周周测18 6.3平面向量线性运算的应用（数学人教B版必修第二册）

**基本信息** 聚焦平面向量线性运算应用，通过渔船航行、降落伞拉力等真实情境设计试题，考查数学眼光观察现实世界与数学语言表达实际问题的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|四边形判定、速度合成|基础概念与简单应用结合| |多选|3/18|向量化简、共线判定|多角度辨析向量性质| |填空|3/15|命题真假判断、参数范围|抽象思维与计算能力并重| |解答题|5/77|梯形向量表示、小船航行问题|综合应用线性运算解决实际问题，如第17题通过小船航向确定考查数学思维的逻辑推理|

2026-2027学年高一上学期数学周周测18 6.3平面向量线性运算的应用 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．一条渔船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则这条渔船实际航行的速度大小为（    ） A． B． C． D． 2．如图，设为内一点，且，则与的面积之比为 A． B． C． D． 3．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（    ）（重力加速度） A． B． C． D． 4．已知的外接圆圆心为，，若(，)，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 5．在中，线段为边上的中线，点满足，记，则（    ） A． B． C． D． 6．下列命题正确的是 A．向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使 B．在中， C．不等式中两个等式不可能同时成立 D．向量不共线，则向量与向量必不共线 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分.） 7．(多选题)给出下列说法正确的是（    ） A．若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点 B．在平行四边形ABCD中，一定有＝ C．若，，则 D．若，，则 8．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则点M、B、C三点共线 C．若点M是的重心，则 D．若且，则的面积是面积的 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若，则x的取值范围是________． 10．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是________． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知小船在静水中的速度与河水的流速都是，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？ (2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？（河水自西向东流） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测18 6.3平面向量线性运算的应用 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．四边形ABCD中，＝2，则四边形ABCD为(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 2．一条渔船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则这条渔船实际航行的速度大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图，设为内一点，且，则与的面积之比为 A． B． C． D． 4．在四边形中，若，，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 5．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（    ）（重力加速度） A． B． C． D． 6．已知的外接圆圆心为，，若(，)，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 7．在中，线段为边上的中线，点满足，记，则（    ） A． B． C． D． 8．下列命题正确的是 A．向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使 B．在中， C．不等式中两个等式不可能同时成立 D．向量不共线，则向量与向量必不共线 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 10．(多选题)给出下列说法正确的是（    ） A．若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点 B．在平行四边形ABCD中，一定有＝ C．若，，则 D．若，，则 11．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则点M、B、C三点共线 C．若点M是的重心，则 D．若且，则的面积是面积的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．下面几个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若向量满足，则． 其中正确命题的是________ 13．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若，则x的取值范围是________． 14．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是________． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 16．如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且.      (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. 17．已知小船在静水中的速度与河水的流速都是，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？ (2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？（河水自西向东流） 18．已知点为平面上四点，且向量且． (1)求证：三点共线； (2)若点在线段上，求实数的取值范围. 19．在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测18 6.3平面向量线性运算的应用 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．一条渔船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则这条渔船实际航行的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出示意图，根据实际航行速度对应的向量关系求解出向量的模长即为实际航行速度的大小. 【详解】如图所示，渔船实际航行的速度为； 大小为． 故选：A． 2．如图，设为内一点，且，则与的面积之比为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作交于点，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出与的比例，再由与的比例，可得到结果. 【详解】如图，作交于点， 则，由题意，，，且， 所以 又，所以，，即， 所以本题答案为A. 【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键. 3．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（    ）（重力加速度） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据降落伞在匀速下落的过程中力的平衡可列式求解，即得答案. 【详解】设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小， 则，故， 故选：C 4．已知的外接圆圆心为，，若(，)，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设与 交点为，则其中，由于，得，因为 故的最小值可得. 【详解】设与 交点为，设，圆的半径为，为中点，如图所示： 则，设，因为三点共线，则 所以，故 因为，则所以 则 ，故 所以的最小值为2 故选：D 【点睛】设，因为三点共线，则，得是解题的关键. 5．在中，线段为边上的中线，点满足，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形关系进行平面向量的加减法运算即可. 【详解】如下图所示，      因为线段为边上的中线，点满足， 所以 ， 又因为，所以. 故选：A 6．下列命题正确的是 A．向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使 B．在中， C．不等式中两个等式不可能同时成立 D．向量不共线，则向量与向量必不共线 【答案】D 【分析】对每个选项进行一一验证，对不正确选项举出反例说明，对选项D采用反证法假设向量与向量共线，得到矛盾。 【详解】A不正确，当时，有无数个实数满足. B不正确，在中，. C不正确，当时，不等式化为，不等式中的等号显然成立. D正确，∵向量与不共线，∴，与均不为零向量.若与平行，则存在实数，使，即，∴无解，故假设不成立，即与不平行，故选D. 【点睛】本题考查共线向量概念与基本定理的运用，考查反证法的运用及对共线向量概念的深刻理解。 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分.） 7．(多选题)给出下列说法正确的是（    ） A．若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点 B．在平行四边形ABCD中，一定有＝ C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】根据相等向量、共线向量的概念，其中注意零向量与任何向量都平行或垂直，进而判断各项的正误. 【详解】A：＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故A错误. B：在平行四边形ABCD中与平行且方向相同，所以，故B正确. C：若，则，且与方向相同；若，则，且与方向相同，则与长度相等且方向相同，所以，故C正确. D：当时，与不一定平行，故D错误. 故选：BC 8．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则点M、B、C三点共线 C．若点M是的重心，则 D．若且，则的面积是面积的 【答案】ACD 【分析】A选项，由平面向量基本定理，变形得到，A正确；假设点M、B、C三点共线，推导出，故B错误；C选项，画出图形，结合向量加法法则及重心的概念及性质得到答案；D选项，可以先得到的面积与面积底相同，高线之比为2:3，从而得到答案. 【详解】A选项，，A正确； B选项，假设点M、B、C三点共线，则，即，整理得：，故当时，即，与条件中的不一致，所以点M、B、C三点不共线，B错误； 如图，取BC中点H，连接AH，若点M是的重心，则点M在AH上，且MA=2MH，则，则，C正确； D选项，由于，而，所以，其中，不妨设，则Q点在直线BC上，由于与同底，而高线之比等于与的比，即比值为2:3，所以的面积是面积的，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】设，由向量的线性表示可得＝－y＋(1＋y).再由，得出y∈，又x＝－y，可得答案. 【详解】设，因为＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y). 因为，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．所以y∈， 因为＝x＋(1－ x)，所以x＝－y，所以x∈， 故答案为：. 【点睛】本题考查运用向量的加法、减法进行向量的线性表示，属于中档题. 10．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是________． 【答案】/0.9 【分析】根据题意画出图形，利用表示出，再设，；用分别表示出求出与，再将其代入，可得，然后利用二次函数的性质即可求的最小值． 【详解】如图所示， 中，， ∴， 又点点在线段上移动，设，， ∴， 又，∴， ∴， ∴当时，取到最小值，最小值为. 故答案为：． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知小船在静水中的速度与河水的流速都是，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？ (2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？（河水自西向东流） 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西． 【分析】（1）根据向量的加法公式可得顺流时实际速度最大，逆流时实际速度最小； （2）利用平面向量的平行四边形法则作出图形分析可得结论. 【详解】（1）小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为； 小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为，此时小船是静止的． （2）如图所示， 设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度，表示小船在静水中的速度． 设，由题意可得，，则， 因为，所以四边形为菱形． 所以，为等边三角形． 在中，，而，所以， 所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测18 6.3平面向量线性运算的应用 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．四边形ABCD中，＝2，则四边形ABCD为(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】C 【详解】∵＝2，∴AB∥DC且AB≠DC. ∴四边形ABCD为梯形．选C 2．一条渔船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则这条渔船实际航行的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出示意图，根据实际航行速度对应的向量关系求解出向量的模长即为实际航行速度的大小. 【详解】如图所示，渔船实际航行的速度为； 大小为． 故选：A． 3．如图，设为内一点，且，则与的面积之比为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作交于点，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出与的比例，再由与的比例，可得到结果. 【详解】如图，作交于点， 则，由题意，，，且， 所以 又，所以，，即， 所以本题答案为A. 【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键. 4．在四边形中，若，，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【答案】B 【分析】由可得四边形是平行四边形，又，根据矩形的判定定理可得结果. 【详解】由得，所以四边形是平行四边形. 因为，即平行四边形的对角线相等，所以平行四边形是矩形. 如图， 故选：B. 5．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（    ）（重力加速度） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据降落伞在匀速下落的过程中力的平衡可列式求解，即得答案. 【详解】设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小， 则，故， 故选：C 6．已知的外接圆圆心为，，若(，)，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设与 交点为，则其中，由于，得，因为 故的最小值可得. 【详解】设与 交点为，设，圆的半径为，为中点，如图所示： 则，设，因为三点共线，则 所以，故 因为，则所以 则 ，故 所以的最小值为2 故选：D 【点睛】设，因为三点共线，则，得是解题的关键. 7．在中，线段为边上的中线，点满足，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形关系进行平面向量的加减法运算即可. 【详解】如下图所示，      因为线段为边上的中线，点满足， 所以 ， 又因为，所以. 故选：A 8．下列命题正确的是 A．向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使 B．在中， C．不等式中两个等式不可能同时成立 D．向量不共线，则向量与向量必不共线 【答案】D 【分析】对每个选项进行一一验证，对不正确选项举出反例说明，对选项D采用反证法假设向量与向量共线，得到矛盾。 【详解】A不正确，当时，有无数个实数满足. B不正确，在中，. C不正确，当时，不等式化为，不等式中的等号显然成立. D正确，∵向量与不共线，∴，与均不为零向量.若与平行，则存在实数，使，即，∴无解，故假设不成立，即与不平行，故选D. 【点睛】本题考查共线向量概念与基本定理的运用，考查反证法的运用及对共线向量概念的深刻理解。 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据向量的线性运算依次判断即可. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，不正确. 故选：ABC. 10．(多选题)给出下列说法正确的是（    ） A．若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点 B．在平行四边形ABCD中，一定有＝ C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】根据相等向量、共线向量的概念，其中注意零向量与任何向量都平行或垂直，进而判断各项的正误. 【详解】A：＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故A错误. B：在平行四边形ABCD中与平行且方向相同，所以，故B正确. C：若，则，且与方向相同；若，则，且与方向相同，则与长度相等且方向相同，所以，故C正确. D：当时，与不一定平行，故D错误. 故选：BC 11．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则点M、B、C三点共线 C．若点M是的重心，则 D．若且，则的面积是面积的 【答案】ACD 【分析】A选项，由平面向量基本定理，变形得到，A正确；假设点M、B、C三点共线，推导出，故B错误；C选项，画出图形，结合向量加法法则及重心的概念及性质得到答案；D选项，可以先得到的面积与面积底相同，高线之比为2:3，从而得到答案. 【详解】A选项，，A正确； B选项，假设点M、B、C三点共线，则，即，整理得：，故当时，即，与条件中的不一致，所以点M、B、C三点不共线，B错误； 如图，取BC中点H，连接AH，若点M是的重心，则点M在AH上，且MA=2MH，则，则，C正确； D选项，由于，而，所以，其中，不妨设，则Q点在直线BC上，由于与同底，而高线之比等于与的比，即比值为2:3，所以的面积是面积的，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．下面几个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若向量满足，则． 其中正确命题的是________ 【答案】① 【分析】对于①，由相等向量的定义判断即可；对于②，若，则可得，而不是向量为零；对于③，当两向量的模相等时，不一定有两个向量相等；对于④，当两共线向量的模相等时，则这两向量相等或是相反向量 【详解】解：对于①，由相等向量的定义可知，时，则有，所以①正确； 对于②，当时，则有，所以②错误； 对于③，当时，与的方向不一定相同，所以③错误； 对于④，当向量满足时，有或，所以④错误． 故答案为：① 13．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】设，由向量的线性表示可得＝－y＋(1＋y).再由，得出y∈，又x＝－y，可得答案. 【详解】设，因为＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y). 因为，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．所以y∈， 因为＝x＋(1－ x)，所以x＝－y，所以x∈， 故答案为：. 【点睛】本题考查运用向量的加法、减法进行向量的线性表示，属于中档题. 14．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是________． 【答案】/0.9 【分析】根据题意画出图形，利用表示出，再设，；用分别表示出求出与，再将其代入，可得，然后利用二次函数的性质即可求的最小值． 【详解】如图所示， 中，， ∴， 又点点在线段上移动，设，， ∴， 又，∴， ∴， ∴当时，取到最小值，最小值为. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析， 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 16．如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且.      (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. 【答案】(1)； (2) 因为，所以. . . 所以，即与共线. 又两向量有公共点，所以，，三点共线. 【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算，结合相反向量求解即可. （2）由向量线性运算可得，，再利用向量共线的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为点是线段的中点，所以. 因为，，所以. . . （2）略 17．已知小船在静水中的速度与河水的流速都是，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？ (2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？（河水自西向东流） 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西． 【分析】（1）根据向量的加法公式可得顺流时实际速度最大，逆流时实际速度最小； （2）利用平面向量的平行四边形法则作出图形分析可得结论. 【详解】（1）小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为； 小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为，此时小船是静止的． （2）如图所示， 设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度，表示小船在静水中的速度． 设，由题意可得，，则， 因为，所以四边形为菱形． 所以，为等边三角形． 在中，，而，所以， 所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西． 18．已知点为平面上四点，且向量且． (1)求证：三点共线； (2)若点在线段上，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明： ,， 且 又与有公共点A,∴三点共线. （2）． 【分析】化简且 得且，由向量共线定理即可证出. 由（1），若点B在线段上，则与同向且， 即 【详解】(1)略 (2)由(1)知，若点B在线段上，则与同向且（如图所示）     故实数的取值范围为． 【点睛】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线问题，此题体现了向量共线定理的灵活应用. 19．在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    【答案】 【分析】连接，由已知可得，根据三点共线结论可得，再由基本不等式即可求得的最小值． 【详解】如图，连接，   中，，， 点P满足， ， ， 又， ， 又三点共线， ， ， 当且仅当，即时取“”， 则的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $