD、BRCBC,而AD∥BC,所以AR∥BB,该四边 形是梯形，两条底边长分别为}与子，梯形的高恰为两平行底之间的距离4AB=1。放 s=3×(4+)×1=2: 于是体积V=S4=号×1=号≠子，C错。 ·3 D.设H(1,0,t),t∈[0,1]。T所在平面的法向量=(1，-2,0)；平面ACH中AC=(1,1,0), A7=(1,0,t),法向量乃=(t,-t,-1)。故cos0= 元 3t 2l √5√2P+1 该函数在0，山上单词递增，值减为[0,5]，D对。 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.二项式(x+1)展开式中第4项系数是一。（用数字作答） 【答案】20 【解析】第4项对应k=3,系数为()=20。 13.已知等差数列{4}的前n项和为S,且S=-12,=45,则S=。 【答案】3 【解析】设首项为4、公差为d,把前9项按每3项一段分开： S=4++=34+(0+1+2)d=34+3d, S6-S3=4+4+6=34+(3+4+5)d=34+12d, S,-S6=+4+a4=341+(6+7+8)d=3a1+21d。 后一式减前一式恒为9d,故等长的”片段和”S、S6-、,-S%仍成等差数列。 设S6=x,则S%-S3=x+12,S,-S6=45-x,由等差中项得 2(x+12)=-12+（45-x),解得x=3。 14过辆阻号+若-1上一点P作椭圆的切线分别交x,y轴于点4、8，H=2.则四 0 【答案】3 【解析】先用判别式法求出切线方程。设P(xo,)在椭圆上，即4号+96=36。 当切线不垂直于x轴时，设切线为y-功=(x-x),代入4x2+9y2=36并整理，得关于x的一元 二次方程(4+9k2)x2+18k(y0-x)x+9(0-)2-36=0。 直线与椭圆相切，故判别式为0： [18k(h-)]2-4(4+9k2)[9(h-ko)2-36]=0, 化简得(0-)2=9k2+4,即2(x号-9)-2y+(哈-4)=0。 由+9=36知号-9=-、片-4=智，代入上式并两边同乘-36。得 81k2y6+72kx0%+16x=0,即(9k%+4)2=0, 故k-一。于是切线方程为y-北=红-0，整理为46+9my=4+9-36,即 9% 9% +g=1. 4。 (若切线垂直于x轴，则P为长轴端点，此时|A=0≠2，不合题意。) 为便于计算，设P(3cos日，2sin0)(此时4x+9=36自动成立)，代入上式得切线方程 xcose ysine=1, 3 2 令=0得40小令=0得0品a: 于是124=(3co0-g广+(ang旷=5nsg-14+ cos 令24P=4,得5c0s9-18cos0+9=0,解得cog20=号（另一根3含去），故sim0=子。 PB2=(3cose+2sine-sing)=1-5sin0+singg =1-2+10=9, sin20 所以PB=3。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，点D在边BC上，且满足BD=2,DC=1,∠B=60°，∠ADC=150°。 (1)求边AC的长： (2)若点P是BC中点，求cos∠APC。 【答案】(1)W7:(2)-2Y7 7 【解析】(1)由∠ADC=150°得∠ADB=30°。在△ABD中，∠BAD=180°-60°-30°=90°，故 1D=in60=2x9-Vs。 在△ADC中，由余弦定理： AC=A0+c2-2ADD0co150=3+1-2xV5×1x-)=7, 所以AC=万。 (2BC=BD+DC=3,P为BC中点，则BP=PC=号，DP=BD-BP=}。在△MPD中， ∠ADP=30°， AP=AD+DP-2AD:DP-c30=3+2×VB×号×=7，&P=7 4 2 2 在△MPC中，由余弦定理：cos∠APC=4P+CAC子+号-7 7 -3=2W万 2APPC2xx号 7 16.(15分)己知函数fx)=e-r2(a∈R)。 (1)若曲线y=f(x)在(1，f1)处的切线与x轴平行，求a的值和切线方程： (2)若fx)在(0，+∞)上有2个零点，求a的范围。 【答案】1a=号切线方程为y=号：(2异+ 【解析1(1f(x)=e-2a。切线与x轴平行即f1)=0,故e-2a=0,a=号。此时 f1)=e-号=受，切线方程为y=号。 (2fx)=0在(0，+∞)上成立，等价于a=e 。令8x)= ,则 g'(x)=e"x2-e".2xe*(x-2) x4 x3 故8x)在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，最小值为g(2)= 4。 再看两端的取值情况：当x在(0,2)内逐渐接近0时，分子e始终大于1，而分母x2逐渐接近0， 故g(x)的值可以大到超过任意给定的正数；当x在(2，十∞)内不断增大时，g(x)的值也随之不断 增大、没有上界。 ·5 因此，直线y=a与曲线=8)在(0，+切)上有两个交点，当且仅当a>号·所以了)在(0， +∞)上有2个零点时，a的取值范围为（年，+∞）。 17.(15分)如图，矩形ABCD中，AB=3W3,AD=3。将△BCD沿对角线BD折起，得到三棱锥 C'一ABD,C'在底面上的投影O在AB上。 (1)证明：AD°BC'; (2)证明：平面DBC'⊥平面ADC': (3)求AB与平面BCD所成角的正弦值。 【答案】(1)(2)见解析：3)30 15 【解析】设A(0,0,0),B(3√3,0,0)，D(0,3,0)。设O(t,0,0),C(t,0,h)。 由折叠可知CB=CB=AD=3,CD=CD=AB=3√3，于是 (t-3√3)2+2=9 2+9+R=27 相减得(t-3w3)2-=-9,即-6W3t+27=-9,解得t=2W3,进而2=6，h=√6。故C (2W3,0,√6) (1)AD=(0,3,0),BC=(-√3,0，V6), AD·BC=0,所以AD⊥BC'。 (2)BD=(-3√3,3,0)，BC=(-√3,0，V6),设平面DBC'的法向量1=(x,y,z,则 [-3√3x+3y=0 -√3x+√6z=0 取21=（√6,6，√3）。 又AD=(0,3,0),AC=(23,0,√6)，设平面ADC的法向量=(x,y,z),则 [3y=0 2W3x+√6z=0 取=(6,0，-2W3)。 因为21·2，=6+0-6=0，所以平面DBC⊥平面ADC'。 (3)AB=(3√3,0,0)，设AB与平面BCD所成角为0，则 sin= 3W3x6=6=3@。 [4Bl 13W3×W6+36+3-√4515 ·6 分)已知双曲线C:号-片1Q>0,b>0)的离心率为3，且左右焦点分别为R、 点乃到渐近线的距离为2W2。 (1)求双曲线C的标准方程： (2)过点乃的直线1与C的左右两支交于A、B两点。 (①)若直线1的斜率为-1，求AB的长： (若AF=BR引，证明：AF引、AB卧、B成等比数列。 【答案】1-令-1：2)0号：园见解析 【解析1（①由e=合=3得c=3a=62-=8。蒲近线为bx士=0，焦点Ec,0)到断近 线的距离d=c=c=b=2W2 √d+bc 故公=8，从而公=1，G=3。双曲线方程为-令-1 (2)(i)乃(3,0)，直线1：y=-(x-3)。代入双曲线方程： 8--3=197x2+6-17=0. 设两交点横坐标为x,3,则x十=一 7，出=-17 7 k--V-9-4x-号-V=162. 7 故AB到=√1+(-1y1k-=√2×16y2=32 7 7。 (i)设A(xA,yA)在左支(xA≤-1)，B(xB,yB)在右支(xB≥I),由点在双曲线上知y=8(x2-1)。 对右支上的点B,由两点间距离公式： |BP=(xB+3)2+y哈=(xB+3)2+8(x号-1)=9x2+6xB+1=(3xB+1)P, 因xB≥1时3xB+1>0,故B=3xB+1;同理 |BE1P=(xB-3)P+8(x2-1)=(3.xB-1)2, 因3xB-1>0,故BF=3xB-1。 对左支上的点A,用同样方法可得 ARP=(3xA+1)P,A2=(3x4-1)P, 而x4≤-1时3x4+1<0且3x4-1<0,故 |A=-(3xA+1)=-3xA-1,AF引=-(3xA-1)=1-3x40 由MK1=BK得-3-1=3e+1,即+8=子· 设直线1的斜率为k(k2<8),则1：y=k(x-3),代入双曲线方程得 (8-k2)x2+6k2x-(9k2+8)=0, 故=8=号解得-青进面袋安=吕 9 此时A在左支、B在右支，且乃在AB的延长线上，故 |AB=A-|B=(1-3xA)-(3xB-1)=2-3(xA+xB)=4。 而AK-B=(1-3x(3x,-1)=3a+x-1-9a=3×-子)-1-9×(-g)=16 于是ABP=16=A乃引B乃引，即A引、AB、B成等比数列。 ·7 19.(17分)甲、乙两人比赛，每局甲胜概率为p(0<p<1),乙胜概率为q,且p+q=1。比赛进 行到有人连胜两局时结束。记X为比赛的局数，P(X=k)(k∈N表示比赛进行k局结束的概率。 ()若D=子，求PX=2,PX=3列： (2)求P(X=2k),P(X=2k+1)(结果用p,q表示)： (3)E(X)表示X的期望。 ()求E(X)(结果用p,q表示)： (过)证明：E(X)≤3。 (参考公式：无穷等比数列{a},公比为q,若0<q<1,则：】 【答案】(1Px-2-号Px=到-号：(2PK=2刻-(gp2+》.Px=2k+1-(w片 ax-贤国见鲜 【解析】(1)X=2意味着前两局同一人连胜，故 Px=2=r+=号+号=音 X=3时，前两局必为一胜一负，第三局与第二局相同，对应序列ABB、BAA,故 Px=3)-m+-p+)=g=号· (2)比赛在第2k局结束，说明前2k-1局严格交替，且最后两局相同。两种模式为ABAB·AA与 BABA·BB,故 P(X=2k)=p+t1+p-T+1=p--1(p2+)=(pg)-(p2+)。 比赛在第2k十1局结束，前2k局严格交替，最后两局相同。两种模式为ABAB·BB与BABA… AA,故 P(X=2k+1)=pqt+1+p+g=p(p+q)=(pg)*。 (3)(①)记r=p9,则p2+g2=(p+q2-2pg=1-2,且0<r≤ 49 5)mp:=2 (X=2K)+(3+1)P(X-2k+1) 1-+j 于说--，--当x-照 (1-r2(1-r2(1-21-2 面因为+g=1,由基本不等式四<”=子· 令o0==-1+己，则p0在<1时单调递增，故 x=9p9≤p4=1-13· 当且仅当p=q=子时取等号。 ·8 浙江省A9协作体暑假返校学情诊断 高三数学试题卷 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设，，则 A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，则复数 A． B． C． D． 3．向量，，若，则 A． B． C． D． 4．在160和之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为 A． B． C． D． 5．设，，若与互为相反数，则 A． B． C． D． 6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为 A． B． C． D． 7．的值是 A． B． C． D． 8．已知三个数，，，，，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．7个样本数据：5，6，3，1，9，6，12，则下列说法正确的是 A．极差是10 B．平均数是6 C．众数是6 D．中位数是6 10．已知抛物线：，其焦点到准线的距离为2，且为上的动点，则 A．的方程为： B．已知点，则的最小值为4 C．直线被抛物线截得的弦长最小值为4 D．若抛物线准线与轴交于点，设斜率为，则的最小值是1 11．正方体棱长为1，、分别为、中点，点在正方体的表面上运动，且满足．记点的轨迹为，则下列命题正确的是 A．是矩形 B．所围图形的面积为 C．点与所围成的空间几何的体积是 D．点线段，所在平面与平面的夹角余弦值范围为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．二项式展开式中第4项系数是_________．（用数字作答） 13．已知等差数列的前项和为，且，，则_________． 14．过椭圆上一点作椭圆的切线分别交、轴于点、，，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)在中，点在边上，且满足，，，． （1）求边的长； （2）若点是中点，求． 16．（15分）已知函数． （1）若曲线在处的切线与轴平行，求的值和切线方程； （2）若在上有2个零点，求的范围． 17．（15分）如图，矩形中，，．将沿对角线折起，得到三棱锥，在底面上的投影在上． （1）证明：； （2）证明：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 18．（17分）已知双曲线的离心率为3，且左右焦点分别为，，点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与的左右两支交于、两点． （i）若直线的斜率为，求的长； （ii）若，证明：，，成等比数列． 19．（17分）甲、乙两人比赛，每局甲胜概率为，乙胜概率为，且．比赛进行到有1人连胜两局时结束．记为比赛的局数，表示比赛进行局结束的概率． （1）若，求，； （2）求，（结果用，表示）； （3）表示的期望． （i）求（结果用，表示）； （ii）证明：． （参考公式：无穷等比数列，公比为，若，则：，） 学科网（北京）股份有限公司 $