6.3 平面向量线性运算的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

1．平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为(　　) A．菱形　　　　　 B．梯形 C．矩形 D．平行四边形 答案：D 2．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为(　　) A．(9,1) B．(1,9) C．(9,0) D．(0,9) 答案：A 3．质点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　) A．(－2,4) B．(－30,25) C．(10，－5) D．(5，－10) 答案：C 4．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们夹角为120°时，合力大小为(　　) A．40N B．10N C．20N D．10N 答案：B 5．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 6．(多选题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是(　　) A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小； C．船 的浮力不断减小； D．船的浮力保持不变． 解析：AC　[设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0＜θ＜)，则|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝. ∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大．∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小．] 7．若1＝(2,2)，2＝(－2,3)分别表示力F1，F2，则|F1＋F2|为　________　. 答案：5 8．在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝ ，＝ ，则＝　________　(用e1，e2表示)． 答案：－e1＋e2 9．已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，若a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，则t＝　________　. 解析：∵a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同． ∴a－tb与a－(a＋b)共线，即a－tb与a－b共线，∴存在实数λ，使a－tb＝λ， ∴解得 即当t＝时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上． 答案： 10．证明直角三角形ABC斜边AB上的中线CD等于斜边AB的一半． 证明：如题图所示． 设C(0,0)，A(a,0)，B(0，b)． 则AB＝，中点D的坐标为， 即＝，OD＝||＝＝，即CD＝，故CD＝AB. 11．如图所示，把一个物体放在倾角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2，已知|G|＝50 N，求F1，F2的大小． 解：建立如图所示的平面直角坐标系，则F1＝(－|F1|,0)，F2＝(0，－|F2|)． 又由已知可得 G＝(50sin 30°，50cos 30°) ＝(25,25)，且G＋F1＋F2＝0，所以(25,25)＋(－|F1|,0)＋(0，|F2|)＝(0,0)，从而可知|F1|＝25N，|F2|＝25 N. 12.如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M，N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且＝x＋y(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值为________　. 解析：∵M，N分别是OA，OB的中点， ∴＝x＋y＝2x＋2y， ∵M，C，N三点共线， ∴2x＋2y＝1，即x＋y＝， ∴xy≤2＝， ∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝－2xy≥－＝. 答案： 13．如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O. (1)求AO∶OF与CO∶OE的值； (2)证明AF，BD，CE交于一点O. 解：因为＝＋＝＋， 又因为E，F都是中点，所以＋＝＋＝2＋2＝2.另外，＝＋，所以＋＝ 2＋2.设＝s，＝t， 则有s－t＝2＋2，即(s－2)＝(t－2). 从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2， 所以AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1. (2)证明：要证明AF，BD，CE交于一点O，只需证明B，O，D三点共线即可． 由(1)可知在，＝＋，＝＋＝＋＝－ ＝－(＋)＝(＋)，又＝(＋)，∴∥，又与有公共点B， ∴B，O，D三点共线， 故AF，BD，CE交于一点O. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$