25.2.3 因式分解法&25.2.4 一元二次方程的根与数的关系-【课课练】2026-2027学年九年级上册数学同步训练（人教版·新教材）

课课练数学九年级上册 25.2.3 因式分解法 922 二十五章 念学习目标 1.了解用因式分解法解方程的步骤和方法（提公因式法和公式法）. 2.会用因式分解法解可化为两个因式的乘积等于0的形式的方程 夯实五分钟 难度：☆ 1.用因式分解法解方程，下列过程正确的是 ①x+1=0或x-6=0; ②x2-5x-6=0; ( ③x1=-1,x2=6; ④(x+1)(x-6)=0. A.(2x-2)(3x-4)=0化为2x-2=0或3x-4=0 其中正确的解题步骤顺序是 B.(x+3)(x-1)=1化为x+3=1或x-1=1 5.用因式分解法解下列方程： C.(x-2)(x-3)=2×3化为x-2=2或x-3=3 (1)x2-2x+1=0; D.x(x+2)=0化为x+2=0 (2)x(2x-3)=2(2x-3) 2.一元二次方程(x-5)2=4(x-5)的根为( A.x=5 B.x=-5 C.x1=5,x2=9 D.x1=5,x2=1 3.荣荣在解一元二次方程x2-x=0时，只得出一 个根x=1,则被漏掉的根是 4.用因式分解法解一元二次方程x2-5x=6,下列 是排乱的解题过程： 素养稳提升 难度：☆☆ 6.一元二次方程3x(x-1)=2(x-1)的根的情况8.已知某三角形每条边的长都是方程x2-6x+9= 是 ( 0的根，则该三角形的周长是 () A.有两个不相等的实数根 A.6 B.10 C.9 D.12 B.有两个相等的实数根 9.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相 C.只有一个实数根 同的实数根，我们称这两个方程为“友好方 D.没有实数根 程”.如果关于x的一元二次方程x2+3x=0与 7.已知x=1是一元二次方程(m2-1)x2-mx+ x2+2x+m-1=0为“友好方程”，则m的值为 m2=0的一个根，则m的值是 ( () A.-1 B.-16 c减1D C.-1或-4 D.1或-2 8 第二十五章 一元二次方程 10.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根 (3)(x+2)(x-1)=2-2x; 是x1=2,x2=-4,则关于y的一元二次方程 (4)x2-x+(3x-3)=0. a(y+1)2+b(y+1)+c=0的根是( A.y1=2,y2=-4 B.y1=1,y2=-5 C.y1=3,y2=-3 D.y1=1,y2=-3 第二十五章 11.已知(x2+y2)2-5(x2+y2)=0,那么x2+y2= 12.已知某三角形的两边长分别是3和5，第三边 的长为一元二次方程x2-3x-(4x-12)=0的 一个根，则这个三角形的周长为 13.用因式分解法解方程： (1)(x-1)2-16=0; (2)(x+1)2=2(x+1); 中考一点通 难度：☆☆☆ 14.观察下面方程的解法：x4-29x2+100=0. 15.换元法是指引入一个或几个新的变量代替原 解：因式分解，得(x2-4)(x2-25)=0, 来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求 即(x+2)(x-2)(x+5)(x-5)=0, 原变量的结果.在解一些复杂的因式分解问 于是，得x+2=0,或x-2=0,或x+5=0,或x-5=0, 题时，常用到换元法.试用换元法解方程： 解得x1=-2,x2=2,x3=-5,x4=5. 2x2+3x-52x2+3x+9+3=0. 请仿照上述解法求方程x2-6x+8=0的解。 9 课课练数学九年级上册 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 二十五章 ©学习目标 1.了解一元二次方程的根与系数的关系， 2.会用一元二次方程的根与系数的关系解决问题， 夯实五分钟 难度：☆ 1.已知关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一 的两根分别为x1,x2,则x1+x2= 个根为1，则另一个根是 ( ) : X1x2= A.5 B.4 C.3 D.2 4.已知关于x的一元二次方程x2+kx+4=0 2.关于x的一元二次方程3x2-2x+m=0有两根， 的一个根为-3，则k=,另一个根 其中一根为x=1,则这两根之积为 ( 为 A写 B 1 C.1 D.3 5.若x1,x2是一元二次方程x2-4x+3=0的两个 实数根，则x1+x2-x1x2= 3.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 素养稳提升 难度：☆☆ 6.已知关于x的一元二次方程x2-kx-1=0(k为 的两个实数根分别是x1,x2,且x+x3=7,则 常数)，下列说法错误的是 ( (x1-x2)2的值是 () A.该方程有两个不相等的实数根 A.1 B.12 C.13 D.25 B.该方程有两个异号实数根 11.已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两 C.该方程的两个实数根之和为k 个实数根分别为x1,x2,且(x,+1)(x2+1)=3, D.该方程有两个实数根且互为倒数 则m的值为 () 7.已知m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个 A.-3B.-1 C.-3或1D.-1或3 根，则m+mn+2m的值为 ( )12.已知关于x的一元二次方程x2-(2a-1)x+a2 A.0 B.-10 C.3 D.10 a=0. 8.若一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别为 (1)求证：方程有两个不相等的实数根； 11 (2)若方程有两个实数根x1,x2,且x1(x2+1)+ x1,x2,则+的值为 ( X1x2 x2(x1+1)=7,求a的值 A.3 B.-3 C.±3 D.9 9.已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0 (m>0)的一个根比另一个根大2，则m的值为 ( A.2 B.m>0 C.1 D.0 10.已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0 1014.解：(1)k>-1,且k≠0. (2)k=-1. (3)k<-1. 中考一点通 15.解：若原方程为一元二次方程，则m-2≠0， 且m2+2m-6=2,解得m=-4, 所以一元二次方程为-6x2-4x+2=0, 解得x1=3x2=-1. 16.（1)证明：在该一元二次方程中，a=1, b=-2m,c=m2-1,则△=b2-4ac=(-2m)2- 4×1×(m2-1)=4>0,所以无论m取何值， 该方程总有两个不相等的实数根， (2)解：因为△=4， 所以x,= m+√4 2m-√4 =m+1,x2= =m-1, 2 2 根据题意有m+1>3,且m-1<3, 解得2<m<4. 故m的取值范围为2<m<4. 25.2.3因式分解法 夯实五分钟 1.A2.C 3.x=04.②④①③ 5.解：(1)因式分解，得(x-1)2=0, 于是，得x-1=0, 解得x1=x2=1. (2)因式分解，得(2x-3)(x-2)=0, 于是，得2x-3=0,或x-2=0, 3 解得x=2x=2 素养稳提升 6.A7.B8.C9.D10.B 11.0或512.11或12 13.解：(1)因式分解，得 (x-1+4)(x-1-4)=0, 于是，得x+3=0,或x-5=0, 解得x1=-3,x2=5. 参考答案及解析 (2)移项，得(x+1)2-2(x+1)=0, 因式分解，得(x+1)(x+1-2)=0, 于是，得x+1=0,或x-1=0, 解得x1=-1,x2=1. (3)移项，得(x+2)(x-1)-(2-2x)=0, 即(x+2)(x-1)+2(x-1)=0, 因式分解，得(x-1)(x+2+2)=0, 于是，得x-1=0,或x+4=0, 解得x1=1,x2=-4. (4)因式分解，得(x+3)(x-1)=0, 于是，得x+3=0,或x-1=0, 解得x1=-3,x2=1. 中考一点通 14.解：原方程可化为(1x1)2-61x|+8=0, 因式分解，得(|x|-2)(1x1-4)=0, 于是，得1x1-2=0,或1x|-4=0, 即1x|=2,或1x|=4, 解得x1=-2,x2=2,x3=-4,x4=4 15.解：根据换元的思想，设a=√2x2+3x+9,则 a≥0，a2=2x2+3x+9,2x2+3x=a2-9, 原方程可变为a2-9-5a+3=0, 即a2-5a-6=0, 因式分解，得(a-6)(a+1)=0, 解得a=6,或a=-1(舍去)， 所以36=2x2+3x+9, 即2x2+3x-27=0, 因式分解，得(2x+9)(x-3)=0, 9 解得x1=- 2,*2=3. 9 经检验，x=一2出=3均为原方程的解。 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 夯实五分钟 1.C2.D 3.-6e 134 4. 3 5.1 aa 3 素养稳提升 6.D7.A8.B9.C10.C11.A 课课练数学九年级上册 12.（1)证明：因为x2-(2a-1)x+a2-a=0, 所以4=[-(2a-1)]2-4(a2-a) =4a2-4a+1-4a2+4a =1>0. 所以该方程有两个不相等的实数根， （2)解：由(1)及根与系数的关系，得 x1+x2=2a-1,x1x2=a2-a. 因为x1(x2+1)+x2(x1+1)=7, 所以x1x2+x1+x1x2+x2=7, 即2x1x2+x1+x2=7, 代入得2(a2-a)+(2a-1)=7, 整理得a2=4,解得a=±2. 25.3实际问题与一元二次方程 夯实五分钟 1.D2.B3.A4.C 5.解：设个位上的数字为a,则十位上的数字 为(a-3).根据题意得a+10(a-3)=a2,解 得a1=5,a2=6. 当a=5时，这个两位数是25； 当a=6时，这个两位数是36. 所以这个两位数是25或36. 素养稳提升 6.A7.C8.D 9.25(1-x)2=1610.1211.x(x-1)=132 12.解：(1)设每轮传染中平均一个人传染x人， 根据题意得1+x+x(1+x)=121, 獬得x1=10,x2=-12, 因为x>0,所以x=10, 故每轮传染中平均一个人传染10人， (2)根据题意可得经过三轮传染后患甲流 的总人数为(10+1)3=1331. 因为1331<1500， 所以经过三轮传染后累计患甲流的人数不 超过1500. 中考一点通 13.解：（1)设每年绿化面积的平均增长率 为x. 根据题意，得1000(1+x)2=1210, 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题 意，舍去) 故每年绿化面积的平均增长率约为10%. (2)1210×(1+10%)=1331(万平方米) 故2026年的绿化面积约是1331万平 方米. 14.解：(1)设甲工程队施工xm,则乙工程队 施工(5000-x)m, 6 依题意，得12(5000-x)≥5×10x, 解得x≤2500， 故甲工程队最多施工2500m. (2)依题意，得(10+a)(5+名)+12(59)= 2a 6 12×5+10×5+(7a-12), 整理，得a2-18a+72=0, 解得a1=12,a2=6. 当a=12时，总成本为12×5+10×5+7× 12-12=182(万元). 因为182>150， 所以a=12不符合题意，舍去. 当a=6时，总成本为12×5+10×5+7×6-12= 140(万元)： 因为140<150，所以a=6符合题意. 故a的值为6. 强化训练 一元二次方程在涉及面积的问题 中的应用 1.C2.C 3.（11-2x)(7-2x)=214.0.25 5.解：(1)因为AD=BC=x, AD+BC-2+AB-2=40, 所以AB=-2x+44. (2)由题意得(-2x+44)x=192, 即x2-22x+96=0,解得x1=6,x2=16. 当x=16时，AB=12,AB<AD,故舍去； 当x=6时，AD=6,AB=-2×6+44=32,符合 题意 故AD的长为6m,AB的长为32m.