第28章 旋转 章末能力测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

2026-2027学年新人教版九年级数学上册第28章章末能力测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 1．下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2），栏杆从水平位置绕点O顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（     ）米 A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知，则点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．如图，点D，E在的边上，且，下列说法错误的是（     ） A．经过平移可与重合，平移的距离为的长 B．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C．将△ABE沿的垂直平分线翻折，可与重合 D．将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 5．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 6．如图，四边形是正方形，且，将正方形绕点C顺时针旋转后得到正方形，当A，E，C三点共线，且点E在点A，C之间时，则点F到的距离为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数上一个动点，过点作坐标轴的垂线，轴上的垂足为点，轴上的垂足为点，函数的图象与线段交于点，与线段交于点（，不重合），连接，．将线段绕点逆时针旋转得到线段，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点，分别是点，的对应点）．给出下面四个结论： 四边形的面积可能为； 可能是等边三角形； 点一定在反比例函数的图象上； 连接点、、、所得到的四边形不可能是平行四边形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 10．如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，B、C旋转后的对应点分别是和，连接，则度数是（ ） A． B． C． D． 11．如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，，顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为 （     ） A． B． C． D． 评卷人 得分 13．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 14．已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为_______． 15．如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为_____． 16．如图，在等腰中，，，点M是边上一动点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则的最小值是________． 评卷人 得分 17．如图所示，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)写出点关于原点对称的点的坐标__________； (2)画出绕原点逆时针旋转90°得到的； (3)在（2）条件下求的面积． 18．如图，点，分别在正方形的边，上，且．把绕点顺时针旋转得到． (1)求证：． (2)若,，求正方形的边长． 19．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过点，． (1)与的数量关系是； (2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转，恰好与点重合．求点的坐标及反比例函数的表达式； (3)若点在反比例函数的图象上，点在轴上，在（2）的条件下，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 20．探究应用 【初步探究】 (1)如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，，连接，判断的形状是________． 【拓展应用】 (2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第四象限内，若是等腰直角三角形，则点C的坐标是________． (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上的动点，线段绕点C按逆时针方向旋转至线段，，连接，则求的最小值. 21．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称为“费马点”．如图1，点是内的一点，将绕点逆时针旋转到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． 【拓展应用】 (1)如图2，点是等边内的一点，连接，将绕点逆时针旋转得到． ①画出图形 ②当，，时，求的大小； (2)如图3，点是内的一点，且，，，求的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年新人教版九年级数学上册第28章章末能力测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 1．下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 2．某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2），栏杆从水平位置绕点O顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（     ）米 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】过点作于点D，根据旋转的性质得到米，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点D， 由旋转的性质可得米， 在中，， ∴米， ∴栏杆端点升高了2米． 3．已知，则点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用非负数的性质求出和的值，再根据关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵， ，， ∴，且， ∴ ∴，， ∴点的坐标为． ∴点关于原点对称的点的坐标为． 4．如图，点D，E在的边上，且，下列说法错误的是（     ） A．经过平移可与重合，平移的距离为的长 B．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C．将△ABE沿的垂直平分线翻折，可与重合 D．将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的几何变换（平移、翻折、旋转），结合，判断各个选项的变换是否能让两个三角形完全重合． 【详解】解：∵， ∴，，，是等腰三角形，的垂直平分线是等腰的对称轴． A、平移只改变位置，不改变图形朝向．和左右方向对称，不是平移关系，不能通过平移重合，该说法错误，符合题意； B、是等腰三角形，垂直平分线为对称轴，沿这条垂直平分线翻折，能够和重合，该说法正确，不符合题意； C、由，得，即，结合，，，沿垂直平分线翻折可以重合，该说法正确，不符合题意； D、绕中点逆时针旋转，得到的图形无法和重合，该说法正确，不符合题意； 5．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质求解即可．中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分，对应线段、对应角相等． 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与点关于点对称，，，，， ，，， . ， 即， ． 符合题意的有①②③． 6．如图，四边形是正方形，且，将正方形绕点C顺时针旋转后得到正方形，当A，E，C三点共线，且点E在点A，C之间时，则点F到的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据旋转可得三点共线，，然后由勾股定理求解，再由求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形，且 ∴，， ∴ ∵A，E，C三点共线 ∴ 由旋转可得三点共线， 则， ∴ ∴点F到的距离为． 7．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，过点作垂足在的延长线上，根据等腰三角形的性质可知，可证，根据全等三角形的性质可知，再根据三角形的面积公式求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作垂足在的延长线上， ， ， 由旋转可知，， ， ， 在和中，， ， ， ，，， ， ， 的面积为． 8．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数上一个动点，过点作坐标轴的垂线，轴上的垂足为点，轴上的垂足为点，函数的图象与线段交于点，与线段交于点（，不重合），连接，．将线段绕点逆时针旋转得到线段，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点，分别是点，的对应点）．给出下面四个结论： 四边形的面积可能为； 可能是等边三角形； 点一定在反比例函数的图象上； 连接点、、、所得到的四边形不可能是平行四边形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义即可判断；设，则，，，，然后通过距离公式求出，，即可判断；设，则，，过作轴于点，由旋转的性质，全等三角形的判定与性质即可判断；设，则，，同理得，，由，则若点、、、所得到的四边形是平行四边形，一定有，即，从而求得无实数根，即可判断． 【详解】解：∵点在图象上，轴上的垂足为点，轴上的垂足为点， ∴四边形的面积为， ∵点在图象上， ∴的面积为，的面积为， ∴四边形的面积为，故错误； 设，则，， ∴，， ∴，， 若，即， 解得（负值已舍去）， 此时，， ∴，， ∴， ∴不可能是等边三角形，故错误； 设，则，， 如图，过作轴于点， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点一定在反比例函数的图象上，故正确； 设，则，， ∴同理得，， ∵， ∴若点、、、所得到的四边形是平行四边形，一定有， 即， ∴， ∴无实数根， ∴连接点、、、所得到的四边形不可能是平行四边形，故正确， 综上可知：正确结论的序号是． 9．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，，旋转角，先利用等腰三角形两底角相等求出的度数，再结合等量代换得到的度数，最后根据平角为计算出的大小． 【详解】解：由旋转得，，， ， ， ． 10．如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，B、C旋转后的对应点分别是和，连接，则度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由已知得，根据旋转的性质得，，， ，最后根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上， ∴，， ， ， ∴， ∴． 11．如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得到，，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理证明，接着证明，然后根据勾股定理可计算出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕着点顺时针旋转一定角度得到， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，，， ∴． 12．如图，在中，，，顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由、确定点的坐标，再求出正方形顶点的坐标；旋转周期为，用除以的余数确定等效旋转角，进而求旋转后点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于， ，顶点的坐标为， ， 在中，，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∵每次绕点逆时针旋转，而， ∴旋转次图形回到原位置，即每旋转次为一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时，相当于把原图形绕点逆时针旋转， 如图所示， ， 则，， 作轴于，则， ，， ， ， ，， ， ∴点绕点逆时针旋转后的对应点为， 故选：B． 评卷人 得分 二、填空题 13．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，故连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故对称中心是点P． 14．已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为_______． 【答案】 【分析】直线与双曲线的图象都关于原点中心对称，因此两个交点关于原点对称，根据已知交点坐标即可求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称， ∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称， ∵一个交点坐标为， ∴另一个交点坐标为． 15．如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据点A的坐标得到的长，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据旋转的性质确定点D的坐标，并得到轴，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 由旋转的性质可得，， ∴点D在y轴上，则轴， ∴， 在中，当时，， 解得或（舍去）， ∴． 16．如图，在等腰中，，，点M是边上一动点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则的最小值是________． 【答案】/ 【分析】在上取一点，连接，使，在上截取，连接， 作直线， 因为， ，所以，，，求得，可证明，得， 可知点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、， 则，，则，， 可证明，所以点在的延长线上，，作于点，则  ，， 所以，求得，由得，则的最小值是，于是得到问题的答案． 【详解】解：在上取一点，连接，使，在上截取，连接，作直线，    ∵，， ∴，，， ∴， ∵由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、， ∵垂直平分，是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 连接，则， ∵， ∴， ∴点在的延长线上， ∴， 作于点，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图所示，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)写出点关于原点对称的点的坐标__________； (2)画出绕原点逆时针旋转90°得到的； (3)在（2）条件下求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点的坐标的对称性（关于原点对称，横纵坐标改变，且为原来坐标的相反数）即可求出答案． （2）分别确定绕原点逆时针旋转的，和三点位置，顺次连接即可得到． （3）根据旋转的性质和已知条件确定等腰直角三角形，推出，利用勾股定理求出的长度，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， 点关于原点对称的点的坐标是． （2）解：①连接，将绕原点逆时针旋转即可得到，确定点位置， ②两点都在轴上，绕原点逆时针旋转，确定和的位置都在轴的负半轴上，且距离分别为6和1． ③将，和三点连线即可得到． （3）解：连接，如图所示， 由直角坐标系可知，， 逆时针旋转得到， 为等腰直角三角形， ． 18．如图，点，分别在正方形的边，上，且．把绕点顺时针旋转得到． (1)求证：． (2)若,，求正方形的边长． 【答案】(1)证明：由旋转的性质得，， ，，． ， 三点共线． ，， ， ， 在和中， ， ． (2) 【分析】（1）先由旋转的性质，证明，再根据证明； （2）设正方形边长，则，，在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则，， ， ， ， ， ， 由勾股定理，， ， 解得或（舍去）． 正方形的边长是． 19．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过点，． (1)与的数量关系是； (2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转，恰好与点重合．求点的坐标及反比例函数的表达式； (3)若点在反比例函数的图象上，点在轴上，在（2）的条件下，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)存在，或． 【分析】利用反比例函数上的点横纵坐标乘积等于，建立，的关系式； 旋转模型，构造“一线三垂直”全等三角形，列方程组求出点坐标与； 平行四边形存在性，分为边、为对角线两种情况，利用坐标中点公式求解，最后验证在反比例图象上． 【详解】（1）反比例函数经过、，则 ， ， ， 即． （2）由得、，设． 如图所示，过作轴于，过作轴于． 由旋转知，，则 对应边相等，得 ，即 ，即 把代入： ∴，，． 把代入： （3）平行四边形满足对角线中点相同，分两类讨论： ①AB作为平行四边形的边： ，即 ②AB作为平行四边形的对角线： ，即 【点睛】本题综合考查反比例函数、旋转全等、平行四边形坐标存在性．旋转90°的问题，优先想到“一线三垂直全等模型”；平行四边形坐标问题口诀：对边向量相等，对角线中点重合；存在性问题一定要分类讨论，不要遗漏情况． 20．探究应用 【初步探究】 (1)如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，，连接，判断的形状是________． 【拓展应用】 (2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第四象限内，若是等腰直角三角形，则点C的坐标是________． (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上的动点，线段绕点C按逆时针方向旋转至线段，，连接，则求的最小值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)或或 (3) 【分析】（1）证明，即可求解； （2）分、、，三种情况画图求解即可； （3）求出，则：，的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：如图，满足条件点的坐标分别为或或． （3）解：如图，作于． 设点的坐标为， 由（1）知：，， 则点， 则：， 的最小值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小， 作关于直线的对称点， 而， ， 故：的最小值为． 21．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称为“费马点”．如图1，点是内的一点，将绕点逆时针旋转到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． 【拓展应用】 (1)如图2，点是等边内的一点，连接，将绕点逆时针旋转得到． ①画出图形 ②当，，时，求的大小； (2)如图3，点是内的一点，且，，，求的最小值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据旋转的性质画出图形； ②先证，利用全等的性质求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到，即可求出的大小； （2）将绕点顺时针旋转得到，先求出，然后证明为等边三角形，当、、、四点共线时，和最小，用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）①略 ②为等边三角形， ，， 又是等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ∴ ∴， ， ， （2）如图，将绕点顺时针旋转得到， 则， 在中，， ， ， 又， ∴， 如图，过作⊥交的延长线于点， 则， ， ， ， ， 为等边三角形， 当B、P、、四点共线时，和最小， 在中，， ， ∴的最小值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $